11.1 空间几何体-11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 (共132张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.1 空间几何体-11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 (共132张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共132张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 祖暅原理
祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体（这两个几何体可以是任意形状
的），如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这
两个几何体的体积一定相等.
应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.
特别提醒 祖暅原理是推导柱、锥、台体和球的体积公式的基础和纽带，理解时必须
抓住以下三个条件：①两个几何体夹在两个平行平面之间，可以理解为这两个几何
体在平行面间的高度相等;②几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截;③截得
的两个截面面积总相等.这三个条件缺一不可，否则结论不成立.
. .
典例详解
【想一想丨知识拓展】
祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》
时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容
异”.“幂”是截面面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面
面积相等，则体积相等.
祖暅原理也称祖氏原理，又名等幂等积定理.国外发现的卡瓦列里原理，即等积原理
要比我国的祖暅原理晚1 100多年.
知识点2 柱体的体积
棱柱与圆柱统称为柱体.
注意到柱体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面
积一定等于底面面积，从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体,体积相等.
又因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以如果柱体的底面积为，高为 ，
则柱体的体积计算公式为 .
特别地，底面半径为,高为的圆柱体的体积计算公式为 . #1.3
特别提醒 （1）柱体的体积仅与它的底面积和高有关，与柱体是几棱柱，是直棱柱
还是斜棱柱都没有关系.
（2）垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面称为直截面.棱柱的体积与直截面面积
之间的关系为：为棱柱的侧棱长 .
（3）长、宽、高分别为,,的长方体的体积为，棱长为 的正方体的体积
为 ．#1.4.2
典例详解
例2-1 （1）长方体相邻三个面的面积分别为2，6和9，则该长方体的体积是_____.
【解析】设长方体的长、宽、高分别为，，，不妨令,, ,则可
得,所以该长方体的体积 .
（2）若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_ __ .
【解析】设圆柱的底面半径为,由题意可知,所以 .
故圆柱的体积 .
知识点3 锥体的体积
图11.1.6-1
棱锥与圆锥统称为锥体.
如图11.1.6-1所示，当锥体被平行于底面的平面所截时，
得到的截面与底面相似，即 ，而且相似比等
于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，因此截面与
底面的面积之比 ,从而由祖暅原理可知，等底面
积、等高的两个锥体，体积相等.
一般地，如果锥体的底面积为，高为 ，则锥体的体积
计算公式为 .
特别地，如果圆锥的底面半径为,高为 ，则圆锥的体积
为 .
知识剖析 锥体体积公式的推导（以三棱锥为例）
如图11.1.6-2（1），已知 是一任意形状的三棱柱.
图11.1.6-2
连接,, ，则三棱柱被分割成了如图11.1.6-2（2）所示的三个三棱锥1，
2，3，设它们的体积分别为,, .
在三棱锥1，2中，，所以与 的面积相等，又
它们有相同的顶点 ，故高也相等，底面积和高分别相等的两个棱锥的体积相等，所
以 .
又在三棱锥2，3中，与的面积相等，三棱锥2,3有相同的顶点 ,
故高也相等，所以 .
综上所述， .
所以，又,所以 .
提示 POINT
此处回答了教材第84页【尝试与发现】的问题.
典例详解
例3-2 [教材改编P91 T14] (2025·辽宁省葫芦岛市期末)三棱锥的高为3，侧棱长均相
等且为 ，底面是等边三角形，则这个三棱锥的体积为( )
D
A. B. C. D.
图11.1.6-11
【解析】由题意可知，该三棱锥为正三棱锥，如图11.1.6-11，
为正三棱锥的高，连接 .
在中，,，则，又 为等
边三角形，所以 ，
则 ，
所以三棱锥的体积为 .
例3-3 (2025·河北省衡水市期末)已知圆锥的母线长为8，底面周长为 ，则它的体
积为________.
【解析】设圆锥的母线长为，高为,底面半径为 ，
由 ,得,所以 .
由圆锥的体积公式可得 .
警示 初学者在计算锥体体积时特别容易忽略公式中的 而导致错误.
知识点4 台体的体积
棱台与圆台统称为台体.
因为台体可看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体
的体积之差来得到.
一般地，如果台体的上、下底面面积分别为,,高为 ,则台体的体积计算公式
为 .
特别地，如果圆台的上、下底面半径分别为,,高为 ，则圆台的体积为
.
发散探讨 柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系吗？
典例详解
例4-4 已知一个棱台的两个底面面积分别是和 ,截得这个棱台的棱锥
的高为，则这个棱台的体积为_______ .
【解析】设棱台的高为，截得这个棱台的棱锥的高为.由 ，及
，,,得或 （舍去）,则这个
棱台的体积 .
知识点5 球的体积
一般地，如果球的半径为，那么球的体积计算公式为 .
知识剖析 1.由球的体积公式可知，已知球的半径可以利用公式求出它的体积；已知
球的体积，可利用方程思想求出它的半径.
2.两个球的体积之比等于这两个球的半径的立方之比.
典例详解
例5-5 球的表面积是 ，则球的体积是_ ___．
【解析】设球的半径为，则 ，解得 ，
所以球的体积 ．
释疑惑 重难拓展
知识点6 几何体体积的计算方法
图11.1.6-3
1.公式法：直接套用体积公式求解.
2.等体积法：计算体积时可以用任意一个面作为三棱锥的底
面.如图11.1.6-3，有
.
提示 POINT
此法在求点到平面的距离时也常用到.
3.分割法：在求一些不规则几何体的体积时，我们可以将其
分割成规则的、易于求解的几何体，先分别求体积，再求和.
4.补形法：对一些不规则（或难求解）的几何体，我们可以通过补形，将其补
为规则（或易于求解）的几何体.常见情况如下.
（1）将正四面体补为正方体，如图11.1.6-4.
图11.1.6-4
（2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图11.1.6-5.
图11.1.6-5
（3）将三条棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图11.1.6-6，
,, .
图11.1.6-6
（4）将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图11.1.6-7或图11.1.6-8.
图11.1.6-7
图11.1.6-8
（5）将三棱柱补成平行六面体，如图11.1.6-9.
图11.1.6-9
（6）将台体补成锥体，如图11.1.6-10.
图11.1.6-10
说明 一般地，分割法和补形法统称为割补法.
典例详解
图11.1.6-12
例6-6 (2025·上海市宝山中学月考)如图11.1.6-12，在正四棱柱
中，， ，则三棱锥
的体积为__ .
【解析】三棱锥即三棱锥 ,在正四棱柱
中，
，，则三棱锥 的底面积为
，高为 ，故
.
例6-7 [教材改编P88 练习A T4] 在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱
中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体
积是( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意易知正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体所
得的三棱锥的体积是 ，
于是8个三棱锥的体积是 ,
故剩下的几何体的体积是 .
例6-8 如图11.1.6-13，已知底面半径为 的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长的
最大值为，最小值为 ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是_____________.
图11.1.6-13
【解析】将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体
积为，则所求几何体的体积为 .
例6-9 在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥 的体积
为，三棱锥的体积为,则 __.
【解析】如图11.1.6-14所示，设点到平面的距离为，三角形的面积为 ，
则，，故 .
图11.1.6-14
题型解析
03
题型1 柱体的体积
图11.1.6-15
例10 如图11.1.6-15，在正三棱柱中，为棱
的中点，若截面 是面积为6的直角三角形，则此正三棱柱
的体积为_____.
【解析】设,,由题意易知 为等腰直角三角
形，则,解得 ,
又 是面积为6的直角三角形，
则,所以 ,
故此正三棱柱的体积为 .
例11 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.
【解析】设卷成的圆柱的底面半径为,母线长为 .
①当时，, ,
则 ;
②当时，， ，
则 .
故所求圆柱的体积为或 .
注意 POINT
因为没有明确谁为母线长，所以要进行分类讨论.
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个
平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；
圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素.
【变式题】
图11.1.6-16
1.(2025·湖北省荆州市期末)小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠
绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图1 ，
纸卷的直径为，轴的直径为，当小明用掉 的纸后，剩
下的这卷纸的直径最接近于( )
B
A. B.
C. D.
【解析】设小明用掉的纸后，剩下的这卷纸的直径为 ，卷
纸高为，则由题意可知 =
，解得 ，所以剩下的这卷纸的直径最
接近于 ．
2.如图11.1.6-17所示,底面半径为1,高为1的圆柱 中有一内接长方体
.设矩形的面积为,长方体的体积为 ,
.
图11.1.6-17
（1）将表示为 的函数;
【答案】连接, 矩形内接于,为 的直径.
,,, .
（2）求 的最大值.
【答案】 长方体的高 ,
.
, ,
故当即时,取得最大值，此时 .
题型2 锥体的体积
例12 (2025·黑龙江省哈尔滨九中月考)已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为 ，且
面积为 的扇形，则该圆锥的母线长为___,体积为_ ____.
