11.1 空间几何体-11.1.2 构成空间几何体的基本元素 课件(共69张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.1 空间几何体-11.1.2 构成空间几何体的基本元素 课件(共69张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共69张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 空间中的点、线、面
1 基本元素
我们已经知道，长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体（几何体也简称为
“体”），包围着几何体的是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”
的形象.这就是说，可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素.
2 平面的图形表示
（1）在立体几何中，通常画一个平行四边形（也可以用三角形、圆等平面图形
表示平面）表示一个平面,并把它想象成是无限延展的.
图11.1.2-1
（2）当平面水平放置时,如图11.1.2-1（1）所示,平行
四边形的锐角通常画成 ,且横边长等于其邻边长的2倍；
当平面竖直放置时，如图11.1.2-1（2）所示,平行四边形的
一组对边通常画成铅垂线.
. .
3 平面的符号表示
图11.1.2-2
平面一般用希腊字母 ， ， ， 来命名，还可以用表
示它的平行四边形的四个顶点或对角顶点的字母来命名，如图
11.1.2-2 中的平面 也可表示为平面、平面、平面
或平面 .
特别提醒 （1）在平面的表示方法中，用希腊字母表示时，若题目条件已经说明平
面 、平面 等，则题目后面的叙述过程中可省略“平面 ”二字，而对于其他几种表
示,则不能省略“平面”二字，如平面不能省略成 .
（2）可用平面内不共线的三个点的字母表示平面，如平面 .
辨析比较 平面与平面图形的区别与联系
平面 平面图形
区别 几何里所说的平面是从现实物体中抽 象出来的，是无限延展的，因此是无 法度量的. 平面图形是指平面上的三角形、正方
形等几何图形，它们有面积的大小，
是可以度量的.
联系 通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延 展的. 典例详解
例1-1 下列说法正确的是( )
D
A.某大学校园内平静的湖面就是一个平面
B.10个平面叠起来的厚度是2个平面叠起来的厚度的5倍
C.有一个平面的长是，宽是
D.平面是绝对平滑、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念
【解析】平静的湖面只是给我们平面的形象，但它并不是无限延展的，故A错误；平
面是无厚度的，故B错误；平面是无限延展的，不可度量，故C错误；D显然正确．
点评 平面在我们生活中的直观体现就是一个桌面、一个黑板面、一个镜面等，其
主要特征就是“平”，而且是有界的.其实，在现实生活中平面是根本不存在的，我们
只是应用其“平”的特性来认识事物和求解有关问题.
例1-2 下列说法正确的是( )
B
A.平面的形状是平行四边形
B.平行四边形、三角形、圆都可以表示平面
C.平面的面积为
D.任何一个平面图形就是一个平面
【解析】平面是无限延展的，而平行四边形只是平面的一部分，它是不能无限延展
的，故A错误；通常画一个平行四边形表示一个平面，但有时根据具体情况，可以
用其他的平面图形，如圆、三角形等表示平面，故B正确；平面不能进行度量，故C
错误；任何一个平面图形都可以表示一个平面，但不是平面,故D错误.
知识点2 空间中点、线、面的位置关系
1 点与直线的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示
2 直线与直线的位置关系
（1）异面直线的定义
一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面.
这就是说，如果,是空间中的两条直线，则 与 有且只有一
种情况成立.而且，当 时，与要么平行（记作 ），要么异面.
说明 POINT
立体几何中，谈到两个点、两条直线、两个平面时，如不特别声明，均默认为
是不重合的.
. .
（2）三种位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数
相交 有且只有一个
平行 零个
异面 3 点与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示
4 直线与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
注意 直线与平面平行、直线与平面相交统称为直线在平面外.
5 两个平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数
有无数个公共点
没有公共点
典例详解
例2-3 如图11.1.2-11，观察正方体 ，判断下列直线的位置关系：
图11.1.2-11
①直线与直线 的位置关系是______；
平行
②直线与直线 的位置关系是______；
异面
③直线与直线 的位置关系是______；
相交
④直线与直线 的位置关系是______.
异面
【解析】直线与直线在平面 内，且没有交点，则两直线平行，所以
①应该填“平行”.直线与直线相交于点 ，所以③应该填“相交”.
点，，在平面内，而点不在平面内，则直线与直线 异面．
同理，直线与直线 异面，所以②④均应该填“异面”．
例2-4 在如图11.1.2-12所示的正方体 中，
图11.1.2-12
（1）与 所在直线平行的平面有___个；
2
【解析】与所在直线平行的平面有平面和平面 ；
（2）与 所在直线平行的平面有___个；
1
【解析】与所在直线平行的平面只有平面 ；
（3）与 所在直线相交的平面有___个.
