11.1 空间几何体-11.1.1 空间几何体与斜二测画法 (共54张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.1 空间几何体-11.1.1 空间几何体与斜二测画法 (共54张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共54张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 空间几何体
生活中的物体都占据着空间的一部分.如果只考虑一个物体占有的空间形状和大
小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.（几何体不仅包
括它的外表面，还包括它的内部）
除了长方体外，我们以前接触过的几何体还有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
（一个牛奶包装箱可以抽象为一个长方体）
. .
. .
典例详解
【想一想丨数学生活】
从牙牙学语的儿童到勤奋好学的少年，你在日常生活中肯定联想过一些有趣的物体，
如充满趣味的积木,五颜六色的气球,轻巧方便的笔筒.我们在潜移默化中已经能够根
据外观、形状等特征认识一些物体了，这就是比较基础的几何识别能力.
知识点2 直观图与斜二测画法
1 直观图
立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图.
知识剖析 1.平面图形与立体图形是互相联系的.一方面，立体图形中有些部分可能是
平面图形,如长方体的任何一个面都是平面图形；另一方面，立体图形可以用合适的
平面图形表示出来，如拍摄照片.
2.直观图是观察者站在某一点观察几何体，画出的平面图形，是把空间图形画在
平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
3.从不同的方向观察同一个空间图形时，所看到的形状可能不一样.
4.为了使直观图具有立体感，常用斜二测画法来作直观图.
2 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）在平面图形上取互相垂直的轴和轴，作出与之对应的轴和 轴，使得
它们正方向的夹角为 （或 ）.
（2）平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴平行（或重合）的线
段，且长度不变.
平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴平行（或重合）的线段，且
长度为原来长度的一半.
（3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.
由此可知，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出
其中与轴和 轴平行（或重合）的线段.
. .
. .
知识剖析1.斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系变为斜坐标系 ，使
（或）.“二测”是指画直观图时，平行（或重合）于 轴的线段长
度不变，平行（或重合）于 轴的线段长度减半.
2.用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置、大小与形状的关键
点，尽可能将关键点放到坐标轴上或是平行于坐标轴的直线上.
3.用斜二测画法画平面图形的关键可简记为：横不变、纵折半，平行位置不改
变.
. .
. .
3 用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的轴与 轴，作出水平平面
上图形的直观图（保留轴和 轴）.
（2）在立体图形中，过轴与轴的交点取轴，并使轴垂直于轴与轴.过
轴与轴的交点作轴对应的轴，且轴垂直于 轴.
图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴平行（或重合）的线段，且长度
不变.连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.
. .
知识剖析
1.坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中
心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
2.要先画出底面的直观图，再画出其余各面．
3.画立体图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取.
4.斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线段的长度比.
. .
. .
4 正等测画法
通常用正等测画法画圆的直观图，圆的直观图是椭圆.由于画圆的直观图比较复
杂，在实际画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板.
典例详解
图11.1.1-2
例2-1 [教材改编P60 T4]用斜二测画法画出如图11.1.1-2所示的水
平放置的 的直观图．
【解析】（1）建立如图11.1.1-3（1）所示的直角坐标系 ，再
图11.1.1-3
（4）连接,,去掉辅助线，得到 ，即
水平放置的平面图形 的直观图,如图11.1.1-3（3）
所示．
建立如图11.1.1-3（2）所示的坐标系，使 ．
（2）在图11.1.1-3（1）中作轴于点，在坐标系中，沿 轴正方向取
，沿轴负方向取 ．
（3）在坐标系中沿轴正方向画平行于轴，且 ．
例2-2 ［教材改编P59 T4］［多选题］(2025·河南省驻马店市多校联考)下列对用斜
二测画法画水平放置的平面图形的直观图的描述正确的是( )
ACD
A.三角形的直观图仍然是一个三角形
B. 的角的直观图会变为 的角
C.与 轴平行的线段长度变为原来的一半
D.若在原来的图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段平行且相等
【解析】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此
三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B， 的角的直观图可能会变为
或 或其他角度的角，故B错误；C,D显然正确．
点评 常见平面图形的直观图
原图 直观图的示意图
例2-3 ［教材改编P59 T3］用斜二测画法画一个棱长为 的正方体的直观图.
图11.1.1-4
【解析】（1）作出水平放置的边长为 的正方形的直观
图 （保留坐标轴），如图11.1.1-4（1）所示.