3
【解析】设圆锥的母线长为，由题意可知圆锥侧面积为 ，所以 ，则
圆锥的底面周长为 ，从而圆锥的底面半径 ,所以圆锥的高
，体积 .
图11.1.6-18
例13 (2025·广东省江门市培英高级中学期中)如图11.1.6-18，
长方体的体积是120，为 的中点，则
三棱锥 的体积是____.
【解析】 长方体 的体积是120，
.
又是 的中点，
.
例14 如图11.1.6-19，三棱锥的各个面都是边长为的正三角形，是 的中
点，是的中点，求绕直线 旋转一周所得旋转体的体积.
图11.1.6-19
思路点拨 绕 所在的直线旋转一周得到两个圆锥，它们的底面是公共的.
图11.1.6-20
【解析】如图11.1.6-20，连接，和是边长为 的
正三角形，且,分别是它们的中线，， 是
等腰三角形.
是的中点，，又 ,
.
过点作,垂足为，则 （注意等面积法的应用），
.
则所求旋转体的体积
.
. .
求解锥体的体积问题的关键是确定底面积和高，这些元素常常是放到平面图形中通
过构造直角三角形，应用勾股定理进行求解.
利用转化法求解体积问题的思路
转化法是在用公式法求解一个几何体体积时，直接求解不便于计算时常考虑的基本
方法，有两种常见的转化思路：一是运用等体积转化法求解，即如果所求几何体对
应的底面面积或者高较难求解时，利用几何体体积的不变性转化为从另一个角度求
底面面积和高，进而得到它的体积；二是运用比例转化法求解，即将所求几何体按
比例转化为常见的几何体，再考虑用公式法求解体积.
利用转化法求解体积的步骤
第一步：等体积转化（或比例转化）.通过分析几何体的结构特征，利用体积的不变
性将所求几何体的底面和高转化为易于求解的底面和高（或将不易求解体积的几何
体按照比例转化成易求解体积的几何体模型）.
第二步：计算体积.分别求出转化后的几何体底面面积和高，再用体积公式计算.
第三步：得到结论.
【变式题】
3.新情境 囷盖 (2025·湖南省常德市沅澧共同体期末)《算数书》竹简于上世纪八十
年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记
载有求“囷 盖”的方法：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该方法
相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式 ，它实
际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为3，那么依此方法，近似公式
相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，则 ，
， ．
题型3 台体的体积
例15 [教材改编P85 例2] (2026·山西省阳泉市第一中学开学考试)正四棱台的上、下
底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
D
A.56 B. C. D.
图11.1.6-21
【解析】如图11.1.6-21所示，在正四棱台
中，点, 分别为上、下底面的
中心，连接,, ，
则由题意可知 底面， ,
.过点作,交于点 ，则
底面，四边形 为矩形，
,所以，因为 ,所以
,即正四棱台的高为 ，所以正四棱台的体积
.
图11.1.6-22
例16 如图11.1.6-22所示，已知圆台的高为3，在轴截面
中母线与底面圆的直径的夹角为 ，
，求圆台的体积.
【解析】设圆台上、下底面的半径分别为,，高为,作于点，则 .
, , ,
，即 ①.
而, ②.
联立,解得, .
,即圆
台的体积为 .
名师点评 圆台的轴截面是等腰梯形，将题中的已知量转移到轴截面中即可求出圆台
上、下底面的半径.
求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分
利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的
体积差得到.
【变式题】
4.(2022·新高考全国Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一
部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为 ;
水位为海拔时，相应水面的面积为 .将该水库在这两个水位间的形
状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到 时，增加的水量约为
( )
C
A. B. C. D.
图D 11.1.6-1
【解析】如图D 11.1.6-1，由已知得该棱台的高为
,所以该棱台的体积．
题型4 与球有关的切、接问题
1 求球的体积
图11.1.6-23
例17 (2025·山东省青岛第六十八中学期中)如图11.1.6-23，有一个
水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 ，将一个球放在
容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为
,如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】设球的半径为 ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆
的半径为，球心到截面的距离为，所以 ，解得
,所以球的体积 .
求解球的体积问题的关键是确定球的半径.一般地，题中不会直接给出球的半径，而
是隐藏在某些条件或解题过程中，一定要注意挖掘题目中的隐含条件.
2 几何体的外接球问题
例18 [教材改编P88 练习B T5] 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为 ,
点,,,, 都在同一球面上,则该球的体积为_ ___.
【解析】设底面正方形的中心为，则由题意可得 ,所
以点是球的球心，且球的半径，则该球的体积 .
3 几何体的内切球问题
母题 致经典·母题探究
图11.1.6-24
例19 (2025·湖南省名校联考)如图11.1.6-24，在圆柱 内有一
个球,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱 的体积
为，球的体积为，则 的值是__.
【解析】设球半径为,则 .
子题
(全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若 ,
，，,则 的最大值是( )
B
A. B. C. D.
思路点拨 要求球的体积的最大值，可以将问题转化为判断球的半径最大是多少.通
过对直棱柱的高、底面内切圆的半径和球的半径这三个量的比较与估计，得到球的
最大半径.
图11.1.6-25
【解析】示意图如图11.1.6-25所示，设直三棱柱内切球的半
径为，内切圆的半径为,易知,由此得 .又棱
柱的高为3，则,所以.又,所以当
时，取得最大值，的最大值为 .
名师点评 不是所有的直三棱柱都有内切球，只有底面三角形内切圆的直径与直三
棱柱的高相等时，该直三棱柱才有内切球.
球与几何体的切、接问题的解题思路
1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需
依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，
确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.
2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面
所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的
位置关系和数量关系.
题型5 不规则几何体的体积
1 割补法求几何体体积
例20 斜三棱柱 的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离
为6.则这个棱柱的体积为____.
30
图11.1.6-26
【解析】如图11.1.6-26所示，将斜三棱柱 补成平行
六面体 ,
因为三棱柱与三棱柱 等底等高，故
.
设侧面的面积为10，到侧面 的距离为6，则平
行六面体 的底面积为10，高为6.
.
.
易错警示 求解本题时，学生容易犯如下的错误：将棱柱的侧面看作底面，则它的
高为6，故所求体积为 .出错的原因在于不会用割补法求体积而
乱用已知条件，盲目套用柱体的体积公式导致求解出错.三棱柱不是三棱锥，不是任
一面都可作为底面，但通过“补形”转化为平行六面体后，则可将侧面视为底面.
例21 如图11.1.6-27所示，在多面体中，已知面 是边长为4的正方形，
，，到平面 的距离为3，求该多面体的体积．
图11.1.6-27
图11.1.6-28
【解析】 （分割法） 如图11.1.6-28所示，连接, ，
.（通常通过作辅助线将一个不熟悉的几何体分割成几个常见
的几何体）
四棱锥的体积 .
,, .
原多面体的体积 .
即该多面体的体积为20.
图11.1.6-29
（分割法） 如图11.1.6-29所示，设，分别为 ，
的中点，连接,,,,,,则, ,
,原多面体可分割为四棱锥 及三棱柱
.
由题意得 .
原多面体的体积
.
即该多面体的体积为20.
.
图11.1.6-30
（补形法） 如图11.1.6-30所示，延长至点 ，使
，连接，，则多面体 为斜三棱
柱，且其直截面面积为 ，（垂直于斜棱柱的
侧棱的截面叫做斜棱柱的直截面）
则 .
连接，， 平面平面，为 的中点，
，
，
即 ，
,
故原多面体的体积 .
用割补法求几何体体积的基本策略
求几何体的体积时，若不能直接套用体积公式，则可考虑使用“割补法”，“割”就是
将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体，“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的
几何体，再用公式求解.“割补法”是立体几何中求体积的一种常用的重要方法.
【变式题】
图11.1.6-31
5.传统文化 十字歇山 (2025·湖南省邵阳
市期末)如图11.1.6-31，“十字歇山”是由两
个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面
为正方形，直三棱柱的底面形状为顶角为
，腰为3的等腰三角形，则该几何体
的体积为( )
D
A.23 B.24 C.26 D.27
图D 11.1.6-2
【解析】由题意作出该几何体的示意图（根据题图抽
象出图形是由两个三棱柱重叠的），如图D 11.1.6-
2，, ,
,是等腰三角形，三角形的高为 ，底面
是边长为 的正方形，
， ，
故所求体积为 .
. .
2 组合体体积的求解
图11.1.6-32
例22 新情境 战国铜镞 (2025·辽宁省抚顺市第一中学期初)如
图11.1.6-32是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是
高为、底面边长为的正三棱锥，后段是高为 的
D
A. B. C. D.
圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为
( )
【解析】设正三棱锥底面的正三角形内切圆半径为 ，
由等面积法得，，解得 ，
由三棱锥体积公式与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为
．
名师点评 本题实质是求组合体的体积，此类问题的求解方法是将组合体分解成若干
“柱、锥、台、球”的基本型，然后根据相关公式求解.
