11.2 平面的基本事实与推论 (共61张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.2 平面的基本事实与推论 (共61张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共61张PPT)
11.2 平面的基本事实与推论
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 平面的基本事实
1 基本事实1
自然语言 图形语言 符号语言
经过不在一条直线上的3个点， 有且只有一个平面. 可简单地说成“不共线的3点确 定一个平面”. 三点，，， 直线
有且只有一个平面 ，使
, , .
知识剖析（1）值得注意的是，如果给定的3个点在同一直线上，那么有无数个平面
通过这3个点，也就是说，此时这3个点不能“确定”一个平面.
（2）基本事实1的作用：①确定平面；②证明点、线共面.
2 基本事实2
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线上的两个点在一个平面 内，那么这条直线在这个平面内. , 直线
.
基本事实2还可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点
所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面.
知识剖析（1）根据基本事实2，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线在平
面内，判断的关键是抓住在平面内的点的个数，因为两点确定一条直线，从而两个
点就能够代表整条直线，进而可判断直线是否在平面内.
（2）基本事实2的作用：①判断直线是否在平面内;②判断点是否在平面内；③
检验面是否为平面.
3 基本事实3
自然语言 图形语言 符号语言
如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线. ,且
，
且 .
基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共
点，而且这无数个公共点能组成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线.
知识剖析（1）基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两面共有一
点”，就有“两面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的.
（2）基本事实3的作用：①判断两个平面是否相交.只要两个平面有公共点，则
这两个平面就相交.②解决点在线上或点共线问题.若点是某两个平面的公共点，则该
点在这两个平面的交线上.
典例详解
例1-1 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )
C
A.1 B.4 C.1或4 D.1或3
【解析】当四个点在同一平面内（切勿忽略）时，则确定一个平面;若四点不共面，
由基本事实1可判断，任意不共线的三点都可以确定一个平面，故有4个.
. .
例1-2 如图11.2-1，已知 ， ，， ，试判断
直线与平面 的位置关系.
图11.2-1
【解析】因为，且 ，所以 ;同理，因为，且 ，
所以 .故直线上有两点，在平面 内，由基本事实2得直线 平面 .
图11.2-2
例1-3 (2025·甘肃省兰州一中开学考试)如图11.2-2,, ，
, ,且,直线,过，， 三点的平面记作
,则 与 的交线为( )
C
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
【解析】 ,, .又,, .根据基本事实3可
知，在 与 的交线上，同理可知，点也在 与 的交线上,所以 与 的交线
为直线 .
例1-4 ［多选题］已知 ， 为平面，，，，为相异四点， 为直线，下列推
理正确的是( )
ABD
A.， ，，
B. ， ， ，
C. ，
D.，， ，，， ，且，，不共线 ， 重合
【解析】在选项A中， 直线上两个点，都在 内， ，故A正确；在选
项B中， 不同点,分别是两个不同平面 , 的公共点，直线 ，故B
正确；
在选项C中， , ， ,由基本事实3可知 为经过点 的一
条直线而不是点,故 的写法错误,故C错误；
在选项D中，由不共线的三个点确定一个平面可知D正确.
知识点2 平面基本事实的推论
推论 推论1 推论2 推论3
自然语 言 经过一条直线与直线外一 点，有且只有一个平面. 经过两条相交直线， 有且只有一个平面. 经过两条平行直线，有且
只有一个平面.
图形语 言
知识剖析（1）三个推论都可看作是基本事实1的变形，它们组成了确定平面的完整
体系，也是证明点、线共面的依据.
（2）推论1中要注意“点必须是直线外一点”，当点在直线上时，有无数个平面.
典例详解
例2-5 ［教材改编P96 T1］下列命题中正确的是( )
B
A.一点和一条直线确定一个平面 B.不共面的四点中，任意三点不共线
C.三条两两相交的直线在同一平面内 D.两两平行的三条直线确定三个平面
【解析】当点在直线上时，有无数个平面，故A是假命题；假设存在三点共线，则
这四个点在同一平面内，故B是真命题；
图11.2-3
如图11.2-3，在正方体中,直线，， 两两
相交，但是这三条直线不在同一平面内，故C是假命题；两两平行
的三条直线也可能在同一平面内，故D是假命题.
