10.1 复数及其几何意义 课件(共87张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 10.1 复数及其几何意义 课件(共87张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共87张PPT)
10.1 复数及其几何意义
第十章 复数
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 数系的扩充与复数的相关概念
1 复数的引入
虚数单位 实数与虚数单位运算 一般地，为了使 得方程 有 解，人们规定 的 平方等于 ，即 ，并称 为 虚数单位. 引进虚数单位 后，需要定义虚数单位与实数之间的运算，而且 这种运算还得保持以前的运算律（如加法交换律、乘法交换律 等）均成立. 加法 乘法
实数与的和记作 ,且实 数0与的和为 . 实数与的积记作，且实数0与
的积为0，实数1与的积为 .
. .
. .
. .
2 复数的概念及其表示
概念 表示
一般地，当与 都是实数时，称 为复数. 复数一般用小写字母 表示，即
.
其中称为的实部，称为 的虚部. （注意虚部是，而不是 ） 分别记作, .
所有复数组成的集合称为复数集. 复数集通常用大写字母C表示，因此
,, }.
. .
3 复数的分类
（1）任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一
个实数.特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数.
图10.1-1
（2）复数 可以分类如下：
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图10.1-1表示.
（【教材链接】此处回答了教材第28页【练习B】第5题）
4 复数相等
两个复数与 ，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记
作 .
这就是说，如果,,,都是实数，那么且 .
（和有一个不成立时，就有）特别地，当, 都是实数
时，的充要条件是且 .
. .
发散探讨 应当注意，两个不相等的实数，一定有大小之分（从而也就一定能用大于
号或小于号连接），但是两个复数，如果不全是实数，一般不规定它们之间的大小，
只能说它们相等或不相等，（若两个复数之间进行了大小比较，则这两个复数必为
实数）例如，
因此也就不能说虚数是正数还是负数.
. .
. .
典例详解
例1-1 ［教材改编P28练习A T1］写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，
哪些是虚数，哪些是纯虚数:
4,,,, .
【解析】4，，，，的实部分别是4，2， ，5，0；虚部分
别是0，，， ，6.
4是实数；，，，是虚数； 是纯虚数.
点评 因为0是实数，所以0也是复数.写成的形式为 ，即其实
部和虚部都是0.
例1-2 判断,,,,, 的关系.
【解析】根据各数集的含义可知， ，可用图10.1-5表示.
图10.1-5
（【教材链接】此处回答了教材第28页【练习A】第2题）
例1-3 ［教材改编P27例1］当复数为纯虚数时，实数 的
值为( )
B
A. B. C.或 D.或
【解析】 复数 为纯虚数，（实部为0，虚部不为0）
解得 .
. .
例1-4 ［教材改编P32习题10-1B T3］(2025·广东省深圳市月考)已知复数
，，，则 ( )
C
A.3 B.1 C. D.
【解析】由，， ，
得 ，
即
．
知识点2 复数的几何意义
1 复数的几何意义——与点对应
一方面，根据复数相等的定义，复数 被它的实部与虚部唯
一确定，即复数被有序实数对唯一确定;另一方面，有序实数对 在平面
直角坐标系中对应着唯一的点 .因此不难发现，可以在复数集与平面直角坐标
系的点集之间建立一一对应关系，即复数点 .
图10.1-2
例如，复数对应的点为，复数3对应的点为 ，
而点对应的复数为 ，如图10.1-2所示.
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面
内，轴上的点对应的都是实数，因此轴称为实轴; 轴上的点除了
原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称 轴为虚轴.
（复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是 ）
. .
教材深挖
表示复数的点的位置与其实、虚部的关系
如果
（1）当
当
（2）当
半平面（不包括实轴）；当
接】此处回答了教材第31页【练习B】第1题）
2 复数的几何意义——与向量对应
复数还有另外一种几何意义：因为平面直角坐标系中的点 能唯一确定一
个以原点为始点、为终点的向量，所以复数也可用向量 来表示，这样一来
也就能在复数集与平面直角坐标系中以 为始点的向量组成的集合之间建立一一对
应关系，即复数 向量 .（在复平面内，相等向量表示同一个
复数）
图10.1-3
知识剖析
根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一
对应，可将复数
之间的关系用图10.1-3来表示.
. .
. .
3 共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.
复数的共轭复数用表示，因此，当时，有 .
（当复数为实数时，它的共轭复数就是它本身，反之，若一个复数的共轭复数是它
本身，则它是一个实数，即 ）
在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数
的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.
图10.1-4
例如，复数 在复平面内所对应的点为
,在复平面内所对应的点为 .如图10.1-4.
. .
. .
4 复数的模
一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数
的模用表示，因此 .（两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比
较大小）
可以看出，当时， ,这说明复数的模是实数绝对值概念的推广.