（2）如图11.1.1-4（2）所示，过点作轴，使之垂直于
轴.在轴上截取,过点，，分别作 轴的平
行线,,,并使,然后连接,,, .
（3）擦去作图过程中的辅助线，并把被面遮挡住的线段，， 改成虚线
（或擦除）.由此得到的就是所求正方体的直观图，如图11.1.1-4（3）所示.
释疑惑 重难拓展
知识点3 由直观图还原平面图形
（1）将直观图还原成平面图形的过程是由平面图形到直观图的逆过程．解决这
类问题要注意画法步骤中有关规则的逆向转换，如直观图中轴与轴的夹角为
（或），还原为平面图形时，则需还原成 ，与 轴平行的线段还原时变为
直观图中相应线段长度的2倍，且保持与 轴平行．
（2）由于斜二测画法中平行于 轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行
于轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜 （或 ），因此直观图中任
何一点距轴的距离都为原图中相应点距轴距离的 倍.
典例详解
例3-4 图11.1.1-5为一个平面图形的直观图，请画出它的平面图.
图11.1.1-5
图11.1.1-6
【解析】建立平面直角坐标系，如图11.1.1-6所示,在 轴上截
取线段,使，在轴上截取线段,使得 .
过点作,过点作,使得与交于点 ，则四
边形即四边形 的平面图形，如图11.1.1-6所示.
知识点4 平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
图11.1.1-1
（1）以三角形为例，有 .
证明如图11.1.1-1（1）， .
如图11.1.1-1（2），它的直观图的面积
.
， ,
.
（2）平面多边形的面积与其直观图面积的关系：
.
证明因为平面多边形可分割成若干个三角形,设其面积分别为,, , ，且
这若干个三角形的直观图的面积分别为,,, , ,则
，故 .
即若一个平面多边形的面积为，由斜二测画法得到的直观图的面积为 ，则
有 .（由于画圆的直观图一般不用斜二测画法，因此圆的面积及其直观图
的面积不一定满足此关系）
典例详解
例4-5 (2025·广东省广州市期中)已知正三角形的边长为 ,在用斜二测画法画它的
水平放置的直观图时，建立如图11.1.1-7所示的直角坐标系 ,则它的直观图的面积
是_ _____.
图11.1.1-7
【解析】 正三角形的直观图如图11.1.1-8 所示，正三角形 的高为
,那么直观图中,且 ,
图11.1.1-8
所以 .
由正三角形的边长为,可得其面积为.由 ，
得其直观图的面积为 .
题型解析
03
题型1 画水平放置平面图形的直观图
例6 用斜二测画法画一个锐角为 的平行四边形的直观图.
提示 POINT
当已知平面图形中没有相互垂直的线段时，通常过平面图形的顶点作另一条线段的
垂线，再建立坐标系.
图11.1.1-9
【解析】（1）画轴.在锐角为 的平行四
边形 中建立如图11.1.1-9（1）所示的
平面直角坐标系 ,再建立如图11.1.1-9（2）
所示的坐标系，使 .
（2）描点.在轴上截取,,在轴上截取,过点 作
轴，且 .
（3）连线.连接, .
（4）成图.去掉辅助线，得到的四边形即为一个锐角是 的 的直
观图，如图11.1.1-9（3）所示.
名师点评 本题也可以以为原点，以所在直线为轴建系，但要过点作 轴的垂
线，以确定点在直观图中的位置 .
画水平放置的平面图形的直观图的关键
1.在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系.
2.画水平放置的平面图形的直观图的关键是确定图形的顶点位置.顶点位置可以分为
两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不
在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的
线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
. .
题型2 画立体图形的直观图
例7 用斜二测画法画长、宽、高分别是，，的长方体
的直观图．
【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画轴.如图11.1.1-10（1），画轴，轴，轴，三轴相交于点 ，使
， .
图11.1.1-10
②画底面.在轴正半轴上截取，在轴正半轴上截取，过点
作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则四边形 就是长
方体的底面的直观图.