题型解析
03
题型1 点共线问题
图11.2-4
例6 如图11.2-4，在平面 外，， ，
.求证：，， 三点共线.
思路点拨 思路一 证明，，三点既在平面 内，又在平面
内，利用基本事实3即可得出结论.
思路二 利用直线与确定平面，由平面 ，再
证点在直线 上即可.
【解析】 ，， 平面 .
又 平面， 平面，由基本事实3可知，点在平面与平面
的交线上.
同理可证，两点也在平面与平面 的交线上，，， 三点共线.
，
直线与直线确定平面 .
又，, 平面 平面 .
平面， 平面， 平面 .
又， 平面 .
又 ,，，， 三点共线.
证明点共线问题的两种常用方法
（1）先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3
可知，这些点都在交线上，从而共线；（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明
其他点也在该直线上.
【变式题】
1.如图11.2-5，在正方体中，设与平面交于点 ,求证：
,, 三点共线.
图11.2-5
图D 11.2-1
【答案】如图D 11.2-1，连接,,显然 平面 ,
平面, 平面 .
同理 平面 .
平面 平面 .
平面 ,
平面 .
又 平面, 平面 .
点在平面与平面的交线上，即 ,
故,, 三点共线.
题型2 线共点问题
图11.2-6
例7 如图11.2-6所示，在四面体中，， 分别为
，的中点，在上，在 上，且有
.求证：，， 交于一
点.
证明“三条直线,,交于一点”的基本思路为：第一步，说明直线, 交于
一点；第二步，说明直线是两平面的交线；第三步，说明点 是两平面的公共点，
由基本事实3可知，点在直线上，即,, 交于一点.证明的关键仍然是寻找两个平
面及其交线.显然本题中为平面与平面的交线，而, 分别在这两个平
面内，于是，还需要解决两个问题：问题1，直线, 是相交直线；问题2，它们
的交点在平面和平面内.首先，利用平行传递性证明,平行，得出, ,
,四点共面，再说明, 不平行，是相交直线，问题1得到解决，再说明两直线
的交点在直线,上，而两直线分别在平面和平面 内，故问题2得到解决.
图11.2-7
【解析】如图11.2-7所示，连接， .
,分别为，的中点， .
又 ，
，，，，， 四点共面.
又， ，
与不平行，与 相交.
延长，，设交点为，则 平面 ，
平面，而平面 平面 ,
.
即，，交于一点 .
证明三线共点的方法
证明三线共点的思路是，先证明待证的三条直线中的两条直线交于一点，再证明第
三条直线经过该点.常结合平面的基本事实3，证明该点在不重合的两个平面内，即
该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.
【变式题】
2.三个平面 ， ， 两两相交于三条直线，即,, ,若直
线和不平行，求证：,, 三条直线必相交于同一点.
【答案】如图D 11.2-2，
图D 11.2-2
,, , .
直线和不平行，, 必相交.
设,则, .
, , , ,
又, .
故,, 三条直线必相交于同一点.
题型3 点线共面问题
例8 ［教材改编P94 例1］已知，，， 是两两相交且不过同一点的四条直线，
求证：，，， 共面.
思路点拨 四条直线两两相交且不过同一点，可分成两种情况：一是有三条直线共
点;二是任意三条直线都不共点.因而本题需分类后再进行各自的证明.需要注意的是，
要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.先证其中两条直线确定一个平
面，再证其他直线也在这个平面内.
图11.2-8
【解析】（1）有三线共点的情况，如图 11.2-8.
设，，三线相交于点，与直线分别交于点，， ，且
.
， 点和直线确定一个平面，设该平面为 .
， , , ,即 .
同理， ，,,, 共面.
图11.2-9
（2）无三线共点情况，如图11.2-9.
设,,,, ,
.
, 直线,可确定一个平面 .
,, , , ,即 .
同理， ,，，， 共面.
由（1）（2）知，，，， 共面.
