11.1 空间几何体-11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台 课件(共129张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.1 空间几何体-11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台 课件(共129张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共129张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 多面体
1 多面体的相关概念
一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.
多面体的面 围成多面体的各个多边形称为多面体的面，如面，面 .
多面体的棱 相邻两个面的公共边称为多面体的棱，如棱，棱 .
多面体的顶点 棱与棱的公共点称为多面体的顶点，如顶点，顶点 .
多面体的面对 角线 一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的
棱，就称其为多面体的面对角线，如 是一条面对角线.
. .
多面体的体对 角线 一个多面体中，连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体
对角线，如体对角线 .
截面 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），
称为这个几何体的一个截面.图11.1.3-1中画出了多面体的一个截面
.
图示
图11.1.3-1
续表
（1）多面体可以按照围成它的面的个数分为四面体、五面体、六面体……
（2）多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积（或全面积）.
（3）各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正
多面体.
知识剖析（1）多面体最少有四个面、四个顶点、六条棱.
（2）不是所有的多面体都有体对角线，有些多面体就没有体对角线，如图
11.1.3-2中的（1）（2）（3）.但如果多面体有体对角线，就可能有多条体对角线，
如图11.1.3-2中的（4）（5）.
图11.1.3-2
2 凸多面体
把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，
则称这样的多面体为凸多面体.
典例详解
例1-1 下列实物不能近似看成多面体的是( )
C
A.钻石 B.骰子 C.足球 D.金字塔
【解析】钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近
似看成多面体.足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体.
【想一想丨问题质疑】
共有多少种不同的正多面体？
提示 正多面体总共有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、
正二十面体.这一结论可由欧拉公式探究得出,其中,, 分别为多面体
的顶点数、面数、棱数.
图11.1.3-10
例1-2 在如图11.1.3-10所示的几何体中，____________
是凸多面体（填序号）.
（1）（2）
【解析】把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果
其余的各面都在这个平面的同一侧，那么这个多面体就
是凸多面体，所以（1）（2）是凸多面体，（3）不是
凸多面体.
例1-3 已知集合多面体，长方体，凸多面体，则集合，， 之
间的关系为___________.
【解析】凸多面体也是多面体， .
而长方体是凸多面体，但凸多面体不一定是长方体，如四面体等，
.
知识点2 棱柱
1 棱柱的概念
棱柱 有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是
平行四边形，由这些面围成的几何体称为棱柱.
图示
图11.1.3-3
底面 两个互相平行的面称为棱柱的底面（底面水平放置时，分别称为上底
面、下底面）.
侧面 其余各面称为棱柱的侧面.
侧棱 相邻两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱.
高 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段
（或它的长度）称为棱柱的高.
侧面积 棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积.
续表
2 棱柱的表示
（1）用表示两底面的对应顶点的字母来表示.
（2）用一条体对角线端点的两个字母来表示.如图11.1.3-3（2）中的棱柱可表示
为棱柱或棱柱 .
3 棱柱的分类
（1）按底面的形状分.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱依次称为三棱柱、四棱柱、五棱
柱……
（2）按侧棱是否和底面垂直分.
如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱
称为直棱柱（不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱）.特别地，底面是正多边形的直棱柱称
为正棱柱.图11.1.3-3中，（1）是斜棱柱， 都是直棱柱,且（3）是正棱柱.
4 棱柱的结构特征
几何体 底面 侧面 侧棱 高 平行于底面的
截面
斜棱柱 平行且全等的两 个多边形 平行四 边形 平行且相等 一个底面上的 点到另一个底 面的距离 与底面全等
直棱柱 平行且全等的两 个多边形 矩形 平行、相等且 垂直于底面 等于侧棱 与底面全等
正棱柱 平行且全等的两 个正多边形 全等的 矩形 平行、相等且 垂直于底面 等于侧棱 与底面全等
5 特殊的四棱柱
底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为
直平行六面体.不难看出，底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体，
而棱长都相等的长方体就是正方体.它们之间的关系如下：
典例详解
例2-4 如图11.1.3-11所示的几何体中，棱柱的个数为( )
D
图11.1.3-11
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据棱柱的定义知，这四个几何体都是棱柱.
例2-5 ［教材改编P71 练习B T4］［多选题］下列说法正确的为( )
BC
A.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
【解析】A错误，因为棱柱中可能存在两个侧面互相平行的情况.棱柱的底面需满足
两个条件：一是两个面互相平行；二是所有顶点都在这两个面上.
B正确，由棱柱的定义可知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面
的形状完全相同．
C正确，由棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形．
图11.1.3-12
D错误,因为缺少“顶点都在这两个互相平行的平面上”这一条件.如
图11.1.3-12所示的几何体就不是棱柱.
例2-6 ［多选题］下列集合间关系正确的是( )
ABC
A.正方体长方体 B.长方体直平行六面体
C.正四棱柱长方体 D.直平行六面体正四棱柱
【解析】因为正方体都是长方体，但长方体不一定是正方体，所以正方体 长方
体 ，A正确；
因为底面是矩形的直平行六面体是长方体，所以长方体直平行六面体 ，B正确;
因为底面是正方形的长方体为正四棱柱，所以正四棱柱长方体 ，C正确；
因为正四棱柱都是直平行六面体，但直平行六面体不一定是正四棱柱，所以D错误.
知识点3 棱锥
1 棱锥的概念
棱锥 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的
三角形，则称这个多面体为棱锥.
图示
图11.1.3-4
底面 棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面.
侧面 有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面.
顶点 各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点.
侧棱 相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱.
高 过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）称为
棱锥的高.
侧面积 棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积.
续表
2 棱锥的分类
棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可
分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥.
3 棱锥的表示
棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.例如，如图11.1.3-4所示的是一个四
棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥或棱锥 .
4 正棱锥
如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则
称这个棱锥为正棱锥（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体） .可以看
出，正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，
称为正棱锥的斜高（只有正棱锥才有斜高）.
. .
. .
5 棱锥的结构特征
几何体 侧面 侧棱 底面 高 平行于底面的
截面
正棱锥 全等的等 腰三角形 有一个公共顶 点且相等 正多边 形 顶点与底面的 中心的连线 与底面相似
其他棱锥 三角形 有一个公共顶 点 多边形 顶点到底面的 距离 与底面相似
典例详解
【想一想丨问题质疑】
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？
提示 不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶
点的三角形”，如图11.1.3-13所示的几何体就不是棱锥.
图11.1.3-13
例3-7 ［多选题］下列说法正确的是( )
BD
A.三条侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的各侧棱长都相等
D.正四面体的棱长都相等
【解析】三条侧棱都相等的三棱锥的底面不一定是正三角形，棱锥的顶点与底面中
心的连线也不一定垂直于底面，故A不正确；
四面体就是由四个都是三角形的面所围成的几何体，因此，四面体的任何一个面都
可以作为棱锥的底面，故B正确；
棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共顶点，故C不正确;
由正四面体的定义可知D正确.
点评 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，这是我们以后利用“等体积法”
求顶点到底面的距离的依据.
知识点4 棱台
1 棱台的概念
棱台 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的
多面体称为棱台.
图示
图11.1.3-5
上底面 原棱锥的截面称为棱台的上底面.
下底面 原棱锥的底面称为棱台的下底面.
侧面 除去上底面和下底面，其余各面称为棱台的侧面.
侧棱 相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱.
高 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的
线段（或它的长度）称为棱台的高.
表示 棱台可用上底面与下底面的顶点的字母来表示，如图11.1.3-5中的棱
台可表示为棱台 .
续表
2 棱台的分类
棱台可以按底面的形状分为三棱台、四棱台、五棱台……
3 正棱台
由正棱锥截得的棱台称为正棱台.不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，
两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些
等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高.
