10.3 复数的三角形式及其运算 课件(共47张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册

(共47张PPT)
10.3 复数的三角形式及其运算
第十章 复数
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 复数的三角形式
1 复数的三角形式
一般地，如果非零复数在复平面内对应点，且 为向
量的模， 是以轴非负半轴为始边、射线 为终边的一个角，则
,
根据任意角余弦、正弦的定义可知
, .
图10.3-1
因此 , ,如图10.3-1所示，从而
,（该式的结
构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连）
上式的右边称为非零复数 的三角形式（对应地，
称为复数的代数形式），其中的 称为 的辐角.
因为,其中 可以为任意值，所以我们
也称上式为复数0的三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了.
. .
2 辐角主值
显然，任何一个非零复数 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差
的整数倍.（复数的辐角是 ,其中 可以取任意整数）
特别地，在内的辐角称为的辐角主值，记作 （把一个复数表示成三
角形式时，辐角 不一定取主值）
例如，,, , .
. .
. .
. . .
3 三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数都有唯一的模与辐角主值，并且由它的模与辐角主值唯一
确定.因此，当且仅当两个非零复数的模与辐角主值分别相等时，两个非零复数相等.
典例详解
例1-1 （1）［教材改编P48 T4］将代数形式的复数 改写成三角形式;
【解析】 因为,,与 对应的点在第一
象限,
所以 ,
从而的三角形式为 .
&2& .
（2）指出复数 的辐角主值，并化为代数形式.
【解析】
]
,
所以其辐角主值为 .
.
所以其代数形式为 .
知识点2 复数三角形式的乘法及其几何意义
1 复数三角形式的乘法
设,,显然有 ,
即 .
这就是说，由两个复数,的三角形式可以便捷地得到的三角形式： 的
模乘以的模等于的模，的辐角与的辐角之和是 的辐角.
2 几何意义
图10.3-2
两个复数, 相乘时，可以像图10.3-2那样，先分别画出与
,对应的向量,,然后把向量绕原点旋转
（若,则逆时针方向旋转; ，则顺时针方向旋转
）,再将的模变为原来的倍，如果所得向量为,则
对应的复数即为 .这是复数乘法的几何意义.（因为
,所以任意一个复数与 相乘，从向量的角度来说，
就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转 ）
3 推广
根据两个复数三角形式的乘法运算及其几何意义，可以推广到有限个复数的三
角形式相乘.
,, ,
特别地，如果，则 .
（【教材链接】此处回答了教材第49页第3题）
典例详解
例2-2 ［教材改编P48 T5（1）］复数 的三角
形式是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 ．
例2-3 ［教材改编P48 T7］将复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转 ,得到向
量，则 对应的复数是( )
B
A. B. C. D.
【解析】,将绕原点沿逆时针方向旋转 得到
.
点评将复数对应的向量绕点沿逆时针方向旋转 （顺时针旋转即
），模长伸（缩）为原来的倍，得到,则等价于复数乘以一个模长为 ,辐
角主值为的复数，即 .
知识点3 复数三角形式的除法及其几何意义
1 复数三角形式的除法
一般地，如果非零复数，那么 是 的一个辐角，因此
,而且
,
所以 ,
即 .
这样一来，如果, ,则
,
即 .
由此可知，由两个复数,的三角形式可以迅速地得到 的三角形式：
的模除以的模等于的模，的辐角减去的辐角是 的辐角.
2 几何意义
图10.3-3
如图10.3-3，两个复数,相除时，先分别画出与, 对应
的向量,,然后把向量绕点 沿顺时针方向旋转角
（如果，就要把绕点 沿逆时针方向旋转角
）,再把它的模变为原来的倍，得到向量, 表示的复数
就是商.这是复数除法的几何意义.（任意一个复数除以 ,从向量
的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方
向旋转 ）
典例详解
例3-4 ［教材改编P48 T5（2）］计算：
（1） ];
【解析】原式 .
（2） .
【解析】原式 .
例3-5 (2025·江苏省南京市五校共同体期末)设对应的向量为，将 绕
点沿顺时针方向旋转 ，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
【解析】将绕点沿顺时针方向旋转 所得向量对应的复数为 .