例9 已知，，，，五点中，，，，共面，，，，共面，则 ，
，，， 五点的位置关系是( )
D
A.共面 B.不共面 C.共线 D.不确定
【解析】（1）如果，，三点不共线，则它们确定一个平面 .因为，，，
共面，所以点在平面 内.
因为，，，共面，所以点在平面 内,所以点，都在平面 内，即， ，
，， 五点一定共面.
（2）如果，，三点共线于 （易忽略这种情况），
若,，则，，，， 五点一定共面.
若,中有且只有一个点在上，则，，，， 五点一定共面.
若,都不在上，则，，，， 五点可能不共面.
综上所述，，，，， 五点可能共线，也可能不共线；可能共面，也可能不共面.
名师点评 在立体几何中,空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨
论,避免片面地考虑问题．对于确定平面的问题，在应用基本事实1及推论1时一定要
注意它们成立的前提条件——三点不共线及点在直线外.
. .
证明共面问题的常用方法
证明点、线共面的主要依据是基本事实1，基本事实2及其推论，常用的方法是：纳
入平面法,先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
题型4 确定两个平面的交线
图11.2-10
例10 ［教材改编P95 例2］如图11.2-10所示，， 分别为正方
体的棱和的中点,试画出平面 与
平面 的交线.
点为平面与平面 的一个公共点，本题
难点在于另一个公共点不在表示平面的四边形 和四边形
内，因此需要延长四边形内的线段，延展平面寻找公共点. 具体作法是分别延
长两个平面内一条表示直线的线段，找出它们的交点，即为两个平面的一个公共点.
观察平面中的直线，直线,与公共点有关，因此可利用的直线为 和
.不难发现，与平面内的直线相交，故延长与 即可得到两平
面的一个公共点.同理，延长与 也可得到两平面的一个公共点.
图11.2-11
【解析】如图11.2-11所示，在平面内，与 不平行，
分别延长与，则与必相交,设交点为 .
因为，， 平面， 平面 ,
所以 平面 平面 .
又 平面 平面，连接 ，
所以平面 平面直线 .
即直线 为所求两平面的交线.
找平面交线的突破口
基本事实3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们必定还有其他
公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线.因此求两个平面
的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点.
【变式题】
3.在长方体中，画出平面与平面 的交线，并说明理由.
【答案】如图D 11.2-3，记,交于点，,交于点 ，
图D 11.2-3
，, ，
平面, 平面 ，
平面, 平面 ，
平面 平面 .
同理， 平面 平面 .
连接，由基本事实3可知，即为平面与平面 的交线.
知识测评
04
建议时间：15分钟
1.经过圆上任意三个不同的点可以作出的平面的个数为 ( )
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或无数个
【解析】当三个不同的点不共线时，过这三个点能确定1个平面．圆上任意三个不同
的点均不共线，所以可以确定1个平面．
2.(2025·辽宁省部分高中期末)工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，
只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运
用的数学原理是( )
A
A.两条相交直线确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面
C.四点确定一个平面 D.直线及直线外一点确定一个平面
【解析】工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”．
3.下列说法正确的是( )
D
A.三点确定一个平面
B.两个平面可以只有一个公共点
C.三条平行直线一定共面
D.三条直线两两相交，可以确定一个或三个平面
【解析】对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该
交线上有无数个公共点，故B错误；
对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条平行直线确定的平面外，
故C错误；
对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，当三条直线两
两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，此时其中任
意两条直线都可确定一个平面，即可确定三个平面，故D正确．
4.[多选题](2025·辽宁省抚顺德才高级中学期中)设表示一个点，， 表示两条直
线， ， 表示两个平面，下列说法正确的是( )
CD
A.若, ，则
B.若， ，则
C.若, ，, ，则
D.若, ， ，则
【解析】当时,, ,但可能属于 ，也可能不属于 ，故A错；
当,且 时，也能满足, ,故B错；
图D 11.2-1
如图D 11.2-1，,,, 由直线 和直线 外一
点确定唯一平面 ，又,由与确定唯一平面 ，但
经过直线和点， 与 重合， ，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．
故选 ．
5.平行六面体中，既与共面也与 共面的棱的条数为___.
