11.3 空间中的平行关系-11.3.3 平面与平面平行 (共106张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.3 空间中的平行关系-11.3.3 平面与平面平行 (共106张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共106张PPT)
11.3 空间中的平行关系-11.3.3 平面与平面平行
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 平面与平面平行的判定定理
1 平面与平面平行的判定定理及其推论
（1）平面与平面平行的判定定理（简称为面面平行的判定定理）
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内有两条相交直线 分别平行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 如果 ， ，
， , ，则
.
简记为“线面平行，则面面平行”. （2）推论
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内有两条相交 直线分别平行于另一个平面 内的两条直线，则这两个平 面平行. 如果 , , ，
, ,, ，则
.
特别提醒
对平面与平面平行的判定定理的理解
（1）定理作用：把判定面面平行问题转化为判定线面平行问题，即要证明面面平行，
需证线面平行.
（2）面面平行判定定理的必备条件：①平面内的两条直线与另一平面平行；②这两
条直线必须是相交直线.
2 两个平面平行的画法
在画两个平行的平面时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别
画成平行线,如图11.3.3-1（1）（2）所示.
图11.3.3-1
典例详解
例1-1 [教材改编P106 想一想]［多选题］两个平面平行的条件是( )
AD
A.一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面
B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
图11.3.3-2
【解析】由判定定理知A正确,B不正确；对于C，如图11.3.3-2，
平面 内可以有无数条直线与平面 平行，而平面 与平面
相交,所以C不正确；D显然正确．
图11.3.3-3
例1-2 已知在如图11.3.3-3所示的长方体中，
为的中点，为的中点，为 的中点，则在该长方体
的6个表面中，与平面 平行的平面有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】 长方体中，为的中点，为的中点，为
的中点，, ,
又 平面, 平面 ，
平面,平面 .
又 ，
平面平面 .
同理，平面平面 .
即在该长方体中，与平面 平行的平面有2个.
知识点2 平面与平面平行的性质定理
1 平面与平面平行的性质定理（简称为面面平行的性质定理）
自然语言 图形语言 符号语言
如果两个平行平面同时与第 三个平面相交，那么它们的 交线平行. 如果 , ，
，（三个条件缺一不
可）则 .
简记为“面面平行，则线线平行”. . .
. .
2 两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；
（2）经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行；
（3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例;
（5）平行于同一平面的两个平面平行（面面平行的传递性）.
典例详解
例2-3 (2025·湖北省荆州中学月考)已知，表示直线, ， ， 表示平面,下列命
题正确的是( )
D
A., ，则
B. , , ，则
C. , , , ，则
D. ,,，则
【解析】A中, ,则, 可能平行、相交，故不正确；
B中 , ， ，则或与 异面，故不正确；
C中 , , ， ，根据面面平行的判定定理，若再加上条件
,才能得出 ，故不正确;
D为面面平行的性质定理的符号语言，是正确的.
释疑惑 重难拓展
知识点3 平行关系的相互转化
1 线线平行的判定方法
（1）利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
（2）利用平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行.
（3）利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
（4）利用平行线分线段成比例定理.
（5）利用线面平行的性质定理.
（6）利用面面平行的性质定理.
（7）利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是
平行的.
2 线面平行的判定方法
（1）利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
（2）利用直线与平面平行的判定定理： ,, ,则 .
（3）利用面面平行的性质：若平面平面 ，直线 ，则 .
（4）利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在
排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平
行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.
3 面面平行的判定方法
（1）根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
（2）根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交
直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.
（3）根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平
面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.
（4）根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面
平行.
（5）利用反证法．
典例详解
例3-4 [教材改编P110 T7]如图11.3.3-4,已知四棱锥的底面是菱形，, 分
别是,的中点，求证：平面 .
图11.3.3-4
【解析】 如图11.3.3-5,取的中点，连接, .
图11.3.3-5
因为，分别是，的中点，所以,，, ，
所以，所以四边形是平行四边形,从而 .
又 平面， 平面,故平面 .
图11.3.3-6
如图11.3.3-6,取的中点，连接, .
因为，分别是， 的中点,
所以,， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 .
因为， ,
所以平面平面 .
