10.2 复数的运算 课件(共117张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 10.2 复数的运算 课件(共117张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共117张PPT)
10.2 复数的运算
第十章 复数
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 复数的加法
1 复数的加法
一般地，设,，称为与 的和，并规
定 （两个复数相加，即实部与实
部相加，虚部与虚部相加）.
. .
知识剖析
对复数的加法的理解
（1）两个复数的和仍然是复数,但两个虚数的和不一定是虚数，如 .
（2）复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，
虚部分别相加.
（3）两个共轭复数的和一定是实数,, ,
.
2 复数的加法满足的运算律
对任意,, ，有
（1）交换律： ；
（2）结合律： .
3 复数加法的几何意义
如果复数,所对应的向量分别为与,则当与不共线时，以
和为两条邻边作平行四边形，则所对应的向量就是 ，如图10.2-
1所示.
图10.2-1
由复数加法的几何意义可以得出
.
典例详解
例1-1 ［教材改编P35 T3］计算：
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-2 已知是虚数单位，则复数 的虚部是( )
C
A.1 B. C. D.
【解析】 .
故复数的虚部为 ．
例1-3 ［教材改编P36练习B T4］在复平面内，设及分别与复数 及
复数对应，计算，并在复平面内作出 对应的向量
.
图10.2-3
【解析】 .
在复平面内作出对应的向量 ,如图10.2-3所示.
知识点2 复数的减法
1 复数相反数
一般地，复数的相反数记作 ,并规定
（在复平面内，互为相反数的两个复数对应的点关于原点
对称）.
. .
2 复数的减法
复数减去的差记作，并规定 （同实数，减去一
个数可以看成加上这个数的相反数）.
一般地，如果, ，则
（两个复数相减，即实部与实部相
减，虚部与虚部相减）.
. .
. .
知识剖析
对复数的减法的理解
（1）两个复数的差仍然是复数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如
.
（2）同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，
.
（3）复数之间可以进行有限个复数的加减运算，也可以进行加、减法的混合运
算.把复数的代数形式看成关于“ ”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、
减法，只需要“合并同类项”就可以了.
3 复数减法的几何意义
如果复数,所对应的向量分别为与,设点满足,则 所
对应的向量就是 ,如图10.2-2所示.
图10.2-2
由复数减法的几何意义可以得出
.
典例详解
例2-4 ［教材改编P35 T2］已知复数，，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ．
例2-5 非零复数,分别对应复平面内的向量，，若 ,则
( )
C
A. B. C. D., 共线
【解析】如图10.2-4，由向量的加法及减法法则可知， ,
.
图10.2-4
由复数加法及减法的几何意义可知，对应的模，对应 的模.
又，所以四边形是矩形，则 .
知识点3 复数的乘法
1 复数的乘法
一般地，设,,称或为与 的积，
并规定 .
这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利
用 即可.显然,两个复数的积仍然是复数.
2 复数乘法的运算律
对任意复数,, ，有
（1）交换律： ；
（2）结合律： ；
（3）分配律： .
3 复数的乘方
个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或次幂），并记作 ，即
.
当,均为正整数时，,, .
特别提醒（1）以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是
成立的，即, .
（2）以前所学的等式性质仍然成立.例如，等式两边同时乘上一个复数，等式
仍成立，即当时，必定有 .#1.2.1
. .
（3）实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，
如：①当时，有；当时，有,而，故和 不能简
单进行比较.例如，当时，,，此时2和不能进行比较.②当 ,
时，有;当,时, ，
但 .
需注意:的充要条件是或 .
#1.3
. .
. .
. .
典例详解
例3-6 (全国Ⅲ卷) ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
例3-7 复数的实部与虚部相等，则实数 ( )
B
A. B.0 C.1 D.2
【解析】 ,且该复数的实部与虚部相等,
，解得 ．
例3-8 复数，，则 ( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 ,
则．（事实上，若,，则 ）
例3-9 ［教材改编P42习题10-2B T1（2）］复数满足，则 的实部
为( )
D
A.0 B.1 C. D.
【解析】由, ，可得
，故的实部为 ．
. .
知识点4 复数的除法
1 两个复数相除的定义
如果复数，则满足的复数称为除以的商，并记作
或,而且同以前一样，称为被除数， 称为除数.
利用复数除法的定义可以证明，当 为非零复数时，
有, .
2 分母实数化
已知,且,不同时为0 ,
则（将分母变成一个实数） .
这种方法通常称为“分母实数化”.
一般地，给定复数，称为的倒数.除以的商也可以看成与 的倒
数之积.显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个
复数的商（除数不能为0）.
. .
. .
3 复数的除法
.
4 复数的0次幂与负整数次幂
当为非零复数，且为正整数时，规定, .
知识剖析 （1）复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约
分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简.
（2）分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与根式除法运
算时对分母进行“有理化”的处理是类似的.
典例详解
例4-10 (新高考全国Ⅰ卷) ( )
D
A.1 B. C. D.
【解析】 .
例4-11 (2025·广东省佛山市月考)复数为虚数单位 在复平面内对应的点所在
的象限为( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ,
复数在复平面内对应的点的坐标是 ，
故该点在第一象限.
例4-12 若复数，为虚数单位是纯虚数，则实数 的值为( )
A
A. B. C.4 D.6
【解析】因为 为纯虚数，
所以
解得 ．
知识点5 实系数一元二次方程在复数范围内的解集
当,,都是实数且时，关于的方程 称为实系数一元二次
方程,此方程在复数范围内总是有解的,而且
（1）当时,方程有两个不相等的实数根， ,
;
（2）当时,方程有两个相等的实数根， ;
（3）当时,方程有两个互为共轭的虚数根， ,
.