5
图D 11.2-2
【解析】如图D 11.2-2，既与共面也与共面的棱有, ,
，， ，共5条．
图11.2-1
6.如图11.2-1，已知，是的边，上的点，平面 经
过，两点，若直线与平面 的交点是，则点与直线 的
位置关系是_____________．
直线
【解析】因为， 平面，所以 平面 .
又 ，平面 平面，所以 直线 .
7.如图11.2-2所示，与不在同一个平面内，如果三条直线 ，
，两两相交，求证：三条直线，， 交于一点.
图11.2-2
【答案】设与，与分别确定平面 ， ，与的交点为 ，
因为，， ， ，所以 ， ，即
.又,所以，所以三条直线，， 交于一点.
高考模拟
05
建议时间：25分钟
8.(2025·山东省广饶县第一中学开学考试)在三棱锥中，,,,分别为 ,
,,上的点，如果,交于一点 ，则( )
A
A.一定在直线 上
B.一定在直线 上
C.在直线或 上
D.既不在直线上，也不在直线 上
【解析】如图D 11.2-3, 点，分别在，上，而，是平面 内的直线，
图D 11.2-3
平面， 平面，可得直线 平面 .
点,分别在,上，而,是平面 内的直线，
平面， 平面，可得直线 平面 ，
因此，直线与的公共点在平面与平面 的交线上.
平面 平面， 点 直线 .
9.[多选题]下列说法中正确的有( )
BC
A.有三个公共点的两个平面重合
B.棱柱的侧面一定是平行四边形
C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
D.一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内
【解析】对于A选项，要强调三点不在同一直线上，故A错误；
对于B选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；
对于C选项，交点分别包含于两条直线，也分别包含于两个平面，所以交点必然在交
线上；
对于D选项，要强调该直线不经过三角形任意两边的交点，故D错误.
图11.2-3
10.[多选题](2025·湖北省广水市第二高级中学月考)如图11.2-3所
示，几何体是长方体，是 的中点，直
线交平面于点 ，则下列结论正确的是( )
ABC
A.,,三点共线 B.，，， 四点共面
C.，，，四点共面 D.，,, 四点共面
【解析】连接，,,易知是平面 和平面
的交线，, 平面, 平面
，又 平面,,即，， 三点共线，A正确；
又 平面,，，，四点共面，，，， 四点共面，B,C正确；
连接，则 平面，,与, 不共面，D错误.
11.如图11.2-4，在正方体中，对角线与平面交于点, ,
交于点.求证：,, 三点共线.
图11.2-4
【答案】如图D 11.2-4,连接,因为 ,
图D 11.2-4
所以直线,确定平面 .
因为, 平面 ,
所以 平面 .
因为平面与对角线交于点 ,
所以 平面 .
所以点在平面与平面 的交线上.
因为,所以 平面,且 平面 .
所以平面 平面 ，
所以,即,, 三点共线.
图11.2-5
12.如图11.2-5，在四面体中作截面，若, 的延长线交
于点，试画出平面与平面 的交线.
【答案】，,直线 平面，直线 平
面 ，
是平面与平面 的一个公共点，
即在平面与平面的交线上（设交线为 ）.
图D 11.2-5
同理,设,的延长线交于点，则点也在上，连接 ,则直
线即为平面与平面的交线 .如图D 11.2-5所示.
13.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概
念的理解和掌握.如图11.2-6所示，在正方体中，，，， 分别
是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：
图11.2-6
（1）直线，， 能交于一点吗
【答案】如图D 11.2-6，直线，, 能交于一点.理由如下.
图D 11.2-6
因为，分别为棱，的中点，易得, 平面,且与 相交，设交点
为 .
由，可得 .
同理，直线与直线相交，设交点为 ，
同样可得 .
所以点与点重合.因此直线，, 能交于一点.
（2）若，，，四点共面，画出过点，，， 的平面截正方体所得的截面.
图D 11.2-7
【答案】如图D 11.2-7，延长交的延长线于点,延长
交的延长线于点，则点，是截面所在平面与平面
的公共点,连接,与,分别交于点，，连接, ，
,可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为,， ，
，， .截面如图D 11.2-7中的阴影部分所示.
（3）若正方体的棱长为 ，那么（2）中的截面面积是多少
【答案】截面为正六边形,其面积为 .
