第九章 解三角形 章末总结 课件(共58张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册

(共58张PPT)
章末总结
第九章 解三角形
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
专题分析
高考考点例题
学习目标
01
专题分析
02
专题1 解三角形中的最值问题
解三角形问题涉及边长、角度、周长、面积等，都是数值问题，因此求它们的最值
或范围是一种常见题型，具有一定的综合性，难度较大.
1 角的最值
例1 在中，,,的对边分别为,,.若，则 的最
小值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由可得 ，
所以 .
因为，所以 （重要不等式），
又,,所以，从而得到 .
故的最小值为 .
. .
例2 已知为锐角三角形，，分别为，的中点，且，则
的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
图9-1
【解析】设的内角，，所对的边分别为，， ,如图9-1所示，
设，交于点，连接并延长,交于点，则为 的中点.
由，可得，， ，
在中， ①，
在中， ②，
，并结合 ，
可得 .
又为锐角三角形，所以，， ，可得
， ,
则,即 .
所以 ,
当且仅当时，取得最小值，最小值为 .
设，则在上单调递减，在 上单调递增，
由于，则 .
2 长度的最值
例3 设锐角三角形三个内角，，所对的边分别为，， ，若
，，则 的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为， ，
所以，由余弦定理知 ，
因为三角形为锐角三角形，所以 ，
结合正弦定理得， ，则
，
化简得 ．
因为， ，
所以，所以 ，
即 .
例4 在中，内角，，的对边分别是，， ，
，，点在边 上，且
，则线段 长度的最小值为( )
A
A. B. C.3 D.2
【解析】由 及正弦定理，得
，即 ，
由余弦定理得， ，
， ．
由于， ，
， ，
两边平方得 ，
当且仅当时取等号，即 ，
线段长度的最小值为 ．
3 面积的最值
例5 (2025·安徽省怀宁县新安中学月考)已知,,分别为三个内角,, 的对
边,,且,则 面积的最大值为____.
思路点拨 解决本题的难点和关键点是如何利用 进行转化，将
中的2替换成 ，从而实现结构的和谐，由此化
简求解即可.
【解析】 因为, ,根据正弦定理
可得,所以,所以 ,根据余
弦定理得 ,
因为 ,所以 ，
则的边所对的角为定值，所以 的外接圆的半径为定值.
图9-2
如图9-2，作的外接圆圆，固定点,，则点在优弧 上运
动（不包含端点），以为底边计算的面积，当点 平分优弧
时，边上的高最大，的面积取得最大值，此时 为
正三角形，面积为 .
因为, ,所以
,
化简可得,所以 .
因为 ,所以 .
因为,当且仅当 时等号成立，所以
,
所以的面积 ,
故面积的最大值为 .
例6 (2025·上海市大同中学月考)托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托
勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形
的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：
圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出
正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的
基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，, 是其两条对角
线，，且为正三角形，则面积的最大值为____，四边形
的面积为_____．（注：圆内接凸四边形对角互补）
图9-3
【解析】如图9-3，设等边三角形的边长为， ，
，可得，即 .
由圆内接凸四边形对角互补，可得 ，
而 ，
当且仅当时取等号，则面积的最大值为 .
由圆的性质可得 ， ，
故四边形 的面积为
.
专题2 解三角形的结构不良试题
结构不良试题实质上是一种特殊的开放题，即题目的条件不完备，需要考生自行补
充此条件才能解答的试题.为了便于阅卷，结构不良试题一般提供一组备选条件
（一般为三个），由考生自主选择其中一个或两个条件进行解答.
如何快速而有效地解答这类结构不良试题呢？常见方法有：
1.先定后动——当题目中所给出的固定条件较多且复杂时，应先分析固定条件，并
进行等价转换（化简、变形等），再观察分析备选条件，从而选出一个能顺利解答
且能快速解答的条件进行作答.