2
【解析】与所在直线相交的平面有平面和平面 .
例2-5 （1）点在平面 , 的交线 上，用符号语言可表述为_______________.
,
（2）如图11.1.2-13,在长方体 中，
图11.1.2-13
①平面 平面 ______;
②平面 平面 ____.
知识点3 直线与平面垂直
1 直线与平面垂直
一般地，如果直线与平面 相交于一点，且对平面 内任意一条过点 的直
线,都有,则称直线与平面 垂直（或是平面 的一条垂线， 是直线 的一
个垂面）,记作 ,其中点 称为垂足.如图11.1.2-3所示.
图11.1.2-3
2 距离
给定空间中一个平面 及一个点，过可以作而且只可以作平面 的一条垂线.
如果记垂足为，则称为在平面 内的射影（也称为投影），线段为平面 的
垂线段，的长为点到平面 的距离.（到平面 的距离是到平面 上所有点
的距离的最小值）
特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到
这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离
称为这两平行平面之间的距离.
. .
. .
. .
典例详解
例3-6 ［多选题］对于长方体 中的点、线、面的位置关系，下列
说法正确的是( )
ACD
A.直线与直线平行 B.直线与平面 相交
C.直线与平面垂直 D.点与点到平面 的距离相等
【解析】A正确，连接，,由于直线与直线同在平面 内，且没
有交点，因此直线与直线 平行;
B不正确，直线与平面没有交点，因此直线与平面 平行;
C正确，平面内任意一条过点的直线都与直线垂直，因此直线 与
平面 垂直；
D正确，点到平面的距离为线段的长，点到平面 的距离为线段
的长，,因此点与点到平面 的距离相等.
释疑惑 重难拓展
知识点4 用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
1 点动成线
如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段（如图11.1.2-4
（1）所示）.如果点运动的方向时刻在变化，那么它运动的轨迹是一条曲线或曲线
的一段（如图11.1.2-4（2）所示）.
图11.1.2-4
2 线动成面
直线平行移动，可以形成平面或曲面（如图11.1.2-5（1）（2）所示）.固定射线
的端点,让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面（如图11.1.2-5（3）所示）.
图11.1.2-5
3 面动成体
水平放置的矩形上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形 可形
成长方体，如图11.1.2-6所示.
图11.1.2-6
典例详解
例4-7 下列说法中正确的是( )
A
A.直线的移动可以形成平面
B.直线绕定直线旋转只能形成柱面
C.曲线的平移一定形成曲面
D.矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
【解析】直线的移动可以形成平面，也可以形成曲面，故A正确；
直线绕与其相交但不垂直的直线旋转形成锥面，绕与其平行的直线旋转形成柱面，
故B不正确；
图11.1.2-14
如图11.1.2-14所示的曲线平移形成的是平面，故C不正确;
矩形上各点沿与矩形平面垂直的方向移动相同的距离，才能形成
长方体，故D不正确.
点评 用运动的观点看线、面、体的生成时，一定要看清点、线、面的运动方向和
运动方式.
知识点5 相交平面的画法
当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住部分的线段画成虚线或
者不画，以增强立体感.
图11.1.2-7
如图11.1.2-7（1）表示平面 在平面 的上面，图
11.1.2-7（2）表示平面 在平面 的前面.
图11.1.2-8
相交平面的具体画法如下：
（1）画两条相交的直线， ，
表示用平行四边形表示的两个相交平面的
两条边，如图11.1.2-8（1）；
（2）画两个相交平面的交线，通过端点，，，分别画出与 平行且
相等的线段，，，，连接和 ，可以得到表示平面的平行四边形
和 ，如图11.1.2-8（2）；
（3）把被平面遮住的部分画成虚线或者不画，如图11.1.2-8（3）．
典例详解
图11.1.2-15
例5-8 按照下面给出的要求，完成两个相交平面的作图.已知图
11.1.2-15中，线段 是两个平面的交线.
图11.1.2-16
【解析】只需过线段的端点画出与交线 平行且相等的线段，即
可得到相交的平行四边形，注意被平面遮住的部分应画成虚线或
者不画，然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可.示意图分
别如图11.1.2-16（1）（2）所示.