【变式题】
图11.1.6-33
6.(2025·上海市复旦中学)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如
图11.1.6-33（1）所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球
与圆柱的组合体（如图11.1.6-33（2））.当这种酒杯内壁表面
积（假设内壁表面光滑，表面积为，半球的半径为 ）固定
时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则 的取值
范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】设圆柱的高度与半球的半径分别为,，则 ，则
，所以酒杯的容积
，又, ，所
以，所以，解得 .故选D.
新考法 数学文化
例23 新情境 牟合方盖 (2025·辽宁省大连市期末)魏晋时期数学家刘徽在他的著作
《九章算术注》中称，一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱的公共部分为“牟合方
盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比为 .若正方
体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( )
C
A.16 B. C. D.
【解析】若正方体的棱长为2，则其内切球的半径 ,所以正方体的内切球的体积
.
又,所以 .
例24 新情境 羡除 (2025·辽宁省名校联盟月考)我国古代数学名著《九章算术》中记
载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几
何？”这里的“羡除”是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图
11.1.6-34（1）所示“羡除”中，，，， ，等腰梯
形和等腰梯形 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂
直．按如图11.1.6-34（2）的分割方式进行体积计算，则该“羡除”的体积为( )
A
图11.1.6-34
A.84 B.66 C.126 D.105
【解析】按图11.1.6-34（2）中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直
角三角形，两条直角边长分别为7和3，直三棱柱的高为6，则直三棱柱的体积
.（利用题干中的有效信息，可知“羡除”被分割成熟悉的直三
棱柱和四棱锥）
两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积 ，四棱锥的高为3，
则两个四棱锥的体积 ．
所以该“羡除”的体积 ．
高考考向分析
04
考情揭秘
求空间几何体的体积一直是高考重点考查的内容，通常结合方程思想考查公式的应
用和基本量的运算，试题一般较基础.因为几何体的高涉及线面垂直，所以在解答题
中，几何体体积也常与线面位置关系综合考查，难度中等.
核心素养：直观想象（空间几何体的结构特征）、数学运算（根据公式计算体积）.
考向1 求空间几何体的体积
1 求基本几何体体积
例25 (2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高
均为 ，则圆锥的体积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为 ，
而它们的侧面积相等，所以 ,
即 ，
故，故圆锥的体积为 .
例26 (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台中，， ,
,则该棱台的体积为_ ___.
图11.1.6-35
【解析】如图11.1.6-35所示,设点, 分别为正四棱台
上、下底面的中心,连接,,则点, 分
别为,的中点,连接,则 即正四棱台
的高,过点作,垂足为 ,则
.
因为,,所以, ,
所以,又 ,
所以, ,
所以,所以 .
素养探源 素养 考查途径
数学运算 通过空间几何体面积及体积公式实现对数学运算素养的考查.
直观想象 聚焦空间几何体的关系实现对空间几何体结构的认知.
变式探源
1.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____.
28
图11.1.6-36
【解析】如图11.1.6-36所示，正四棱锥 的底面边长为4，
用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥
后，得到正四棱台，且 ，
.记，分别为正四棱台 上、下底面的
中心，，分别为,的中点，连接,,, ，则
，,.易知 ，所以
，即，解得，（题眼）所以， 所以该正
四棱台的体积 .
. .
2.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为 ，圆台的
母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 _ __．
【解析】由题可得两个圆台的高分别为
，
，
所以 .
例27 (2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
, 侧面积分别为和，体积分别为和.若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合 可知，甲、
乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是.不妨设两个圆锥的母线长为 ，甲、
乙两个圆锥的底面半径分别为,，高分别为, ，则由题意知，两个圆锥的侧面
展开图刚好可以拼成一个周长为 的圆，所以 , ，得 ,
.由勾股定理得，, ，所以
.
设两圆锥的母线长为，甲、乙两圆锥的底面半径分别为, ，高分别为
,，侧面展开图的圆心角分别为,，则由 ，得
．由题意知 ，所以,，所以 ,
，得,.由勾股定理得， ,
，所以 .
2 求组合体体积
图11.1.6-37
例28 (2024·天津)如图11.1.6-37所示一个五面体 .已
知,且两两之间距离为1,,, ,则
该五面体的体积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为,, 两两平行，且两两之间距离
为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱
和一个底面为梯形的四棱锥 ，如图11.1.6-38所示.
图11.1.6-38
其中三棱柱 的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体
积，四棱锥的高为，（即等边三角形 的高）
底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积
.
图11.1.6-39
如图11.1.6-39，用一个完全相同的五面体
（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得
与，与，与 重合.
因为，且两两之间距离为1，, ,
, 则形成的新组合体为一个三棱柱,
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角
形，侧棱长为 ,故该五面体的体积为
.
名师点评
通常用割补法将斜棱柱转化为直棱柱.斜棱柱的直截面是垂直于侧棱并与每条侧棱都
相交的截面，如图11.1.6-40，沿着直截面将斜棱柱截开后，可重新拼接成一个直棱
柱，此时斜棱柱的直截面就是直棱柱的底面，斜棱柱的侧棱就是直棱柱的高.所以，
斜棱柱的体积直截面的面积 侧棱长.
图11.1.6-40
. .
考向2 空间几何体的内切球问题
例29 (2025·全国二卷)一个底面半径为,高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚
度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____ .
2.5
【解析】 设铁球半径为 ,将圆柱的底面水平放置.
若两个铁球的球心在同一水平面上，且分别与圆柱的侧面相切，则铁球球心与圆柱
侧面的距离均为，当半径最大时，则，解得 ，即此时铁球的半径为
.
（球与圆柱相切有多种情况，确定什么时候半径最大是解题关键，因此需要有一个
验证和判断的过程）
若两个铁球的球心在同一竖直线上，且分别与两个底面相切，当半径最大时，则
，解得，即此时铁球的半径为 .
图11.1.6-41
当两球球心既不在同一水平面上，也不在同一竖直线上时，设两
个铁球的球心分别为, ,此种情况下，当铁球半径最大时，如
图11.1.6-41（1）所示，圆柱与两铁球的轴截面如图11.1.6-41（2）
所示，（立体几何问题平面化思路，方便计算）
其中为圆柱的轴截面，, ,
. .
. .
则有,， ，
则有 ，
即，即 ,
解得（舍去）， .
因为,所以铁球半径的最大值为 .
考虑到圆柱与球的对称性，不妨把圆柱与球的位置关系看成长方形与圆的
位置关系，原问题等价于在边长分别为8与9的长方形内，放置两个半径最大的等圆，
问：圆的半径是多少？
图11.1.6-42
如图11.1.6-42所示，当圆的半径最大时，圆与， 相切，且过
点，为长方形的中心，两圆相切于点 .
过作，交于点，过作，交于点 ，连接
,,,则 为正方形.
在中，，， ，
，
（ ）
所以，（运用公式 求解）
故 ，化简得
，解得或 （舍去）.
（【另解】以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为
轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，由 ，
可得，解得或 （舍去））
命题 探源 试题以圆柱和球为背景，设置了一个给定圆柱内放置两个相切的球的问题，
如果仅仅是从空间几何体的位置关系思考问题，是比较复杂和困难的，这就
需要考生首先把问题情境想象为平面问题.考虑到圆柱和球都是旋转对称与轴
对称图形，可以用过球心与圆柱的对称轴的面去截圆柱和球，就得到解题思
路中呈现的平面图形，这样问题就转化为在给定的长方形中，放置两个半径
最大的等圆.两个圆与长方形的位置关系将会决定其半径的大小.
提分 探源
续表
例30 (全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的
体积为_ ____.
图11.1.6-43
【解析】 易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆
锥内切时的轴截面如图11.1.6-43所示，
其中,，且点为 边上的中点，设内切圆
的圆心为，由于 ，故
，设内切圆半径为 ，则
,
解得,故所求体积 .
图11.1.6-44
如图11.1.6-44，在圆锥的轴截面中， ,
,,圆内切于，为切点，连接 ,则
.在中， .易知
,则.设圆锥的内切球半径为 ,则
,在中, ,即
,所以 ,圆锥内半径最大的球的体积为
.
高考新题型专练
图11.1.6-45
1.[多选题] (2025·辽宁省部分名校质检)如图11.1.6-45，现有一个
底面直径为，高为 的圆锥形容器，已知此刻容器内液
体的高度为 ，忽略容器的厚度，则( )
BCD
A.此刻容器内液体体积与容器容积的比值为
B.容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C.当容器内液体的高度增加 时，需要增加的液体体积为
D.当容器内沉入一个棱长为 的正方体铁块时，容器内液体
的高度为
图D 11.1.6-3
【解析】作容器的轴截面，如图D 11.1.6-3，
设,,, ，
由相似三角形可得 ,
所以 .
对于A，由于液体高度与容器高度之比为 ，
所以容器内液体体积与容器容积的比值为 ，A错误．
对于B，设容器内液体倒去一半后液体的高度为 ，
则，解得 ，B正确．
对于C，因为，（ ,将增加的液体看作圆台，计算圆台上
下底面半径），所以当容器内液体的高度增加 时，
需要增加的液体的体积为 ，C正确．
对于D，当容器内沉入一个棱长为 的正方体铁块时，设容器内液体的高度为
，体积 ，又沉入铁块前液体体积为
，
则，，D正确．故选 .