又 面 ,
所以平面 .
题型解析
03
题型1 平面与平面平行的判定
例5 如图11.3.3-7，在三棱柱中，点是棱的中点，，， 分别
是，， 的中点．
图11.3.3-7
（1）求证：平面 ；
【解析】如图11.3.3-8，连接 ，
图11.3.3-8
在中，，分别是， 的中点，
．
又 平面， 平面 ，
平面 ．
（2）求证：平面平面 ．
图11.3.3-8
【解析】如图11.3.3-8，在中，， 分别是
，的中点， ．
又 平面， 平面 ，
平面 ．
在平行四边形中，,分别是， 的中
点， ，
又 平面， 平面 ，
平面，又 ，
平面平面 .
例6 如图11.3.3-9，在四棱锥中，， ，
，,,分别为线段,, 的中点，证明：平面
平面 ．
图11.3.3-9
【解析】连接，,设与相交于点，连接 ，如图11.3.3-10，
图11.3.3-10
因为，且， ，
所以四边形为矩形，所以为 的中点.
又为 的中点，
所以为的中位线，即 .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为，分别为线段，的中点，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 ，
因为 平面， 平面， ，
所以平面平面 ．
利用面面平行的判定定理证明两平面平行的步骤
【变式题】
图11.3.3-11
1.(2025·山东省实验中学期中)如图11.3.3-11，在三棱柱
中，，，，分别是，，， 的
中点.
求证：
（1），，， 四点共面；
【答案】由题意得是的中位线， .
又，，，，， 四点共面．
（2）平面平面 .
【答案】，分别为，的中点， .
平面， 平面，平面 .
， 四边形是平行四边形， .
平面， 平面，平面 .
又， 平面平面 .
题型2 面面平行性质定理的应用
图11.3.3-12
例7 如图11.3.3-12所示，在三棱柱中，是 的中
点，是的中点，设平面 平面 ，平面
平面，判断直线, 的位置关系，并证明．
思路点拨 由三棱柱的性质得平面 平面
，若第三个平面与它们相交，则所成交线平行．
【解析】直线, 的位置关系是平行,证明如下．
连接 平面平面，平面 平面，平面 平面
, .
同理可证 .
又是的中点，是的中点， ，
又， ，
四边形为平行四边形，， ．
利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤
题型3 与线、面平行相关的计算问题
例8 [教材改编P108 T3]已知平面平面 ,点， ,点， ,直线 ，
交于点.已知,, .
（1）若点在平面 ， 之间,则 ___;
4
图11.3.3-13
【解析】如图11.3.3-13所示,,则， 确定一个平
面,设为 ,, .
因为 ,所以 ,
于是,即，解得 .
（2）若点不在平面 ， 之间,则 ____.
20
【解析】如图11.3.3-14所示，同（1）知 ，
于是，即，解得 .
图11.3.3-14
由平面几何中的平行线分线段成比例定理及其推论，立体几何中的“夹在两个平行平
面间的平行线段长度相等”“两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例”，
我们可以解决立体几何中的计算问题.解题的关键是由线、面平行的判定和性质，实
现平面几何和立体几何的转化，依据平行关系确定线段的比例关系，进而求解相关
的计算问题.
题型4 平行关系的综合应用
例9 平面平面 ，点 ，点 ，点 ，点 ，点， 分别在
线段，上，且.求证： ， .
图11.3.3-15
【解析】①如图11.3.3-15，当， 在同一平面内时，
（【易错点】本题易忽略对, 的位置关系的讨论而致误）
由 ， 平面， 平面 ，得
.
，
，
又 ， ， .
同理， .
. .
图11.3.3-16
② 如图11.3.3-16，当与异面时，过点 作
,交平面 于,连接,，则平面 ，
又 ， 平面 ，
， 四边形 是平行四边形,
．
在上取一点，使，连接,, .又
，， ，
又，， 平面平面 .
平面， .
且 ， .
. .
图11.3.3-17
如图11.3.3-17，当与异面时，连接,在
上取一点，使,连接, .
在中，, .
又 ， ， .
同理， .
， ， ， ,在 内存在一
条直线,使得,又,,又 ,
. .