4 棱台的结构特征
几何体 侧面 侧棱 底面 高 平行于底面
的截面
正棱台 全等的等 腰梯形 相等且延长 后交于一点 平行且相似的 两个正多边形 两底面的中心的连线 与底面相似
其他棱 台 梯形 延长后交于 一点 平行且相似的 两个多边形 一个底面上的任意一 个顶点到另一个底面 的距离 与底面相似
典例详解
例4-8 (2025·山西省大同市期中)下列命题中正确的是( )
C
A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B.用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面间的多面体是棱台
C.两底面互相平行，且各侧棱延长后交于一点的多面体是棱台
D.两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
【解析】由图11.1.3-14可知A，D不正确.
图11.1.3-14
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的多面体叫做棱台.因此，若一个几何体
为棱台，则需满足“两底面互相平行，且各侧棱延长后交于一点”，故B不正确，C正确.
例4-9 在如图11.1.3-15所示的几何体中，是棱台的是( )
C
图11.1.3-15
A.①② B.①③ C.③ D.②③
【解析】①中几何体各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③
中几何体各侧棱的延长线能交于一点，且截面与底面平行.故只有③是棱台.
点评 判断一个多面体是棱台的方法
判断一个多面体为棱台，关键要抓住两个特征：（1）各侧棱的延长线交于一点；
（2）两底面平行.还可以由“两底面的对应边平行，且这些对应边成比例”这一性质进
行判断.在把握棱台的结构特征时，一定要认识到它是棱锥的一部分，而不能只看现
象不看本质.
知识点5 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积和表面积
直棱柱 正棱锥 正棱台
侧面 展开 图
侧面 积
直棱柱 正棱锥 正棱台
表面 积 直棱柱的表面积等 于侧面积与两底面 面积之和. 正棱锥的表面积等于 侧面积与底面面积之 和. 正棱台的表面积等于侧面积与
上、下底面面积之和.
说明 其中为正棱锥的底面边长，,分别为正棱台的上、下底面边长， 为直棱 柱、正棱锥的底面周长,,分别为正棱台的上、下底面周长, 为直棱柱的高, 为正棱锥、正棱台的斜高. 续表
知识剖析 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系#1.1
典例详解
例5-10 若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为 ，则它的表面积为
_______.
【解析】正六棱柱的底面边长为，所以正六棱柱的底面面积为
（将一个底面拆为6个正三角形）.
又侧面对角线的长为，所以侧棱长为 ，则该正六棱柱的表面积为
. .
例5-11 已知正三棱锥的底面三角形的边长为，斜高为 ，则该正三棱锥的
侧面积为______，表面积为______ .
【解析】该正三棱锥的侧面积 ，表面积
.
例5-12 已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是 ,求它的表面积.
【解析】因为正四棱台的上、下底面边长分别为,，侧棱长为 ，所以斜
高 .
所以 .
故此正四棱台的表面积为 .
释疑惑 重难拓展
知识点6 棱柱、棱锥、棱台的截面
1 平行于底面的截面
（1）用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面是与底面全等的多边形.
（2）用一个平行于棱锥（棱台）底面的平面去截棱锥（棱台），得到的截面是
与底面相似的多边形.
2 纵截面
（1）过棱柱的不相邻的两条侧棱作一个截面，得到的四边形是平行四边形，如
图11.1.3-6中，四边形 为平行四边形.
（2）如图11.1.3-7，过棱锥的高和侧棱作截面，得到的截面是三角形，其中，
棱锥的高，侧棱及构成 ;过棱锥的高和斜高作截面，得到的截面也
是三角形，其中，棱锥的高，斜高及构成 .这些直角三角形均为棱
锥的特征三角形，利用它们可以把许多立体几何问题转化为平面几何问题，解题时
常把一些量的计算归结到这些直角三角形中来进行.
（3）如图11.1.3-8，过棱台的高和侧棱作截面，得到的截面是梯形，其中，棱
台的高，侧棱及，构成直角梯形 ;过棱台的高、侧面梯形相
应的高作截面，得到的截面是梯形，其中，棱台的高，侧面梯形的高及 ,
构成直角梯形 .
3 正方体的截面
对于正方体的截面，通过尝试、归纳,有如下结论：
（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能
是直角三角形、钝角三角形.
（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.
截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行.
（3）截面可以是五边形，截面为五边形时必有两组分别平行的边，同时有两个
角相等，截面五边形不可能是正五边形.
教材深挖POINT
该点是针对教材第72 页【计算机上的练习】的拓展.
（4）截面可以是六边形，截面为六边形时必有三组分别平行的边,截面六边形
可以是正六边形．
对应截面图形如图11.1.3-9所示.
图11.1.3-9
典例详解
例6-13 已知正四棱锥的高为,侧棱长为 ,求过该正四棱锥的斜高和高的截面面积.
【解析】如图11.1.3-16，在正四棱锥中，底面对角线, 交于
图11.1.3-16
点,过点作于点，延长交于点，则为的中点，为 的中点，
连接，,则，为斜高， 为所求截面.
由题意知,，侧棱 .
在中， ,
,
.
易知, .
.
例6-14 把一个正棱台的高分为三等份，过各等分点作平行于底面的截面，已知棱台
的两个底面的面积分别是和 ，求两个截面的面积.
【解析】将棱台补成棱锥，设棱锥的顶点到棱台上底面的距离为，棱台的高为 ，
截面面积分别为，，则， ,
所以， ，
所以 ,
解得 .
同理可得 .
点评 在解决棱台的比例问题时，往往“还台为锥”，利用棱锥的性质进行求解.
例6-15 ［多选题］(2025·江苏省南通市期中)正方体截面的形状有可能为( )
ABD
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
【解析】在正方体中，截面 为正三角形，
平行于底面的所有截面都是正方形，
分别取,,,,, 六条棱的中点，顺次连接这六个点所得的六边形为
正六边形，
所以选项A，B，D正确.
因为截面为五边形时，截面必有两组对边平行（利用11.3.3节将要学面与平面
平行的性质定理“如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行”
即可明晰），所以不可能为正五边形，故选项C错误.
. .
题型解析
03
题型1 多面体的折叠与分割
1 折叠问题
例16 将图11.1.3-17（1）（2）（3）所示的平面图形沿相邻多边形的公共边折叠,能
折叠成什么样的立体图形？
图11.1.3-17
【解析】（1）中有两个面是全等的正五边形，其他各面都是全等的矩形，故（1）
能折成正五棱柱.
（2）中一个面是正五边形，其余各面都是等腰三角形，故（2）能折成正五棱锥.
（3）中有三个面是梯形，有两个面是相似的三角形，故（3）能折成三棱台.
关于折叠问题,不仅要搞清楚折线、对折重合的顶点及对折重合的棱，还要准确掌握
棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2 分割问题
例17 已知一个三棱台 ,试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一
部分都是一个三棱锥.
【解析】如图11.1.3-18所示，过点，，三点作一个平面，再过点，， 三点
作一个平面，就能把三棱台 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三
棱锥，三棱锥，三棱锥 .（答案不唯一）
图11.1.3-18
通过对几何体的“切割”可以得到棱柱、棱锥、棱台，对“切割”后剩余的或“切割”下来
的几何体形状的判断要紧扣棱柱、棱锥、棱台的定义.这种“切割”可以解决不规则空
间几何体的一些问题.
【变式题】
1.图11.1.3-19为某几何体的平面展开图.
图11.1.3-19
（1）沿图中虚线折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出该几何体;
【答案】能折叠成一个有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图D
11.1.3-1（1）所示．
图D 11.1.3-1
（2）需要多少个（1）中的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？
【答案】需要 3 个（1）中的几何体，如图D 11.1.3-1（2）所示，分别为四棱锥
,四棱锥,四棱锥 .
图D 11.1.3-1
题型2 棱柱的计算问题
图11.1.3-20
例18 如图11.1.3-20所示，等腰直角三角形 的三个顶点分
别在正三棱柱的三条侧棱上，且 ,
已知正三棱柱的底面边长为2，则 _____.
思路点拨通过构建直角三角形，先分别表示出,,
的长,而后由勾股定理求解即可.