【想一想丨问题质疑】
为何要区别空间图形中的实线与虚线？
提示 如图11.1.2-17（1），可以想象出三种不同的形状：①想象成点 和我们的眼
睛分别位于平面的两侧，我们看不见点；②想象成点 和我们的眼睛在平面
的同侧，我们能看见点；③点在三角形 的内部.而图11.1.2-17（2）则不
会产生上述感觉，同时也符合人的视觉效果原理：近实远虚.
图11.1.2-17
知识点6 平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢？三个平面呢？
（1）两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分,如图11.1.2-9（1）;
图 11.1.2-9
②当两个平面相交时，将空间分成四部分,如图11.1.2
-9（2）.
（2）三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分,如图11.1.2-10（1）；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分,如图11.1.2-
10（2）；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分,如图11.1.2-10（3）；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分,如
图11.1.2-10（4）；
图11.1.2-10
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交
于同一点时，将空间分成八部分,如图11.1.2-10（5）.
典例详解
例6-9 (2025·广东省广州市期末)空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别
分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是
( )
B
A.25 B.26 C.28 D.30
【解析】先研究直线分一个平面：
1条直线分一个平面为2部分，2条直线最多分一个平面为4部分，
图11.1.2-18
3条直线最多分一个平面为7部分，如图11.1.2-18（1）,
4条直线最多分一个平面为11部分，如图11.1.2-18（2）.
由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，
4个，8个区域，
第4个平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域，
所以4个平面最多可将空间分成 （个）区域，
第5个平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域，
（利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析）
所以5个平面最多可将空间分成 （个）区域.
题型解析
03
题型1 三种语言的转化
例10 根据下列符号表示的语句，说明点、直线、平面之间的位置关系，并画出相应
的图形：
（1） , ;
【解析】点在平面 内，点不在平面 内.
（2） ,, ;
【解析】直线在平面 内，直线与平面 相交于点，且点不在直线 上.
（3）, ,, .
【解析】直线经过平面 外一点和平面 内一点 .
图形分别如图11.1.2-19（1）（2）（3）所示.
图11.1.2-19
解决几何问题，三种语言之间的相互转换是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如
点与直线、点与平面之间的位置关系只能用“ ”或“ ”，直线与平面之间的位置关
系只能用“ ”或“ ”.用图形语言表示直线、平面之间的位置关系时，要注意实线和
虚线的区别.
【变式题】
图11.1.2-20
1.(2025·广西南宁市第三十六中学月考)如图11.1.2-20所示，点、
直线、平面的位置关系用符号表示正确的是( )
A
A., ,
B., ,
C., ,,
D., ,,
【解析】平面 与平面 相交于直线,记作;直线在平面 内，记作
;直线与直线相交于点,记作;点在直线上，记作;点 在
直线上，记作 .故选A.
题型2 空间点、线、面的位置关系
例11 给出以下命题（其中,表示直线， 表示平面）:
①若 ， ，则 ;
②若, ,则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 的同侧有两点,到平面 的距离相等，则 .
其中真命题的个数是( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】如图11.1.2-21，在长方体中，平面， 平
面，但与 相交，故①错误；
图11.1.2-21
，平面，但 平面 ，故②错误；
平面， 平面，但与 异面，故③错误；
④显然正确.
名师点评 有关直线与平面的位置关系的问题，我们可借助熟悉的几何体（如正方体、
长方体）模型来解决.
例12 (2025·湖南省娄底市期中)已知 ， 是两个不重合的平面，下列说法中正确
的是( )
D
A.若平面 内有两条直线，都与平面 平行，则
B.若平面 内有无数条直线平行于平面 ，则
C.若直线与平面 和平面 都平行，则
D.若平面 内所有的直线都与平面 平行，则
思路点拨 从平面与平面平行的定义，即两平面没有公共点出发进行判断.
【解析】A，B都不能保证 ， 无公共点，如图11.1.2-22（1）所示，故A,B错；C
中当 ， 时， 与 可能相交，如图11.1.2-22（2）所示,故C错；只有D能
保证 ， 一定无公共点，即 ，故D正确．
图11.1.2-22
名师点评 两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间
的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.
图11.1.2-23
例13 图11.1.2-23是长方体的表面展开图，在这个长方体中:
（1）直线与平面 的位置关系是怎样的？
（2）平面与平面 的位置关系是怎样的？
（3）线段的长度是点到平面 的距离吗？
思路点拨 可将长方体的表面展开图用纸片画好，通过折
叠还原长方体，进而得出判断.
【解析】根据展开图还原长方体，示意图如图11.1.2-24所示，则（1）直线 平
面 ；
（2）平面平面 ；
（3）线段的长度是点到平面 的距离.