③在轴上截取,分别过点，，作轴的平行线，， ，且使
．
④连接，，， ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长
方体的直观图，如图11.1.1-10（2）所示．
画空间几何体的直观图的一般步骤
（1）画轴：通常以底面上的两条互相垂直的直线为
（2）画底面：根据平面图形的直观图画法画底面的直观图；
（3）确定顶点：利用与
（4）连线成图：画图完成后，擦掉辅助线，看得见的部分用实线，被遮挡的部分用
虚线（或不画），就得到了几何体的直观图.
题型3 与直观图有关的计算问题
图11.1.1-11
例8 (2025·山东省实验中学开学考试)如图11.1.1-11所示，
表示水平放置的的直观图,点在轴上， 与
轴垂直，且，则的边 上的高为_____.
【解析】 设的边上的高为 ,由直观图中边
与原图形中边的长度相等，及 ,得
过点作轴,交轴于点 ，则
, 与轴垂直，且, ,根
据斜二测画法知的边上的高等于 .
,则.故的边上的高为 .
例9 如图11.1.1-12所示，四边形 是一个
梯形，,,三角形 为
等腰直角三角形，为 的中点，试求水平
放置的梯形 的直观图的面积.
【解析】 在梯形中，,高,由于水平放置的梯形 的
直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，如图11.1.1-13所示，在直观图中，
,梯形的高,于是梯形 的面积为
.
因为梯形的面积为 ，
所以直观图的面积为 .
名师点评
图11.1.1-14
斜二测画法中，的角度可以是 ，也可以是 .当 时，
如图11.1.1-14所示，同理可求得梯形的高为，于是梯形 的面积
.
由于斜二测画法中平行于轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于 轴的线
段在直观图中长度要减半，同时要倾斜 （或 ），因此在解决与直观图有关
的计算问题时需注意两点：
（1）直观图中任意一点距轴的距离都为原图形中对应点距轴距离的 倍；
.
【变式题】
图11.1.1-15
1.(2025·山东省泰安市新泰一中期中)图11.1.1-15是水平放置的
四边形的直观图,则原四边形 的面积是
( )
C
A.14 B. C.28 D.
图D 11.1.1-1
【解析】 如图，画平面直角坐标系 ，取
，过点作轴，在上截取 ，
，（原图形中平行于轴（或在 轴上）的线段在
斜二测画法中长度减半）再过点作轴，过点作 轴，
并截取,.连接，得直观图
的原四边形.由作法得 .
因为,所以梯形的高为 ,
故 ,
则 .
. .
. .
2.新考法 新定义题 (2025·河南省漯河市期末)若在斜二测画法得到的直观图中，,
分别是轴,轴上的单位向量，定义：若，则点 在直观图的坐标
系中的坐标为．已知在直观图的坐标系中的点坐标为 ，则
的长可以是______________________________．
或（任意写一个都正确）
【解析】如图D 11.1.1-2所示，根据斜二测画法得到直观图，
图D 11.1.1-2
当坐标轴正向夹角为 时，由余弦定理可知，
.
当坐标轴正向夹角为 时，由余弦定理可知，
.
知识测评
04
1.(2025·江苏省江阴市期中)在用斜二测画法画水平放置的的直观图时，若
的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中 等于( )
D
A. B. C. D. 或
【解析】因为的两边分别平行于轴、轴，所以 .在直观图中，由斜二
测画法知 或 ，即 或 .
2.如图11.1.1-1所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
C
A. B. C. D.
【解析】很明显平面图形是梯形.又在直观图中，右边的线段与 轴平行，因此平面
图形的上、下底与右边的腰应垂直.
图11.1.1-2
3.(2025·重庆市涪陵第一中学校月考)一个梯形的直观图是一个如
图11.1.1-2所示的等腰梯形，且，， ，
则原梯形的面积为( )
C
A. B. C.8 D.4
【解析】根据题意，设原梯形的面积为，在等腰梯形
中，，， ，则其高
,故其面积 ，
又,所以 .
图11.1.1-3
4.(2025·湖北省广水市第二高级中学月考)如图11.1.1-3， 水
平放置的直观图为,,分别与轴、轴平行， 为
边上的中点，则关于中的三条线段，， 的说
法正确的是( )
B
A.最长的是,最短的是 B.最长的是,最短的是
C.最长的是,最短的是 D.最长的是,最短的是
【解析】利用斜二测画法进行还原，题图还原后为一个以为直角的三角形 ，
为一条直角边，为边上的中线，易知 .
