第十章 复数 章末总结 课件(共25张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册

(共25张PPT)
章末总结
第十章 复数
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
单元知识梳理
03
01
02
单元专题归纳
高考命题点分析
单元知识梳理
01
单元专题归纳
02
专题 复数与其他知识的综合考查
1 与集合综合考查
例1 若集合,，,是虚数单位,,,则 等于( )
C
A. B. C., D.
【解析】因为,,,，, ，
所以, ．
例2 (2025·陕西省西安市长安区第一中学期中)设集合 ,
,}为虚数单位，则 为( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 ,
所以集合为 .
因为,所以,即 ，
所以,解得 .
所以集合为,所以为 .
例3 已知,,,1,,若,求实数 的值.
【解析】， .
即或 .
当 时，
有解得 ;
当 时，
有解得 .
综上可知或 .
2 与充要条件综合考查
例4 (2025·海南省文昌中学段考)设,,是虚数单位，则“”是“复数 为
纯虚数”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】因为 为纯虚数，
所以必有, .
而当时，有或 .
当,时，有 ,反之不成立.
故“”是“复数 为纯虚数”的必要不充分条件.
例5 (2025·福建省晋江市平山中学期中)“复数 在复平面内对应的点在第三象
限”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】在复平面内对应的点在第三象限，则 ，易
知“”是“ ”的充分不必要条件.
3 与三角函数综合考查
例6 设,为复数，且满足,（其中为虚数单位），则 的
值为_____.
【解析】由,可设 ,
由，得 ,
于是， .
例7 已知复数 .
（1）求 ;
【解析】 ,
.
（2）若,求 的最大值.
【解析】, 可设 ,
.
当时，取得最大值，最大值为 .
一章一练·学思维知创新
复数中的新定义问题
实数系到复数系的扩充，推动了数学的发展，解决了困扰数学家已久的负实数开平
方问题，作为重要的数系，复数除了课本上讲到的四则运算、三角表示外，还衍生
出了其他新定义问题，让我们一起感受一下复数的魅力！
例8 (2025·福建省龙岩第一中学月考)新定义 欧拉公式 欧拉是数学史上非常多产的
数学家之一,他发现并证明了欧拉公式 ,从而建立了三角函数和指
数函数的关系.若将其中的 取作 就得到了欧拉恒等式 ,它是令人着迷的
一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数 ,圆
周率 ,两个单位——虚数单位 和自然数单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0.请
你根据欧拉公式 ,解决以下问题:
（1）将复数写成,,为虚数单位 的形式;
【解析】由欧拉公式得，, ，
所以 .
（2）求 的最大值.
【解析】由欧拉公式及复数模的求法得，
，所以当时，即 ， 时，
取得最大值，最大值为2.
例9 新定义 次单位根 在复数域中，满足 的所有复数
称为 次单位根，其中满足
的次单位根又称为次本原单位根.例如当 时，存在四
个4次单位根,，因为,，因此只有两个4次本原单位根 ．
（1）直接写出3次单位根，并指出哪些是3次本原单位根（无需证明）．
【解析】当时，的解为 ，
则3次单位根为1,, ，
由于，, 的1次方以及2次方均不等于1，
故3次本原单位根为, .
（2）①若是8次本原单位根，证明： ．
【解析】因为是8次本原单位根，所以, .
因为，且，所以 ，
所以, ,
，
则 .
②若是次本原单位根，证明： ．
【解析】因为是次本原单位根，所以, ，
设 ，
因为，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
因为，所以，即 ，
则，即 .
高考命题点分析
03
命题点1 复数概念及运算
例10 (2025·全国高中数学联赛江西预赛)设复数满足 ，则
的值为___________.
【解析】，即 ,
所以 .
例11 (2024·全国高中联赛浙江赛区初赛)已知复数满足，则
_ _______．
【解析】设 ，
由，得，所以 ，
由，得，所以 ，
联立得解得或
所以 ．
例12 (2025·北京大学强基计划测试)已知在2与 在复平面上对应点所连的线段
上，，求 在复平面上扫过的面积.
【解析】在复平面内，设对应的点为，点在线段上运动，其中 ,
， .
设对应的点为，点在以坐标原点为圆心的单位圆上运动， .
设对应的点为，则，所以 ，则
，即点在以 点为圆心、2为半径的圆上运动.
当点在线段上运动时，点在复平面上扫过的图形为一个矩形 长、宽分别为4
和和两个半圆（半径为2），面积为 .
命题点2 方程的复数解
例13 (2025·全国高中数学联赛福建预赛)若,是关于的方程
的两个虚数根，且,则实数 的值为___.
1
【解析】方程可化为 .
依题意 ,
方程两虚数根为 .
于是解得 .
. .
例14 (2022·中国数学奥林匹克希望联盟夏令营)设集合， ，
，其中，，与为实系数方程 的两
根，则 中所有元素之和为_______.
【解析】由根与系数的关系可知，， ，
则 中所有元素之和为
命题点3 复数与函数的综合
例15 (2023·全国高中数学联赛浙江赛区初赛)设函数为复数 满足
.若，则 ___.
1
【解析】因为，所以 .
又 ，
所以，即，即 .
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