特别提醒（1）当实数时，方程在复数范围内的解集为{, }.
（2）如果,为实系数一元二次方程 的解，那么
典例详解
例5-13 方程 的解集为_ _______________.
{,}
【解析】 ,
.
方程的解集为{, }.
例5-14 ［教材改编P39例4］在复数范围内求一元二次方程 的解集.
【解析】 ,
,
方程的解集为{, }.
释疑惑 重难拓展
知识点6 的几何意义
1 的几何意义
设复数, 在复平面内对应的点分别是
, ,
则,又复数 ,则
.
故，即表示复数, 在复平面内对应的点之间的距离.
2 拓展
教材深挖 POINT
该知识点是针对教材第 35页【探索与研究】的深挖常见于各类数学竞赛及自主招生，
学有余力的同学可着重掌握
（1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的
点为圆心， 为半径的圆.
（2）表示复数
在复平面内对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段的垂
直平分线.
（3）,当时，表示复数 在复平面内
对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段.
（4）,当时，表示复数 在复平面内
对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点,为端点的两条射线（以 为端
点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向相同）.
典例详解
例6-15 满足的复数 在复平面内对应的点的集合表示的图形是
( )
C
A.射线 B.直线 C.线段 D.圆
【解析】表示复数在复平面内对应的点到两定点 与
的距离之和为常数.因为点与间的距离为，所以点 的集合表
示的图形是以两定点与 为端点的线段.
例6-16 在复平面内，的三个顶点所对应的复数分别为,,，复数 满足
，则复数对应的点是 的( )
A
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】设复数与复平面内的点对应.由的三个顶点所对应的复数分别为 ,
,，且可知，点到 的三个顶点的距离相等.由三
角形外心（【知识回顾】三条垂直平分线的交点）的定义可知，点即为 的外心.
. .
. .
题型解析
03
题型1 复数的加、减运算
例17（1）计算: .
【解析】
.
（2）设,，,,且,求 .
【解析】,, ,
,（复数相等）
解得
.
. .
解决复数加、减运算的思路
两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.两个复
数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加（减）时，可将这些
复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）.
【变式题】
1.若复数满足，则 ( )
D
A. B.7 C. D.5
【解析】由,得 ，则
解得则 .
题型2 复数加、减法的几何意义的应用
例18 ［教材改编P42习题10-2A T7］已知复数满足，求复数 的模
的最大值及最小值.
【解析】利用 ,
可得 .
, ,
,
即, .
例19 (2025·山东省青岛市月考)设,,已知, ,求
.
【解析】 在复平面内分别作出复数,对应的向量, ，
, ,
,不共线.（若,共线，则 或0）
以，为邻边作平行四边形（图略）,则由 可知四边形
为菱形.
又, ,
即四边形为正方形，故 .
. .
,（复数模的性质，见题型4）即
,
, .
设, ,
由题设知, ,
,
又, .
，
.
. .
【变式题】
2.［多选题］非零复数,分别对应复平面内的向量， ，且
,线段的中点对应的复数为 ,则( )
AD
A. B.
C. D.
图D 10.2-1
【解析】如图D 10.2-1，由向量的加法及减法法则可知，
, .
由复数加法及减法的几何意义可知，对应 的模，
对应 的模.
又，所以四边形是矩形，则 .
又因为线段的中点对应的复数为,所以 ,所以
.
题型3 复数的综合运算
1 复数的乘、除运算
例20 ［教材改编P41练习A T1］计算：
（1） ;
【解析】原式
.
（2） .
【解析】原式 （先写成分式形式，再进行分母实数化）
.
. .
例21 已知复数,则 ( )
B
A. B. C.2 D.
【解析】 ,
.
又 ,
.
,
.
解决复数的乘、除运算问题的思路
1.复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成 ，并将实部、
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复 数，常用公式有
; ,
.
2.复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母
实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
【变式题】
3.［多选题］已知复数，其中 是虚数单位，则下列结论正确的是
( )
AB
A. B.的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
【解析】 ,
，A正确;
,的虚部为 ,B正确；
,C错误;
,
在复平面内对应的点在第三象限，D错误.故选 .
2 基于方程思想下的运算
例22（1）(2025·广东省深圳市高级中学模拟)已知复数满足,则 的模为
( )
D
A.1 B.2 C.5 D.
【解析】由题意可知，,,模为 .
（2）(2025·黑龙江省哈尔滨市第三中学校期中)已知 为虚数单位），
则复数 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意得 ,
则 .
（3）(2024·北京)若复数满足,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意得， .
名师点评
复数常见运算小结论
;
;
;
.
说明：结论的变形式可简单了解，不必记忆.
【变式题】
4.(2025·江苏省南通市期中)已知是虚数单位，若，则 的
值是( )
B
A. B. C. D.1
【解析】 ，
，， ．
3 i的乘方的应用
教材深挖
对进行运算可以发现，，， ，
，， ，由此我们可以得出如下规律： ，
，， .知道了这个规律，对我们后面解题有很大
的益处，同时这也是对教材第41页练习A第2题的深挖.
例23（1）(2025·广东省广州市期中)已知为虚数单位，复数 的虚部为
( )
C
A. B. C. D.1
【解析】,则的虚部为 .
（2）若复数满足，为虚数单位，则 ( )
C
A. B.1 C. D.
【解析】由题意知，，则 ．
【变式题】
5.(2023·全国乙卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】，所以 .