. .
又,, 平面, 平面 .
平面, .（两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行
于另一个平面）
且 ， .
综上， ， .
. .
图11.3.3-18
例10 (2025·安徽省合肥市期中)如图11.3.3-18所示,已知正方体
.
（1）求证：平面平面 ；
【解析】因为在正方体中，
，所以四边形是平行四边形，所以 .
又 平面， 平面 ,
所以平面 .
同理平面 .
又， 平面， 平面 ，
所以平面平面 .
（2）试找出体对角线与平面和平面的交点， ，并证明：
.
【解析】如图11.3.3-19，连接交于点，连接，与交于点 .
图11.3.3-19
又 平面，所以点也在平面 内，
所以点就是与平面的交点.（点在直线上,点又在平面 内，因
此点 为它们的交点）
同理，连接交于点，连接，与交于点，则点就是 与平面
的交点．
下面证明 .
因为平面 平面，平面 平面 ，且平面
平面 ，
所以 .（面面平行的性质定理）
在中，是 的中点，
所以是的中点，即 .
同理可证，所以是的中点，即 ，
所以 .
. .
在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的相互转化,转化思想是解
决这类问题的最有效的方法.如图11.3.3-20所示．
图11.3.3-20
【变式题】
2.(2025·陕西省榆林市府谷县第一中学期中)如图11.3.3-21，在正方体
中，是的中点，，，分别是，， 的中点，求证：
图11.3.3-21
（1）直线平面 ；
【答案】如图D，连接 ，
图D 11.3.3-1
,分别是,的中点， .
又 平面， 平面 ，
直线平面 .
（2）平面平面 .
【答案】如图D 11.3.3-1,连接 ，
图D 11.3.3-1
,分别是,的中点， .
又 平面， 平面 ，
平面 .
由（1）知平面 ,
又 平面， 平面， ，
平面平面 .
题型5 平行关系的探究性问题
例11 (2025·贵州省遵义市期末)如图11.3.3-22，在棱长为1的正方体
中，点在上移动，点在 上移动，
,连接 .
图11.3.3-22
（1）证明：对任意，总有平面 .
思路点拨, 两点都是线段上的动点，且它们在面对角线上都成相同的比例关系.
解决本题的难点是， 两点所在的线段不在同一个三角形中，所以要寻找相应的线
段，用相同的比例关系得到平行关系，从而得到平行四边形，最后利用平行四边形
对边平行证明.
图11.3.3-23
【解析】如图11.3.3-23，作,交于点，作 ,
交于点，连接 .
由题意得，, ,
, ,
则四边形为平行四边形， .
又 平面， 平面 ,
平面 .
. .
（2）当为何值时， 最短？
思路点拨已知变量，把的长表示成关于 的函数，利用函数思想求最值.
【解析】由（1）知四边形为平行四边形， .
又,, ,
,,即 .
,
故当时，取得最小值 .
即当,分别为，的中点时，最短，此时的长为 .
例12 已知在正方体中,，分别是， 的中点,在该正方体
中是否存在过顶点且与平面 平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的
结论；若不存在，请说明理由.
图11.3.3-24
【解析】与平面 平行的平面有如图11.3.3-24所
示的三种情况（其中， 均为相应棱的中点）.
（对于此类题目，点的位置一般比较特殊，可优先
考虑几何体的顶点或者棱的中点）
下面以图11.3.3-24（1）为例进行证明.
连接,,易知， 四边形 是平行四边形,
，
又 平面， 平面，平面 .
. .
是的中位线, .
四边形 是平行四边形，
， .
又 平面, 平面 ，
平面 .
又 平面， 平面，且 ，
平面平面 .
探究性问题的求解方法
探究性问题主要有两种类型：
（1）结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.
（2）存在型：先假设“存在”，若经过推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则
结论为“不存在”.
高考考向分析
04
考情揭秘
高考中一般考查空间中利用线线、线面、面面平行关系的相互转化解决问题，经常
与空间中的垂直关系、空间角问题综合在一起考查，通常在解答题的第一问中以证
明题的形式出现，新高考中作为多选题进行考查的可能性比较大，难度中等.