【解析】如图11.1.3-21所示，
图11.1.3-21
过点作，垂足为 ，
过点作，垂足为 .
由题意可设 .
在中， .
过点作，垂足为,易得,连接，在 中，
.
在中，由勾股定理得，，解得 ，所以
.
图11.1.3-22
例19 如图11.1.3-22所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边
形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高 ，底面外接
圆的半径是，问：制造这个滚筒需要多少铁板
参考数据：,精确到
【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为 ，所以底面正六边形的边长是
.
所以 .
所以 .
故制造这个滚筒约需要 铁板.
名师点评 根据有关公式求正六棱柱的侧面积，关键要确定底面正六边形的边长等于
正六边形外接圆的半径，这是求解本题的一个关键点.
求解棱柱问题的常用解题策略
求解棱柱问题的关键有两点：一是转化思想的应用;二是构造直角三角形或矩形.立体
几何问题的求解最终都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法
进行求解.若棱柱是斜棱柱，则常过顶点作底面的垂线来构造直角三角形，若棱柱是
直棱柱，则可直接应用垂直关系，将问题转化到直角三角形或矩形中求解，即最终
都将问题放在一个“合适”的平面图形中求解
题型3 棱锥的计算问题
例20 ［教材改编P76 练习B T3］若正四棱锥的底面边长为 ,侧棱与高的夹角为
，求正四棱锥的侧棱长和斜高.
图11.1.3-23
【解析】如图11.1.3-23所示，在正四棱锥中， 底
面于点，则是底面的中心，为侧棱 与高的夹角，
故 ，
由题意知,, .
过点作于点，易知为的中点，连接 ，则
，即 为正四棱锥的斜高.
在中，可求得 ，
故正四棱锥的侧棱长为，斜高为 .
例21 (2025·宁夏石嘴山市第一中学期中)设正三棱锥 的侧面积是底面积的2倍,
正三棱锥的高 ，求此正三棱锥的表面积.
图11.1.3-24
【解析】如图11.1.3-24所示，设正三棱锥的底面边长为 ,斜高为
,过作,垂足为，连接,则 .
第一步：根据侧面积和底面积之间的关系建立底面边长和斜高之
间的关系.
，， .
第二步：求出底面边长和斜高.
，且 ,
，即 ，
， .
第三步：求出侧面积和底面积并求和.
， ，
．
有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角三角形中，
常用到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；
正棱锥的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形.
【变式题】
2.［教材改编P73 例1］如图11.1.3-25所示，正三棱锥的底面边长为 ，高
为，点为的中点，求此正三棱锥的侧棱的长和斜高 的长.
图11.1.3-25
【答案】如图D 11.1.3-2,连接，则点在 上.
图D 11.1.3-2
正三棱锥的底面边长为，为的中心，， .
在 中，根据勾股定理，
得 .
在 中，根据勾股定理，得
，
此正三棱锥的侧棱的长为，斜高的长为 .
题型4 棱台的计算问题
例22 ［教材改编P74 例2］正四棱台的高是 ，两底面的边长
分别是和 ，求这个棱台的侧棱长和斜高．
图11.1.3
-26
【解析】画出示意图,如图11.1.3-26所示,设棱台上、下两底面的中心分
别是点和，,的中点分别是点，．连接，， ，
，，，则四边形，四边形 都是直角梯形.
在正方形中， ，
， .
在正方形中， ，
， ．
又, 在直角梯形 中，
.
在直角梯形 中，
.
故这个棱台的侧棱长为，斜高为 ．
例23 ［教材改编P76 练习B T4］(2025·安徽省黄山市期中)一个正三棱台的上、下
底面边长分别为,，它的高是 ，求这个正三棱台的侧面积及表面积.
图11.1.3-27
【解析】画出示意图，如图11.1.3-27所示，设, 分别是正三棱
台上、下底面的中心，连接,则 .
连接并延长交于点，连接并延长交于点 ，连
接，过作于点 .
在中， ，
，
所以 ，
所以 ，
.
故这个正三棱台的侧面积为,表面积为 .
关于棱台的计算以正棱台最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，
常用到两类直角梯形：正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和
斜高构成的直角梯形，正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的
半径构成的直角梯形.
【变式题】
3.(2025·北京市人大附中期中)如图11.1.3-28，在正方体 内，正方形
中心与正方体中心重合，过的正方体 的一个截面如图
11.1.3-29所示，若棱长，则正棱台 的侧棱长为____.
图D 11.1.3-3
【解析】依题意可得正棱台 下底面边长为
，高为 ，
如图D 11.1.3-3所示,可知 即为上底面边长，
，则 ，
作交于点，则为 的中点，所
以 ，
则 ，
所以上底面边长为 .
图D 11.1.3-4
将正棱台分离出来，如图D 11.1.3-4，连接 ,
,作于点,则 ,
下底面正方形的对角线 ，
上底面正方形的对角线
，
，
所以正棱台 的侧棱长
.
题型5 多面体表面上的最短距离问题
母题 致经典·母题探究
例24 如图11.1.3-30，已知长方体 的长、宽、高分别为5,4,3,一只蚂
蚁由长方体的顶点出发，沿长方体表面爬行到点 ,求蚂蚁爬行的最短路程.
图11.1.3-30
【解析】第一种情况：将长方体底面展开，使其与平面 重合，示意图
如图11.1.3-31（1）,则最短路程为 .
图11.1.3-31
第二种情况：将长方体侧面 展开，使其与平面
重合，示意图如图11.1.3-31（2）,则最短路程
为 .
第三种情况：将长方体侧面 展开，使其与平面
重合，示意图如图11.1.3-31（3）,则最短路程
为 .
比较以上三种情况可知，蚂蚁爬行的最短路程为 .
名师点评 本题以长方体为背景，考查路径最短问题，意在考查直观想象、逻辑推理、
数学运算核心素养，破解关键：一是会利用“展开铺平”的方法，把空间问题转化为
平面问题，从而达到化曲为直的目的；二是会分类讨论，分类时注意做到不重不漏.
子题
图11.1.3-32
(2025·福建省福州市期中)如图11.1.3-32，已知正三棱柱 的
底面边长为，高为 .一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕
行两周到达点的最短路线长为____ .
13
【解析】我们将“绕行两周”看作将正三棱柱 的侧面展开两次，得到展
开图的示意图如图11.1.3-33所示，连接，则 就是最短路线（因为两点之间线
段最短）,
图11.1.3-33
.
. .
求多面体表面上两点间的最短距离的思路与步骤
立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对
称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决.常用解题步
骤如下：
（1）将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图;
（2）将所求问题转化为平面上的线段问题；
（3）结合已知条件求得结果.
高考考向分析
04
考情揭秘
本节知识是立体几何的基础，突出对空间几何体的认识，主要考查空间几何体的结
构特征.
核心素养：直观想象（空间几何体的认识）.
考向 几何体的结构特征
图11.1.3-34
例25 (全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔（图11.1.3-34）是古代世界建筑奇
迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的
正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角
形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设正四棱锥的高为,底面边长为,侧面三角形底边上的高为 .依题意有
,且,因此有,化简得 ,
解得 （负值已舍去）．
命题探源 高考重视以文化视角下的几何体为主来研究其结构特征，2019年全国Ⅱ 卷理第16题的独孤信印信问题，研究的是半正多面体与正方体的关系， 而本题则聚焦的是埃及金字塔的结构特征问题. 素养探源 素养 考查途径
直观想象 通过几何体的结构特征以及几何体中面积之间的关系，构建
关于 的等量关系.
变式探源 (全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状
多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面
体”（图11.1.3-35（1））.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 .