2.先动后定——当所给出的固定条件较基础而无法进行等价变换，而备选条件较复
杂时，可先分析备选条件，选择其一进行等价转换,再进行解答.
常见的结构不良试题有以下几种出题角度.
出题角度1 选择不同的条件，得到不同的结论
例7 在中，内角，，所对的边分别为,,,，．
（1）求 的大小；
【解析】因为 ，
由余弦定理可得， ，
又 ，所以 .
（2）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求
的面积．
；边上的高等于1； ．
【解析】若选①：
因为，， ，
所以或 ，
此时 存在两个，不符合题意.
若选②：
因为边上的高等于1，且 ，
所以 ，
又，所以 存在且唯一确定.
为等腰三角形，则易得 ，
所以 .
故的面积为 .
若选③：
因为，由正弦定理可得， ，
又，则，所以 ，
则 存在且唯一确定.
又，,则 ，
此时 ．
故的面积为 .
出题角度2 选择不同的条件，得到相同的结论，结论服务于后续问题
例8 在，， 这三个条件
中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．
已知的内角，，所对的边分别为，，， ___，，角 的平分
线交于点，求 的长．
【解析】方案一 选择①.
因为，由正弦定理可得 ，即
,
所以 ，
在三角形中可得，所以 .
又为角平分线，所以 ，
在中， ，
所以 .
在中，由正弦定理可得 ，
即 ,
所以 ．
方案二 选择②.
由，可得， .
因为，所以可得 .
由余弦定理得 ，
又，所以，则 ，
下面解法同方案一.
方案三 选择③.
因为，而，所以 ，
下面解法同方案二.
出题角度3 条件和结论都需要选择
例9 下面给出有关的四个论断：;;
或； .以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个
真命题：
已知的内角，，的对边分别为,, ，
若________，则________（用序号表示），并给出证明过程.
思路点拨 以三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，这样一共可构成四个
命题.求解之前可先将给定的条件进行转化，比如②可转化为角的大小，另外要注意
条件之间的关联.
【解析】方案一 若①②③，则④.证明如下.
由，得，所以 ．
由，得，解得 ．
由或2，不妨设，结合 ，
解得， ．
由余弦定理得 ，解得
.（当时，同理可得 ）
故命题“若①②③，则④”是真命题．
方案二 若①②④，则③.证明如下.
由，得，所以 ．
由，得，解得 ．
由及，得 ．
又,所以 .
从而，整理得 ,
结合,解得，或， ，
得到或 .
故命题“若①②④，则③”是真命题．
方案三 若②③④，则①.证明如下.
由，得，所以 ．
由及，得 ．
由或2，不妨设，代入，得，得， .
从而，即 .
（当时，同理可得 ）
故命题“若②③④，则①”是真命题.
名师点评 事实上，我们也可以选择“若①③④，则②”，但是该命题是假命题.证明如下.
由，得 ，
由或2，不妨设，得，即 .
由，余弦定理，及，得 ，从
而 .
由，得,解得或 .
当时，，此时； 当时， ，此时
.
（当 时，同理可得出同样的结论）
故命题“若①③④，则②”是假命题.
专题3 三角形的布洛卡点问题
例10 (2025·山东省A7联盟开学考试)如图 9-4，在中， ，
,,为内一点， .
教材深挖 POINT
本题实际上是教材第21页【复习题】C组第1题.
图9-4
（1）若,求 ；
【解析】在中，，所以 .在 中，
，所以 ，则 ，
所以 .
在 中,由余弦定理得
,所以
.
（2）若 ，求 .
【解析】 设 ,则在中，.在 中，
由正弦定理知,即 ,
整理计算得，即 .
设 ,则在中，由正弦定理知 ①，
在中， .
又 ,
所以 ,所以 .
在中，由正弦定理知 ②.
由①②得,整理计算得,即 .
图9-5
名师点评 本题实际上是三角形的布洛卡点问题.如图9-5所示，
,,,为 内一点，若
，则称为 的一个布洛卡点，角
为布洛卡角.