. .
2.[多选题] (2025·浙江省宁波中学期中)“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得
意的发现，被
图11.1.6-46
刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，
研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，
如图11.1.6-46，半径为 的球分别内切于圆柱，圆
台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为
,,,，表面积分别为,,, ，则以下关
系正确的是( )
AD
A. B. C. D.的最大值为
【解析】对于A，由题得，， ，
，所以,，所以 ，
故A正确.
图D 11.1.6-4
对于B，设圆台上下底面的半径和母线长分别为,, ，圆台容球
的轴截面（部分）如图D 11.1.6-4所示，
因为,, ,
，
所以, ，
设 ,则，且 （可直接使用切
线长定理得该结论），
所以 ，
又，所以 ，
所以 ，
. .
所以 ，
，
所以, ，
所以 ，故B错误.
图D 11.1.6-
5
对于C，设圆锥的底面半径、高和母线长为，和 ，圆锥容
球的轴截面如图D 11.1.6-5所示，
则由 得
，
整理得，即 ①，
因为,, ,
所以，故 ，
所以 ，
所以，即 ②，
由①②得，即，整理得 ，
所以由①得 ，
所以 ，
，
所以 ,
，所以 ，故C错误.
对于D，由题意可知 ，
所以由C选项得 ，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为 ，故D正确.故选
.
知识测评
05
建议时间：30分钟
1.新情境 九章算术(2025·吉林省吉林市调研)《九章算术》是我国数学史上堪与欧几
里得《几何原本》相媲美的数学名著，其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡
壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡壔就是圆柱，其底面周
长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若 取3，估算该圆柱的体积为
（1丈 尺）( )
C
A.1 998立方尺 B.2 012立方尺 C.2 112立方尺 D.2 324立方尺
【解析】设底面半径为尺,则,又 取3，所以 ，所以该圆柱的体积为
（立方尺）.
2.新情境 乌鸦喝水(2025·福建省三明市期中)小乌鸦发现一个底面半径为2，高为8的
圆柱形容器内有水面高度为5.5的水，但是只有水面高度达到7时,小乌鸦才能喝到
水．小乌鸦为了喝到水找来了一些半径为1的小石球放到盛水的容器内（容器壁厚度
不计），则小乌鸦要喝到水最少需要小石球的个数为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】小乌鸦要喝到水，则水面至少上升 ，因为圆柱形容器的底面半径为2，
所以需要小石球的体积至少为 ，而一个小石球的半径为1，即一
个小石球的体积为 ，又 ,故小乌鸦要喝到水最少需要小石球的
个数为5．
3.近年来，越来越多的市民喜欢在周末带着帐篷到户外开展活动，帐篷的造型多种
多样，从中抽象出两种帐篷模型：模型①正三棱柱，如图11.1.6-1（1）所示；模型
②半圆柱体，如图11.1.6-1（2）所示.定义“，其中表示帐篷的体积， 表示帐
篷的表面积（不包括阴影部分）”，记模型①②的 值分别为，，则
参考数据：， ( )
B
图11.1.6-1
A. B. C. D.不能确定
【解析】设三棱柱的体积为，表面积为，半圆柱的体积为，表面积为 ，
则 ，
，
， ，
则 ，
．
.故选B．
4.［多选题］(2025·安徽省六安市独山中学开学考试)一个圆柱和一个圆锥的底面直
径和它们的高都与一个球的直径 相等，则下列结论正确的是( )
CD
A.圆柱的侧面积为 B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为
【解析】A选项，圆柱的侧面积为 ，故A选项错误．
B选项，圆锥的母线长为,圆锥的侧面积为 ，
故B选项错误．
C选项，球的表面积为 ，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确．
D选项，圆柱的体积为 ，
圆锥的体积为,球的体积为 ，所以圆柱、圆锥、球的体积
之比为 ，故D选项正确．
图11.1.6-2
5.［多选题］(2025·湖南省长沙市月考)如图11.1.6-2所示的圆锥
的底面半径为3，高为4，且 ，则( )
ABD
A.三棱锥 的体积为12
B.该圆锥的体积为
C.该圆锥的表面积为
D.该圆锥的母线长为5
【解析】圆锥的底面半径为3，高为4，且 ，
则， ，
三棱锥的体积为 ，
故A正确；
该圆锥的体积为 ，故B正确；
该圆锥的母线长为 ，故D正确；
该圆锥的表面积为 ，故C错误．
6.如图11.1.6-3，已知正方体中，,分别是, 上的点，设
，则三棱锥 的体积为__.
图11.1.6-3
【解析】由于,,点到平面
的距离即点到面的距离,即的长，所以 .
7.三棱台中,,则三棱锥,,
的体积之比为_______.
【解析】由题意可得 ,
,
所以三棱锥,,的体积之比为 .
图11.1.6-4
8.(2025·山东省栖霞市第一中学月考)如图11.1.6-4，一个直
三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面
水平放置时，液面恰好过,,,的中点,, ,
，则当底面 水平放置时，液面高为多少？
【答案】设三棱柱的底面积为 .
，， .
当侧面 水平放置时，水的体积
.
当底面水平放置时，设液面高为 ,
水占有的空间为一个三棱柱， 水的体积 ，
，则，故液面高为 .
高考模拟
06
建议时间：40分钟
9.(2025·河南省信阳高级中学开学考试)在三棱锥中，线段上的点 满足
,线段上的点满足,则三棱锥和三棱锥 的体
积之比为( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图D 11.1.6-1，因为, ,
图D 11.1.6-1
所以 ,
所以（其中为点到平面 的距离，因为
平面和平面重合，所以点到平面的距离也为 ）.故选B.
10.(2025·山西省忻州市第十中学月考)对24小时内降落在平地上的积水厚度 进
行如下定义：
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
图11.1.6-5
小明用一个如图11.1.6-5所示的圆锥形容器接了24小时的雨水，
则这一天的雨水属于哪个等级( )
B
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
【解析】作出截面图如图D 11.1.6-2所示，设圆锥形容器中水面的半径为 ,则
,所以，所以24小时所接雨水的体积 .设底
面半径为的圆柱的高为，依题意令 ，
图D 11.1.6-2
得,即这一天的积水厚度为 ，属于中雨.
图11.1.6-6
11.传统文化 端午节 ［多选题］(2025·福建省宁德市月
考)“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界
非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全
国各地的粽子包法各有不同．如图11.1.6-6，粽子可包成
棱长为 的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径
AC
A.这两碗馅料最多可包三角粽35个 B.这两碗馅料最多可包三角粽36个
C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个 D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个
为，高为 （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积
等于半径为 的半球的体积，则这两碗馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的
个数为( )
图D 11.1.6-3
【解析】两碗馅料的体积为 .如图D
11.1.6-3，在正四面体中，为边上的中线，为三角形
的中心，则 即为正四面体的高，由题可知，
， ，
，所以正四面体的体积为
，即一个正四面体状的三角粽的体积为
，因为 ，所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A
正确，B错误.一个圆柱状竹筒粽
的体积为，因为 ，所
以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误.故选 .
12.(2025·广东省普宁华侨中学月考)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 ，
则该圆锥的侧面积为_____.
【解析】设该圆锥的高为，则由已知条件可得 ，解得 ，
则圆锥的母线长为 ，故该圆锥的侧面积为
.
13.如图11.1.6-7，已知直三棱柱外接球的表面积为 ， ，若
外接圆的圆心在上，半径，则直三棱柱 的体积为___.
6
图11.1.6-7
图D 11.1.6-4
【解析】外接圆的圆心在上，为 的中点，且
是以为直角的直角三角形.由半径，得 ，
又，．把直三棱柱 补形为长方体
,如图D 11.1.6-4所示，连接，易知 为其
外接球直径.设 ，则其外接球的半径
.
又直三棱柱外接球的表面积为 ， ，即 .
,解得 ．
直三棱柱的体积为 ．
14.(2025·黑龙江省绥化市绥棱县第一中学月考)如图11.1.6-8（1）截角四面体是一种
半正八面体，可由四面体经过适当截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面
体．如图11.1.6-8（2）所示的几何体是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行
于底面或侧面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体．
图11.1.6-8
（1）该截角四面体的表面积；
【答案】依题意，该截角四面体是由4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边
形围成，
截角四面体中，正三角形的面积 ，
边长为1的正六边形的面积 ，
所以该截角四面体的表面积为 ．
（2）该截角四面体的体积．
【答案】该截角四面体是棱长为3的正四面体去掉4个棱长为1的正四面体而得，
棱长为1的正四面体的高 ，
棱长为3的正四面体的高为 ，
则棱长为1的正四面体的体积 ，
棱长为3的正四面体的体积 ，
所以该截角四面体的体积 .