题型4 复数模的性质的应用
1 求复数的模
例24 (全国Ⅰ卷)若,则 ( )
D
A.0 B.1 C. D.2
【解析】 ，
．
， .
母题 致经典·母题探究
例25 设复数满足，求 的最大值与最小值.
【解析】,（【明易错】与 是不一样的，一个结果为复数，一
个结果为实数）
1（1的代换）
设,则 .
，, ,
的最大值为3，最小值为0.
. .
. .
子题
已知复数满足，则 __.
思路一
思路二
【解析】 因为复数只需满足，所以不是唯一的，令 ，将其代
入所求式，
即 .
由得 ，
所以 ，
因为与为共轭复数，所以 ，
故 .
名师点评
复数模的性质
设, ,则有：
;
;
; ;
; .
2 解含复数模的方程
例26 ［教材改编P51 B组 T2（1）］ 已知复数满足，求 .
【解析】 由条件得 ，
故的虚部为，于是设（ （不可省略）），
代入等式得 ，
即 ，
则 ，
解得或 ，
故或 .
当时， ;
当时， .
. .
由条件得 ，
则 ，
解得或 .
当时，, ;
当时，， .
解决与复数模有关的问题的基本策略
1.利用复数的模的性质，简化运算；
2.利用复数相等、复数的四则运算构建方程，求解复数，即得复数的模.
【变式题】
6.(全国Ⅰ卷)设,则 ( )
C
A.2 B. C. D.1
【解析】 ，故 .
.
7.若复数满足，求 .
【答案】（可看作实部），则 ，
化简得，解得 .
所以 .
（【另解】直接设 ,代入计算即可）
. .
题型5 共轭复数问题
例27 ［多选题］(2025·山东省济南市月考)设, 是复数，则下列命题中的真命题是
( )
ABC
A.若，则 B.若，则
C.若,则 D.若，则
【解析】对于A，由,得 ,
所以 ，所以A是真命题；
对于B,若,则和互为共轭复数，所以 ,所以B是真命题;
对于C,设,,若,则 ,
,,所以 ，所以C是真命题;
对于D,若,,则,但, ，所以D是假命题.
例28 ［教材改编P51 B组 T3］已知,为的共轭复数,若 ,
求 .
思路一
思路二
【解析】 设 ,
则 ,
由题意得,即 ,
则有
解得或
所以或 .
原方程可化为 .
因为 ,
所以（利用性质“ ”）,
所以,即 .
令，代入 ,
可解得 .
把代入原方程,可得或,所以或 .
. .
共轭复数问题的求解技巧
1.若复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出 ，再进行复数的四则
运算.
2.已知关于和的方程，而复数的代数形式未知，求 .解此类题的常规思路为：设
,则 ，代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为
方程（组）求解.
关于共轭复数的几个常用结论
（1）若，则 .利用此结论，在复数集
中可以将分解为 .
;对于非零复数，是纯虚数 .
（3）若,则 （【教材链接】此处回答了教材第36页
【练习A】第5题） , .
, .
.
.
. .
【变式题】
8.(2025·河北省秦皇岛市开学考试)若复数满足为虚数单位 ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】设, 复数满足 ,
,
,,, .
题型6 复数范围内的解方程问题
1 实系数一元二次方程
例29 ［教材改编P52 T11］已知是方程 的一个
根，则 ___.
4
思路一
思路二
【解析】 把代入方程 ，得
，
解得 .
由一个根是，可知另一个根是 ，则
.
2 复系数一元二次方程
例30 已知关于的方程有实数根，求实数 的值.
思路点拨 设出方程的实数根，代入方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求解.
【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得 .
由复数相等的充要条件得
解得或
所以实数的值为或 .
名师点评 求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以
,解得或 .需注意不能用判别式判断复
系数一元二次方程有无实数根.
复数范围内解方程问题的一般思路
复数范围内解方程的一般思路是依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等
的充要条件求解.对于实系数一元二次方程，也可以利用求根公式求解.此外，根与系
数的关系也是成立的.注意求复系数一元二次方程中参数的取值时，不能盲目利用判
别式求解.
【变式题】
9.(2025·福建省福州市月考)已知,,是关于的方程 的一个
根，其中为虚数单位，则 ( )
A
A. B.0 C.2 D.4
【解析】 因为是关于的方程 的一个根，所以
,即 .
根据复数相等的充要条件得且，所以,,所以 .
方程是系数为实数的一元二次方程，且是关于 的方程
的一个根，则另一个根为 （实系数一元二次方程的“虚根”总是
成对出现，且两根互为共轭复数）.
由根与系数的关系得,,,所以 ，
所以 .
. .
高考考向分析
04
考情揭秘
高考比较注重对复数四则运算的考查，主要通过运算来体现对复数的相关概念及几
何意义的考查，在平时的学习过程中，多进行总结，在进行除法运算时容易出现计
算错误，应引起重视.试题考查较为基础，以选择题、填空题为主，难度较小.
核心素养：数学运算（复数的四则运算、模的求解等），逻辑推理（复数相等、共
轭复数的性质等）.
考向1 复数运算
例31（1）(2025·全国一卷) 的虚部为( )
C
A. B.0 C.1 D.6
【解析】 ，其虚部为1.
（2）(2025·全国二卷)已知，则 ( )
A
A. B. C. D.1
【解析】 .
（3）(2024·新课标Ⅰ卷)若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 （解方程法） 因为，所以 ，即
，即，所以 .
（取倒数法） 因为，所以 ，即
，即，所以 .