一般地，两个共轭复数的模相等，即 .
. .
. .
典例详解
图10.1-6
例2-5 ［教材改编P31练习A T1］写出图10.1-6中复平面内
各点所对应的复数（每个小正方格的边长为1）.
【解析】由于点的坐标为，故点对应的复数是 ;
由于点的坐标为,故点对应的复数是 ;
由于点的坐标为,故点对应的复数是 ；
由于点的坐标为，故点对应的复数是 ；
由于点的坐标为,故点对应的复数是 ;
由于点的坐标为，故点 对应的复数是0.
例2-6 (全国Ⅱ卷)设,则在复平面内 对应的点位于( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】依题意得,故对应的点 位于第三象限.
例2-7 ［教材改编P51 T8］(2025·河北省武安市第一中学月考)在复平面内， 为坐
标原点，复数对应的向量为，将绕点按逆时针方向旋转 后，再将模变
为原来的倍，得到向量，则 对应的复数的实部是( )
B
A.6 B. C. D.
【解析】绕点按逆时针方向旋转 后变为 ，再将模
变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是 ．
例2-8 ［教材改编P30例1］(2025·福建省部分学校期中)在复平面内， 是原点,向量
对应的复数为，其中为虚数单位，若点关于虚轴的对称点为 ，则向量
对应的复数的共轭复数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】是原点,向量对应的复数为， .
点关于虚轴的对称点为 ，
,向量对应的复数为,则向量 对应的复数的共轭复数为
.
例2-9 (2024·新课标Ⅱ卷)已知，则 ( )
C
A.0 B.1 C. D.2
【解析】 .
释疑惑 重难拓展
知识点3 复数的模的几何意义
（1）复数的模就是复数 在复平面内对应的点
到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.
说明 复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有 ，并且
绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模.
（2）复数在复平面内对应的点为， 表示一个大于0的常数，则满足条件
的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆， 表示圆的内部，
表示圆的外部.（【教材深挖】此处是对教材第30页【例2】的挖掘）
典例详解
3-10.［教材改编P30例2］复数在复平面内对应的点为 ，
若，则满足条件的点 的集合是( )
D
A.直线 B.线段
C.圆 D.单位圆以及圆内的部分
【解析】，， 满足条件的点 的集合是以原点为圆心，1为
半径的圆及其内部.
题型解析
03
题型1 复数的分类
例11 ［教材改编P28练习B T2］(2025·山东省实验中学月考)已知 ,复数
,当 为何值时，
（1） 为实数？
【解析】要使为实数,需满足且 ,（【警示】此处易忽
略分母导致错误）解得 .
. .
（2） 为虚数？
【解析】要使为虚数,需满足且,解得且 .
（3） 为纯虚数？
【解析】要使为纯虚数,需满足,且,解得 或
.
. .
例12 已知复数,且，则实数 的值
为____.
思路点拨 由虚数无法比较大小可判断出这个复数是一个实数，因此它的虚部
,再根据，即可确定 的值.
【解析】,,（只有实数能比大小）,解得 或
.易知时，，不合题意，舍去；时， ，
符合题意.故 .
. .
求解复数的分类问题的关键
（1）复数为虚数的充要条件是 .
（2）复数为实数的充要条件是 .
（3）复数为纯虚数的充要条件是且 .
依据复数的类型求参数时要先确定参数的取值使代数式有意义，再结合实部与虚部
的取值求解.
【变式题】
1.(2025·重庆市调研)“”是“复数 为纯虚数”的
( )
A
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】若,则复数是纯虚数.若复数 是纯虚数,则
且,所以.因此“ ”是“复数
为纯虚数”的充要条件.
题型2 复数相等
例13（1）［教材改编P28练习A T4］设为虚数单位，若，， ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】根据两复数相等的充要条件（两复数的实、虚部分别相等）得 ，
，则 ．
. .
（2）(2025·湖南省长沙市望城区第一中学期末)若,则实数,
的值分别为______.
【解析】由两复数相等的充要条件（两复数的实、虚部分别相等）得
解得
,
. .
例14 已知复数, ,若
,求证:- .
思路点拨
先求出的共轭复数 ,再利用复数相等的充要条件求解即可.
【解析】,,由 ,得
则 .
从而有 .
, .（求关于 的二次函数的值域时，要注意
的范围限制）
当时， 取得最小值;当时， 取得最大值7.
.
. .
解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部
相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解.
【变式题】
2.已知关于，的方程组有实数解，求实数，
的值.
【答案】由可得解得
由可得
解得
题型3 复数的几何意义
1 复数与复平面内的点的一一对应
例15 ［教材改编P32习题10-1B T2］实数 取什么值时，复平面内表示复数
的点满足下列条件.