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高二下学期数学人教B版必修第四册
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 祖暅原理
祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体（这两个几何体可以是任意形状
的），如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这
两个几何体的体积一定相等.
应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.
特别提醒 祖暅原理是推导柱、锥、台体和球的体积公式的基础和纽带，理解时必须
抓住以下三个条件：①两个几何体夹在两个平行平面之间，可以理解为这两个几何
体在平行面间的高度相等;②几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截;③截得
的两个截面面积总相等.这三个条件缺一不可，否则结论不成立.
. .
典例详解
【想一想丨知识拓展】
祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》
时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容
异”.“幂”是截面面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面
面积相等，则体积相等.
祖暅原理也称祖氏原理，又名等幂等积定理.国外发现的卡瓦列里原理，即等积原理
要比我国的祖暅原理晚1 100多年.
知识点2 柱体的体积
棱柱与圆柱统称为柱体.
注意到柱体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面
积一定等于底面面积，从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体,体积相等.
又因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以如果柱体的底面积为，高为 ，
则柱体的体积计算公式为 .
特别地，底面半径为,高为的圆柱体的体积计算公式为 . #1.3
特别提醒 （1）柱体的体积仅与它的底面积和高有关，与柱体是几棱柱，是直棱柱
还是斜棱柱都没有关系.
（2）垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面称为直截面.棱柱的体积与直截面面积
之间的关系为：为棱柱的侧棱长 .
（3）长、宽、高分别为,,的长方体的体积为，棱长为 的正方体的体积
为 ．#1.4.2
典例详解
例2-1 （1）长方体相邻三个面的面积分别为2，6和9，则该长方体的体积是_____.
【解析】设长方体的长、宽、高分别为，，，不妨令,, ,则可
得,所以该长方体的体积 .
（2）若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_ __ .
【解析】设圆柱的底面半径为,由题意可知,所以 .
故圆柱的体积 .
知识点3 锥体的体积
图11.1.6-1
棱锥与圆锥统称为锥体.
如图11.1.6-1所示，当锥体被平行于底面的平面所截时，
得到的截面与底面相似，即 ，而且相似比等
于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，因此截面与
底面的面积之比 ,从而由祖暅原理可知，等底面
积、等高的两个锥体，体积相等.
一般地，如果锥体的底面积为，高为 ，则锥体的体积
计算公式为 .
特别地，如果圆锥的底面半径为,高为 ，则圆锥的体积
为 .
知识剖析 锥体体积公式的推导（以三棱锥为例）
如图11.1.6-2（1），已知 是一任意形状的三棱柱.
图11.1.6-2
连接,, ，则三棱柱被分割成了如图11.1.6-2（2）所示的三个三棱锥1，
2，3，设它们的体积分别为,, .
在三棱锥1，2中，，所以与 的面积相等，又
它们有相同的顶点 ，故高也相等，底面积和高分别相等的两个棱锥的体积相等，所
以 .
又在三棱锥2，3中，与的面积相等，三棱锥2,3有相同的顶点 ,
故高也相等，所以 .
综上所述， .
所以，又,所以 .
提示 POINT
此处回答了教材第84页【尝试与发现】的问题.
典例详解
例3-2 [教材改编P91 T14] (2025·辽宁省葫芦岛市期末)三棱锥的高为3，侧棱长均相
等且为 ，底面是等边三角形，则这个三棱锥的体积为( )
D
A. B. C. D.
图11.1.6-11
【解析】由题意可知，该三棱锥为正三棱锥，如图11.1.6-11，
为正三棱锥的高，连接 .
在中，,，则，又 为等
边三角形，所以 ，
则 ，
所以三棱锥的体积为 .
例3-3 (2025·河北省衡水市期末)已知圆锥的母线长为8，底面周长为 ，则它的体
积为________.
【解析】设圆锥的母线长为，高为,底面半径为 ，
由 ,得,所以 .
由圆锥的体积公式可得 .
警示 初学者在计算锥体体积时特别容易忽略公式中的 而导致错误.
知识点4 台体的体积
棱台与圆台统称为台体.
因为台体可看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体
的体积之差来得到.
一般地，如果台体的上、下底面面积分别为,,高为 ,则台体的体积计算公式
为 .
特别地，如果圆台的上、下底面半径分别为,,高为 ，则圆台的体积为
.
发散探讨 柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系吗？
典例详解
例4-4 已知一个棱台的两个底面面积分别是和 ,截得这个棱台的棱锥
的高为，则这个棱台的体积为_______ .
【解析】设棱台的高为，截得这个棱台的棱锥的高为.由 ，及
，,,得或 （舍去）,则这个
棱台的体积 .
知识点5 球的体积
一般地，如果球的半径为，那么球的体积计算公式为 .
知识剖析 1.由球的体积公式可知，已知球的半径可以利用公式求出它的体积；已知
球的体积，可利用方程思想求出它的半径.
2.两个球的体积之比等于这两个球的半径的立方之比.
典例详解
例5-5 球的表面积是 ，则球的体积是_ ___．
【解析】设球的半径为，则 ，解得 ，
所以球的体积 ．
释疑惑 重难拓展
知识点6 几何体体积的计算方法
图11.1.6-3
1.公式法：直接套用体积公式求解.
2.等体积法：计算体积时可以用任意一个面作为三棱锥的底
面.如图11.1.6-3，有
.
提示 POINT
此法在求点到平面的距离时也常用到.
3.分割法：在求一些不规则几何体的体积时，我们可以将其
分割成规则的、易于求解的几何体，先分别求体积，再求和.
4.补形法：对一些不规则（或难求解）的几何体，我们可以通过补形，将其补
为规则（或易于求解）的几何体.常见情况如下.
（1）将正四面体补为正方体，如图11.1.6-4.
图11.1.6-4
（2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图11.1.6-5.
图11.1.6-5
（3）将三条棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图11.1.6-6，
,, .
图11.1.6-6
（4）将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图11.1.6-7或图11.1.6-8.
图11.1.6-7
图11.1.6-8
（5）将三棱柱补成平行六面体，如图11.1.6-9.
图11.1.6-9
（6）将台体补成锥体，如图11.1.6-10.
图11.1.6-10
说明 一般地，分割法和补形法统称为割补法.
典例详解
图11.1.6-12
例6-6 (2025·上海市宝山中学月考)如图11.1.6-12，在正四棱柱
中，， ，则三棱锥
的体积为__ .
【解析】三棱锥即三棱锥 ,在正四棱柱
中，
，，则三棱锥 的底面积为
，高为 ，故
.
例6-7 [教材改编P88 练习A T4] 在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱
中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体
积是( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意易知正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体所
得的三棱锥的体积是 ，
于是8个三棱锥的体积是 ,
故剩下的几何体的体积是 .
例6-8 如图11.1.6-13，已知底面半径为 的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长的
最大值为，最小值为 ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是_____________.
图11.1.6-13
【解析】将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体
积为，则所求几何体的体积为 .
例6-9 在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥 的体积
为，三棱锥的体积为,则 __.
【解析】如图11.1.6-14所示，设点到平面的距离为，三角形的面积为 ，
则，，故 .
图11.1.6-14
题型解析
03
题型1 柱体的体积
图11.1.6-15
例10 如图11.1.6-15，在正三棱柱中，为棱
的中点，若截面 是面积为6的直角三角形，则此正三棱柱
的体积为_____.
【解析】设,,由题意易知 为等腰直角三角
形，则,解得 ,
又 是面积为6的直角三角形，
则,所以 ,
故此正三棱柱的体积为 .
例11 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.
【解析】设卷成的圆柱的底面半径为,母线长为 .
①当时，, ,
则 ;
②当时，， ，
则 .
故所求圆柱的体积为或 .
注意 POINT
因为没有明确谁为母线长，所以要进行分类讨论.
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个
平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；
圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素.
【变式题】
图11.1.6-16
1.(2025·湖北省荆州市期末)小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠
绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图1 ，
纸卷的直径为，轴的直径为，当小明用掉 的纸后，剩
下的这卷纸的直径最接近于( )
B
A. B.
C. D.
【解析】设小明用掉的纸后，剩下的这卷纸的直径为 ，卷
纸高为，则由题意可知 =
，解得 ，所以剩下的这卷纸的直径最
接近于 ．
2.如图11.1.6-17所示,底面半径为1,高为1的圆柱 中有一内接长方体
.设矩形的面积为,长方体的体积为 ,
.
图11.1.6-17
（1）将表示为 的函数;
【答案】连接, 矩形内接于,为 的直径.
,,, .
（2）求 的最大值.
【答案】 长方体的高 ,
.
, ,
故当即时,取得最大值，此时 .
题型2 锥体的体积
例12 (2025·黑龙江省哈尔滨九中月考)已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为 ，且
面积为 的扇形，则该圆锥的母线长为___,体积为_ ____.
3
【解析】设圆锥的母线长为，由题意可知圆锥侧面积为 ，所以 ，则
圆锥的底面周长为 ，从而圆锥的底面半径 ,所以圆锥的高
，体积 .