图11.1.2-24
判断点、线、面位置关系的方法
对长方体中的点、线、面的位置关系进行分析时，可通过制作几何模型或利用身边
的实际物体来帮助理解，以具体形象的实物来辅助抽象思维，让直观感知促进空间
想象能力的提升.
【变式题】
图11.1.2-25
2.新定义 两点可视 (2025·河北省邢台市第一中学月考)如图
11.1.2-25，正方体中，,,,, 分别为线段
,,,,的中点，连接, ，对空间任意两点
,，若线段与线段不相交或与线段 不相交，则称
,两点可视，下列选项中与点 不可视的为( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
图D 11.1.2-1
【解析】对于A，如图D 11.1.2-1,连接,,，因为, ,
平面， 平面，且 ，所以直线
与是异面直线，所以点与点 可视，故A错误；
图D 11.1.2-2
对于B，如图D 11.1.2-2，连接,,，得, 平
面，且与相交.连接,, ，因为
，，所以四边形 是平行四边形，得
与相交，所以点与点 不可视，故B正确；
图D 11.1.2-3
对于C，如图D 11.1.2-3，连接,，，因为,,
平面， 平面，且，所以直线 与
是异面直线，所以点与点 可视，故C错误；
图D 11.1.2-4
对于D，如图D 11.1.2-4，连接，,因为,, 平面
， 平面，且，所以直线与 是
异面直线，所以点与点 可视，故D错误.
知识测评
04
1.下列说法中错误的是( )
D
A.角一定是平面图形 B.平面是由它内部的所有点组成的集合
C.平面是点的无限集 D.平面图形是点的有限集
【解析】平面图形是点的无限集.
2.下面空间图形的画法错误的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】被平面遮住的部分应该画成虚线或不画，故选项B中的图形画法错误.
3.(2025·河南省许昌市期中)已知直线 平面 ,, ,则( )
D
A. , B. , C. , D.
【解析】由点、线、面之间的位置关系可判断 ,但与 的关系不确定.
图11.1.2-1
4.(2025·浙江省培优联盟联考)某正方体的表面展开图如图
11.1.2-1所示，则在原正方体中的四条直线,,,
中，不相交的直线的对数为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】将表面展开图还原成正方体后，易知与 ，
与，与，与 ，这四对直线不相交，其
中与 平行，其余三对既不平行也不相交.
图11.1.2-2
5.(2025·湖南省长沙市第一中学入学考试)如图11.1.2-2，在正方
体中，是 上的动点，则下列直线中，始
终与直线 异面的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】对于A，如图D 11.1.2-1（1），当点为 的中点时，
（【解题关键】找出易证明两直线不异面的点 的特殊位置）
连接,,则在上， 平面，又 平
面，所以与 共面，故A不正确；
图D 11.1.2-1
对于B，如图D 11.1.2-1（2），连接 ,易知
平面， 平面 ，且
平面,不在上,所以 与
为异面直线，故B正确；
当点与点重合时，连接, ，由正方
体的性质，易知，与 相交，
故C,D不正确.故选B．
6.已知水平放置的矩形中，， ，将它沿垂直方向平移
，可形成长方体 .则
（1）该长方体的高为______；
（2）平面与平面 间的距离为______；
（3）点到平面 的距离为______.
7.有以下三个结论：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线在平面 内，可以用符号“ ”表示；
③已知平面 与 不重合，若平面 内的一条直线与平面 内的一条直线 相交，
则 与 相交.
其中正确结论的序号是______.
①③
【解析】由直线在平面外的位置关系可知①正确；
直线在平面 内用符号“ ”表示，即 ,②错误；
由与相交， , 知两个平面有公共点，故 与 一定相交，故③正确.
8.请给图11.1.2-3中的图形补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形.
图11.1.2-3
【答案】如图D 11.1.2-2所示.
图D 11.1.2-2
9.如图11.1.2-4所示的长方体 ，如果把它的12条棱延伸为直线，6个
面延伸为平面，那么对于这12条直线与6个平面，回答下列问题:
图11.1.2-4
（1）与直线 平行的平面有哪些？
【答案】与直线平行的平面有：平面，平面 .
（2）与直线 垂直的平面有哪些？
【答案】与直线垂直的平面有：平面，平面 .
（3）与平面 平行的平面有哪些？
【答案】与平面平行的平面有：平面 .