（1）位于第二象限；
【解析】由点位于第二象限得 （第二象限内的点的横坐标小于0，
纵坐标大于0）
解得 .
故满足条件的实数的取值范围为 .
. .
（2）位于直线 上.
【解析】由点位于直线上得,（直线 上的点的
横坐标等于纵坐标）解得 .
故满足条件的实数 的值为1.
【解析】根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数
的点为 .
. .
例16（1）在复平面内，复数 对应的点位于( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为是第三象限的角，则， ，所以复数
对应的点位于第二象限.
（2）已知为虚数单位，为实数，复数 在复平面内对应的点为
，则“”是“点 在第四象限”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当时，,，所以点在第四象限;若点 在第四
象限，则解得.所以“”是“点 在第四象限”的充要条件.
（3）在复平面内，复数，对应的点分别是，，则线段的中点 对
应的复数为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，所以复数，对应的点分别为 ，
．所以线段的中点的坐标为，则线段的中点对应的复数为 .
复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复数都
对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就
可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
【变式题】
3.复数且 在复平面内对应的点位于( )
B
A.第一或第二象限 B.第一或第三象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
【解析】易知复数在复平面内对应的点为.因为且 ，所以
当时,,点在第一象限；当时，，点 在第三象限.故复
数且 在复平面内对应的点位于第一或第三象限.
2 复数与平面向量的一一对应
例17（1）已知,,,,为复平面的原点，试写出 ，
，， 所表示的复数；
【解析】表示的复数为；（【易错点】切勿写成 ）
表示的复数为 ；
表示的复数为 ；
表示的复数为 .
. .
（2）已知复数1,,, ,在复平面内画出这些复数对应的向量；
【解析】复数1对应的向量为，其中 ；
复数对应的向量为，其中 ；
复数对应的向量为，其中 ；
复数对应的向量为，其中 .
如图10.1-7所示.
图10.1-7
（3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，， 对应的复数分别是
,,,求点 对应的复数.
【解析】记为复平面的原点，由题意得，， .
设,则, .
由题知，，所以即
故点对应的复数为 .
例18 在复平面内，向量对应的复数为,将向量 向右平移1个单位长度后，
再向上平移2个单位长度，得到向量，则向量 对应的复数是______.
【解析】向量平移时向量的坐标表示不变，则向量对应的复数也不变，所以向量
对应的复数是 .
1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点
对应的复数即向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点
的有向线段即表示复数对应的向量.
2.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应，
实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
【变式题】
图10.1-8
4.如图10.1-8，在平行四边形中，顶点，， 对应的复数
分别为0，，，则点 对应的复数为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由已知，得, ,则
点 对应的复数为
.
题型4 复数的模的计算
例19 已知复数，，若，在复平面内对应的点分别为 ，
，线段的中点对应的复数为，则 ( )
A
A. B.5 C. D.3
【解析】由题意得，，则线段的中点的坐标为 ，其对应
的复数，则 .故选A.
例20 已知复数,则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意得， ,
所以 ,
因为 ,
所以 .
求复数的模，首先应将复数化为标准的代数形式 ，得到实部与虚
部，再利用模的公式 求解.注意两个复数不全是实数不能比较大小，但
它们的模表示实数，可以比较大小．
【变式题】
5.［教材改编P31练习B T4］复数,,试比较与
的大小.
【答案】因为
,
,
且,所以 .
题型5 共轭复数
例21 已知复数对应的点在第二象限，它的模是3，实部是，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】设，则 .
由，得,即，解得 复数 对应的点在第二象限，
.
, .
名师点评 本题考查复数的运算、复数的几何意义、共轭复数的概念，属于复数中的
综合题.此类题的解题方法是设复数,根据题目条件列出关于, 的
方程组（不等式组），化简求解,即可确定复数，进而确定 .
【变式题】
6.［教材改编P51 B组T2］已知,求复数 .
【答案】 设，则, .
因为,所以 .根据复数相等的充要条件
得，
解得所以 .
因为，复数的实部为，（把 看作一个整体）虚部为5，
所以, ，
即，得 ，
所以 .
. .
题型6 复数在复平面内对应的点的集合表示的图形
例22 ［教材改编P31 T5］当复数满足下列条件时，复数在复平面内的对应点 组
成的集合是什么图形？
（1） ;
【解析】，为原点 ，
满足的点 组成的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆.
（2） .
【解析】不等式可化为不等式组
满足不等式的点 组成的集合为以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，满
足不等式的点 组成的集合为以原点为圆心，以3为半径的圆的内部，
图10.1-9
满足的点 组成的集合是以原点为圆心，分别以2和3
为半径的两个圆所夹的圆环，但不包含圆环的边界，如图10.1-9.