图11.1.6-18
例13 (2025·广东省江门市培英高级中学期中)如图11.1.6-18，
长方体的体积是120，为 的中点，则
三棱锥 的体积是____.
【解析】 长方体 的体积是120，
.
又是 的中点，
.
例14 如图11.1.6-19，三棱锥的各个面都是边长为的正三角形，是 的中
点，是的中点，求绕直线 旋转一周所得旋转体的体积.
图11.1.6-19
思路点拨 绕 所在的直线旋转一周得到两个圆锥，它们的底面是公共的.
图11.1.6-20
【解析】如图11.1.6-20，连接，和是边长为 的
正三角形，且,分别是它们的中线，， 是
等腰三角形.
是的中点，，又 ,
.
过点作,垂足为，则 （注意等面积法的应用），
.
则所求旋转体的体积
.
. .
求解锥体的体积问题的关键是确定底面积和高，这些元素常常是放到平面图形中通
过构造直角三角形，应用勾股定理进行求解.
利用转化法求解体积问题的思路
转化法是在用公式法求解一个几何体体积时，直接求解不便于计算时常考虑的基本
方法，有两种常见的转化思路：一是运用等体积转化法求解，即如果所求几何体对
应的底面面积或者高较难求解时，利用几何体体积的不变性转化为从另一个角度求
底面面积和高，进而得到它的体积；二是运用比例转化法求解，即将所求几何体按
比例转化为常见的几何体，再考虑用公式法求解体积.
利用转化法求解体积的步骤
第一步：等体积转化（或比例转化）.通过分析几何体的结构特征，利用体积的不变
性将所求几何体的底面和高转化为易于求解的底面和高（或将不易求解体积的几何
体按照比例转化成易求解体积的几何体模型）.
第二步：计算体积.分别求出转化后的几何体底面面积和高，再用体积公式计算.
第三步：得到结论.
【变式题】
3.新情境 囷盖 (2025·湖南省常德市沅澧共同体期末)《算数书》竹简于上世纪八十
年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记
载有求“囷 盖”的方法：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该方法
相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式 ，它实
际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为3，那么依此方法，近似公式
相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，则 ，
， ．
题型3 台体的体积
例15 [教材改编P85 例2] (2026·山西省阳泉市第一中学开学考试)正四棱台的上、下
底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
D
A.56 B. C. D.
图11.1.6-21
【解析】如图11.1.6-21所示，在正四棱台
中，点, 分别为上、下底面的
中心，连接,, ，
则由题意可知 底面， ,
.过点作,交于点 ，则
底面，四边形 为矩形，
,所以，因为 ,所以
,即正四棱台的高为 ，所以正四棱台的体积
.
图11.1.6-22
例16 如图11.1.6-22所示，已知圆台的高为3，在轴截面
中母线与底面圆的直径的夹角为 ，
，求圆台的体积.
【解析】设圆台上、下底面的半径分别为,，高为,作于点，则 .
, , ,
，即 ①.
而, ②.
联立,解得, .
,即圆
台的体积为 .
名师点评 圆台的轴截面是等腰梯形，将题中的已知量转移到轴截面中即可求出圆台
上、下底面的半径.
求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分
利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的
体积差得到.
【变式题】
4.(2022·新高考全国Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一
部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为 ;
水位为海拔时，相应水面的面积为 .将该水库在这两个水位间的形
状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到 时，增加的水量约为
( )
C
A. B. C. D.
图D 11.1.6-1
【解析】如图D 11.1.6-1，由已知得该棱台的高为
,所以该棱台的体积．
题型4 与球有关的切、接问题
1 求球的体积
图11.1.6-23
例17 (2025·山东省青岛第六十八中学期中)如图11.1.6-23，有一个
水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 ，将一个球放在
容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为
,如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】设球的半径为 ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆
的半径为，球心到截面的距离为，所以 ，解得
,所以球的体积 .
求解球的体积问题的关键是确定球的半径.一般地，题中不会直接给出球的半径，而
是隐藏在某些条件或解题过程中，一定要注意挖掘题目中的隐含条件.
2 几何体的外接球问题
例18 [教材改编P88 练习B T5] 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为 ,
点,,,, 都在同一球面上,则该球的体积为_ ___.
【解析】设底面正方形的中心为，则由题意可得 ,所
以点是球的球心，且球的半径，则该球的体积 .
3 几何体的内切球问题
母题 致经典·母题探究
图11.1.6-24
例19 (2025·湖南省名校联考)如图11.1.6-24，在圆柱 内有一
个球,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱 的体积
为，球的体积为，则 的值是__.
【解析】设球半径为,则 .
子题
(全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若 ,
，，,则 的最大值是( )
B
A. B. C. D.
思路点拨 要求球的体积的最大值，可以将问题转化为判断球的半径最大是多少.通
过对直棱柱的高、底面内切圆的半径和球的半径这三个量的比较与估计，得到球的
最大半径.
图11.1.6-25
【解析】示意图如图11.1.6-25所示，设直三棱柱内切球的半
径为，内切圆的半径为,易知,由此得 .又棱
柱的高为3，则,所以.又,所以当
时，取得最大值，的最大值为 .
名师点评 不是所有的直三棱柱都有内切球，只有底面三角形内切圆的直径与直三
棱柱的高相等时，该直三棱柱才有内切球.
球与几何体的切、接问题的解题思路
1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需
依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，
确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.
2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面
所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的
位置关系和数量关系.
题型5 不规则几何体的体积
1 割补法求几何体体积
例20 斜三棱柱 的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离
为6.则这个棱柱的体积为____.
30
图11.1.6-26
【解析】如图11.1.6-26所示，将斜三棱柱 补成平行
六面体 ,
因为三棱柱与三棱柱 等底等高，故
.
设侧面的面积为10，到侧面 的距离为6，则平
行六面体 的底面积为10，高为6.
.
.
易错警示 求解本题时，学生容易犯如下的错误：将棱柱的侧面看作底面，则它的
高为6，故所求体积为 .出错的原因在于不会用割补法求体积而
乱用已知条件，盲目套用柱体的体积公式导致求解出错.三棱柱不是三棱锥，不是任
一面都可作为底面，但通过“补形”转化为平行六面体后，则可将侧面视为底面.
例21 如图11.1.6-27所示，在多面体中，已知面 是边长为4的正方形，
，，到平面 的距离为3，求该多面体的体积．
图11.1.6-27
图11.1.6-28
【解析】 （分割法） 如图11.1.6-28所示，连接, ，
.（通常通过作辅助线将一个不熟悉的几何体分割成几个常见
的几何体）
四棱锥的体积 .
,, .
原多面体的体积 .
即该多面体的体积为20.
图11.1.6-29
（分割法） 如图11.1.6-29所示，设，分别为 ，
的中点，连接,,,,,,则, ,
,原多面体可分割为四棱锥 及三棱柱
.
由题意得 .
原多面体的体积
.
即该多面体的体积为20.
.
图11.1.6-30
（补形法） 如图11.1.6-30所示，延长至点 ，使
，连接，，则多面体 为斜三棱
柱，且其直截面面积为 ，（垂直于斜棱柱的
侧棱的截面叫做斜棱柱的直截面）
则 .
连接，， 平面平面，为 的中点，
，
，
即 ，
,
故原多面体的体积 .
用割补法求几何体体积的基本策略
求几何体的体积时，若不能直接套用体积公式，则可考虑使用“割补法”，“割”就是
将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体，“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的
几何体，再用公式求解.“割补法”是立体几何中求体积的一种常用的重要方法.
【变式题】
图11.1.6-31
5.传统文化 十字歇山 (2025·湖南省邵阳
市期末)如图11.1.6-31，“十字歇山”是由两
个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面
为正方形，直三棱柱的底面形状为顶角为
，腰为3的等腰三角形，则该几何体
的体积为( )
D
A.23 B.24 C.26 D.27
图D 11.1.6-2
【解析】由题意作出该几何体的示意图（根据题图抽
象出图形是由两个三棱柱重叠的），如图D 11.1.6-
2，, ,
,是等腰三角形，三角形的高为 ，底面
是边长为 的正方形，
， ，
故所求体积为 .
. .
2 组合体体积的求解
图11.1.6-32
例22 新情境 战国铜镞 (2025·辽宁省抚顺市第一中学期初)如
图11.1.6-32是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是
高为、底面边长为的正三棱锥，后段是高为 的
D
A. B. C. D.
圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为
( )
【解析】设正三棱锥底面的正三角形内切圆半径为 ，
由等面积法得，，解得 ，
由三棱锥体积公式与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为
．
名师点评 本题实质是求组合体的体积，此类问题的求解方法是将组合体分解成若干
“柱、锥、台、球”的基本型，然后根据相关公式求解.