5.(2025·天津市汇文中学月考)如图11.1.1-4，是水平放置的 的直观图，
但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点,均在坐标轴上，且 的
面积为12，则 的长度为( )
B
图11.1.1-4
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据题意，设的长度为，由的坐标为，可知 ，故
，又由 的面积为12，则有
，解得 ．
图11.1.1-5
6.(2025·广西柳州市联考)如图11.1.1-5所示，矩形 是水平
放置的一个平面图形的直观图，其中， ，
则原图形是( )
C
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
图D 11.1.1-1
【解析】由直观图还原平面图形，易知该平面图形为平行四
边形，示意图如图 所示.
在平行四边形 中，
， ，
所以 ，
所以，故四边形 是菱形．
图11.1.1-6
7.［多选题］(2025·山东省菏泽市鄄城县第一中学月考)
如图11.1.1-6，是水平放置的 的直观图，
，，则在原平面图形 中，
有( )
BD
A. B.
C. D.
【解析】如图D 11.1.1-2在直观图中，过作于 .
，，， .
又 ，，， ，
利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形 ，如图D 11.1.1-3.
图D 11.1.1-2
图D 11.1.1-3
，， ，故选项B正确.
又， ，故选项A,C错误.
，故选项D正确.
故选 ．
图11.1.1-7
8.如图11.1.1-7所示，四边形 是上底长为2，下底长为6，底
角为 的等腰梯形.用斜二测画法画出这个梯形的直观图
，则在直观图中，梯形的高为_ __.
图D 11.1.1-4
【解析】因为四边形是底角为 的等腰梯形，且
,,所以, .梯形的直观图如图D 11.1.1-
4所示，则,过点作于点 ，所以在直观图中，
梯形的高 .
图11.1.1-8
9.如图11.1.1-8所示,在平面直角坐标系中,已知四边形 ，且
,,,.试画出四边形 的直观图.
【答案】（1）先画轴和轴,使 （如图D 11.1.1-
5（1））;
（2）在原图中作轴,垂足为，在轴上取 ,使
,作,并使 ;
图D 11.1.1-5
（3）同理确定点,, （如图D 11.1.1-5（1））,其中
,, ;
（4）顺次连接,,,，去掉辅助线，就得到了四边形
的直观图，如图D 11.1.1-5（2）所示.
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 空间几何体
生活中的物体都占据着空间的一部分.如果只考虑一个物体占有的空间形状和大
小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.（几何体不仅包
括它的外表面，还包括它的内部）
除了长方体外，我们以前接触过的几何体还有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
（一个牛奶包装箱可以抽象为一个长方体）
. .
. .
典例详解
【想一想丨数学生活】
从牙牙学语的儿童到勤奋好学的少年，你在日常生活中肯定联想过一些有趣的物体，
如充满趣味的积木,五颜六色的气球,轻巧方便的笔筒.我们在潜移默化中已经能够根
据外观、形状等特征认识一些物体了，这就是比较基础的几何识别能力.
知识点2 直观图与斜二测画法
1 直观图
立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图.
知识剖析 1.平面图形与立体图形是互相联系的.一方面，立体图形中有些部分可能是
平面图形,如长方体的任何一个面都是平面图形；另一方面，立体图形可以用合适的
平面图形表示出来，如拍摄照片.
2.直观图是观察者站在某一点观察几何体，画出的平面图形，是把空间图形画在
平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
3.从不同的方向观察同一个空间图形时，所看到的形状可能不一样.
4.为了使直观图具有立体感，常用斜二测画法来作直观图.
2 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）在平面图形上取互相垂直的轴和轴，作出与之对应的轴和 轴，使得
它们正方向的夹角为 （或 ）.
（2）平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴平行（或重合）的线
段，且长度不变.
平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴平行（或重合）的线段，且
长度为原来长度的一半.
（3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.
由此可知，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出
其中与轴和 轴平行（或重合）的线段.
. .
. .
知识剖析1.斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系变为斜坐标系 ，使
（或）.“二测”是指画直观图时，平行（或重合）于 轴的线段长
度不变，平行（或重合）于 轴的线段长度减半.
2.用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置、大小与形状的关键
点，尽可能将关键点放到坐标轴上或是平行于坐标轴的直线上.
3.用斜二测画法画平面图形的关键可简记为：横不变、纵折半，平行位置不改
变.
. .
. .