半正多面体体现了数学的对称美.图11.1.3-35（2）是一个棱数为48的半正多面体,它
的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有
____个面，其棱长为________.
26
图11.1.3-35
图11.1.3-36
【解析】由题图（2）可知第一层与第三层各有9个面,共18个
面,第二层有8个面,所以该半正多面体共有 （个）
面.如图11.1.3-36,设该半正多面体的棱长为,则 ,
延长与的延长线交于点,延长 交棱长为1的正方体棱
于点 ,由半正多面体的对称性可知,
为等腰直角三角形,所以 ,所以
,解得 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·广东省清远市四校联考)下列说法中正确的是( )
BD
A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B.由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
【解析】有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后有可
能不相交于一点，因此不一定是棱台，故A错误；
由多面体的定义得由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体，故B正确；
正六边形中心与各顶点连线，构成6个全等的小正三角形，所以正六棱锥的侧棱长不
可能与底面多边形的边长相等，故C错误；
四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故D正确.
图11.1.3-37
2.［多选题］(2025·河北省邢台市期中)某
广场设置了一些石凳供大家休息，如图
11.1.3-37，每个石凳都是由正方体截去八
个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列
结论正确的是( )
ACD
A.该几何体的面是等边三角形或正方形 B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱 D.该几何体恰有12个顶点
【解析】据题图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有
14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正
确．故选 ．
知识测评
05
建议时间：20分钟
1.(2025·河北省石家庄北华中学开学考试)
观察下面的四个几何体，其中判断正确的
是( )
C
A.（1）是棱台 B.（2）不是棱柱 C.（3）是棱锥 D.（4）不是棱柱
【解析】（1）不是棱台，因为侧棱延长线不可能交于一点；（2）是棱柱；（3）是
棱锥；（4）是棱柱.故选C.
2.［易错题］下列结论正确是( )
A
A.正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等
B.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C.两个底面平行且相似的多面体是棱台
D.底面是正三角形，其余各个面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥
【解析】正三棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心，也是三角形的外心，是各边
中垂线的交点，满足到底面各顶点的距离相等，故A正确.
图D 11.1.3-1
如图D 11.1.3-1所示，在四棱柱中，面 ，
面 为矩形，但侧棱与底面不垂直，故B错误.
根据棱台的定义可知，棱台各侧棱的延长线交于一点，而C不能
保证各侧棱的延长线交于一点，故C错误.
图D 11.1.3-2
如图D 11.1.3-2所示的三棱锥中， 为正三角形，
，此三棱锥满足D中的条件，但
显然不是正三棱锥，故D错误.
图11.1.3-1
3.新情境 攒尖 (2025·山东省实验中学月考)攒尖是中国古代建筑
中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面
有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐
之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑……以八角攒尖为例，如图
11.1.3-1,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正
八棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径
的比为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图D 11.1.3-3,设为正八棱锥底面外接圆圆心，连接 ,
,,由题意可知, ,
图D 11.1.3-3
, ,
, .
4.长方体的高等于，底面面积等于，过相对的两条侧棱的截面面积等于 ，则此长
方体的侧面积等于( )
C
A. B. C. D.
【解析】设长方体的长、宽分别为，，则， ，
，
.
5.一个直平行六面体的侧棱长是9，底面是有一个角为 ，边长为6的菱形，则此
平行六面体的体对角线长是( )
C
A. B. C.或 D.
【解析】由题意得直平行六面体底面菱形的对角线长分别是6和 ，当底面对角线
的长为6时，体对角线的长为;当底面对角线的长为 时，
体对角线的长为 .
6.［多选题］在下面四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的是
( )
AB
A. B. C. D.
【解析】C,D中的图四个面都共点，故组不成四面体，只有A,B可以．
7.如图11.1.3-2（1）所示，已知正方体的面对角线长为 ,沿阴影面将正方体切割成两
块，拼成如图 11.1.3-2（2）所示的几何体，那么此几何体的表面积为____________.
图11.1.3-2
【解析】由已知得正方体的棱长为，则正方体的表面积为 ，新几何体的表面
积比原来多了两个阴影部分的面积,少了正方体两个面的面积，故所求几何体的表面
积为 .
8.已知正三棱锥，底面边长为8,侧棱长为 ，计算它的高和斜高.
图D 11.1.3-4
【答案】如图D 11.1.3-4所示，设是底面三角形 的中心，连
接并延长，交于点，则点为的中点,连接 ,
则和 都是直角三角形.
底面边长为8，侧棱长为 ，
， ，
，
，
即正三棱锥的高是，斜高是 .
高考模拟
06
建议时间：35分钟
9.若正三棱锥的斜高是棱锥高的 倍，则正三棱锥的侧面积是底面积的( )
B
A.倍 B.2倍 C. 倍 D.3倍
图D 11.1.3-5
【解析】如图D 11.1.3-5所示，设正三棱锥 的底面边长为
，斜高、高分别为,，则底面正三角形的高为 ,且
.在中， ,由勾
股定理得, ,
， ，
，故选B.
10.新情境 鲁班锁 (2025·湖北省黄冈市期末)鲁班锁（也称孔明锁）起源于古代中国
建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分
巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如
图11.1.3-3（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图11.1.3-3（2）是该鲁班锁玩具的直
观图的示意图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为( )
A
图11.1.3-3
A. B. C. D.
【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为 的正方体截去了
8个正三棱锥所剩的几何体，
且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，
则该几何体的表面积
．
11.［多选题］(2025·河北省承德市期中)在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于
由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，正确的是( )
CD
A.不能构成每个面都是等边三角形的四面体
B.不能构成每个面都是直角三角形的四面体
C.能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体
D.能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体
【解析】如图D 11.1.3-6所示的正方体 中,
图D 11.1.3-6
四面体 的每个面都是等边三角形,故A不正确;
四面体 的每个面都是直角三角形,故B不正确;
四面体 的三个面为全等的等腰直角三角形,一个面为等边三角形,故C正确;
四面体 的三个面为不都全等的直角三角形,一个面为等边三角形，故D正确.
12.如图11.1.3-4，正三棱锥的侧棱长为1， ，和分别是棱
和上的点，则 的周长的最小值为____.
图11.1.3-4
【解析】将三棱锥沿侧棱 剪开，并将其侧面展开在一个平面上，示意图如图D
11.1.3-7所示，则线段的长即为所求 的周长的最小值.
图D 11.1.3-7
取的中点，连接，则
，由题意易知 , .
在中，， .
故的周长的最小值为 .
13.如图11.1.3-5，正六棱锥被过棱锥高的中点 且平行于底面的平面所截，得到
正六棱台和较小的棱锥 .
图11.1.3-5
（1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
【答案】由题意知，则 .
（2）若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为 ，求截得的棱台的侧
面面积和表面积.
【答案】如图D 11.1.3-8所示，
图D 11.1.3-8
小棱锥的底面边长为 ，
大棱锥的底面边长为，又， .
又梯形的高 ，
连接正六边形的三条对角线可将正六边
形分为6个全等的等边三角形，
.
图11.1.3-6
14.新定义 曲率 (2025·山东省青岛第五十八中学检测)北京大
兴国际机场（图11.1.3-6）的显著特点之一是各种弯曲空间的
运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻
画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在
该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，
角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体
各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正
四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．
（1）求四棱锥的总曲率；
【答案】因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中四个侧面是三角形，一个底面是四边形，
所以四棱锥的面角之和为 ,
故四棱锥的总曲率 .
（2）若多面体满足：顶点数-棱数面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．
【答案】设多面体的顶点数为，棱数为，面数为,每个面分别记为
边形，则 ,
所有面角和为 ,
所以多面体的总曲率为 ,
故这类多面体的总曲率是常数.
15.如图11.1.3-7所示，在正三棱台中，已知 ，棱台一个侧面的
面积为，，分别为上、下底面正三角形的中心，连接, 并延长,分别交
，于点,， ,求上底面的边长.
图11.1.3-7
图 D 11.1.3-9
【答案】，由题意得，， 为等边三角
形，,分别为,的中点， ，
.
设上底面的边长为，则 .
如图D 11.1.3-9所示，连接,过作于点 ，则四边
形为矩形，且 ,
,
在中， .
四边形的面积为 ,
,
即,解得 .
故上底面的边长为 .