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11.2 平面的基本事实与推论
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 平面的基本事实
1 基本事实1
自然语言 图形语言 符号语言
经过不在一条直线上的3个点， 有且只有一个平面. 可简单地说成“不共线的3点确 定一个平面”. 三点，，， 直线
有且只有一个平面 ，使
, , .
知识剖析（1）值得注意的是，如果给定的3个点在同一直线上，那么有无数个平面
通过这3个点，也就是说，此时这3个点不能“确定”一个平面.
（2）基本事实1的作用：①确定平面；②证明点、线共面.
2 基本事实2
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线上的两个点在一个平面 内，那么这条直线在这个平面内. , 直线
.
基本事实2还可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点
所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面.
知识剖析（1）根据基本事实2，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线在平
面内，判断的关键是抓住在平面内的点的个数，因为两点确定一条直线，从而两个
点就能够代表整条直线，进而可判断直线是否在平面内.
（2）基本事实2的作用：①判断直线是否在平面内;②判断点是否在平面内；③
检验面是否为平面.
3 基本事实3
自然语言 图形语言 符号语言
如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线. ,且
，
且 .
基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共
点，而且这无数个公共点能组成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线.
知识剖析（1）基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两面共有一
点”，就有“两面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的.
（2）基本事实3的作用：①判断两个平面是否相交.只要两个平面有公共点，则
这两个平面就相交.②解决点在线上或点共线问题.若点是某两个平面的公共点，则该
点在这两个平面的交线上.
典例详解
例1-1 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )
C
A.1 B.4 C.1或4 D.1或3
【解析】当四个点在同一平面内（切勿忽略）时，则确定一个平面;若四点不共面，
由基本事实1可判断，任意不共线的三点都可以确定一个平面，故有4个.
. .
例1-2 如图11.2-1，已知 ， ，， ，试判断
直线与平面 的位置关系.
图11.2-1
【解析】因为，且 ，所以 ;同理，因为，且 ，
所以 .故直线上有两点，在平面 内，由基本事实2得直线 平面 .
图11.2-2
例1-3 (2025·甘肃省兰州一中开学考试)如图11.2-2,, ，
, ,且,直线,过，， 三点的平面记作
,则 与 的交线为( )
C
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
【解析】 ,, .又,, .根据基本事实3可
知，在 与 的交线上，同理可知，点也在 与 的交线上,所以 与 的交线
为直线 .
例1-4 ［多选题］已知 ， 为平面，，，，为相异四点， 为直线，下列推
理正确的是( )
ABD
A.， ，，
B. ， ， ，
C. ，
D.，， ，，， ，且，，不共线 ， 重合
【解析】在选项A中， 直线上两个点，都在 内， ，故A正确；在选
项B中， 不同点,分别是两个不同平面 , 的公共点，直线 ，故B
正确；
在选项C中， , ， ,由基本事实3可知 为经过点 的一
条直线而不是点,故 的写法错误,故C错误；
在选项D中，由不共线的三个点确定一个平面可知D正确.
知识点2 平面基本事实的推论
推论 推论1 推论2 推论3
自然语 言 经过一条直线与直线外一 点，有且只有一个平面. 经过两条相交直线， 有且只有一个平面. 经过两条平行直线，有且
只有一个平面.
图形语 言
知识剖析（1）三个推论都可看作是基本事实1的变形，它们组成了确定平面的完整
体系，也是证明点、线共面的依据.
（2）推论1中要注意“点必须是直线外一点”，当点在直线上时，有无数个平面.
典例详解
例2-5 ［教材改编P96 T1］下列命题中正确的是( )
B
A.一点和一条直线确定一个平面 B.不共面的四点中，任意三点不共线
C.三条两两相交的直线在同一平面内 D.两两平行的三条直线确定三个平面
【解析】当点在直线上时，有无数个平面，故A是假命题；假设存在三点共线，则
这四个点在同一平面内，故B是真命题；
图11.2-3
如图11.2-3，在正方体中,直线，， 两两
相交，但是这三条直线不在同一平面内，故C是假命题；两两平行
的三条直线也可能在同一平面内，故D是假命题.