（4）与直线 异面的直线有哪些
【答案】与直线异面的直线有：直线，直线，直线，直线 .
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高二下学期数学人教B版必修第四册
11.1 空间几何体
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 空间中的点、线、面
1 基本元素
我们已经知道，长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体（几何体也简称为
“体”），包围着几何体的是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”
的形象.这就是说，可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素.
2 平面的图形表示
（1）在立体几何中，通常画一个平行四边形（也可以用三角形、圆等平面图形
表示平面）表示一个平面,并把它想象成是无限延展的.
图11.1.2-1
（2）当平面水平放置时,如图11.1.2-1（1）所示,平行
四边形的锐角通常画成 ,且横边长等于其邻边长的2倍；
当平面竖直放置时，如图11.1.2-1（2）所示,平行四边形的
一组对边通常画成铅垂线.
. .
3 平面的符号表示
图11.1.2-2
平面一般用希腊字母 ， ， ， 来命名，还可以用表
示它的平行四边形的四个顶点或对角顶点的字母来命名，如图
11.1.2-2 中的平面 也可表示为平面、平面、平面
或平面 .
特别提醒 （1）在平面的表示方法中，用希腊字母表示时，若题目条件已经说明平
面 、平面 等，则题目后面的叙述过程中可省略“平面 ”二字，而对于其他几种表
示,则不能省略“平面”二字，如平面不能省略成 .
（2）可用平面内不共线的三个点的字母表示平面，如平面 .
辨析比较 平面与平面图形的区别与联系
平面 平面图形
区别 几何里所说的平面是从现实物体中抽 象出来的，是无限延展的，因此是无 法度量的. 平面图形是指平面上的三角形、正方
形等几何图形，它们有面积的大小，
是可以度量的.
联系 通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延 展的. 典例详解
例1-1 下列说法正确的是( )
D
A.某大学校园内平静的湖面就是一个平面
B.10个平面叠起来的厚度是2个平面叠起来的厚度的5倍
C.有一个平面的长是，宽是
D.平面是绝对平滑、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念
【解析】平静的湖面只是给我们平面的形象，但它并不是无限延展的，故A错误；平
面是无厚度的，故B错误；平面是无限延展的，不可度量，故C错误；D显然正确．
点评 平面在我们生活中的直观体现就是一个桌面、一个黑板面、一个镜面等，其
主要特征就是“平”，而且是有界的.其实，在现实生活中平面是根本不存在的，我们
只是应用其“平”的特性来认识事物和求解有关问题.
例1-2 下列说法正确的是( )
B
A.平面的形状是平行四边形
B.平行四边形、三角形、圆都可以表示平面
C.平面的面积为
D.任何一个平面图形就是一个平面
【解析】平面是无限延展的，而平行四边形只是平面的一部分，它是不能无限延展
的，故A错误；通常画一个平行四边形表示一个平面，但有时根据具体情况，可以
用其他的平面图形，如圆、三角形等表示平面，故B正确；平面不能进行度量，故C
错误；任何一个平面图形都可以表示一个平面，但不是平面,故D错误.
知识点2 空间中点、线、面的位置关系
1 点与直线的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示
2 直线与直线的位置关系
（1）异面直线的定义
一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面.
这就是说，如果,是空间中的两条直线，则 与 有且只有一
种情况成立.而且，当 时，与要么平行（记作 ），要么异面.
说明 POINT
立体几何中，谈到两个点、两条直线、两个平面时，如不特别声明，均默认为
是不重合的.
. .
（2）三种位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数
相交 有且只有一个
平行 零个
异面 3 点与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示
4 直线与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
注意 直线与平面平行、直线与平面相交统称为直线在平面外.
5 两个平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数
有无数个公共点
没有公共点
典例详解
例2-3 如图11.1.2-11，观察正方体 ，判断下列直线的位置关系：
图11.1.2-11
①直线与直线 的位置关系是______；
平行
②直线与直线 的位置关系是______；
异面
③直线与直线 的位置关系是______；
相交
④直线与直线 的位置关系是______.
异面
【解析】直线与直线在平面 内，且没有交点，则两直线平行，所以
①应该填“平行”.直线与直线相交于点 ，所以③应该填“相交”.
点，，在平面内，而点不在平面内，则直线与直线 异面．
同理，直线与直线 异面，所以②④均应该填“异面”．
例2-4 在如图11.1.2-12所示的正方体 中，
图11.1.2-12
（1）与 所在直线平行的平面有___个；
2
【解析】与所在直线平行的平面有平面和平面 ；
（2）与 所在直线平行的平面有___个；
1
【解析】与所在直线平行的平面只有平面 ；
（3）与 所在直线相交的平面有___个.