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高二下学期数学人教B版必修第四册
11.1 空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 多面体
1 多面体的相关概念
一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.
多面体的面 围成多面体的各个多边形称为多面体的面，如面，面 .
多面体的棱 相邻两个面的公共边称为多面体的棱，如棱，棱 .
多面体的顶点 棱与棱的公共点称为多面体的顶点，如顶点，顶点 .
多面体的面对 角线 一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的
棱，就称其为多面体的面对角线，如 是一条面对角线.
. .
多面体的体对 角线 一个多面体中，连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体
对角线，如体对角线 .
截面 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），
称为这个几何体的一个截面.图11.1.3-1中画出了多面体的一个截面
.
图示
图11.1.3-1
续表
（1）多面体可以按照围成它的面的个数分为四面体、五面体、六面体……
（2）多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积（或全面积）.
（3）各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正
多面体.
知识剖析（1）多面体最少有四个面、四个顶点、六条棱.
（2）不是所有的多面体都有体对角线，有些多面体就没有体对角线，如图
11.1.3-2中的（1）（2）（3）.但如果多面体有体对角线，就可能有多条体对角线，
如图11.1.3-2中的（4）（5）.
图11.1.3-2
2 凸多面体
把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，
则称这样的多面体为凸多面体.
典例详解
例1-1 下列实物不能近似看成多面体的是( )
C
A.钻石 B.骰子 C.足球 D.金字塔
【解析】钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近
似看成多面体.足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体.
【想一想丨问题质疑】
共有多少种不同的正多面体？
提示 正多面体总共有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、
正二十面体.这一结论可由欧拉公式探究得出,其中,, 分别为多面体
的顶点数、面数、棱数.
图11.1.3-10
例1-2 在如图11.1.3-10所示的几何体中，____________
是凸多面体（填序号）.
（1）（2）
【解析】把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果
其余的各面都在这个平面的同一侧，那么这个多面体就
是凸多面体，所以（1）（2）是凸多面体，（3）不是
凸多面体.
例1-3 已知集合多面体，长方体，凸多面体，则集合，， 之
间的关系为___________.
【解析】凸多面体也是多面体， .
而长方体是凸多面体，但凸多面体不一定是长方体，如四面体等，
.
知识点2 棱柱
1 棱柱的概念
棱柱 有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是
平行四边形，由这些面围成的几何体称为棱柱.
图示
图11.1.3-3
底面 两个互相平行的面称为棱柱的底面（底面水平放置时，分别称为上底
面、下底面）.
侧面 其余各面称为棱柱的侧面.
侧棱 相邻两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱.
高 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段
（或它的长度）称为棱柱的高.
侧面积 棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积.
续表
2 棱柱的表示
（1）用表示两底面的对应顶点的字母来表示.
（2）用一条体对角线端点的两个字母来表示.如图11.1.3-3（2）中的棱柱可表示
为棱柱或棱柱 .
3 棱柱的分类
（1）按底面的形状分.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱依次称为三棱柱、四棱柱、五棱
柱……
（2）按侧棱是否和底面垂直分.
如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱
称为直棱柱（不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱）.特别地，底面是正多边形的直棱柱称
为正棱柱.图11.1.3-3中，（1）是斜棱柱， 都是直棱柱,且（3）是正棱柱.
4 棱柱的结构特征
几何体 底面 侧面 侧棱 高 平行于底面的
截面
斜棱柱 平行且全等的两 个多边形 平行四 边形 平行且相等 一个底面上的 点到另一个底 面的距离 与底面全等
直棱柱 平行且全等的两 个多边形 矩形 平行、相等且 垂直于底面 等于侧棱 与底面全等
正棱柱 平行且全等的两 个正多边形 全等的 矩形 平行、相等且 垂直于底面 等于侧棱 与底面全等
5 特殊的四棱柱
底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为
直平行六面体.不难看出，底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体，
而棱长都相等的长方体就是正方体.它们之间的关系如下：
典例详解
例2-4 如图11.1.3-11所示的几何体中，棱柱的个数为( )
D
图11.1.3-11
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据棱柱的定义知，这四个几何体都是棱柱.
例2-5 ［教材改编P71 练习B T4］［多选题］下列说法正确的为( )
BC
A.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
【解析】A错误，因为棱柱中可能存在两个侧面互相平行的情况.棱柱的底面需满足
两个条件：一是两个面互相平行；二是所有顶点都在这两个面上.
B正确，由棱柱的定义可知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面
的形状完全相同．
C正确，由棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形．
图11.1.3-12
D错误,因为缺少“顶点都在这两个互相平行的平面上”这一条件.如
图11.1.3-12所示的几何体就不是棱柱.
例2-6 ［多选题］下列集合间关系正确的是( )
ABC
A.正方体长方体 B.长方体直平行六面体
C.正四棱柱长方体 D.直平行六面体正四棱柱
【解析】因为正方体都是长方体，但长方体不一定是正方体，所以正方体 长方
体 ，A正确；
因为底面是矩形的直平行六面体是长方体，所以长方体直平行六面体 ，B正确;
因为底面是正方形的长方体为正四棱柱，所以正四棱柱长方体 ，C正确；
因为正四棱柱都是直平行六面体，但直平行六面体不一定是正四棱柱，所以D错误.
知识点3 棱锥
1 棱锥的概念
棱锥 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的
三角形，则称这个多面体为棱锥.
图示
图11.1.3-4
底面 棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面.
侧面 有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面.
顶点 各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点.
侧棱 相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱.
高 过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）称为
棱锥的高.
侧面积 棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积.
续表
2 棱锥的分类
棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可
分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥.
3 棱锥的表示
棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.例如，如图11.1.3-4所示的是一个四
棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥或棱锥 .
4 正棱锥
如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则
称这个棱锥为正棱锥（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体） .可以看
出，正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，
称为正棱锥的斜高（只有正棱锥才有斜高）.
. .
. .
5 棱锥的结构特征
几何体 侧面 侧棱 底面 高 平行于底面的
截面
正棱锥 全等的等 腰三角形 有一个公共顶 点且相等 正多边 形 顶点与底面的 中心的连线 与底面相似
其他棱锥 三角形 有一个公共顶 点 多边形 顶点到底面的 距离 与底面相似
典例详解
【想一想丨问题质疑】
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？
提示 不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶
点的三角形”，如图11.1.3-13所示的几何体就不是棱锥.
图11.1.3-13
例3-7 ［多选题］下列说法正确的是( )
BD
A.三条侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的各侧棱长都相等
D.正四面体的棱长都相等
【解析】三条侧棱都相等的三棱锥的底面不一定是正三角形，棱锥的顶点与底面中
心的连线也不一定垂直于底面，故A不正确；
四面体就是由四个都是三角形的面所围成的几何体，因此，四面体的任何一个面都
可以作为棱锥的底面，故B正确；
棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共顶点，故C不正确;
由正四面体的定义可知D正确.
点评 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，这是我们以后利用“等体积法”
求顶点到底面的距离的依据.
知识点4 棱台
1 棱台的概念
棱台 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的
多面体称为棱台.
图示
图11.1.3-5
上底面 原棱锥的截面称为棱台的上底面.
下底面 原棱锥的底面称为棱台的下底面.
侧面 除去上底面和下底面，其余各面称为棱台的侧面.
侧棱 相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱.
高 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的
线段（或它的长度）称为棱台的高.
表示 棱台可用上底面与下底面的顶点的字母来表示，如图11.1.3-5中的棱
台可表示为棱台 .
续表
2 棱台的分类
棱台可以按底面的形状分为三棱台、四棱台、五棱台……
3 正棱台
由正棱锥截得的棱台称为正棱台.不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，
两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些
等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高.