下面我们顺着方法2的思路来探究布洛卡点的性质.
在中， ,由正弦定理
知 ①,
在中， ,
由正弦定理知 ②,
，结合正弦定理得
,
化简得
,
则（ 为余切，等于正切的倒数）
.
. .
此式是布洛卡点的一个重要性质，它表明对于一个确定的三角形来说，布洛卡角是
唯一确定的，则通过作图可得布洛卡点.
我们还可以继续往下变：
,
运用余弦定理，有
.
若记的面积为,则 ，
于是有 .
例11 如图9-6，为三角形内部一点，且满足 ，
求证： .
图9-6
【解析】 （三角法） 如图9-7，延长交于点 ，
图9-7
则, .
因为，所以 .
同理可得， .
于是，在三角形中，由正弦定理，得 ,
在三角形中，由正弦定理，得 ,
又，所以 ,
即 ,
即 ①,在三角形中，由正弦定理，得 ②,
图9-8
，整理即得 .
（几何法） 不妨设（如果相等，那么为三角形 的内
心，三角形为正三角形，等式显然成立）,如图9-8，在边 上取
一点，使得，连接, .
因为 ，
所以，，，四点共圆，所以 .
因为，所以 ，
又 ，
所以，所以 .
因为， ，
所以 ，
所以，即 .
于是 .
高考考点例题
03
例12 (2025·北京大学强基计划)在中，在上，平分 ，
,,求 .
【解析】由角平分线的性质知，可得 ，
令，则 .
图9-9
设是的中点，如图9-9所示，因为 ，
,所以， ,
故 ,
由,得 ，即
，
所以 （负值已舍） .
例13 (2025·全国高中数学联赛江苏赛区预赛)已知的面积为2，，则
的范围为_ __________.
,
【解析】不妨在平面直角坐标系中设,，由面积为2知 边上的
高为2,不妨设 ,
则 .
当时,上式 ,
当时， ,
易知 ,
此时, .
综上，,开方得 .
例14 (2025· 东南大学强基计划)若，则判断 的形状.
【解析】由正弦定理得 ,
因为,, 为三角形内角，
所以
则, 均为锐角.
②式平方得,即 ,将①式代入得，
,
则，解得 ,
,
则, ,
则 ,
则 为钝角三角形.
例15 (2025·全国高中数学联赛新疆赛区预赛)设的三个内角,, 所对应的边
分别为,, .
（1）若且 ，求角 ;
【解析】 ,
,
.
当,即 时， ， .
当，即 时， , ，矛盾，舍去.
综上所述， .
（2）若不是直角三角形，,为中点，且 ，求
面积的最大值.
【解析】， 由正弦定理得 ,即
，即或（舍）， .
（在 中，由向量极化恒等式的变形得，
,即）, ,
，
. .
，
当且仅当，即时， 面积的最大值为6.
例16 (2024·厦门大学强基计划)单位圆内接，取，， 作边长构
成 ，则( )
C
A.能构成，且
B.能构成，且
C.能构成，且
D.不能构成
【解析】在中，设角,,对应的边为,, .
由正弦定理，得,, ，
即 ，
故取,,作边长能构成，且 ，
所以 .
例17 (2024· 清华大学强基计划)在中， ，， 在
内部，延长交于，且，则 ( )
D
A. B. C. D.
图9-10
【解析】如图9-10所示，
由为的平分线，并结合正弦定理得 ，
.
由，可得 ，
则 ,
即 ，
化简可得，于是 或
（舍），
故 .
例18 (2024·北京大学强基计划)在中，若点在线段上，平分 ,
,，求 的周长.
【解析】设, ，
由角平分线定理可得，则 ，
由余弦定理得 ，
即 ，
将代入化简得 ，
即 ，
解得或舍去 ，
经检验只能,故 ，
所以 的周长为10.5.
谢谢观看
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