点评将复数对应的向量绕点沿顺时针方向旋转 （不涉及模长变化）
得到时，等价于复数除以一个模长为1，辐角的主值为 的复数，即
.当旋转涉及模长的变化时，如模长伸长为原来的
倍，则模长再乘 即可.
题型解析
03
题型1 复数的辐角主值
例6 求下列复数的模和辐角主值.
（1） ;
【解析】 .
设辐角为 ，则,点 在第二象限，
所以.（辐角主值的取值范围为 ）
. .
（2） .
【解析】由题知模 .
（化为代数形式后直接求辐角主值）
,
设辐角为 ，则 ,
又点 在第四象限，
所以, ,
所以 .
（化为三角形式）
所以复数的辐角是,辐角主值为 .
在, 内的辐角称为辐角主值，除0外每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用
复数对应的点确定辐角 的终边所在的象限（或轴线），再由
（或）确定在内的角 ,即为 ;也可以根据三角形式直接求辐角主值，
注意不是三角形式的要先转化为三角形式.
题型2 复数的代数形式与三角形式的相互转化
1 化为代数形式
例7 将下列复数表示成代数形式:
（1） ;
【解析】 .
（2） .
【解析】 .
名师点评 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出即可.
2 化为三角形式
例8 把下列复数表示成三角形式:
（1） ；
【解析】由,，知点 在第二象限，故辐角为第二象限的角.
.
又,所以.（辐角主值的取值范围为 ）
因此复数的三角形式为 .
（2） .
【解析】由,，知， ,
因此复数的三角形式为 .
. .
复数的代数形式化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模.
（2）确定辐角的终边所在的象限（或轴线）.
（3）根据辐角终边的位置求出辐角.
（4）求出复数的三角形式.
代数形式与三角形式的互化图解

题型3 三角形式下的复数的乘、除运算
1 乘除运算
例9 计算下列各式，并把结果化为代数形式：
（1） ；
【解析】
.
（2） .
【解析】
.
2 乘方运算
例10 设复数，求 的模和辐角主值.
【解析】 ，
复数的模为32，辐角主值为 .（由此题可以看出：复数乘积的辐角主值不一定等
于各辐角主值的和）
. .
三角形式下复数的运算法则
复数三角形式下的乘法法则:模数相乘,辐角相加.
复数三角形式下的乘方法则:模数乘方,辐角倍.
复数三角形式下的除法法则:模数相除,辐角相减.
题型4 三角形式下的复数乘、除运算的几何意义的应用
例11 在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为,,,
（其中为原点）.已知对应的复数为,求和 所对应的复数.
【解析】根据题意画出示意图如图10.3-4所示.
图10.3-4
设,对应的复数分别为, .
由三角形式下复数运算的几何意义知，
.
.
名师点评 求时是将按顺时针方向旋转 ,且 模缩短到原来长度的 ,符合复
数除法的几何意义，也可以直接写成.而在求时，也可将 按逆时
针方向旋转 得到，因此用 计算更方便.
知识测评
04
1.将代数形式的复数 改写成三角形式为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为在复平面内所对应的点在 轴的正半轴上，
所以,又,故 .
2.将复数 ]化成代数形式，正确的是( )
D
A.4 B. C. D.
【解析】 .
3.复数 的三角形式是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 .
4.已知，，，则 的值可以
是( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意可知， ，
， ，结合选项可知选B．
5.复数 的辐角主值是( )
A
A. B. C. D.
【解析】复数
,
由 知,故复数的辐角主值为 .
6.，则 的值等于( )
C
A.3 B.12 C. D.
【解析】由题意，得 ，
由复数相等的定义，得
解得, .
7.[多选题]复数的三角形式是，则 的三角形式
可以是( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得， ，
则．故选 ．
8.如图10.3-1，若与分别表示复数,.求 ,并判
断 的形状.
图10.3-1
【答案】欲求,可计算 .
, .
易知 ,
设, .
由余弦定理,得 ，
,又 ,
为直角三角形.
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册