4 棱台的结构特征
几何体 侧面 侧棱 底面 高 平行于底面
的截面
正棱台 全等的等 腰梯形 相等且延长 后交于一点 平行且相似的 两个正多边形 两底面的中心的连线 与底面相似
其他棱 台 梯形 延长后交于 一点 平行且相似的 两个多边形 一个底面上的任意一 个顶点到另一个底面 的距离 与底面相似
典例详解
例4-8 (2025·山西省大同市期中)下列命题中正确的是( )
C
A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B.用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面间的多面体是棱台
C.两底面互相平行，且各侧棱延长后交于一点的多面体是棱台
D.两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
【解析】由图11.1.3-14可知A，D不正确.
图11.1.3-14
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的多面体叫做棱台.因此，若一个几何体
为棱台，则需满足“两底面互相平行，且各侧棱延长后交于一点”，故B不正确，C正确.
例4-9 在如图11.1.3-15所示的几何体中，是棱台的是( )
C
图11.1.3-15
A.①② B.①③ C.③ D.②③
【解析】①中几何体各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③
中几何体各侧棱的延长线能交于一点，且截面与底面平行.故只有③是棱台.
点评 判断一个多面体是棱台的方法
判断一个多面体为棱台，关键要抓住两个特征：（1）各侧棱的延长线交于一点；
（2）两底面平行.还可以由“两底面的对应边平行，且这些对应边成比例”这一性质进
行判断.在把握棱台的结构特征时，一定要认识到它是棱锥的一部分，而不能只看现
象不看本质.
知识点5 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积和表面积
直棱柱 正棱锥 正棱台
侧面 展开 图
侧面 积
直棱柱 正棱锥 正棱台
表面 积 直棱柱的表面积等 于侧面积与两底面 面积之和. 正棱锥的表面积等于 侧面积与底面面积之 和. 正棱台的表面积等于侧面积与
上、下底面面积之和.
说明 其中为正棱锥的底面边长，,分别为正棱台的上、下底面边长， 为直棱 柱、正棱锥的底面周长,,分别为正棱台的上、下底面周长, 为直棱柱的高, 为正棱锥、正棱台的斜高. 续表
知识剖析 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系#1.1
典例详解
例5-10 若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为 ，则它的表面积为
_______.
【解析】正六棱柱的底面边长为，所以正六棱柱的底面面积为
（将一个底面拆为6个正三角形）.
又侧面对角线的长为，所以侧棱长为 ，则该正六棱柱的表面积为
. .
例5-11 已知正三棱锥的底面三角形的边长为，斜高为 ，则该正三棱锥的
侧面积为______，表面积为______ .
【解析】该正三棱锥的侧面积 ，表面积
.
例5-12 已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是 ,求它的表面积.
【解析】因为正四棱台的上、下底面边长分别为,，侧棱长为 ，所以斜
高 .
所以 .
故此正四棱台的表面积为 .
释疑惑 重难拓展
知识点6 棱柱、棱锥、棱台的截面
1 平行于底面的截面
（1）用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面是与底面全等的多边形.
（2）用一个平行于棱锥（棱台）底面的平面去截棱锥（棱台），得到的截面是
与底面相似的多边形.
2 纵截面
（1）过棱柱的不相邻的两条侧棱作一个截面，得到的四边形是平行四边形，如
图11.1.3-6中，四边形 为平行四边形.
（2）如图11.1.3-7，过棱锥的高和侧棱作截面，得到的截面是三角形，其中，
棱锥的高，侧棱及构成 ;过棱锥的高和斜高作截面，得到的截面也
是三角形，其中，棱锥的高，斜高及构成 .这些直角三角形均为棱
锥的特征三角形，利用它们可以把许多立体几何问题转化为平面几何问题，解题时
常把一些量的计算归结到这些直角三角形中来进行.
（3）如图11.1.3-8，过棱台的高和侧棱作截面，得到的截面是梯形，其中，棱
台的高，侧棱及，构成直角梯形 ;过棱台的高、侧面梯形相
应的高作截面，得到的截面是梯形，其中，棱台的高，侧面梯形的高及 ,
构成直角梯形 .
3 正方体的截面
对于正方体的截面，通过尝试、归纳,有如下结论：
（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能
是直角三角形、钝角三角形.
（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.
截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行.
（3）截面可以是五边形，截面为五边形时必有两组分别平行的边，同时有两个
角相等，截面五边形不可能是正五边形.
教材深挖POINT
该点是针对教材第72 页【计算机上的练习】的拓展.
（4）截面可以是六边形，截面为六边形时必有三组分别平行的边,截面六边形
可以是正六边形．
对应截面图形如图11.1.3-9所示.
图11.1.3-9
典例详解
例6-13 已知正四棱锥的高为,侧棱长为 ,求过该正四棱锥的斜高和高的截面面积.
【解析】如图11.1.3-16，在正四棱锥中，底面对角线, 交于
图11.1.3-16
点,过点作于点，延长交于点，则为的中点，为 的中点，
连接，,则，为斜高， 为所求截面.
由题意知,，侧棱 .
在中， ,
,
.
易知, .
.
例6-14 把一个正棱台的高分为三等份，过各等分点作平行于底面的截面，已知棱台
的两个底面的面积分别是和 ，求两个截面的面积.
【解析】将棱台补成棱锥，设棱锥的顶点到棱台上底面的距离为，棱台的高为 ，
截面面积分别为，，则， ,
所以， ，
所以 ,
解得 .
同理可得 .
点评 在解决棱台的比例问题时，往往“还台为锥”，利用棱锥的性质进行求解.
例6-15 ［多选题］(2025·江苏省南通市期中)正方体截面的形状有可能为( )
ABD
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
【解析】在正方体中，截面 为正三角形，
平行于底面的所有截面都是正方形，
分别取,,,,, 六条棱的中点，顺次连接这六个点所得的六边形为
正六边形，
所以选项A，B，D正确.
因为截面为五边形时，截面必有两组对边平行（利用11.3.3节将要学面与平面
平行的性质定理“如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行”
即可明晰），所以不可能为正五边形，故选项C错误.
. .
题型解析
03
题型1 多面体的折叠与分割
1 折叠问题
例16 将图11.1.3-17（1）（2）（3）所示的平面图形沿相邻多边形的公共边折叠,能
折叠成什么样的立体图形？
图11.1.3-17
【解析】（1）中有两个面是全等的正五边形，其他各面都是全等的矩形，故（1）
能折成正五棱柱.
（2）中一个面是正五边形，其余各面都是等腰三角形，故（2）能折成正五棱锥.
（3）中有三个面是梯形，有两个面是相似的三角形，故（3）能折成三棱台.
关于折叠问题,不仅要搞清楚折线、对折重合的顶点及对折重合的棱，还要准确掌握
棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2 分割问题
例17 已知一个三棱台 ,试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一
部分都是一个三棱锥.
【解析】如图11.1.3-18所示，过点，，三点作一个平面，再过点，， 三点
作一个平面，就能把三棱台 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三
棱锥，三棱锥，三棱锥 .（答案不唯一）
图11.1.3-18
通过对几何体的“切割”可以得到棱柱、棱锥、棱台，对“切割”后剩余的或“切割”下来
的几何体形状的判断要紧扣棱柱、棱锥、棱台的定义.这种“切割”可以解决不规则空
间几何体的一些问题.
【变式题】
1.图11.1.3-19为某几何体的平面展开图.
图11.1.3-19
（1）沿图中虚线折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出该几何体;
【答案】能折叠成一个有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图D
11.1.3-1（1）所示．
图D 11.1.3-1
（2）需要多少个（1）中的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？
【答案】需要 3 个（1）中的几何体，如图D 11.1.3-1（2）所示，分别为四棱锥
,四棱锥,四棱锥 .
图D 11.1.3-1
题型2 棱柱的计算问题
图11.1.3-20
例18 如图11.1.3-20所示，等腰直角三角形 的三个顶点分
别在正三棱柱的三条侧棱上，且 ,
已知正三棱柱的底面边长为2，则 _____.
思路点拨通过构建直角三角形，先分别表示出,,
的长,而后由勾股定理求解即可.