3 用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的轴与 轴，作出水平平面
上图形的直观图（保留轴和 轴）.
（2）在立体图形中，过轴与轴的交点取轴，并使轴垂直于轴与轴.过
轴与轴的交点作轴对应的轴，且轴垂直于 轴.
图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴平行（或重合）的线段，且长度
不变.连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.
. .
知识剖析
1.坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中
心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
2.要先画出底面的直观图，再画出其余各面．
3.画立体图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取.
4.斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线段的长度比.
. .
. .
4 正等测画法
通常用正等测画法画圆的直观图，圆的直观图是椭圆.由于画圆的直观图比较复
杂，在实际画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板.
典例详解
图11.1.1-2
例2-1 [教材改编P60 T4]用斜二测画法画出如图11.1.1-2所示的水
平放置的 的直观图．
【解析】（1）建立如图11.1.1-3（1）所示的直角坐标系 ，再
图11.1.1-3
（4）连接,,去掉辅助线，得到 ，即
水平放置的平面图形 的直观图,如图11.1.1-3（3）
所示．
建立如图11.1.1-3（2）所示的坐标系，使 ．
（2）在图11.1.1-3（1）中作轴于点，在坐标系中，沿 轴正方向取
，沿轴负方向取 ．
（3）在坐标系中沿轴正方向画平行于轴，且 ．
例2-2 ［教材改编P59 T4］［多选题］(2025·河南省驻马店市多校联考)下列对用斜
二测画法画水平放置的平面图形的直观图的描述正确的是( )
ACD
A.三角形的直观图仍然是一个三角形
B. 的角的直观图会变为 的角
C.与 轴平行的线段长度变为原来的一半
D.若在原来的图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段平行且相等
【解析】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此
三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B， 的角的直观图可能会变为
或 或其他角度的角，故B错误；C,D显然正确．
点评 常见平面图形的直观图
原图 直观图的示意图
例2-3 ［教材改编P59 T3］用斜二测画法画一个棱长为 的正方体的直观图.
图11.1.1-4
【解析】（1）作出水平放置的边长为 的正方形的直观
图 （保留坐标轴），如图11.1.1-4（1）所示.
（2）如图11.1.1-4（2）所示，过点作轴，使之垂直于
轴.在轴上截取,过点，，分别作 轴的平
行线,,,并使,然后连接,,, .
（3）擦去作图过程中的辅助线，并把被面遮挡住的线段，， 改成虚线
（或擦除）.由此得到的就是所求正方体的直观图，如图11.1.1-4（3）所示.
释疑惑 重难拓展
知识点3 由直观图还原平面图形
（1）将直观图还原成平面图形的过程是由平面图形到直观图的逆过程．解决这
类问题要注意画法步骤中有关规则的逆向转换，如直观图中轴与轴的夹角为
（或），还原为平面图形时，则需还原成 ，与 轴平行的线段还原时变为
直观图中相应线段长度的2倍，且保持与 轴平行．
（2）由于斜二测画法中平行于 轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行
于轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜 （或 ），因此直观图中任
何一点距轴的距离都为原图中相应点距轴距离的 倍.
典例详解
例3-4 图11.1.1-5为一个平面图形的直观图，请画出它的平面图.
图11.1.1-5
图11.1.1-6
【解析】建立平面直角坐标系，如图11.1.1-6所示,在 轴上截
取线段,使，在轴上截取线段,使得 .
过点作,过点作,使得与交于点 ，则四
边形即四边形 的平面图形，如图11.1.1-6所示.
知识点4 平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
图11.1.1-1
（1）以三角形为例，有 .
证明如图11.1.1-1（1）， .
如图11.1.1-1（2），它的直观图的面积
.
， ,
.
（2）平面多边形的面积与其直观图面积的关系：
.
证明因为平面多边形可分割成若干个三角形,设其面积分别为,, , ，且
这若干个三角形的直观图的面积分别为,,, , ,则
，故 .
即若一个平面多边形的面积为，由斜二测画法得到的直观图的面积为 ，则
有 .（由于画圆的直观图一般不用斜二测画法，因此圆的面积及其直观图
的面积不一定满足此关系）
典例详解
例4-5 (2025·广东省广州市期中)已知正三角形的边长为 ,在用斜二测画法画它的
水平放置的直观图时，建立如图11.1.1-7所示的直角坐标系 ,则它的直观图的面积
是_ _____.