2
【解析】与所在直线相交的平面有平面和平面 .
例2-5 （1）点在平面 , 的交线 上，用符号语言可表述为_______________.
,
（2）如图11.1.2-13,在长方体 中，
图11.1.2-13
①平面 平面 ______;
②平面 平面 ____.
知识点3 直线与平面垂直
1 直线与平面垂直
一般地，如果直线与平面 相交于一点，且对平面 内任意一条过点 的直
线,都有,则称直线与平面 垂直（或是平面 的一条垂线， 是直线 的一
个垂面）,记作 ,其中点 称为垂足.如图11.1.2-3所示.
图11.1.2-3
2 距离
给定空间中一个平面 及一个点，过可以作而且只可以作平面 的一条垂线.
如果记垂足为，则称为在平面 内的射影（也称为投影），线段为平面 的
垂线段，的长为点到平面 的距离.（到平面 的距离是到平面 上所有点
的距离的最小值）
特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到
这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离
称为这两平行平面之间的距离.
. .
. .
. .
典例详解
例3-6 ［多选题］对于长方体 中的点、线、面的位置关系，下列
说法正确的是( )
ACD
A.直线与直线平行 B.直线与平面 相交
C.直线与平面垂直 D.点与点到平面 的距离相等
【解析】A正确，连接，,由于直线与直线同在平面 内，且没
有交点，因此直线与直线 平行;
B不正确，直线与平面没有交点，因此直线与平面 平行;
C正确，平面内任意一条过点的直线都与直线垂直，因此直线 与
平面 垂直；
D正确，点到平面的距离为线段的长，点到平面 的距离为线段
的长，,因此点与点到平面 的距离相等.
释疑惑 重难拓展
知识点4 用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
1 点动成线
如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段（如图11.1.2-4
（1）所示）.如果点运动的方向时刻在变化，那么它运动的轨迹是一条曲线或曲线
的一段（如图11.1.2-4（2）所示）.
图11.1.2-4
2 线动成面
直线平行移动，可以形成平面或曲面（如图11.1.2-5（1）（2）所示）.固定射线
的端点,让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面（如图11.1.2-5（3）所示）.
图11.1.2-5
3 面动成体
水平放置的矩形上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形 可形
成长方体，如图11.1.2-6所示.
图11.1.2-6
典例详解
例4-7 下列说法中正确的是( )
A
A.直线的移动可以形成平面
B.直线绕定直线旋转只能形成柱面
C.曲线的平移一定形成曲面
D.矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
【解析】直线的移动可以形成平面，也可以形成曲面，故A正确；
直线绕与其相交但不垂直的直线旋转形成锥面，绕与其平行的直线旋转形成柱面，
故B不正确；
图11.1.2-14
如图11.1.2-14所示的曲线平移形成的是平面，故C不正确;
矩形上各点沿与矩形平面垂直的方向移动相同的距离，才能形成
长方体，故D不正确.
点评 用运动的观点看线、面、体的生成时，一定要看清点、线、面的运动方向和
运动方式.
知识点5 相交平面的画法
当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住部分的线段画成虚线或
者不画，以增强立体感.
图11.1.2-7
如图11.1.2-7（1）表示平面 在平面 的上面，图
11.1.2-7（2）表示平面 在平面 的前面.
图11.1.2-8
相交平面的具体画法如下：
（1）画两条相交的直线， ，
表示用平行四边形表示的两个相交平面的
两条边，如图11.1.2-8（1）；
（2）画两个相交平面的交线，通过端点，，，分别画出与 平行且
相等的线段，，，，连接和 ，可以得到表示平面的平行四边形
和 ，如图11.1.2-8（2）；
（3）把被平面遮住的部分画成虚线或者不画，如图11.1.2-8（3）．
典例详解
图11.1.2-15
例5-8 按照下面给出的要求，完成两个相交平面的作图.已知图
11.1.2-15中，线段 是两个平面的交线.
图11.1.2-16
【解析】只需过线段的端点画出与交线 平行且相等的线段，即
可得到相交的平行四边形，注意被平面遮住的部分应画成虚线或
者不画，然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可.示意图分
别如图11.1.2-16（1）（2）所示.