【解析】如图11.1.3-21所示，
图11.1.3-21
过点作，垂足为 ，
过点作，垂足为 .
由题意可设 .
在中， .
过点作，垂足为,易得,连接，在 中，
.
在中，由勾股定理得，，解得 ，所以
.
图11.1.3-22
例19 如图11.1.3-22所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边
形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高 ，底面外接
圆的半径是，问：制造这个滚筒需要多少铁板
参考数据：,精确到
【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为 ，所以底面正六边形的边长是
.
所以 .
所以 .
故制造这个滚筒约需要 铁板.
名师点评 根据有关公式求正六棱柱的侧面积，关键要确定底面正六边形的边长等于
正六边形外接圆的半径，这是求解本题的一个关键点.
求解棱柱问题的常用解题策略
求解棱柱问题的关键有两点：一是转化思想的应用;二是构造直角三角形或矩形.立体
几何问题的求解最终都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法
进行求解.若棱柱是斜棱柱，则常过顶点作底面的垂线来构造直角三角形，若棱柱是
直棱柱，则可直接应用垂直关系，将问题转化到直角三角形或矩形中求解，即最终
都将问题放在一个“合适”的平面图形中求解
题型3 棱锥的计算问题
例20 ［教材改编P76 练习B T3］若正四棱锥的底面边长为 ,侧棱与高的夹角为
，求正四棱锥的侧棱长和斜高.
图11.1.3-23
【解析】如图11.1.3-23所示，在正四棱锥中， 底
面于点，则是底面的中心，为侧棱 与高的夹角，
故 ，
由题意知,, .
过点作于点，易知为的中点，连接 ，则
，即 为正四棱锥的斜高.
在中，可求得 ，
故正四棱锥的侧棱长为，斜高为 .
例21 (2025·宁夏石嘴山市第一中学期中)设正三棱锥 的侧面积是底面积的2倍,
正三棱锥的高 ，求此正三棱锥的表面积.
图11.1.3-24
【解析】如图11.1.3-24所示，设正三棱锥的底面边长为 ,斜高为
,过作,垂足为，连接,则 .
第一步：根据侧面积和底面积之间的关系建立底面边长和斜高之
间的关系.
，， .
第二步：求出底面边长和斜高.
，且 ,
，即 ，
， .
第三步：求出侧面积和底面积并求和.
， ，
．
有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角三角形中，
常用到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；
正棱锥的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形.
【变式题】
2.［教材改编P73 例1］如图11.1.3-25所示，正三棱锥的底面边长为 ，高
为，点为的中点，求此正三棱锥的侧棱的长和斜高 的长.
图11.1.3-25
【答案】如图D 11.1.3-2,连接，则点在 上.
图D 11.1.3-2
正三棱锥的底面边长为，为的中心，， .
在 中，根据勾股定理，
得 .
在 中，根据勾股定理，得
，
此正三棱锥的侧棱的长为，斜高的长为 .
题型4 棱台的计算问题
例22 ［教材改编P74 例2］正四棱台的高是 ，两底面的边长
分别是和 ，求这个棱台的侧棱长和斜高．
图11.1.3
-26
【解析】画出示意图,如图11.1.3-26所示,设棱台上、下两底面的中心分
别是点和，,的中点分别是点，．连接，， ，
，，，则四边形，四边形 都是直角梯形.
在正方形中， ，
， .
在正方形中， ，
， ．
又, 在直角梯形 中，
.
在直角梯形 中，
.
故这个棱台的侧棱长为，斜高为 ．
例23 ［教材改编P76 练习B T4］(2025·安徽省黄山市期中)一个正三棱台的上、下
底面边长分别为,，它的高是 ，求这个正三棱台的侧面积及表面积.
图11.1.3-27
【解析】画出示意图，如图11.1.3-27所示，设, 分别是正三棱
台上、下底面的中心，连接,则 .
连接并延长交于点，连接并延长交于点 ，连
接，过作于点 .
在中， ，
，
所以 ，
所以 ，
.
故这个正三棱台的侧面积为,表面积为 .
关于棱台的计算以正棱台最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，
常用到两类直角梯形：正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和
斜高构成的直角梯形，正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的
半径构成的直角梯形.
【变式题】
3.(2025·北京市人大附中期中)如图11.1.3-28，在正方体 内，正方形
中心与正方体中心重合，过的正方体 的一个截面如图
11.1.3-29所示，若棱长，则正棱台 的侧棱长为____.
图D 11.1.3-3
【解析】依题意可得正棱台 下底面边长为
，高为 ，
如图D 11.1.3-3所示,可知 即为上底面边长，
，则 ，
作交于点，则为 的中点，所
以 ，
则 ，
所以上底面边长为 .
图D 11.1.3-4
将正棱台分离出来，如图D 11.1.3-4，连接 ,
,作于点,则 ,
下底面正方形的对角线 ，
上底面正方形的对角线
，
，
所以正棱台 的侧棱长
.
题型5 多面体表面上的最短距离问题
母题 致经典·母题探究
例24 如图11.1.3-30，已知长方体 的长、宽、高分别为5,4,3,一只蚂
蚁由长方体的顶点出发，沿长方体表面爬行到点 ,求蚂蚁爬行的最短路程.
图11.1.3-30
【解析】第一种情况：将长方体底面展开，使其与平面 重合，示意图
如图11.1.3-31（1）,则最短路程为 .
图11.1.3-31
第二种情况：将长方体侧面 展开，使其与平面
重合，示意图如图11.1.3-31（2）,则最短路程
为 .
第三种情况：将长方体侧面 展开，使其与平面
重合，示意图如图11.1.3-31（3）,则最短路程
为 .
比较以上三种情况可知，蚂蚁爬行的最短路程为 .
名师点评 本题以长方体为背景，考查路径最短问题，意在考查直观想象、逻辑推理、
数学运算核心素养，破解关键：一是会利用“展开铺平”的方法，把空间问题转化为
平面问题，从而达到化曲为直的目的；二是会分类讨论，分类时注意做到不重不漏.
子题
图11.1.3-32
(2025·福建省福州市期中)如图11.1.3-32，已知正三棱柱 的
底面边长为，高为 .一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕
行两周到达点的最短路线长为____ .
13
【解析】我们将“绕行两周”看作将正三棱柱 的侧面展开两次，得到展
开图的示意图如图11.1.3-33所示，连接，则 就是最短路线（因为两点之间线
段最短）,
图11.1.3-33
.
. .
求多面体表面上两点间的最短距离的思路与步骤
立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对
称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决.常用解题步
骤如下：
（1）将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图;
（2）将所求问题转化为平面上的线段问题；
（3）结合已知条件求得结果.
高考考向分析
04
考情揭秘
本节知识是立体几何的基础，突出对空间几何体的认识，主要考查空间几何体的结
构特征.
核心素养：直观想象（空间几何体的认识）.
考向 几何体的结构特征
图11.1.3-34
例25 (全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔（图11.1.3-34）是古代世界建筑奇
迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的
正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角
形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设正四棱锥的高为,底面边长为,侧面三角形底边上的高为 .依题意有
,且,因此有,化简得 ,
解得 （负值已舍去）．
命题探源 高考重视以文化视角下的几何体为主来研究其结构特征，2019年全国Ⅱ 卷理第16题的独孤信印信问题，研究的是半正多面体与正方体的关系， 而本题则聚焦的是埃及金字塔的结构特征问题. 素养探源 素养 考查途径
直观想象 通过几何体的结构特征以及几何体中面积之间的关系，构建
关于 的等量关系.
变式探源 (全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状
多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面
体”（图11.1.3-35（1））.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 .