【变式题】
图11.1.6-33
6.(2025·上海市复旦中学)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如
图11.1.6-33（1）所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球
与圆柱的组合体（如图11.1.6-33（2））.当这种酒杯内壁表面
积（假设内壁表面光滑，表面积为，半球的半径为 ）固定
时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则 的取值
范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】设圆柱的高度与半球的半径分别为,，则 ，则
，所以酒杯的容积
，又, ，所
以，所以，解得 .故选D.
新考法 数学文化
例23 新情境 牟合方盖 (2025·辽宁省大连市期末)魏晋时期数学家刘徽在他的著作
《九章算术注》中称，一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱的公共部分为“牟合方
盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比为 .若正方
体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( )
C
A.16 B. C. D.
【解析】若正方体的棱长为2，则其内切球的半径 ,所以正方体的内切球的体积
.
又,所以 .
例24 新情境 羡除 (2025·辽宁省名校联盟月考)我国古代数学名著《九章算术》中记
载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几
何？”这里的“羡除”是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图
11.1.6-34（1）所示“羡除”中，，，， ，等腰梯
形和等腰梯形 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂
直．按如图11.1.6-34（2）的分割方式进行体积计算，则该“羡除”的体积为( )
A
图11.1.6-34
A.84 B.66 C.126 D.105
【解析】按图11.1.6-34（2）中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直
角三角形，两条直角边长分别为7和3，直三棱柱的高为6，则直三棱柱的体积
.（利用题干中的有效信息，可知“羡除”被分割成熟悉的直三
棱柱和四棱锥）
两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积 ，四棱锥的高为3，
则两个四棱锥的体积 ．
所以该“羡除”的体积 ．
高考考向分析
04
考情揭秘
求空间几何体的体积一直是高考重点考查的内容，通常结合方程思想考查公式的应
用和基本量的运算，试题一般较基础.因为几何体的高涉及线面垂直，所以在解答题
中，几何体体积也常与线面位置关系综合考查，难度中等.
核心素养：直观想象（空间几何体的结构特征）、数学运算（根据公式计算体积）.
考向1 求空间几何体的体积
1 求基本几何体体积
例25 (2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高
均为 ，则圆锥的体积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为 ，
而它们的侧面积相等，所以 ,
即 ，
故，故圆锥的体积为 .
例26 (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台中，， ,
,则该棱台的体积为_ ___.
图11.1.6-35
【解析】如图11.1.6-35所示,设点, 分别为正四棱台
上、下底面的中心,连接,,则点, 分
别为,的中点,连接,则 即正四棱台
的高,过点作,垂足为 ,则
.
因为,,所以, ,
所以,又 ,
所以, ,
所以,所以 .
素养探源 素养 考查途径
数学运算 通过空间几何体面积及体积公式实现对数学运算素养的考查.
直观想象 聚焦空间几何体的关系实现对空间几何体结构的认知.
变式探源
1.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____.
28
图11.1.6-36
【解析】如图11.1.6-36所示，正四棱锥 的底面边长为4，
用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥
后，得到正四棱台，且 ，
.记，分别为正四棱台 上、下底面的
中心，，分别为,的中点，连接,,, ，则
，,.易知 ，所以
，即，解得，（题眼）所以， 所以该正
四棱台的体积 .
. .
2.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为 ，圆台的
母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 _ __．
【解析】由题可得两个圆台的高分别为
，
，
所以 .
例27 (2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
, 侧面积分别为和，体积分别为和.若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合 可知，甲、
乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是.不妨设两个圆锥的母线长为 ，甲、
乙两个圆锥的底面半径分别为,，高分别为, ，则由题意知，两个圆锥的侧面
展开图刚好可以拼成一个周长为 的圆，所以 , ，得 ,
.由勾股定理得，, ，所以
.
设两圆锥的母线长为，甲、乙两圆锥的底面半径分别为, ，高分别为
,，侧面展开图的圆心角分别为,，则由 ，得
．由题意知 ，所以,，所以 ,
，得,.由勾股定理得， ,
，所以 .
2 求组合体体积
图11.1.6-37
例28 (2024·天津)如图11.1.6-37所示一个五面体 .已
知,且两两之间距离为1,,, ,则
该五面体的体积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为,, 两两平行，且两两之间距离
为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱
和一个底面为梯形的四棱锥 ，如图11.1.6-38所示.
图11.1.6-38
其中三棱柱 的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体
积，四棱锥的高为，（即等边三角形 的高）
底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积
.
图11.1.6-39
如图11.1.6-39，用一个完全相同的五面体
（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得
与，与，与 重合.
因为，且两两之间距离为1，, ,
, 则形成的新组合体为一个三棱柱,
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角
形，侧棱长为 ,故该五面体的体积为
.
名师点评
通常用割补法将斜棱柱转化为直棱柱.斜棱柱的直截面是垂直于侧棱并与每条侧棱都
相交的截面，如图11.1.6-40，沿着直截面将斜棱柱截开后，可重新拼接成一个直棱
柱，此时斜棱柱的直截面就是直棱柱的底面，斜棱柱的侧棱就是直棱柱的高.所以，
斜棱柱的体积直截面的面积 侧棱长.
图11.1.6-40
. .
考向2 空间几何体的内切球问题
例29 (2025·全国二卷)一个底面半径为,高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚
度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____ .
2.5
【解析】 设铁球半径为 ,将圆柱的底面水平放置.
若两个铁球的球心在同一水平面上，且分别与圆柱的侧面相切，则铁球球心与圆柱
侧面的距离均为，当半径最大时，则，解得 ，即此时铁球的半径为
.
（球与圆柱相切有多种情况，确定什么时候半径最大是解题关键，因此需要有一个
验证和判断的过程）
若两个铁球的球心在同一竖直线上，且分别与两个底面相切，当半径最大时，则
，解得，即此时铁球的半径为 .
图11.1.6-41
当两球球心既不在同一水平面上，也不在同一竖直线上时，设两
个铁球的球心分别为, ,此种情况下，当铁球半径最大时，如
图11.1.6-41（1）所示，圆柱与两铁球的轴截面如图11.1.6-41（2）
所示，（立体几何问题平面化思路，方便计算）
其中为圆柱的轴截面，, ,
. .
. .
则有,， ，
则有 ，
即，即 ,
解得（舍去）， .
因为,所以铁球半径的最大值为 .
考虑到圆柱与球的对称性，不妨把圆柱与球的位置关系看成长方形与圆的
位置关系，原问题等价于在边长分别为8与9的长方形内，放置两个半径最大的等圆，
问：圆的半径是多少？
图11.1.6-42
如图11.1.6-42所示，当圆的半径最大时，圆与， 相切，且过
点，为长方形的中心，两圆相切于点 .
过作，交于点，过作，交于点 ，连接
,,,则 为正方形.
在中，，， ，
，
（ ）
所以，（运用公式 求解）
故 ，化简得
，解得或 （舍去）.
（【另解】以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为
轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，由 ，
可得，解得或 （舍去））
命题 探源 试题以圆柱和球为背景，设置了一个给定圆柱内放置两个相切的球的问题，
如果仅仅是从空间几何体的位置关系思考问题，是比较复杂和困难的，这就
需要考生首先把问题情境想象为平面问题.考虑到圆柱和球都是旋转对称与轴
对称图形，可以用过球心与圆柱的对称轴的面去截圆柱和球，就得到解题思
路中呈现的平面图形，这样问题就转化为在给定的长方形中，放置两个半径
最大的等圆.两个圆与长方形的位置关系将会决定其半径的大小.
提分 探源
续表
例30 (全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的
体积为_ ____.
图11.1.6-43
【解析】 易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆
锥内切时的轴截面如图11.1.6-43所示，
其中,，且点为 边上的中点，设内切圆
的圆心为，由于 ，故
，设内切圆半径为 ，则
,
解得,故所求体积 .
图11.1.6-44
如图11.1.6-44，在圆锥的轴截面中， ,
,,圆内切于，为切点，连接 ,则
.在中， .易知
,则.设圆锥的内切球半径为 ,则
,在中, ,即
,所以 ,圆锥内半径最大的球的体积为
.
高考新题型专练
图11.1.6-45
1.[多选题] (2025·辽宁省部分名校质检)如图11.1.6-45，现有一个
底面直径为，高为 的圆锥形容器，已知此刻容器内液
体的高度为 ，忽略容器的厚度，则( )
BCD
A.此刻容器内液体体积与容器容积的比值为
B.容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C.当容器内液体的高度增加 时，需要增加的液体体积为
D.当容器内沉入一个棱长为 的正方体铁块时，容器内液体
的高度为
图D 11.1.6-3
【解析】作容器的轴截面，如图D 11.1.6-3，
设,,, ，
由相似三角形可得 ,
所以 .
对于A，由于液体高度与容器高度之比为 ，
所以容器内液体体积与容器容积的比值为 ，A错误．
对于B，设容器内液体倒去一半后液体的高度为 ，
则，解得 ，B正确．
对于C，因为，（ ,将增加的液体看作圆台，计算圆台上
下底面半径），所以当容器内液体的高度增加 时，
需要增加的液体的体积为 ，C正确．
对于D，当容器内沉入一个棱长为 的正方体铁块时，设容器内液体的高度为
，体积 ，又沉入铁块前液体体积为
，
则，，D正确．故选 .