图11.1.1-7
【解析】 正三角形的直观图如图11.1.1-8 所示，正三角形 的高为
,那么直观图中,且 ,
图11.1.1-8
所以 .
由正三角形的边长为,可得其面积为.由 ，
得其直观图的面积为 .
题型解析
03
题型1 画水平放置平面图形的直观图
例6 用斜二测画法画一个锐角为 的平行四边形的直观图.
提示 POINT
当已知平面图形中没有相互垂直的线段时，通常过平面图形的顶点作另一条线段的
垂线，再建立坐标系.
图11.1.1-9
【解析】（1）画轴.在锐角为 的平行四
边形 中建立如图11.1.1-9（1）所示的
平面直角坐标系 ,再建立如图11.1.1-9（2）
所示的坐标系，使 .
（2）描点.在轴上截取,,在轴上截取,过点 作
轴，且 .
（3）连线.连接, .
（4）成图.去掉辅助线，得到的四边形即为一个锐角是 的 的直
观图，如图11.1.1-9（3）所示.
名师点评 本题也可以以为原点，以所在直线为轴建系，但要过点作 轴的垂
线，以确定点在直观图中的位置 .
画水平放置的平面图形的直观图的关键
1.在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系.
2.画水平放置的平面图形的直观图的关键是确定图形的顶点位置.顶点位置可以分为
两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不
在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的
线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
. .
题型2 画立体图形的直观图
例7 用斜二测画法画长、宽、高分别是，，的长方体
的直观图．
【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画轴.如图11.1.1-10（1），画轴，轴，轴，三轴相交于点 ，使
， .
图11.1.1-10
②画底面.在轴正半轴上截取，在轴正半轴上截取，过点
作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则四边形 就是长
方体的底面的直观图.
③在轴上截取,分别过点，，作轴的平行线，， ，且使
．
④连接，，， ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长
方体的直观图，如图11.1.1-10（2）所示．
画空间几何体的直观图的一般步骤
（1）画轴：通常以底面上的两条互相垂直的直线为
（2）画底面：根据平面图形的直观图画法画底面的直观图；
（3）确定顶点：利用与
（4）连线成图：画图完成后，擦掉辅助线，看得见的部分用实线，被遮挡的部分用
虚线（或不画），就得到了几何体的直观图.
题型3 与直观图有关的计算问题
图11.1.1-11
例8 (2025·山东省实验中学开学考试)如图11.1.1-11所示，
表示水平放置的的直观图,点在轴上， 与
轴垂直，且，则的边 上的高为_____.
【解析】 设的边上的高为 ,由直观图中边
与原图形中边的长度相等，及 ,得
过点作轴,交轴于点 ，则
, 与轴垂直，且, ,根
据斜二测画法知的边上的高等于 .
,则.故的边上的高为 .
例9 如图11.1.1-12所示，四边形 是一个
梯形，,,三角形 为
等腰直角三角形，为 的中点，试求水平
放置的梯形 的直观图的面积.
【解析】 在梯形中，,高,由于水平放置的梯形 的
直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，如图11.1.1-13所示，在直观图中，
,梯形的高,于是梯形 的面积为
.
因为梯形的面积为 ，
所以直观图的面积为 .
名师点评
图11.1.1-14
斜二测画法中，的角度可以是 ，也可以是 .当 时，
如图11.1.1-14所示，同理可求得梯形的高为，于是梯形 的面积
.
由于斜二测画法中平行于轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于 轴的线
段在直观图中长度要减半，同时要倾斜 （或 ），因此在解决与直观图有关
的计算问题时需注意两点：
（1）直观图中任意一点距轴的距离都为原图形中对应点距轴距离的 倍；
.
【变式题】
图11.1.1-15
1.(2025·山东省泰安市新泰一中期中)图11.1.1-15是水平放置的
四边形的直观图,则原四边形 的面积是
( )
C
A.14 B. C.28 D.
图D 11.1.1-1
【解析】 如图，画平面直角坐标系 ，取
，过点作轴，在上截取 ，
，（原图形中平行于轴（或在 轴上）的线段在
斜二测画法中长度减半）再过点作轴，过点作 轴，
并截取,.连接，得直观图
的原四边形.由作法得 .
因为,所以梯形的高为 ,
故 ,
则 .
. .