【想一想丨问题质疑】
为何要区别空间图形中的实线与虚线？
提示 如图11.1.2-17（1），可以想象出三种不同的形状：①想象成点 和我们的眼
睛分别位于平面的两侧，我们看不见点；②想象成点 和我们的眼睛在平面
的同侧，我们能看见点；③点在三角形 的内部.而图11.1.2-17（2）则不
会产生上述感觉，同时也符合人的视觉效果原理：近实远虚.
图11.1.2-17
知识点6 平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢？三个平面呢？
（1）两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分,如图11.1.2-9（1）;
图 11.1.2-9
②当两个平面相交时，将空间分成四部分,如图11.1.2
-9（2）.
（2）三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分,如图11.1.2-10（1）；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分,如图11.1.2-
10（2）；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分,如图11.1.2-10（3）；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分,如
图11.1.2-10（4）；
图11.1.2-10
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交
于同一点时，将空间分成八部分,如图11.1.2-10（5）.
典例详解
例6-9 (2025·广东省广州市期末)空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别
分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是
( )
B
A.25 B.26 C.28 D.30
【解析】先研究直线分一个平面：
1条直线分一个平面为2部分，2条直线最多分一个平面为4部分，
图11.1.2-18
3条直线最多分一个平面为7部分，如图11.1.2-18（1）,
4条直线最多分一个平面为11部分，如图11.1.2-18（2）.
由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，
4个，8个区域，
第4个平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域，
所以4个平面最多可将空间分成 （个）区域，
第5个平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域，
（利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析）
所以5个平面最多可将空间分成 （个）区域.
题型解析
03
题型1 三种语言的转化
例10 根据下列符号表示的语句，说明点、直线、平面之间的位置关系，并画出相应
的图形：
（1） , ;
【解析】点在平面 内，点不在平面 内.
（2） ,, ;
【解析】直线在平面 内，直线与平面 相交于点，且点不在直线 上.
（3）, ,, .
【解析】直线经过平面 外一点和平面 内一点 .
图形分别如图11.1.2-19（1）（2）（3）所示.
图11.1.2-19
解决几何问题，三种语言之间的相互转换是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如
点与直线、点与平面之间的位置关系只能用“ ”或“ ”，直线与平面之间的位置关
系只能用“ ”或“ ”.用图形语言表示直线、平面之间的位置关系时，要注意实线和
虚线的区别.
【变式题】
图11.1.2-20
1.(2025·广西南宁市第三十六中学月考)如图11.1.2-20所示，点、
直线、平面的位置关系用符号表示正确的是( )
A
A., ,
B., ,
C., ,,
D., ,,
【解析】平面 与平面 相交于直线,记作;直线在平面 内，记作
;直线与直线相交于点,记作;点在直线上，记作;点 在
直线上，记作 .故选A.
题型2 空间点、线、面的位置关系
例11 给出以下命题（其中,表示直线， 表示平面）:
①若 ， ，则 ;
②若, ,则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 的同侧有两点,到平面 的距离相等，则 .
其中真命题的个数是( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】如图11.1.2-21，在长方体中，平面， 平
面，但与 相交，故①错误；
图11.1.2-21
，平面，但 平面 ，故②错误；
平面， 平面，但与 异面，故③错误；
④显然正确.
名师点评 有关直线与平面的位置关系的问题，我们可借助熟悉的几何体（如正方体、
长方体）模型来解决.
例12 (2025·湖南省娄底市期中)已知 ， 是两个不重合的平面，下列说法中正确
的是( )
D
A.若平面 内有两条直线，都与平面 平行，则
B.若平面 内有无数条直线平行于平面 ，则
C.若直线与平面 和平面 都平行，则
D.若平面 内所有的直线都与平面 平行，则
思路点拨 从平面与平面平行的定义，即两平面没有公共点出发进行判断.
【解析】A，B都不能保证 ， 无公共点，如图11.1.2-22（1）所示，故A,B错；C
中当 ， 时， 与 可能相交，如图11.1.2-22（2）所示,故C错；只有D能
保证 ， 一定无公共点，即 ，故D正确．
图11.1.2-22
名师点评 两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间
的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.
图11.1.2-23
例13 图11.1.2-23是长方体的表面展开图，在这个长方体中:
（1）直线与平面 的位置关系是怎样的？
（2）平面与平面 的位置关系是怎样的？
（3）线段的长度是点到平面 的距离吗？
思路点拨 可将长方体的表面展开图用纸片画好，通过折
叠还原长方体，进而得出判断.
【解析】根据展开图还原长方体，示意图如图11.1.2-24所示，则（1）直线 平
面 ；
（2）平面平面 ；
（3）线段的长度是点到平面 的距离.