. .
2.[多选题] (2025·浙江省宁波中学期中)“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得
意的发现，被
图11.1.6-46
刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，
研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，
如图11.1.6-46，半径为 的球分别内切于圆柱，圆
台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为
,,,，表面积分别为,,, ，则以下关
系正确的是( )
AD
A. B. C. D.的最大值为
【解析】对于A，由题得，， ，
，所以,，所以 ，
故A正确.
图D 11.1.6-4
对于B，设圆台上下底面的半径和母线长分别为,, ，圆台容球
的轴截面（部分）如图D 11.1.6-4所示，
因为,, ,
，
所以, ，
设 ,则，且 （可直接使用切
线长定理得该结论），
所以 ，
又，所以 ，
所以 ，
. .
所以 ，
，
所以, ，
所以 ，故B错误.
图D 11.1.6-
5
对于C，设圆锥的底面半径、高和母线长为，和 ，圆锥容
球的轴截面如图D 11.1.6-5所示，
则由 得
，
整理得，即 ①，
因为,, ,
所以，故 ，
所以 ，
所以，即 ②，
由①②得，即，整理得 ，
所以由①得 ，
所以 ，
，
所以 ,
，所以 ，故C错误.
对于D，由题意可知 ，
所以由C选项得 ，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为 ，故D正确.故选
.
知识测评
05
建议时间：30分钟
1.新情境 九章算术(2025·吉林省吉林市调研)《九章算术》是我国数学史上堪与欧几
里得《几何原本》相媲美的数学名著，其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡
壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡壔就是圆柱，其底面周
长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若 取3，估算该圆柱的体积为
（1丈 尺）( )
C
A.1 998立方尺 B.2 012立方尺 C.2 112立方尺 D.2 324立方尺
【解析】设底面半径为尺,则,又 取3，所以 ，所以该圆柱的体积为
（立方尺）.
2.新情境 乌鸦喝水(2025·福建省三明市期中)小乌鸦发现一个底面半径为2，高为8的
圆柱形容器内有水面高度为5.5的水，但是只有水面高度达到7时,小乌鸦才能喝到
水．小乌鸦为了喝到水找来了一些半径为1的小石球放到盛水的容器内（容器壁厚度
不计），则小乌鸦要喝到水最少需要小石球的个数为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】小乌鸦要喝到水，则水面至少上升 ，因为圆柱形容器的底面半径为2，
所以需要小石球的体积至少为 ，而一个小石球的半径为1，即一
个小石球的体积为 ，又 ,故小乌鸦要喝到水最少需要小石球的
个数为5．
3.近年来，越来越多的市民喜欢在周末带着帐篷到户外开展活动，帐篷的造型多种
多样，从中抽象出两种帐篷模型：模型①正三棱柱，如图11.1.6-1（1）所示；模型
②半圆柱体，如图11.1.6-1（2）所示.定义“，其中表示帐篷的体积， 表示帐
篷的表面积（不包括阴影部分）”，记模型①②的 值分别为，，则
参考数据：， ( )
B
图11.1.6-1
A. B. C. D.不能确定
【解析】设三棱柱的体积为，表面积为，半圆柱的体积为，表面积为 ，
则 ，
，
， ，
则 ，
．
.故选B．
4.［多选题］(2025·安徽省六安市独山中学开学考试)一个圆柱和一个圆锥的底面直
径和它们的高都与一个球的直径 相等，则下列结论正确的是( )
CD
A.圆柱的侧面积为 B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为
【解析】A选项，圆柱的侧面积为 ，故A选项错误．
B选项，圆锥的母线长为,圆锥的侧面积为 ，
故B选项错误．
C选项，球的表面积为 ，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确．
D选项，圆柱的体积为 ，
圆锥的体积为,球的体积为 ，所以圆柱、圆锥、球的体积
之比为 ，故D选项正确．
图11.1.6-2
5.［多选题］(2025·湖南省长沙市月考)如图11.1.6-2所示的圆锥
的底面半径为3，高为4，且 ，则( )
ABD
A.三棱锥 的体积为12
B.该圆锥的体积为
C.该圆锥的表面积为
D.该圆锥的母线长为5
【解析】圆锥的底面半径为3，高为4，且 ，
则， ，
三棱锥的体积为 ，
故A正确；
该圆锥的体积为 ，故B正确；
该圆锥的母线长为 ，故D正确；
该圆锥的表面积为 ，故C错误．
6.如图11.1.6-3，已知正方体中，,分别是, 上的点，设
，则三棱锥 的体积为__.
图11.1.6-3
【解析】由于,,点到平面
的距离即点到面的距离,即的长，所以 .
7.三棱台中,,则三棱锥,,
的体积之比为_______.
【解析】由题意可得 ,
,
所以三棱锥,,的体积之比为 .
图11.1.6-4
8.(2025·山东省栖霞市第一中学月考)如图11.1.6-4，一个直
三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面
水平放置时，液面恰好过,,,的中点,, ,
，则当底面 水平放置时，液面高为多少？
【答案】设三棱柱的底面积为 .
，， .
当侧面 水平放置时，水的体积
.
当底面水平放置时，设液面高为 ,
水占有的空间为一个三棱柱， 水的体积 ，
，则，故液面高为 .
高考模拟
06
建议时间：40分钟
9.(2025·河南省信阳高级中学开学考试)在三棱锥中，线段上的点 满足
,线段上的点满足,则三棱锥和三棱锥 的体
积之比为( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图D 11.1.6-1，因为, ,
图D 11.1.6-1
所以 ,
所以（其中为点到平面 的距离，因为
平面和平面重合，所以点到平面的距离也为 ）.故选B.
10.(2025·山西省忻州市第十中学月考)对24小时内降落在平地上的积水厚度 进
行如下定义：
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
图11.1.6-5
小明用一个如图11.1.6-5所示的圆锥形容器接了24小时的雨水，
则这一天的雨水属于哪个等级( )
B
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
【解析】作出截面图如图D 11.1.6-2所示，设圆锥形容器中水面的半径为 ,则
,所以，所以24小时所接雨水的体积 .设底
面半径为的圆柱的高为，依题意令 ，
图D 11.1.6-2
得,即这一天的积水厚度为 ，属于中雨.
图11.1.6-6
11.传统文化 端午节 ［多选题］(2025·福建省宁德市月
考)“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界
非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全
国各地的粽子包法各有不同．如图11.1.6-6，粽子可包成
棱长为 的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径
AC
A.这两碗馅料最多可包三角粽35个 B.这两碗馅料最多可包三角粽36个
C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个 D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个
为，高为 （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积
等于半径为 的半球的体积，则这两碗馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的
个数为( )
图D 11.1.6-3
【解析】两碗馅料的体积为 .如图D
11.1.6-3，在正四面体中，为边上的中线，为三角形
的中心，则 即为正四面体的高，由题可知，
， ，
，所以正四面体的体积为
，即一个正四面体状的三角粽的体积为
，因为 ，所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A
正确，B错误.一个圆柱状竹筒粽
的体积为，因为 ，所
以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误.故选 .
12.(2025·广东省普宁华侨中学月考)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 ，
则该圆锥的侧面积为_____.
【解析】设该圆锥的高为，则由已知条件可得 ，解得 ，
则圆锥的母线长为 ，故该圆锥的侧面积为
.
13.如图11.1.6-7，已知直三棱柱外接球的表面积为 ， ，若
外接圆的圆心在上，半径，则直三棱柱 的体积为___.
6
图11.1.6-7
图D 11.1.6-4
【解析】外接圆的圆心在上，为 的中点，且
是以为直角的直角三角形.由半径，得 ，
又，．把直三棱柱 补形为长方体
,如图D 11.1.6-4所示，连接，易知 为其
外接球直径.设 ，则其外接球的半径
.
又直三棱柱外接球的表面积为 ， ，即 .
,解得 ．
直三棱柱的体积为 ．
14.(2025·黑龙江省绥化市绥棱县第一中学月考)如图11.1.6-8（1）截角四面体是一种
半正八面体，可由四面体经过适当截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面
体．如图11.1.6-8（2）所示的几何体是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行
于底面或侧面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体．
图11.1.6-8
（1）该截角四面体的表面积；
【答案】依题意，该截角四面体是由4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边
形围成，
截角四面体中，正三角形的面积 ，
边长为1的正六边形的面积 ，
所以该截角四面体的表面积为 ．
（2）该截角四面体的体积．
【答案】该截角四面体是棱长为3的正四面体去掉4个棱长为1的正四面体而得，
棱长为1的正四面体的高 ，
棱长为3的正四面体的高为 ，
则棱长为1的正四面体的体积 ，
棱长为3的正四面体的体积 ，
所以该截角四面体的体积 .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册