核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出线面的平行关系），逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用）.
考向 面面平行的判定或性质
例13 (2025·全国二卷节选)如图11.3.3-25，在四边形中，,为 的中
点，点在上，.将四边形沿翻折至四边形.证明： 平
面 .
图11.3.3-25
【解析】 ， 平面， 平面， 平面
，
， 平面， 平面 ，
平面 .
平面， 平面， ，
平面平面 .
平面，平面 .
， ，
平面， 平面 ，
平面， 平面 ，
，， 平面平面 .
平面，平面 .
图11.3.3-26
第1步：补形，将梯形 补形为平行四边形
如图11.3.3-26，延长至点，使得，连接 ，
，
，，又 ，
四边形是平行四边形，， .
第2步：利用翻折过程中与折痕平行的直线平行关系不变得到线线平行，进而证明
翻折后，， ，
四边形是平行四边形， .
第3步：利用线线平行得线面平行
平面， 平面 ,
平面 .
图11.3.3-27
例14 (2023·新课标Ⅰ卷节选)如图11.3.3-27，在正四棱柱
中，，.点,，， 分别
在棱,,,上，,, .
证明： .
图11.3.3-28
【解析】如图11.3.3-28，作，交于点 ，作
，交于点，连接 .
因为，所以 ，
因为平面平面,且平面 平面
，平面 平面 ,所以
.（面面平行的性质定理）
因为,所以四边形 为平行四边形，
所以,同理可得 .
所以 ,
因为，所以四边形 为平行四边形，
所以,又，所以 .
. .
. .
. .
高考新题型专练
图11.3.3-29
1.［多选题］(2025·河北省高碑店市崇德实验中学月考)图11.3.3-
29为某一正方体的平面展开图，在这个正方体中( )
BC
A.平面 B.平面
C.平面平面 D.平面平面
图 D 11.3.3-2
【解析】将平面图形折起，折成一个正方体,如图D 11.3.3-2.因为
与平面交于点，所以与平面 相交，故A不正
确.因为平面平面，且 平面,所以
平面 ,故B正确.
连接，，,，因为,, ,
,所以平面平面 ，故C正确.
连接,易知平面与平面有公共点,如点 ，所以两平面
相交,故D不正确.故选 .
图11.3.3-30
2.[多选题](2025·山东省德州市武城县第二中学开学考试)如图
，在三棱柱中，已知点， 分别在
，上，且经过的重心，点， 分别是
，的中点，且，，， 四点共面，则下列结论正确的
是( )
ABC
A. B.平面
C. D.平面平面
【解析】对于A，因为平面平面，平面 平面 ，平
面 平面，所以 ，
因为，分别是，的中点，所以， ，
所以 ，所以A正确.
对于B，由选项A可知 ，
因为 平面， 平面 ，
所以平面 ，所以B正确.
对于C，因为，，所以 ，
因为经过的重心，所以 ，
因为，所以 ，
因为，所以 ，所以C正确.
对于D，因为，，所以 ，
因为，所以四边形为梯形，且与为腰，所以与 必相交，
因为 平面， 平面 ，
所以平面与平面 相交，所以D错误．
故选 ．
知识测评
05
建议时间：30分钟
1.下列四个结论：
①若两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行;
②过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行;
③若一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行;
④若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.
其中正确结论的个数为( )
A
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】①若两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或异面，
故①错误；
图D 11.3.3-1
②如图D 11.3.3-1，,为异面直线,过上任一点作的平行线 ,则
相交直线,确定一个平面，且与 平行，即过两条异面直线中的
一条只能作一个平面与另一条直线平行,故②错误；
③若一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线
在这个平面内或与该平面平行或与该平面相交，故③错误;
④不符合面面平行的判定定理，这两个平面还可能相交.故选A.
2.设平面平面 ， ， ，是的中点.当点，分别在 , 内运动
时，所有的动点 ( )
D
A.不共面
B.当且仅当, 在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当, 在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.不论, 如何移动都共面
【解析】由 及是中点可知，点到平面 ， 的距离相等，所以点 在平
面 ， 之间且与这两个平面平行等距的平面上.