考向2 复数运算与复数相等结合
例32 (2022·全国乙卷)设,其中， 为实数，则( )
A
A., B., C., D.,
【解析】 由题意知，所以解得
由题意知，所以解得
命题探源 复数运算与复数相等结合考查是高考中的常见题型，主要侧重考查 复数相等条件的应用. 素养探源 素养 考查途径
数学运算 通过复数相等条件列方程组求解.
变式探源 (全国乙卷)设，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】设，则,代入 ，可
得,所以，，故 .
考向3 复数运算与共轭复数结合
例33（1）(2024·全国甲卷)若,则 ( )
A
A. B. C.10 D.2
【解析】因为，所以，所以 .
（2）(2023·新课标Ⅰ卷)已知，则 ( )
A
A. B. C.0 D.1
【解析】因为，所以，所以 .
命题探源 复数运算与共轭复数结合侧重考查对共轭复数的理解. 素养探源 素养 考查途径
数学运算 通过共轭复数对复数进行运算求解.
变式探源 (2022·新高考全国Ⅰ卷)若,则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】因为，所以，所以 ，所以
．
考向4 复数运算与复数的模结合
例34（1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____.
【解析】 .
（2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( )
B
A. B. C.4 D.8
【解析】 由可得， ，
所以 .
，则 ，根据复数模的性质，得
.
（3）(2023·全国乙卷) ( )
C
A.1 B.2 C. D.5
【解析】 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·河北省秦皇岛市实验中学期末)若复数满足
（其中是虚数单位），复数的共轭复数为 ，则( )
ABD
A. B. 的实部是2
C.的虚部是1 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限
【解析】由,得 ,
所以 ，故A正确；
的实部为2，故B正确；
的虚部是 ，故C错误；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．故选 .
2.［多选题］(2025·江苏省南通市天星湖中学月考)若复数 为虚数单位
，则下列结论正确的是( )
ABC
A. B.的虚部为 C.为纯虚数 D.
【解析】 .
对于A， ，A正确；
对于B，由虚部定义知，的虚部为 ，B正确；
对于C， 为纯虚数，C正确；
对于D，由共轭复数定义知，，D错误．故选 ．
3.［多选题］(2025·湖南省长沙市雅礼集团八校联考)已知复数, ,则
( )
AB
A. B.若，则 的最大值为3
C. D. 是纯虚数
【解析】对于A， 复数,, ,
，又， ，A正确；
对于B，设,， ，则
，即 ，即
， ，
即 的最大值为3，B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，,不是纯虚数，D错误．故选 ．
知识测评
05
建设时间：15分钟
1.已知复数，，是虚数单位，则复数 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】，， .
2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对
应的点为 ，位于第一象限.
3.设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则 ( )
D
A.4 B.2 C. D.
【解析】 ，
的虚部是2，，即 .
4.［多选题］(2025·陕西省榆林市期末)对于两个复数, ，下
列结论正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 ，A正确；
，B正确；
，即 ，C错误；
，D正确.
故选.
5.已知复数（是虚数单位），则的虚部为____， ____．
【解析】，所以实部为，虚部为 ．所以
.
6.计算：
（1） ;
【答案】
.
（2） .
【答案】原式 .
高考模拟
06
建设时间：25分钟
7.(2022·全国甲卷)若,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ，
所以 .
8.若,则复数 在复平面内对应的点( )
B
A.在实轴上 B.在虚轴上 C.在第一象限 D.在第二象限
【解析】由知，复数在复平面内对应的点的集合是以点 ，
为端点的线段的垂直平分线，故对应点在虚轴上.
9.(2025·甘肃省兰州市月考)若复数满足，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 复数满足, 在复平面内，复数对应的点 的轨迹为以原点
为圆心,2为半径的圆，则表示复平面内点与点 之间的
距离.
点到原点的距离为2， 点在点的轨迹上， 的
最小值是0，最大值是4.故所求取值范围是 .
10.［多选题］(2025·江苏省无锡市期中)设复数的共轭复数为， 为虚数单位，则下
列命题正确的是( )
AB
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【解析】对于A，，， ，故A正确;
对于B，，的虚部为0， ，故B正确;
对于C，令，，满足，但 ，故C错误;
对于D，若，则，故D错误．故选 ．
11.［多选题］已知集合，，其中 为虚数单位，则下列元素属
于集合 的是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】根据题意,在, }中,
当时, ;
当时, ;
当时, ;
当时, .
所以,1,, }.
选项A中, ;
选项B中, ;
选项C中, ;
选项D中,.故选 .
12.已知复数, 在复平面
内分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则
____.
【解析】因为,所以 对应的复数为
.因为
向量对应的复数为纯虚数，所以即 所以
.
13.新考法 结构不良 (2025·江苏省无锡市期中)在①复平面上表示复数 的点在直线
上；； 这三个条件中任选一个，补充在下
面问题中的横线上，并解答：
已知复数（，为虚数单位），满足____．若 是实系数一元二次方程
的根，求实数 的值．
【答案】若选条件①，
复平面上表示复数的点在直线 上，
，即 ，
故是实系数一元二次方程 的根，
即，即 ，
故且，解得 .
若选条件②，
，， ，
， .
故是实系数一元二次方程 的根，
即，即 ，
故且，解得 .
若选条件③，
， ，
且，故 ，
故是实系数一元二次方程 的根，
即，即 ，
故且，解得 .
14.设 为复数，为虚数单位，关于的一元二次方程 有实数根，则
的取值范围是_________.
,
【解析】设,则
，（存在实数使得该复数等于0）所以 即
所以,则（当且仅当 时取等号）.