题型解析
03
题型1 点共线问题
图11.2-4
例6 如图11.2-4，在平面 外，， ，
.求证：，， 三点共线.
思路点拨 思路一 证明，，三点既在平面 内，又在平面
内，利用基本事实3即可得出结论.
思路二 利用直线与确定平面，由平面 ，再
证点在直线 上即可.
【解析】 ，， 平面 .
又 平面， 平面，由基本事实3可知，点在平面与平面
的交线上.
同理可证，两点也在平面与平面 的交线上，，， 三点共线.
，
直线与直线确定平面 .
又，, 平面 平面 .
平面， 平面， 平面 .
又， 平面 .
又 ,，，， 三点共线.
证明点共线问题的两种常用方法
（1）先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3
可知，这些点都在交线上，从而共线；（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明
其他点也在该直线上.
【变式题】
1.如图11.2-5，在正方体中，设与平面交于点 ,求证：
,, 三点共线.
图11.2-5
图D 11.2-1
【答案】如图D 11.2-1，连接,,显然 平面 ,
平面, 平面 .
同理 平面 .
平面 平面 .
平面 ,
平面 .
又 平面, 平面 .
点在平面与平面的交线上，即 ,
故,, 三点共线.
题型2 线共点问题
图11.2-6
例7 如图11.2-6所示，在四面体中，， 分别为
，的中点，在上，在 上，且有
.求证：，， 交于一
点.
证明“三条直线,,交于一点”的基本思路为：第一步，说明直线, 交于
一点；第二步，说明直线是两平面的交线；第三步，说明点 是两平面的公共点，
由基本事实3可知，点在直线上，即,, 交于一点.证明的关键仍然是寻找两个平
面及其交线.显然本题中为平面与平面的交线，而, 分别在这两个平
面内，于是，还需要解决两个问题：问题1，直线, 是相交直线；问题2，它们
的交点在平面和平面内.首先，利用平行传递性证明,平行，得出, ,
,四点共面，再说明, 不平行，是相交直线，问题1得到解决，再说明两直线
的交点在直线,上，而两直线分别在平面和平面 内，故问题2得到解决.
图11.2-7
【解析】如图11.2-7所示，连接， .
,分别为，的中点， .
又 ，
，，，，， 四点共面.
又， ，
与不平行，与 相交.
延长，，设交点为，则 平面 ，
平面，而平面 平面 ,
.
即，，交于一点 .
证明三线共点的方法
证明三线共点的思路是，先证明待证的三条直线中的两条直线交于一点，再证明第
三条直线经过该点.常结合平面的基本事实3，证明该点在不重合的两个平面内，即
该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.
【变式题】
2.三个平面 ， ， 两两相交于三条直线，即,, ,若直
线和不平行，求证：,, 三条直线必相交于同一点.
【答案】如图D 11.2-2，
图D 11.2-2
,, , .
直线和不平行，, 必相交.
设,则, .
, , , ,
又, .
故,, 三条直线必相交于同一点.
题型3 点线共面问题
例8 ［教材改编P94 例1］已知，，， 是两两相交且不过同一点的四条直线，
求证：，，， 共面.
思路点拨 四条直线两两相交且不过同一点，可分成两种情况：一是有三条直线共
点;二是任意三条直线都不共点.因而本题需分类后再进行各自的证明.需要注意的是，
要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.先证其中两条直线确定一个平
面，再证其他直线也在这个平面内.
图11.2-8
【解析】（1）有三线共点的情况，如图 11.2-8.
设，，三线相交于点，与直线分别交于点，， ，且
.
， 点和直线确定一个平面，设该平面为 .
， , , ,即 .
同理， ，,,, 共面.
图11.2-9
（2）无三线共点情况，如图11.2-9.
设,,,, ,
.
, 直线,可确定一个平面 .
,, , , ,即 .
同理， ,，，， 共面.
由（1）（2）知，，，， 共面.
例9 已知，，，，五点中，，，，共面，，，，共面，则 ，
，，， 五点的位置关系是( )
D
A.共面 B.不共面 C.共线 D.不确定
【解析】（1）如果，，三点不共线，则它们确定一个平面 .因为，，，
共面，所以点在平面 内.