图11.1.2-24
判断点、线、面位置关系的方法
对长方体中的点、线、面的位置关系进行分析时，可通过制作几何模型或利用身边
的实际物体来帮助理解，以具体形象的实物来辅助抽象思维，让直观感知促进空间
想象能力的提升.
【变式题】
图11.1.2-25
2.新定义 两点可视 (2025·河北省邢台市第一中学月考)如图
11.1.2-25，正方体中，,,,, 分别为线段
,,,,的中点，连接, ，对空间任意两点
,，若线段与线段不相交或与线段 不相交，则称
,两点可视，下列选项中与点 不可视的为( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
图D 11.1.2-1
【解析】对于A，如图D 11.1.2-1,连接,,，因为, ,
平面， 平面，且 ，所以直线
与是异面直线，所以点与点 可视，故A错误；
图D 11.1.2-2
对于B，如图D 11.1.2-2，连接,,，得, 平
面，且与相交.连接,, ，因为
，，所以四边形 是平行四边形，得
与相交，所以点与点 不可视，故B正确；
图D 11.1.2-3
对于C，如图D 11.1.2-3，连接,，，因为,,
平面， 平面，且，所以直线 与
是异面直线，所以点与点 可视，故C错误；
图D 11.1.2-4
对于D，如图D 11.1.2-4，连接，,因为,, 平面
， 平面，且，所以直线与 是
异面直线，所以点与点 可视，故D错误.
知识测评
04
1.下列说法中错误的是( )
D
A.角一定是平面图形 B.平面是由它内部的所有点组成的集合
C.平面是点的无限集 D.平面图形是点的有限集
【解析】平面图形是点的无限集.
2.下面空间图形的画法错误的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】被平面遮住的部分应该画成虚线或不画，故选项B中的图形画法错误.
3.(2025·河南省许昌市期中)已知直线 平面 ,, ,则( )
D
A. , B. , C. , D.
【解析】由点、线、面之间的位置关系可判断 ,但与 的关系不确定.
图11.1.2-1
4.(2025·浙江省培优联盟联考)某正方体的表面展开图如图
11.1.2-1所示，则在原正方体中的四条直线,,,
中，不相交的直线的对数为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】将表面展开图还原成正方体后，易知与 ，
与，与，与 ，这四对直线不相交，其
中与 平行，其余三对既不平行也不相交.
图11.1.2-2
5.(2025·湖南省长沙市第一中学入学考试)如图11.1.2-2，在正方
体中，是 上的动点，则下列直线中，始
终与直线 异面的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】对于A，如图D 11.1.2-1（1），当点为 的中点时，
（【解题关键】找出易证明两直线不异面的点 的特殊位置）
连接,,则在上， 平面，又 平
面，所以与 共面，故A不正确；
图D 11.1.2-1
对于B，如图D 11.1.2-1（2），连接 ,易知
平面， 平面 ，且
平面,不在上,所以 与
为异面直线，故B正确；
当点与点重合时，连接, ，由正方
体的性质，易知，与 相交，
故C,D不正确.故选B．
6.已知水平放置的矩形中，， ，将它沿垂直方向平移
，可形成长方体 .则
（1）该长方体的高为______；
（2）平面与平面 间的距离为______；
（3）点到平面 的距离为______.
7.有以下三个结论：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线在平面 内，可以用符号“ ”表示；
③已知平面 与 不重合，若平面 内的一条直线与平面 内的一条直线 相交，
则 与 相交.
其中正确结论的序号是______.
①③
【解析】由直线在平面外的位置关系可知①正确；
直线在平面 内用符号“ ”表示，即 ,②错误；
由与相交， , 知两个平面有公共点，故 与 一定相交，故③正确.
8.请给图11.1.2-3中的图形补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形.
图11.1.2-3
【答案】如图D 11.1.2-2所示.
图D 11.1.2-2
9.如图11.1.2-4所示的长方体 ，如果把它的12条棱延伸为直线，6个
面延伸为平面，那么对于这12条直线与6个平面，回答下列问题:
图11.1.2-4
（1）与直线 平行的平面有哪些？
【答案】与直线平行的平面有：平面，平面 .
（2）与直线 垂直的平面有哪些？
【答案】与直线垂直的平面有：平面，平面 .
（3）与平面 平行的平面有哪些？
【答案】与平面平行的平面有：平面 .
（4）与直线 异面的直线有哪些
【答案】与直线异面的直线有：直线，直线，直线，直线 .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册