. .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册
10.2 复数的运算
第十章 复数
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 复数的加法
1 复数的加法
一般地，设,，称为与 的和，并规
定 （两个复数相加，即实部与实
部相加，虚部与虚部相加）.
. .
知识剖析
对复数的加法的理解
（1）两个复数的和仍然是复数,但两个虚数的和不一定是虚数，如 .
（2）复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，
虚部分别相加.
（3）两个共轭复数的和一定是实数,, ,
.
2 复数的加法满足的运算律
对任意,, ，有
（1）交换律： ；
（2）结合律： .
3 复数加法的几何意义
如果复数,所对应的向量分别为与,则当与不共线时，以
和为两条邻边作平行四边形，则所对应的向量就是 ，如图10.2-
1所示.
图10.2-1
由复数加法的几何意义可以得出
.
典例详解
例1-1 ［教材改编P35 T3］计算：
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-2 已知是虚数单位，则复数 的虚部是( )
C
A.1 B. C. D.
【解析】 .
故复数的虚部为 ．
例1-3 ［教材改编P36练习B T4］在复平面内，设及分别与复数 及
复数对应，计算，并在复平面内作出 对应的向量
.
图10.2-3
【解析】 .
在复平面内作出对应的向量 ,如图10.2-3所示.
知识点2 复数的减法
1 复数相反数
一般地，复数的相反数记作 ,并规定
（在复平面内，互为相反数的两个复数对应的点关于原点
对称）.
. .
2 复数的减法
复数减去的差记作，并规定 （同实数，减去一
个数可以看成加上这个数的相反数）.
一般地，如果, ，则
（两个复数相减，即实部与实部相
减，虚部与虚部相减）.
. .
. .
知识剖析
对复数的减法的理解
（1）两个复数的差仍然是复数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如
.
（2）同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，
.
（3）复数之间可以进行有限个复数的加减运算，也可以进行加、减法的混合运
算.把复数的代数形式看成关于“ ”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、
减法，只需要“合并同类项”就可以了.
3 复数减法的几何意义
如果复数,所对应的向量分别为与,设点满足,则 所
对应的向量就是 ,如图10.2-2所示.
图10.2-2
由复数减法的几何意义可以得出
.
典例详解
例2-4 ［教材改编P35 T2］已知复数，，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ．
例2-5 非零复数,分别对应复平面内的向量，，若 ,则
( )
C
A. B. C. D., 共线
【解析】如图10.2-4，由向量的加法及减法法则可知， ,
.
图10.2-4
由复数加法及减法的几何意义可知，对应的模，对应 的模.
又，所以四边形是矩形，则 .
知识点3 复数的乘法
1 复数的乘法
一般地，设,,称或为与 的积，
并规定 .
这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利
用 即可.显然,两个复数的积仍然是复数.
2 复数乘法的运算律
对任意复数,, ，有
（1）交换律： ；
（2）结合律： ；
（3）分配律： .
3 复数的乘方
个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或次幂），并记作 ，即
.
当,均为正整数时，,, .
特别提醒（1）以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是
成立的，即, .
（2）以前所学的等式性质仍然成立.例如，等式两边同时乘上一个复数，等式
仍成立，即当时，必定有 .#1.2.1
. .
（3）实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，
如：①当时，有；当时，有,而，故和 不能简
单进行比较.例如，当时，,，此时2和不能进行比较.②当 ,
时，有;当,时, ，
但 .
需注意:的充要条件是或 .
#1.3
. .
. .
. .
典例详解
例3-6 (全国Ⅲ卷) ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
例3-7 复数的实部与虚部相等，则实数 ( )
B
A. B.0 C.1 D.2
【解析】 ,且该复数的实部与虚部相等,
，解得 ．
例3-8 复数，，则 ( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 ,
则．（事实上，若,，则 ）
例3-9 ［教材改编P42习题10-2B T1（2）］复数满足，则 的实部
为( )
D
A.0 B.1 C. D.
【解析】由, ，可得
，故的实部为 ．
. .
知识点4 复数的除法
1 两个复数相除的定义
如果复数，则满足的复数称为除以的商，并记作
或,而且同以前一样，称为被除数， 称为除数.
利用复数除法的定义可以证明，当 为非零复数时，
有, .
2 分母实数化
已知,且,不同时为0 ,
则（将分母变成一个实数） .
这种方法通常称为“分母实数化”.
一般地，给定复数，称为的倒数.除以的商也可以看成与 的倒
数之积.显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个
复数的商（除数不能为0）.
. .
. .
3 复数的除法
.
4 复数的0次幂与负整数次幂
当为非零复数，且为正整数时，规定, .
知识剖析 （1）复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约
分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简.
（2）分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与根式除法运
算时对分母进行“有理化”的处理是类似的.
典例详解
例4-10 (新高考全国Ⅰ卷) ( )
D
A.1 B. C. D.
【解析】 .
例4-11 (2025·广东省佛山市月考)复数为虚数单位 在复平面内对应的点所在
的象限为( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ,
复数在复平面内对应的点的坐标是 ，
故该点在第一象限.
例4-12 若复数，为虚数单位是纯虚数，则实数 的值为( )
A
A. B. C.4 D.6
【解析】因为 为纯虚数，
所以
解得 ．
知识点5 实系数一元二次方程在复数范围内的解集
当,,都是实数且时，关于的方程 称为实系数一元二次
方程,此方程在复数范围内总是有解的,而且
（1）当时,方程有两个不相等的实数根， ,
;
（2）当时,方程有两个相等的实数根， ;
（3）当时,方程有两个互为共轭的虚数根， ,
.