因为，，，共面，所以点在平面 内,所以点，都在平面 内，即， ，
，， 五点一定共面.
（2）如果，，三点共线于 （易忽略这种情况），
若,，则，，，， 五点一定共面.
若,中有且只有一个点在上，则，，，， 五点一定共面.
若,都不在上，则，，，， 五点可能不共面.
综上所述，，，，， 五点可能共线，也可能不共线；可能共面，也可能不共面.
名师点评 在立体几何中,空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨
论,避免片面地考虑问题．对于确定平面的问题，在应用基本事实1及推论1时一定要
注意它们成立的前提条件——三点不共线及点在直线外.
. .
证明共面问题的常用方法
证明点、线共面的主要依据是基本事实1，基本事实2及其推论，常用的方法是：纳
入平面法,先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
题型4 确定两个平面的交线
图11.2-10
例10 ［教材改编P95 例2］如图11.2-10所示，， 分别为正方
体的棱和的中点,试画出平面 与
平面 的交线.
点为平面与平面 的一个公共点，本题
难点在于另一个公共点不在表示平面的四边形 和四边形
内，因此需要延长四边形内的线段，延展平面寻找公共点. 具体作法是分别延
长两个平面内一条表示直线的线段，找出它们的交点，即为两个平面的一个公共点.
观察平面中的直线，直线,与公共点有关，因此可利用的直线为 和
.不难发现，与平面内的直线相交，故延长与 即可得到两平
面的一个公共点.同理，延长与 也可得到两平面的一个公共点.
图11.2-11
【解析】如图11.2-11所示，在平面内，与 不平行，
分别延长与，则与必相交,设交点为 .
因为，， 平面， 平面 ,
所以 平面 平面 .
又 平面 平面，连接 ，
所以平面 平面直线 .
即直线 为所求两平面的交线.
找平面交线的突破口
基本事实3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们必定还有其他
公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线.因此求两个平面
的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点.
【变式题】
3.在长方体中，画出平面与平面 的交线，并说明理由.
【答案】如图D 11.2-3，记,交于点，,交于点 ，
图D 11.2-3
，, ，
平面, 平面 ，
平面, 平面 ，
平面 平面 .
同理， 平面 平面 .
连接，由基本事实3可知，即为平面与平面 的交线.
知识测评
04
建议时间：15分钟
1.经过圆上任意三个不同的点可以作出的平面的个数为 ( )
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或无数个
【解析】当三个不同的点不共线时，过这三个点能确定1个平面．圆上任意三个不同
的点均不共线，所以可以确定1个平面．
2.(2025·辽宁省部分高中期末)工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，
只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运
用的数学原理是( )
A
A.两条相交直线确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面
C.四点确定一个平面 D.直线及直线外一点确定一个平面
【解析】工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”．
3.下列说法正确的是( )
D
A.三点确定一个平面
B.两个平面可以只有一个公共点
C.三条平行直线一定共面
D.三条直线两两相交，可以确定一个或三个平面
【解析】对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该
交线上有无数个公共点，故B错误；
对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条平行直线确定的平面外，
故C错误；
对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，当三条直线两
两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，此时其中任
意两条直线都可确定一个平面，即可确定三个平面，故D正确．
4.[多选题](2025·辽宁省抚顺德才高级中学期中)设表示一个点，， 表示两条直
线， ， 表示两个平面，下列说法正确的是( )
CD
A.若, ，则
B.若， ，则
C.若, ，, ，则
D.若, ， ，则
【解析】当时,, ,但可能属于 ，也可能不属于 ，故A错；
当,且 时，也能满足, ,故B错；
图D 11.2-1
如图D 11.2-1，,,, 由直线 和直线 外一
点确定唯一平面 ，又,由与确定唯一平面 ，但
经过直线和点， 与 重合， ，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．
故选 ．
5.平行六面体中，既与共面也与 共面的棱的条数为___.