思路点拨表示点到原点的距离，可根据满足的条件判断点 组成的集合表示
的图形.
例23 已知复数满足，则复数 在复平面内对应的点的轨迹是
( )
B
A.一个圆 B.两个圆 C.两个点 D.线段
【解析】因为复数满足 ，
即 ，
所以或 ，
它表示以原点为圆心，半径为2和1的圆．
名师点评 求复数在复平面内对应的点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简
得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形
的形状.
【变式题】
7.若复数满足，则复数 在复平面上对应的点构成的图形的面积
为_____.
【解析】由，解得，则满足的复数 在复平
面上对应的点构成的图形是以原点为圆心，分别以2和4为半径的圆所夹的圆环，其
面积为 .
新考法 数学文化
例24 新情境 欧拉公式 (2025·重庆市第一中学校入学考试) 欧拉公式
为虚数单位 是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定
义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它被誉为“数学中的天桥”.根据
欧拉公式可知, 表示的复数对应的点在复平面中位于( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ,
因为 是第二象限的角，
所以， ，
所以 表示的复数对应的点位于第二象限.
知识测评
04
建设时间：20 分钟
1.(2025·江西师范大学附属中学期末)在复平面内，复数 是纯
虚数，则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】 复数是纯虚数，且， .
2.若复数，则 ( )
C
A. B.2 C. D.5
【解析】，， .
3.在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则 的值为
( )
A
A.0或2 B.0 C.2 D.1或2
【解析】 复数 对应的点在虚轴上，
，或 .
4.新定义 等部复数 ［多选题］(2025·四川省绵阳市三台中学模拟)如果一个复数的
实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数（， 为虚数单
位）为“等部复数”，则下列说法正确的是( )
AC
A. B.
C. D.复数 是纯虚数
【解析】 复数（， 为虚数单位）为“等部复数”，
，故A正确；
由得，， ，故B错误；
， ，故C正确；
， 复数，是实数，故D错误．故选 .
5.符合方程（其中）的实数___， ___.
1
2
【解析】由解得或或或因为 ，所
以
6.［教材改编P51 A组 T3］已知复数 .
（1）若，求 ;
【答案】由 知，，故．当时，, ；
当时，,．故 的值为0或6.
（2）若在复平面内复数对应的点在第一象限，求 的范围.
【答案】由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即 即
所以 ．
高考模拟
05
建设时间：25 分钟
7.满足的复数 在复平面内对应的点的轨迹是( )
A
A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆
【解析】由原方程可得.因为，故,即 .
根据复数的模的几何意义，可知复数在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆心，
3为半径的圆.
8.已知复数满足，则 的实部( )
B
A.不小于0 B.不大于0 C.大于0 D.小于0
【解析】设,,,
解得故 的实部不大于0.
9.(2025·陕西省咸阳市开学考试)在复平面内，复数， ，
对应的向量分别为,,（ 为原点），且
，则实数 ( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】由题意知,,,, ，
, ,
解得
10.［多选题］(2025·辽宁省抚顺市期末)已知复数
，则下列说法正确的是( )
BCD
A.复数 的模的最大值为2
B.若，是纯虚数，则
C. 时，复数对应的点在第一象限
D.复数 的模为定值
【解析】对于A，D，
，故 ，A错
误，D正确；
对于B，且，即，又，故 ，
B正确；
对于C，当时， ，
故且，复数对应的点在第一象限，C正确.故选 .
11.新考法 数学文化 [多选题]18世纪末期，测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的
点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数 的模
的几何意义为复数对应的点到原点 的距离．下列说法正确的是( )
BCD
A.若，则或
B.复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
C.若点的坐标为，则 在复平面内对应的点在第三象限
D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为
【解析】令（举反例），满足 ，故A错误；
复数与分别对应向量与 ，
则, ,
,向量对应的复数为 ，故B正确；
点的坐标为 ，
在复平面内对应的点 在第三象限，故C正确；
. .
设，， ，
复数满足 ，
，
复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 ，故D正
确．故选 ．
12.新考法 结构不良 (2025·辽宁省大连市期中)在， 的实部与虚部互为相
反数， 为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知复数 ．
（1）若____，求实数 的值；
【答案】若选①：
，则解得 .
若选②：
的实部与虚部互为相反数，则 ，
解得或 .
若选③：
为纯虚数，则解得 .
（2）若为整数，且，求 在复平面内对应点的坐标．
【答案】因为 ，
所以 ，
即 .
因为为整数，所以为平方数， 为奇数，
又或 ，
所以或解得 .
所以，所以在复平面内对应点的坐标为 .
13.设全集，，，, },若
,则复数 在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？
【答案】,, .
由得 ,
即,, }.
, },
, }.
等价于,且 ,
即 .