特别提醒（1）当实数时，方程在复数范围内的解集为{, }.
（2）如果,为实系数一元二次方程 的解，那么
典例详解
例5-13 方程 的解集为_ _______________.
{,}
【解析】 ,
.
方程的解集为{, }.
例5-14 ［教材改编P39例4］在复数范围内求一元二次方程 的解集.
【解析】 ,
,
方程的解集为{, }.
释疑惑 重难拓展
知识点6 的几何意义
1 的几何意义
设复数, 在复平面内对应的点分别是
, ,
则,又复数 ,则
.
故，即表示复数, 在复平面内对应的点之间的距离.
2 拓展
教材深挖 POINT
该知识点是针对教材第 35页【探索与研究】的深挖常见于各类数学竞赛及自主招生，
学有余力的同学可着重掌握
（1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的
点为圆心， 为半径的圆.
（2）表示复数
在复平面内对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段的垂
直平分线.
（3）,当时，表示复数 在复平面内
对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段.
（4）,当时，表示复数 在复平面内
对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点,为端点的两条射线（以 为端
点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向相同）.
典例详解
例6-15 满足的复数 在复平面内对应的点的集合表示的图形是
( )
C
A.射线 B.直线 C.线段 D.圆
【解析】表示复数在复平面内对应的点到两定点 与
的距离之和为常数.因为点与间的距离为，所以点 的集合表
示的图形是以两定点与 为端点的线段.
例6-16 在复平面内，的三个顶点所对应的复数分别为,,，复数 满足
，则复数对应的点是 的( )
A
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】设复数与复平面内的点对应.由的三个顶点所对应的复数分别为 ,
,，且可知，点到 的三个顶点的距离相等.由三
角形外心（【知识回顾】三条垂直平分线的交点）的定义可知，点即为 的外心.
. .
. .
题型解析
03
题型1 复数的加、减运算
例17（1）计算: .
【解析】
.
（2）设,，,,且,求 .
【解析】,, ,
,（复数相等）
解得
.
. .
解决复数加、减运算的思路
两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.两个复
数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加（减）时，可将这些
复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）.
【变式题】
1.若复数满足，则 ( )
D
A. B.7 C. D.5
【解析】由,得 ，则
解得则 .
题型2 复数加、减法的几何意义的应用
例18 ［教材改编P42习题10-2A T7］已知复数满足，求复数 的模
的最大值及最小值.
【解析】利用 ,
可得 .
, ,
,
即, .
例19 (2025·山东省青岛市月考)设,,已知, ,求
.
【解析】 在复平面内分别作出复数,对应的向量, ，
, ,
,不共线.（若,共线，则 或0）
以，为邻边作平行四边形（图略）,则由 可知四边形
为菱形.
又, ,
即四边形为正方形，故 .
. .
,（复数模的性质，见题型4）即
,
, .
设, ,
由题设知, ,
,
又, .
，
.
. .
【变式题】
2.［多选题］非零复数,分别对应复平面内的向量， ，且
,线段的中点对应的复数为 ,则( )
AD
A. B.
C. D.
图D 10.2-1
【解析】如图D 10.2-1，由向量的加法及减法法则可知，
, .
由复数加法及减法的几何意义可知，对应 的模，
对应 的模.
又，所以四边形是矩形，则 .
又因为线段的中点对应的复数为,所以 ,所以
.
题型3 复数的综合运算
1 复数的乘、除运算
例20 ［教材改编P41练习A T1］计算：
（1） ;
【解析】原式
.
（2） .
【解析】原式 （先写成分式形式，再进行分母实数化）
.
. .
例21 已知复数,则 ( )
B
A. B. C.2 D.
【解析】 ,
.
又 ,
.
,
.
解决复数的乘、除运算问题的思路
1.复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成 ，并将实部、
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复 数，常用公式有
; ,
.
2.复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母
实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
【变式题】
3.［多选题］已知复数，其中 是虚数单位，则下列结论正确的是
( )
AB
A. B.的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
【解析】 ,
，A正确;
,的虚部为 ,B正确；
,C错误;
,
在复平面内对应的点在第三象限，D错误.故选 .
2 基于方程思想下的运算
例22（1）(2025·广东省深圳市高级中学模拟)已知复数满足,则 的模为
( )
D
A.1 B.2 C.5 D.
【解析】由题意可知，,,模为 .
（2）(2025·黑龙江省哈尔滨市第三中学校期中)已知 为虚数单位），
则复数 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意得 ,
则 .
（3）(2024·北京)若复数满足,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意得， .
名师点评
复数常见运算小结论
;
;
;
.
说明：结论的变形式可简单了解，不必记忆.
【变式题】
4.(2025·江苏省南通市期中)已知是虚数单位，若，则 的
值是( )
B
A. B. C. D.1
【解析】 ，
，， ．
3 i的乘方的应用
教材深挖
对进行运算可以发现，，， ，
，， ，由此我们可以得出如下规律： ，
，， .知道了这个规律，对我们后面解题有很大
的益处，同时这也是对教材第41页练习A第2题的深挖.
例23（1）(2025·广东省广州市期中)已知为虚数单位，复数 的虚部为
( )
C
A. B. C. D.1
【解析】,则的虚部为 .
（2）若复数满足，为虚数单位，则 ( )
C
A. B.1 C. D.
【解析】由题意知，，则 ．
【变式题】
5.(2023·全国乙卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】，所以 .