半正多面体体现了数学的对称美.图11.1.3-35（2）是一个棱数为48的半正多面体,它
的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有
____个面，其棱长为________.
26
图11.1.3-35
图11.1.3-36
【解析】由题图（2）可知第一层与第三层各有9个面,共18个
面,第二层有8个面,所以该半正多面体共有 （个）
面.如图11.1.3-36,设该半正多面体的棱长为,则 ,
延长与的延长线交于点,延长 交棱长为1的正方体棱
于点 ,由半正多面体的对称性可知,
为等腰直角三角形,所以 ,所以
,解得 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·广东省清远市四校联考)下列说法中正确的是( )
BD
A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B.由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
【解析】有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后有可
能不相交于一点，因此不一定是棱台，故A错误；
由多面体的定义得由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体，故B正确；
正六边形中心与各顶点连线，构成6个全等的小正三角形，所以正六棱锥的侧棱长不
可能与底面多边形的边长相等，故C错误；
四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故D正确.
图11.1.3-37
2.［多选题］(2025·河北省邢台市期中)某
广场设置了一些石凳供大家休息，如图
11.1.3-37，每个石凳都是由正方体截去八
个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列
结论正确的是( )
ACD
A.该几何体的面是等边三角形或正方形 B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱 D.该几何体恰有12个顶点
【解析】据题图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有
14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正
确．故选 ．
知识测评
05
建议时间：20分钟
1.(2025·河北省石家庄北华中学开学考试)
观察下面的四个几何体，其中判断正确的
是( )
C
A.（1）是棱台 B.（2）不是棱柱 C.（3）是棱锥 D.（4）不是棱柱
【解析】（1）不是棱台，因为侧棱延长线不可能交于一点；（2）是棱柱；（3）是
棱锥；（4）是棱柱.故选C.
2.［易错题］下列结论正确是( )
A
A.正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等
B.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C.两个底面平行且相似的多面体是棱台
D.底面是正三角形，其余各个面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥
【解析】正三棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心，也是三角形的外心，是各边
中垂线的交点，满足到底面各顶点的距离相等，故A正确.
图D 11.1.3-1
如图D 11.1.3-1所示，在四棱柱中，面 ，
面 为矩形，但侧棱与底面不垂直，故B错误.
根据棱台的定义可知，棱台各侧棱的延长线交于一点，而C不能
保证各侧棱的延长线交于一点，故C错误.
图D 11.1.3-2
如图D 11.1.3-2所示的三棱锥中， 为正三角形，
，此三棱锥满足D中的条件，但
显然不是正三棱锥，故D错误.
图11.1.3-1
3.新情境 攒尖 (2025·山东省实验中学月考)攒尖是中国古代建筑
中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面
有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐
之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑……以八角攒尖为例，如图
11.1.3-1,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正
八棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径
的比为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图D 11.1.3-3,设为正八棱锥底面外接圆圆心，连接 ,
,,由题意可知, ,
图D 11.1.3-3
, ,
, .
4.长方体的高等于，底面面积等于，过相对的两条侧棱的截面面积等于 ，则此长
方体的侧面积等于( )
C
A. B. C. D.
【解析】设长方体的长、宽分别为，，则， ，
，
.
5.一个直平行六面体的侧棱长是9，底面是有一个角为 ，边长为6的菱形，则此
平行六面体的体对角线长是( )
C
A. B. C.或 D.
【解析】由题意得直平行六面体底面菱形的对角线长分别是6和 ，当底面对角线
的长为6时，体对角线的长为;当底面对角线的长为 时，
体对角线的长为 .
6.［多选题］在下面四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的是
( )
AB
A. B. C. D.
【解析】C,D中的图四个面都共点，故组不成四面体，只有A,B可以．
7.如图11.1.3-2（1）所示，已知正方体的面对角线长为 ,沿阴影面将正方体切割成两
块，拼成如图 11.1.3-2（2）所示的几何体，那么此几何体的表面积为____________.
图11.1.3-2
【解析】由已知得正方体的棱长为，则正方体的表面积为 ，新几何体的表面
积比原来多了两个阴影部分的面积,少了正方体两个面的面积，故所求几何体的表面
积为 .
8.已知正三棱锥，底面边长为8,侧棱长为 ，计算它的高和斜高.
图D 11.1.3-4
【答案】如图D 11.1.3-4所示，设是底面三角形 的中心，连
接并延长，交于点，则点为的中点,连接 ,
则和 都是直角三角形.
底面边长为8，侧棱长为 ，
， ，
，
，
即正三棱锥的高是，斜高是 .
高考模拟
06
建议时间：35分钟
9.若正三棱锥的斜高是棱锥高的 倍，则正三棱锥的侧面积是底面积的( )
B
A.倍 B.2倍 C. 倍 D.3倍
图D 11.1.3-5
【解析】如图D 11.1.3-5所示，设正三棱锥 的底面边长为
，斜高、高分别为,，则底面正三角形的高为 ,且
.在中， ,由勾
股定理得, ,
， ，
，故选B.
10.新情境 鲁班锁 (2025·湖北省黄冈市期末)鲁班锁（也称孔明锁）起源于古代中国
建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分
巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如
图11.1.3-3（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图11.1.3-3（2）是该鲁班锁玩具的直
观图的示意图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为( )
A
图11.1.3-3
A. B. C. D.
【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为 的正方体截去了
8个正三棱锥所剩的几何体，
且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，
则该几何体的表面积
．
11.［多选题］(2025·河北省承德市期中)在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于
由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，正确的是( )
CD
A.不能构成每个面都是等边三角形的四面体
B.不能构成每个面都是直角三角形的四面体
C.能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体
D.能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体
【解析】如图D 11.1.3-6所示的正方体 中,
图D 11.1.3-6
四面体 的每个面都是等边三角形,故A不正确;
四面体 的每个面都是直角三角形,故B不正确;
四面体 的三个面为全等的等腰直角三角形,一个面为等边三角形,故C正确;
四面体 的三个面为不都全等的直角三角形,一个面为等边三角形，故D正确.
12.如图11.1.3-4，正三棱锥的侧棱长为1， ，和分别是棱
和上的点，则 的周长的最小值为____.
图11.1.3-4
【解析】将三棱锥沿侧棱 剪开，并将其侧面展开在一个平面上，示意图如图D
11.1.3-7所示，则线段的长即为所求 的周长的最小值.
图D 11.1.3-7
取的中点，连接，则
，由题意易知 , .
在中，， .
故的周长的最小值为 .
13.如图11.1.3-5，正六棱锥被过棱锥高的中点 且平行于底面的平面所截，得到
正六棱台和较小的棱锥 .
图11.1.3-5
（1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
【答案】由题意知，则 .
（2）若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为 ，求截得的棱台的侧
面面积和表面积.
【答案】如图D 11.1.3-8所示，
图D 11.1.3-8
小棱锥的底面边长为 ，
大棱锥的底面边长为，又， .
又梯形的高 ，
连接正六边形的三条对角线可将正六边
形分为6个全等的等边三角形，
.
图11.1.3-6
14.新定义 曲率 (2025·山东省青岛第五十八中学检测)北京大
兴国际机场（图11.1.3-6）的显著特点之一是各种弯曲空间的
运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻
画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在
该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，
角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体
各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正
四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．
（1）求四棱锥的总曲率；
【答案】因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中四个侧面是三角形，一个底面是四边形，
所以四棱锥的面角之和为 ,
故四棱锥的总曲率 .
（2）若多面体满足：顶点数-棱数面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．
【答案】设多面体的顶点数为，棱数为，面数为,每个面分别记为
边形，则 ,
所有面角和为 ,
所以多面体的总曲率为 ,
故这类多面体的总曲率是常数.
15.如图11.1.3-7所示，在正三棱台中，已知 ，棱台一个侧面的
面积为，，分别为上、下底面正三角形的中心，连接, 并延长,分别交
，于点,， ,求上底面的边长.
图11.1.3-7
图 D 11.1.3-9
【答案】，由题意得，， 为等边三角
形，,分别为,的中点， ，
.
设上底面的边长为，则 .
如图D 11.1.3-9所示，连接,过作于点 ，则四边
形为矩形，且 ,
,
在中， .
四边形的面积为 ,
,
即,解得 .
故上底面的边长为 .
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高二下学期数学人教B版必修第四册