由复数的模的几何意义知，复数 在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心，
1为半径的圆.
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高二下学期数学人教B版必修第四册
10.1 复数及其几何意义
第十章 复数
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 数系的扩充与复数的相关概念
1 复数的引入
虚数单位 实数与虚数单位运算 一般地，为了使 得方程 有 解，人们规定 的 平方等于 ，即 ，并称 为 虚数单位. 引进虚数单位 后，需要定义虚数单位与实数之间的运算，而且 这种运算还得保持以前的运算律（如加法交换律、乘法交换律 等）均成立. 加法 乘法
实数与的和记作 ,且实 数0与的和为 . 实数与的积记作，且实数0与
的积为0，实数1与的积为 .
. .
. .
. .
2 复数的概念及其表示
概念 表示
一般地，当与 都是实数时，称 为复数. 复数一般用小写字母 表示，即
.
其中称为的实部，称为 的虚部. （注意虚部是，而不是 ） 分别记作, .
所有复数组成的集合称为复数集. 复数集通常用大写字母C表示，因此
,, }.
. .
3 复数的分类
（1）任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一
个实数.特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数.
图10.1-1
（2）复数 可以分类如下：
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图10.1-1表示.
（【教材链接】此处回答了教材第28页【练习B】第5题）
4 复数相等
两个复数与 ，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记
作 .
这就是说，如果,,,都是实数，那么且 .
（和有一个不成立时，就有）特别地，当, 都是实数
时，的充要条件是且 .
. .
发散探讨 应当注意，两个不相等的实数，一定有大小之分（从而也就一定能用大于
号或小于号连接），但是两个复数，如果不全是实数，一般不规定它们之间的大小，
只能说它们相等或不相等，（若两个复数之间进行了大小比较，则这两个复数必为
实数）例如，
因此也就不能说虚数是正数还是负数.
. .
. .
典例详解
例1-1 ［教材改编P28练习A T1］写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，
哪些是虚数，哪些是纯虚数:
4,,,, .
【解析】4，，，，的实部分别是4，2， ，5，0；虚部分
别是0，，， ，6.
4是实数；，，，是虚数； 是纯虚数.
点评 因为0是实数，所以0也是复数.写成的形式为 ，即其实
部和虚部都是0.
例1-2 判断,,,,, 的关系.
【解析】根据各数集的含义可知， ，可用图10.1-5表示.
图10.1-5
（【教材链接】此处回答了教材第28页【练习A】第2题）
例1-3 ［教材改编P27例1］当复数为纯虚数时，实数 的
值为( )
B
A. B. C.或 D.或
【解析】 复数 为纯虚数，（实部为0，虚部不为0）
解得 .
. .
例1-4 ［教材改编P32习题10-1B T3］(2025·广东省深圳市月考)已知复数
，，，则 ( )
C
A.3 B.1 C. D.
【解析】由，， ，
得 ，
即
．
知识点2 复数的几何意义
1 复数的几何意义——与点对应
一方面，根据复数相等的定义，复数 被它的实部与虚部唯
一确定，即复数被有序实数对唯一确定;另一方面，有序实数对 在平面
直角坐标系中对应着唯一的点 .因此不难发现，可以在复数集与平面直角坐标
系的点集之间建立一一对应关系，即复数点 .
图10.1-2
例如，复数对应的点为，复数3对应的点为 ，
而点对应的复数为 ，如图10.1-2所示.
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面
内，轴上的点对应的都是实数，因此轴称为实轴; 轴上的点除了
原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称 轴为虚轴.
（复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是 ）
. .
教材深挖
表示复数的点的位置与其实、虚部的关系
如果
（1）当
当
（2）当
半平面（不包括实轴）；当
接】此处回答了教材第31页【练习B】第1题）
2 复数的几何意义——与向量对应
复数还有另外一种几何意义：因为平面直角坐标系中的点 能唯一确定一
个以原点为始点、为终点的向量，所以复数也可用向量 来表示，这样一来
也就能在复数集与平面直角坐标系中以 为始点的向量组成的集合之间建立一一对
应关系，即复数 向量 .（在复平面内，相等向量表示同一个
复数）
图10.1-3
知识剖析
根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一
对应，可将复数
之间的关系用图10.1-3来表示.
. .
. .
3 共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.
复数的共轭复数用表示，因此，当时，有 .
（当复数为实数时，它的共轭复数就是它本身，反之，若一个复数的共轭复数是它
本身，则它是一个实数，即 ）
在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数
的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.
图10.1-4
例如，复数 在复平面内所对应的点为
,在复平面内所对应的点为 .如图10.1-4.
. .
. .
4 复数的模
一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数
的模用表示，因此 .（两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比
较大小）
可以看出，当时， ,这说明复数的模是实数绝对值概念的推广.