题型4 复数模的性质的应用
1 求复数的模
例24 (全国Ⅰ卷)若,则 ( )
D
A.0 B.1 C. D.2
【解析】 ，
．
， .
母题 致经典·母题探究
例25 设复数满足，求 的最大值与最小值.
【解析】,（【明易错】与 是不一样的，一个结果为复数，一
个结果为实数）
1（1的代换）
设,则 .
，, ,
的最大值为3，最小值为0.
. .
. .
子题
已知复数满足，则 __.
思路一
思路二
【解析】 因为复数只需满足，所以不是唯一的，令 ，将其代
入所求式，
即 .
由得 ，
所以 ，
因为与为共轭复数，所以 ，
故 .
名师点评
复数模的性质
设, ,则有：
;
;
; ;
; .
2 解含复数模的方程
例26 ［教材改编P51 B组 T2（1）］ 已知复数满足，求 .
【解析】 由条件得 ，
故的虚部为，于是设（ （不可省略）），
代入等式得 ，
即 ，
则 ，
解得或 ，
故或 .
当时， ;
当时， .
. .
由条件得 ，
则 ，
解得或 .
当时，, ;
当时，， .
解决与复数模有关的问题的基本策略
1.利用复数的模的性质，简化运算；
2.利用复数相等、复数的四则运算构建方程，求解复数，即得复数的模.
【变式题】
6.(全国Ⅰ卷)设,则 ( )
C
A.2 B. C. D.1
【解析】 ，故 .
.
7.若复数满足，求 .
【答案】（可看作实部），则 ，
化简得，解得 .
所以 .
（【另解】直接设 ,代入计算即可）
. .
题型5 共轭复数问题
例27 ［多选题］(2025·山东省济南市月考)设, 是复数，则下列命题中的真命题是
( )
ABC
A.若，则 B.若，则
C.若,则 D.若，则
【解析】对于A，由,得 ,
所以 ，所以A是真命题；
对于B,若,则和互为共轭复数，所以 ,所以B是真命题;
对于C,设,,若,则 ,
,,所以 ，所以C是真命题;
对于D,若,,则,但, ，所以D是假命题.
例28 ［教材改编P51 B组 T3］已知,为的共轭复数,若 ,
求 .
思路一
思路二
【解析】 设 ,
则 ,
由题意得,即 ,
则有
解得或
所以或 .
原方程可化为 .
因为 ,
所以（利用性质“ ”）,
所以,即 .
令，代入 ,
可解得 .
把代入原方程,可得或,所以或 .
. .
共轭复数问题的求解技巧
1.若复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出 ，再进行复数的四则
运算.
2.已知关于和的方程，而复数的代数形式未知，求 .解此类题的常规思路为：设
,则 ，代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为
方程（组）求解.
关于共轭复数的几个常用结论
（1）若，则 .利用此结论，在复数集
中可以将分解为 .
;对于非零复数，是纯虚数 .
（3）若,则 （【教材链接】此处回答了教材第36页
【练习A】第5题） , .
, .
.
.
. .
【变式题】
8.(2025·河北省秦皇岛市开学考试)若复数满足为虚数单位 ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】设, 复数满足 ,
,
,,, .
题型6 复数范围内的解方程问题
1 实系数一元二次方程
例29 ［教材改编P52 T11］已知是方程 的一个
根，则 ___.
4
思路一
思路二
【解析】 把代入方程 ，得
，
解得 .
由一个根是，可知另一个根是 ，则
.
2 复系数一元二次方程
例30 已知关于的方程有实数根，求实数 的值.
思路点拨 设出方程的实数根，代入方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求解.
【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得 .
由复数相等的充要条件得
解得或
所以实数的值为或 .
名师点评 求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以
,解得或 .需注意不能用判别式判断复
系数一元二次方程有无实数根.
复数范围内解方程问题的一般思路
复数范围内解方程的一般思路是依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等
的充要条件求解.对于实系数一元二次方程，也可以利用求根公式求解.此外，根与系
数的关系也是成立的.注意求复系数一元二次方程中参数的取值时，不能盲目利用判
别式求解.
【变式题】
9.(2025·福建省福州市月考)已知,,是关于的方程 的一个
根，其中为虚数单位，则 ( )
A
A. B.0 C.2 D.4
【解析】 因为是关于的方程 的一个根，所以
,即 .
根据复数相等的充要条件得且，所以,,所以 .
方程是系数为实数的一元二次方程，且是关于 的方程
的一个根，则另一个根为 （实系数一元二次方程的“虚根”总是
成对出现，且两根互为共轭复数）.
由根与系数的关系得,,,所以 ，
所以 .
. .
高考考向分析
04
考情揭秘
高考比较注重对复数四则运算的考查，主要通过运算来体现对复数的相关概念及几
何意义的考查，在平时的学习过程中，多进行总结，在进行除法运算时容易出现计
算错误，应引起重视.试题考查较为基础，以选择题、填空题为主，难度较小.
核心素养：数学运算（复数的四则运算、模的求解等），逻辑推理（复数相等、共
轭复数的性质等）.
考向1 复数运算
例31（1）(2025·全国一卷) 的虚部为( )
C
A. B.0 C.1 D.6
【解析】 ，其虚部为1.
（2）(2025·全国二卷)已知，则 ( )
A
A. B. C. D.1
【解析】 .
（3）(2024·新课标Ⅰ卷)若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 （解方程法） 因为，所以 ，即
，即，所以 .
（取倒数法） 因为，所以 ，即
，即，所以 .