3.(2025·山东省泰安市期末)在下列四个正方体中，，，，，，， 分别为
所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与点，， 所在平面平行的是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】如图D 11.3.3-2，连接，，则 ,
图D 11.3.3-2
, 四边形为平行四边形， ,
, 四边形 为平行四边形，
,连接，，,又, ,
平面平面 .
4.(2025·陕西省西安市期末)在空间中，已知命题的三个顶点到平面 的距
离相等且不为零，命题平面平面，则是 的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当平面平面时，的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，
当的三个顶点到平面 的距离相等且不为零时，平面 可能与平面 相交，
例如当平面 且，的中点在平面 内时，的三个顶点到平面 的
距离相等且不为零，但平面 与平面相交，即是 的必要不充分条件．
5.［多选题］(2025·湖南省长沙市期中)设 ， 为两个平面，则 的充分条件
可以是( )
AD
A. 内的所有直线都与 平行 B. 内有3条直线与 平行
C. 和 平行于同一条直线 D. 和 都平行于同一平面
【解析】 内的所有直线都与 平行，可知两个平面没有公共点，所以两个平面平
行，所以A正确；
内有3条直线与 平行，如果3条直线是平行线，则这两个平面可能相交，所以B
不正确；
和 平行于同一条直线，这两个平面可能相交，所以C不正确；
和 都平行于同一平面 ，满足两个平面平行的性质，所以D正确.
图11.3.3-1
6.(2025·湖北省襄阳市期末)如图11.3.3-1，是 所在平
面外一点，平面平面, 分别交线段,, 于点
,,,若 ，则 ___.
【解析】由平面平面,得, ,
,从而, .因为
,所以,所以 .
图11.3.3-2
7.如图11.3.3-2所示,四棱锥的底面 为矩形，
，，分别为，，的中点.求证：平面 平面
.
【答案】因为为的中点，为的中点，所以 ，
又 平面, 平面,所以平面 .
又为的中点，四边形为矩形，所以 且
，
所以四边形为平行四边形，所以 ，
又 平面, 平面,所以平面 .
由 平面， 平面，，得平面平面 .
8.如图11.3.3-3，在三棱台中，,,分别为, 的中点.
求证：平面 .
图11.3.3-3
【答案】 如图D 11.3.3-3，连接,,设，连接 .
图D 11.3.3-3
在三棱台 中,
,为 的中点,
可得, ,
所以四边形 为平行四边形,
则为 的中点.
又为的中点，所以 .
又 平面， 平面,所以平面 .
在三棱台 中,
易得,又为的中点,可得， ,
所以四边形为平行四边形，可得 .
在中，为的中点，为的中点，所以 .
又,所以平面平面 .
因为 平面，所以平面 .
高考模拟
06
建议时间：45分钟
图11.3.3-4
9.(2025·福建省福州市期末)如图11.3.3-4，三棱
柱中，， ，
，，为中点，为 上一
点，， ， 为侧面
上一点，且平面，则点 的
轨迹的长度为( )
C
A.1 B. C. D.3
【解析】由题意得，，在上取点，使， ，连接
,则且，所以四边形是平行四边形，所以．
在上取点，使，，连接,则 ，所以
．又，，所以平面平面 ，
所以点的轨迹就是线段，在中， ，
，由余弦定理得
．
10.［多选题］(2025·陕西省渭南市期末)在三棱柱中，底面 为正三
角形，侧棱垂直于底面，，，分别是，，的中点，是 的中
点．则下列结论正确的是( )
BC
A.若是上的动点，则与 异面
B.平面
C.若该三棱柱有内切球，则 ：1
D.平面平面
【解析】是的中点时，，而，则 ，所以A不正确；
图D 11.3.3-4
如图D 11.3.3-4所示，连接，由为 的中位线，显然
且， 平面， 平面 ，
所以平面 ，所以B正确；
设底面边长为，球在底面的投影为底面 的内切圆，其半径
为底面高的，则 ，
所以 ：1，所以C正确；
过作与平行的直线，由，可得平面与底面 的
交线为，且与直线 相交，所以D不正确．
故选 ．
图11.3.3-5
11.如图11.3.3-5，在长方体中，,,, 分别为
,,,的中点，是的中点，点在四边形 内
运动，则满足_____________时，有平面 ．
在线段上
【解析】连接,,当在线段上时，有 ，而
，且, ,
平面平面 .