一般地，两个共轭复数的模相等，即 .
. .
. .
典例详解
图10.1-6
例2-5 ［教材改编P31练习A T1］写出图10.1-6中复平面内
各点所对应的复数（每个小正方格的边长为1）.
【解析】由于点的坐标为，故点对应的复数是 ;
由于点的坐标为,故点对应的复数是 ;
由于点的坐标为,故点对应的复数是 ；
由于点的坐标为，故点对应的复数是 ；
由于点的坐标为,故点对应的复数是 ;
由于点的坐标为，故点 对应的复数是0.
例2-6 (全国Ⅱ卷)设,则在复平面内 对应的点位于( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】依题意得,故对应的点 位于第三象限.
例2-7 ［教材改编P51 T8］(2025·河北省武安市第一中学月考)在复平面内， 为坐
标原点，复数对应的向量为，将绕点按逆时针方向旋转 后，再将模变
为原来的倍，得到向量，则 对应的复数的实部是( )
B
A.6 B. C. D.
【解析】绕点按逆时针方向旋转 后变为 ，再将模
变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是 ．
例2-8 ［教材改编P30例1］(2025·福建省部分学校期中)在复平面内， 是原点,向量
对应的复数为，其中为虚数单位，若点关于虚轴的对称点为 ，则向量
对应的复数的共轭复数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】是原点,向量对应的复数为， .
点关于虚轴的对称点为 ，
,向量对应的复数为,则向量 对应的复数的共轭复数为
.
例2-9 (2024·新课标Ⅱ卷)已知，则 ( )
C
A.0 B.1 C. D.2
【解析】 .
释疑惑 重难拓展
知识点3 复数的模的几何意义
（1）复数的模就是复数 在复平面内对应的点
到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.
说明 复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有 ，并且
绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模.
（2）复数在复平面内对应的点为， 表示一个大于0的常数，则满足条件
的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆， 表示圆的内部，
表示圆的外部.（【教材深挖】此处是对教材第30页【例2】的挖掘）
典例详解
3-10.［教材改编P30例2］复数在复平面内对应的点为 ，
若，则满足条件的点 的集合是( )
D
A.直线 B.线段
C.圆 D.单位圆以及圆内的部分
【解析】，， 满足条件的点 的集合是以原点为圆心，1为
半径的圆及其内部.
题型解析
03
题型1 复数的分类
例11 ［教材改编P28练习B T2］(2025·山东省实验中学月考)已知 ,复数
,当 为何值时，
（1） 为实数？
【解析】要使为实数,需满足且 ,（【警示】此处易忽
略分母导致错误）解得 .
. .
（2） 为虚数？
【解析】要使为虚数,需满足且,解得且 .
（3） 为纯虚数？
【解析】要使为纯虚数,需满足,且,解得 或
.
. .
例12 已知复数,且，则实数 的值
为____.
思路点拨 由虚数无法比较大小可判断出这个复数是一个实数，因此它的虚部
,再根据，即可确定 的值.
【解析】,,（只有实数能比大小）,解得 或
.易知时，，不合题意，舍去；时， ，
符合题意.故 .
. .
求解复数的分类问题的关键
（1）复数为虚数的充要条件是 .
（2）复数为实数的充要条件是 .
（3）复数为纯虚数的充要条件是且 .
依据复数的类型求参数时要先确定参数的取值使代数式有意义，再结合实部与虚部
的取值求解.
【变式题】
1.(2025·重庆市调研)“”是“复数 为纯虚数”的
( )
A
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】若,则复数是纯虚数.若复数 是纯虚数,则
且,所以.因此“ ”是“复数
为纯虚数”的充要条件.
题型2 复数相等
例13（1）［教材改编P28练习A T4］设为虚数单位，若，， ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】根据两复数相等的充要条件（两复数的实、虚部分别相等）得 ，
，则 ．
. .
（2）(2025·湖南省长沙市望城区第一中学期末)若,则实数,
的值分别为______.
【解析】由两复数相等的充要条件（两复数的实、虚部分别相等）得
解得
,
. .
例14 已知复数, ,若
,求证:- .
思路点拨
先求出的共轭复数 ,再利用复数相等的充要条件求解即可.
【解析】,,由 ,得
则 .
从而有 .
, .（求关于 的二次函数的值域时，要注意
的范围限制）
当时， 取得最小值;当时， 取得最大值7.
.
. .
解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部
相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解.
【变式题】
2.已知关于，的方程组有实数解，求实数，
的值.
【答案】由可得解得
由可得
解得
题型3 复数的几何意义
1 复数与复平面内的点的一一对应
例15 ［教材改编P32习题10-1B T2］实数 取什么值时，复平面内表示复数
的点满足下列条件.