. .
2.新考法 新定义题 (2025·河南省漯河市期末)若在斜二测画法得到的直观图中，,
分别是轴,轴上的单位向量，定义：若，则点 在直观图的坐标
系中的坐标为．已知在直观图的坐标系中的点坐标为 ，则
的长可以是______________________________．
或（任意写一个都正确）
【解析】如图D 11.1.1-2所示，根据斜二测画法得到直观图，
图D 11.1.1-2
当坐标轴正向夹角为 时，由余弦定理可知，
.
当坐标轴正向夹角为 时，由余弦定理可知，
.
知识测评
04
1.(2025·江苏省江阴市期中)在用斜二测画法画水平放置的的直观图时，若
的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中 等于( )
D
A. B. C. D. 或
【解析】因为的两边分别平行于轴、轴，所以 .在直观图中，由斜二
测画法知 或 ，即 或 .
2.如图11.1.1-1所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
C
A. B. C. D.
【解析】很明显平面图形是梯形.又在直观图中，右边的线段与 轴平行，因此平面
图形的上、下底与右边的腰应垂直.
图11.1.1-2
3.(2025·重庆市涪陵第一中学校月考)一个梯形的直观图是一个如
图11.1.1-2所示的等腰梯形，且，， ，
则原梯形的面积为( )
C
A. B. C.8 D.4
【解析】根据题意，设原梯形的面积为，在等腰梯形
中，，， ，则其高
,故其面积 ，
又,所以 .
图11.1.1-3
4.(2025·湖北省广水市第二高级中学月考)如图11.1.1-3， 水
平放置的直观图为,,分别与轴、轴平行， 为
边上的中点，则关于中的三条线段，， 的说
法正确的是( )
B
A.最长的是,最短的是 B.最长的是,最短的是
C.最长的是,最短的是 D.最长的是,最短的是
【解析】利用斜二测画法进行还原，题图还原后为一个以为直角的三角形 ，
为一条直角边，为边上的中线，易知 .
5.(2025·天津市汇文中学月考)如图11.1.1-4，是水平放置的 的直观图，
但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点,均在坐标轴上，且 的
面积为12，则 的长度为( )
B
图11.1.1-4
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据题意，设的长度为，由的坐标为，可知 ，故
，又由 的面积为12，则有
，解得 ．
图11.1.1-5
6.(2025·广西柳州市联考)如图11.1.1-5所示，矩形 是水平
放置的一个平面图形的直观图，其中， ，
则原图形是( )
C
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
图D 11.1.1-1
【解析】由直观图还原平面图形，易知该平面图形为平行四
边形，示意图如图 所示.
在平行四边形 中，
， ，
所以 ，
所以，故四边形 是菱形．
图11.1.1-6
7.［多选题］(2025·山东省菏泽市鄄城县第一中学月考)
如图11.1.1-6，是水平放置的 的直观图，
，，则在原平面图形 中，
有( )
BD
A. B.
C. D.
【解析】如图D 11.1.1-2在直观图中，过作于 .
，，， .
又 ，，， ，
利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形 ，如图D 11.1.1-3.
图D 11.1.1-2
图D 11.1.1-3
，， ，故选项B正确.
又， ，故选项A,C错误.
，故选项D正确.
故选 ．
图11.1.1-7
8.如图11.1.1-7所示，四边形 是上底长为2，下底长为6，底
角为 的等腰梯形.用斜二测画法画出这个梯形的直观图
，则在直观图中，梯形的高为_ __.
图D 11.1.1-4
【解析】因为四边形是底角为 的等腰梯形，且
,,所以, .梯形的直观图如图D 11.1.1-
4所示，则,过点作于点 ，所以在直观图中，
梯形的高 .
图11.1.1-8
9.如图11.1.1-8所示,在平面直角坐标系中,已知四边形 ，且
,,,.试画出四边形 的直观图.
【答案】（1）先画轴和轴,使 （如图D 11.1.1-
5（1））;
（2）在原图中作轴,垂足为，在轴上取 ,使
,作,并使 ;
图D 11.1.1-5
（3）同理确定点,, （如图D 11.1.1-5（1））,其中
,, ;
（4）顺次连接,,,，去掉辅助线，就得到了四边形
的直观图，如图D 11.1.1-5（2）所示.
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高二下学期数学人教B版必修第四册