考向2 复数运算与复数相等结合
例32 (2022·全国乙卷)设,其中， 为实数，则( )
A
A., B., C., D.,
【解析】 由题意知，所以解得
由题意知，所以解得
命题探源 复数运算与复数相等结合考查是高考中的常见题型，主要侧重考查 复数相等条件的应用. 素养探源 素养 考查途径
数学运算 通过复数相等条件列方程组求解.
变式探源 (全国乙卷)设，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】设，则,代入 ，可
得,所以，，故 .
考向3 复数运算与共轭复数结合
例33（1）(2024·全国甲卷)若,则 ( )
A
A. B. C.10 D.2
【解析】因为，所以，所以 .
（2）(2023·新课标Ⅰ卷)已知，则 ( )
A
A. B. C.0 D.1
【解析】因为，所以，所以 .
命题探源 复数运算与共轭复数结合侧重考查对共轭复数的理解. 素养探源 素养 考查途径
数学运算 通过共轭复数对复数进行运算求解.
变式探源 (2022·新高考全国Ⅰ卷)若,则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】因为，所以，所以 ，所以
．
考向4 复数运算与复数的模结合
例34（1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____.
【解析】 .
（2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( )
B
A. B. C.4 D.8
【解析】 由可得， ，
所以 .
，则 ，根据复数模的性质，得
.
（3）(2023·全国乙卷) ( )
C
A.1 B.2 C. D.5
【解析】 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·河北省秦皇岛市实验中学期末)若复数满足
（其中是虚数单位），复数的共轭复数为 ，则( )
ABD
A. B. 的实部是2
C.的虚部是1 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限
【解析】由,得 ,
所以 ，故A正确；
的实部为2，故B正确；
的虚部是 ，故C错误；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．故选 .
2.［多选题］(2025·江苏省南通市天星湖中学月考)若复数 为虚数单位
，则下列结论正确的是( )
ABC
A. B.的虚部为 C.为纯虚数 D.
【解析】 .
对于A， ，A正确；
对于B，由虚部定义知，的虚部为 ，B正确；
对于C， 为纯虚数，C正确；
对于D，由共轭复数定义知，，D错误．故选 ．
3.［多选题］(2025·湖南省长沙市雅礼集团八校联考)已知复数, ,则
( )
AB
A. B.若，则 的最大值为3
C. D. 是纯虚数
【解析】对于A， 复数,, ,
，又， ，A正确；
对于B，设,， ，则
，即 ，即
， ，
即 的最大值为3，B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，,不是纯虚数，D错误．故选 ．
知识测评
05
建设时间：15分钟
1.已知复数，，是虚数单位，则复数 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】，， .
2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对
应的点为 ，位于第一象限.
3.设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则 ( )
D
A.4 B.2 C. D.
【解析】 ，
的虚部是2，，即 .
4.［多选题］(2025·陕西省榆林市期末)对于两个复数, ，下
列结论正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 ，A正确；
，B正确；
，即 ，C错误；
，D正确.
故选.
5.已知复数（是虚数单位），则的虚部为____， ____．
【解析】，所以实部为，虚部为 ．所以
.
6.计算：
（1） ;
【答案】
.
（2） .
【答案】原式 .
高考模拟
06
建设时间：25分钟
7.(2022·全国甲卷)若,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ，
所以 .
8.若,则复数 在复平面内对应的点( )
B
A.在实轴上 B.在虚轴上 C.在第一象限 D.在第二象限
【解析】由知，复数在复平面内对应的点的集合是以点 ，
为端点的线段的垂直平分线，故对应点在虚轴上.
9.(2025·甘肃省兰州市月考)若复数满足，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 复数满足, 在复平面内，复数对应的点 的轨迹为以原点
为圆心,2为半径的圆，则表示复平面内点与点 之间的
距离.
点到原点的距离为2， 点在点的轨迹上， 的
最小值是0，最大值是4.故所求取值范围是 .
10.［多选题］(2025·江苏省无锡市期中)设复数的共轭复数为， 为虚数单位，则下
列命题正确的是( )
AB
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【解析】对于A，，， ，故A正确;
对于B，，的虚部为0， ，故B正确;
对于C，令，，满足，但 ，故C错误;
对于D，若，则，故D错误．故选 ．
11.［多选题］已知集合，，其中 为虚数单位，则下列元素属
于集合 的是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】根据题意,在, }中,
当时, ;
当时, ;
当时, ;
当时, .
所以,1,, }.
选项A中, ;
选项B中, ;
选项C中, ;
选项D中,.故选 .
12.已知复数, 在复平面
内分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则
____.
【解析】因为,所以 对应的复数为
.因为
向量对应的复数为纯虚数，所以即 所以
.
13.新考法 结构不良 (2025·江苏省无锡市期中)在①复平面上表示复数 的点在直线
上；； 这三个条件中任选一个，补充在下
面问题中的横线上，并解答：
已知复数（，为虚数单位），满足____．若 是实系数一元二次方程
的根，求实数 的值．
【答案】若选条件①，
复平面上表示复数的点在直线 上，
，即 ，
故是实系数一元二次方程 的根，
即，即 ，
故且，解得 .
若选条件②，
，， ，
， .
故是实系数一元二次方程 的根，
即，即 ，
故且，解得 .
若选条件③，
， ，
且，故 ，
故是实系数一元二次方程 的根，
即，即 ，
故且，解得 .
14.设 为复数，为虚数单位，关于的一元二次方程 有实数根，则
的取值范围是_________.
,
【解析】设,则
，（存在实数使得该复数等于0）所以 即
所以,则（当且仅当 时取等号）.
. .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册