（1）位于第二象限；
【解析】由点位于第二象限得 （第二象限内的点的横坐标小于0，
纵坐标大于0）
解得 .
故满足条件的实数的取值范围为 .
. .
（2）位于直线 上.
【解析】由点位于直线上得,（直线 上的点的
横坐标等于纵坐标）解得 .
故满足条件的实数 的值为1.
【解析】根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数
的点为 .
. .
例16（1）在复平面内，复数 对应的点位于( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为是第三象限的角，则， ，所以复数
对应的点位于第二象限.
（2）已知为虚数单位，为实数，复数 在复平面内对应的点为
，则“”是“点 在第四象限”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当时，,，所以点在第四象限;若点 在第四
象限，则解得.所以“”是“点 在第四象限”的充要条件.
（3）在复平面内，复数，对应的点分别是，，则线段的中点 对
应的复数为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，所以复数，对应的点分别为 ，
．所以线段的中点的坐标为，则线段的中点对应的复数为 .
复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复数都
对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就
可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
【变式题】
3.复数且 在复平面内对应的点位于( )
B
A.第一或第二象限 B.第一或第三象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
【解析】易知复数在复平面内对应的点为.因为且 ，所以
当时,,点在第一象限；当时，，点 在第三象限.故复
数且 在复平面内对应的点位于第一或第三象限.
2 复数与平面向量的一一对应
例17（1）已知,,,,为复平面的原点，试写出 ，
，， 所表示的复数；
【解析】表示的复数为；（【易错点】切勿写成 ）
表示的复数为 ；
表示的复数为 ；
表示的复数为 .
. .
（2）已知复数1,,, ,在复平面内画出这些复数对应的向量；
【解析】复数1对应的向量为，其中 ；
复数对应的向量为，其中 ；
复数对应的向量为，其中 ；
复数对应的向量为，其中 .
如图10.1-7所示.
图10.1-7
（3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，， 对应的复数分别是
,,,求点 对应的复数.
【解析】记为复平面的原点，由题意得，， .
设,则, .
由题知，，所以即
故点对应的复数为 .
例18 在复平面内，向量对应的复数为,将向量 向右平移1个单位长度后，
再向上平移2个单位长度，得到向量，则向量 对应的复数是______.
【解析】向量平移时向量的坐标表示不变，则向量对应的复数也不变，所以向量
对应的复数是 .
1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点
对应的复数即向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点
的有向线段即表示复数对应的向量.
2.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应，
实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
【变式题】
图10.1-8
4.如图10.1-8，在平行四边形中，顶点，， 对应的复数
分别为0，，，则点 对应的复数为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由已知，得, ,则
点 对应的复数为
.
题型4 复数的模的计算
例19 已知复数，，若，在复平面内对应的点分别为 ，
，线段的中点对应的复数为，则 ( )
A
A. B.5 C. D.3
【解析】由题意得，，则线段的中点的坐标为 ，其对应
的复数，则 .故选A.
例20 已知复数,则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意得， ,
所以 ,
因为 ,
所以 .
求复数的模，首先应将复数化为标准的代数形式 ，得到实部与虚
部，再利用模的公式 求解.注意两个复数不全是实数不能比较大小，但
它们的模表示实数，可以比较大小．
【变式题】
5.［教材改编P31练习B T4］复数,,试比较与
的大小.
【答案】因为
,
,
且,所以 .
题型5 共轭复数
例21 已知复数对应的点在第二象限，它的模是3，实部是，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】设，则 .
由，得,即，解得 复数 对应的点在第二象限，
.
, .
名师点评 本题考查复数的运算、复数的几何意义、共轭复数的概念，属于复数中的
综合题.此类题的解题方法是设复数,根据题目条件列出关于, 的
方程组（不等式组），化简求解,即可确定复数，进而确定 .
【变式题】
6.［教材改编P51 B组T2］已知,求复数 .
【答案】 设，则, .
因为,所以 .根据复数相等的充要条件
得，
解得所以 .
因为，复数的实部为，（把 看作一个整体）虚部为5，
所以, ，
即，得 ，
所以 .
. .
题型6 复数在复平面内对应的点的集合表示的图形
例22 ［教材改编P31 T5］当复数满足下列条件时，复数在复平面内的对应点 组
成的集合是什么图形？
（1） ;
【解析】，为原点 ，
满足的点 组成的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆.
（2） .
【解析】不等式可化为不等式组
满足不等式的点 组成的集合为以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，满
足不等式的点 组成的集合为以原点为圆心，以3为半径的圆的内部，
图10.1-9
满足的点 组成的集合是以原点为圆心，分别以2和3
为半径的两个圆所夹的圆环，但不包含圆环的边界，如图10.1-9.
思路点拨表示点到原点的距离，可根据满足的条件判断点 组成的集合表示
的图形.