5
图D 11.2-2
【解析】如图D 11.2-2，既与共面也与共面的棱有, ,
，， ，共5条．
图11.2-1
6.如图11.2-1，已知，是的边，上的点，平面 经
过，两点，若直线与平面 的交点是，则点与直线 的
位置关系是_____________．
直线
【解析】因为， 平面，所以 平面 .
又 ，平面 平面，所以 直线 .
7.如图11.2-2所示，与不在同一个平面内，如果三条直线 ，
，两两相交，求证：三条直线，， 交于一点.
图11.2-2
【答案】设与，与分别确定平面 ， ，与的交点为 ，
因为，， ， ，所以 ， ，即
.又,所以，所以三条直线，， 交于一点.
高考模拟
05
建议时间：25分钟
8.(2025·山东省广饶县第一中学开学考试)在三棱锥中，,,,分别为 ,
,,上的点，如果,交于一点 ，则( )
A
A.一定在直线 上
B.一定在直线 上
C.在直线或 上
D.既不在直线上，也不在直线 上
【解析】如图D 11.2-3, 点，分别在，上，而，是平面 内的直线，
图D 11.2-3
平面， 平面，可得直线 平面 .
点,分别在,上，而,是平面 内的直线，
平面， 平面，可得直线 平面 ，
因此，直线与的公共点在平面与平面 的交线上.
平面 平面， 点 直线 .
9.[多选题]下列说法中正确的有( )
BC
A.有三个公共点的两个平面重合
B.棱柱的侧面一定是平行四边形
C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
D.一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内
【解析】对于A选项，要强调三点不在同一直线上，故A错误；
对于B选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；
对于C选项，交点分别包含于两条直线，也分别包含于两个平面，所以交点必然在交
线上；
对于D选项，要强调该直线不经过三角形任意两边的交点，故D错误.
图11.2-3
10.[多选题](2025·湖北省广水市第二高级中学月考)如图11.2-3所
示，几何体是长方体，是 的中点，直
线交平面于点 ，则下列结论正确的是( )
ABC
A.,,三点共线 B.，，， 四点共面
C.，，，四点共面 D.，,, 四点共面
【解析】连接，,,易知是平面 和平面
的交线，, 平面, 平面
，又 平面,,即，， 三点共线，A正确；
又 平面,，，，四点共面，，，， 四点共面，B,C正确；
连接，则 平面，,与, 不共面，D错误.
11.如图11.2-4，在正方体中，对角线与平面交于点, ,
交于点.求证：,, 三点共线.
图11.2-4
【答案】如图D 11.2-4,连接,因为 ,
图D 11.2-4
所以直线,确定平面 .
因为, 平面 ,
所以 平面 .
因为平面与对角线交于点 ,
所以 平面 .
所以点在平面与平面 的交线上.
因为,所以 平面,且 平面 .
所以平面 平面 ，
所以,即,, 三点共线.
图11.2-5
12.如图11.2-5，在四面体中作截面，若, 的延长线交
于点，试画出平面与平面 的交线.
【答案】，,直线 平面，直线 平
面 ，
是平面与平面 的一个公共点，
即在平面与平面的交线上（设交线为 ）.
图D 11.2-5
同理,设,的延长线交于点，则点也在上，连接 ,则直
线即为平面与平面的交线 .如图D 11.2-5所示.
13.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概
念的理解和掌握.如图11.2-6所示，在正方体中，，，， 分别
是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：
图11.2-6
（1）直线，， 能交于一点吗
【答案】如图D 11.2-6，直线，, 能交于一点.理由如下.
图D 11.2-6
因为，分别为棱，的中点，易得, 平面,且与 相交，设交点
为 .
由，可得 .
同理，直线与直线相交，设交点为 ，
同样可得 .
所以点与点重合.因此直线，, 能交于一点.
（2）若，，，四点共面，画出过点，，， 的平面截正方体所得的截面.
图D 11.2-7
【答案】如图D 11.2-7，延长交的延长线于点,延长
交的延长线于点，则点，是截面所在平面与平面
的公共点,连接,与,分别交于点，，连接, ，
,可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为,， ，
，， .截面如图D 11.2-7中的阴影部分所示.
（3）若正方体的棱长为 ，那么（2）中的截面面积是多少
【答案】截面为正六边形,其面积为 .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册