例23 已知复数满足，则复数 在复平面内对应的点的轨迹是
( )
B
A.一个圆 B.两个圆 C.两个点 D.线段
【解析】因为复数满足 ，
即 ，
所以或 ，
它表示以原点为圆心，半径为2和1的圆．
名师点评 求复数在复平面内对应的点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简
得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形
的形状.
【变式题】
7.若复数满足，则复数 在复平面上对应的点构成的图形的面积
为_____.
【解析】由，解得，则满足的复数 在复平
面上对应的点构成的图形是以原点为圆心，分别以2和4为半径的圆所夹的圆环，其
面积为 .
新考法 数学文化
例24 新情境 欧拉公式 (2025·重庆市第一中学校入学考试) 欧拉公式
为虚数单位 是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定
义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它被誉为“数学中的天桥”.根据
欧拉公式可知, 表示的复数对应的点在复平面中位于( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ,
因为 是第二象限的角，
所以， ，
所以 表示的复数对应的点位于第二象限.
知识测评
04
建设时间：20 分钟
1.(2025·江西师范大学附属中学期末)在复平面内，复数 是纯
虚数，则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】 复数是纯虚数，且， .
2.若复数，则 ( )
C
A. B.2 C. D.5
【解析】，， .
3.在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则 的值为
( )
A
A.0或2 B.0 C.2 D.1或2
【解析】 复数 对应的点在虚轴上，
，或 .
4.新定义 等部复数 ［多选题］(2025·四川省绵阳市三台中学模拟)如果一个复数的
实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数（， 为虚数单
位）为“等部复数”，则下列说法正确的是( )
AC
A. B.
C. D.复数 是纯虚数
【解析】 复数（， 为虚数单位）为“等部复数”，
，故A正确；
由得，， ，故B错误；
， ，故C正确；
， 复数，是实数，故D错误．故选 .
5.符合方程（其中）的实数___， ___.
1
2
【解析】由解得或或或因为 ，所
以
6.［教材改编P51 A组 T3］已知复数 .
（1）若，求 ;
【答案】由 知，，故．当时，, ；
当时，,．故 的值为0或6.
（2）若在复平面内复数对应的点在第一象限，求 的范围.
【答案】由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即 即
所以 ．
高考模拟
05
建设时间：25 分钟
7.满足的复数 在复平面内对应的点的轨迹是( )
A
A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆
【解析】由原方程可得.因为，故,即 .
根据复数的模的几何意义，可知复数在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆心，
3为半径的圆.
8.已知复数满足，则 的实部( )
B
A.不小于0 B.不大于0 C.大于0 D.小于0
【解析】设,,,
解得故 的实部不大于0.
9.(2025·陕西省咸阳市开学考试)在复平面内，复数， ，
对应的向量分别为,,（ 为原点），且
，则实数 ( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】由题意知,,,, ，
, ,
解得
10.［多选题］(2025·辽宁省抚顺市期末)已知复数
，则下列说法正确的是( )
BCD
A.复数 的模的最大值为2
B.若，是纯虚数，则
C. 时，复数对应的点在第一象限
D.复数 的模为定值
【解析】对于A，D，
，故 ，A错
误，D正确；
对于B，且，即，又，故 ，
B正确；
对于C，当时， ，
故且，复数对应的点在第一象限，C正确.故选 .
11.新考法 数学文化 [多选题]18世纪末期，测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的
点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数 的模
的几何意义为复数对应的点到原点 的距离．下列说法正确的是( )
BCD
A.若，则或
B.复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
C.若点的坐标为，则 在复平面内对应的点在第三象限
D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为
【解析】令（举反例），满足 ，故A错误；
复数与分别对应向量与 ，
则, ,
,向量对应的复数为 ，故B正确；
点的坐标为 ，
在复平面内对应的点 在第三象限，故C正确；
. .
设，， ，
复数满足 ，
，
复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 ，故D正
确．故选 ．
12.新考法 结构不良 (2025·辽宁省大连市期中)在， 的实部与虚部互为相
反数， 为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知复数 ．
（1）若____，求实数 的值；
【答案】若选①：
，则解得 .
若选②：
的实部与虚部互为相反数，则 ，
解得或 .
若选③：
为纯虚数，则解得 .
（2）若为整数，且，求 在复平面内对应点的坐标．
【答案】因为 ，
所以 ，
即 .
因为为整数，所以为平方数， 为奇数，
又或 ，
所以或解得 .
所以，所以在复平面内对应点的坐标为 .
13.设全集，，，, },若
,则复数 在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？
【答案】,, .
由得 ,
即,, }.
, },
, }.
等价于,且 ,
即 .
由复数的模的几何意义知，复数 在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心，
1为半径的圆.
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册