又 平面，平面 .
12.(2025·江苏省南通市期中)如图11.3.3-6，在平行六面体 中，底面
为菱形，若，分别为棱与上的点，且平面平面 ，则
___．
1
图11.3.3-6
【解析】如图D 11.3.3-5，设，连接 .
图D 11.3.3-5
底面为菱形，为 的中点.
平面平面，平面 平面 ，
平面 平面， .
为的中点，为 的中点.
平面平面，平面 平面 ，
平面 平面， .
为的中点，为的中点，即 ．
13.(2025·广东省广州市期中)如图11.3.3-7所示，在斜三棱柱中，，
分别为， 上的点．
图11.3.3-7
（1）当等于何值时,平面
【答案】如图D 11.3.3-6所示，连接，交于点，连接 .
图D 11.3.3-6
由棱柱的性质知，四边形 为平行四边形，
为 的中点．
,为平面与平面 的公共点，
平面 平面 ,
又 平面,且平面, .
又在中，为的中点，为 的中点.
故当时，平面 .
（2）若平面平面，求 的值.
【答案】 平面平面，且平面 平面 ，平面
平面 ，
.同理可得 .
,, ,
又,,即 .
14.(2025·山东省淄博市模拟)如图11.3.3-8，在四棱锥中，底面四边形
是平行四边形，，，,分别为棱, 的中点．
图11.3.3-8
（1）证明：平面 ；
【答案】如图D 11.3.3-7，取的中点，连接， ，
图D 11.3.3-7
在中，，分别为， 的中点，
， ，
，分别为, 的中点，
，，， ，
故四边形为平行四边形， ，
平面， 平面，平面 .
（2）点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，求 的
最大值．
【答案】如图D 11.3.3-8，取中点为，连接 ，
图D 11.3.3-8
在中，，分别为，的中点， ，
平面， 平面，平面 ，
又， 平面， 平面 ，
平面 ，
又，且， 平面 ，
故平面平面 ，
因为点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面 ，则点
，即点在线段 （包括端点）上移动，
当点运动到时，此时 取得最大值，最大值为2．
图11.3.3-9
15.如图11.3.3-9，在矩形和矩形中， ,
,矩形可沿 任意翻折.
（1）求证：当点,,不共线时，线段总平行于平面 .
【答案】在平面图形中，连接,设与交于点 .
四边形和四边形都是矩形, ,
且, 四边形 是平行四边形，
.
又, 四边形是平行四边形， .
图D 11.3.3-9
当点,,不共线时，如图D 11.3.3-9，, .
又, ,
平面平面 .
又 平面,平面 .
故当点,,不共线时，线段总平行于平面 .
（2）“不管怎样翻折矩形，线段总与线段 平行”这个结论正确吗？如果
正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给
出理由.
【答案】这个结论不正确.
要使上述结论成立，,应分别为和 的中点.理由如下.
当点,,共线时，如题图，易证得.当点,, 不共线时，由（1）知平面
平面,则要使总成立，根据面面平行的性质定理，只要 与
共面即可.若要使与共面，连接,只要与 相交即可.
平面, 平面,平面 平面, 若 与
相交，则交点只能为点,此时只有，分别为, 的中点才满足.
由,可知它们确定一个平面，即,,, 四点共面.
平面 平面,平面 平面,平面 平面
, .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册
11.3 空间中的平行关系-11.3.3 平面与平面平行
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 平面与平面平行的判定定理
1 平面与平面平行的判定定理及其推论
（1）平面与平面平行的判定定理（简称为面面平行的判定定理）
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内有两条相交直线 分别平行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 如果 ， ，
， , ，则
.
简记为“线面平行，则面面平行”. （2）推论
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内有两条相交 直线分别平行于另一个平面 内的两条直线，则这两个平 面平行. 如果 , , ，
, ,, ，则
.
特别提醒
对平面与平面平行的判定定理的理解
（1）定理作用：把判定面面平行问题转化为判定线面平行问题，即要证明面面平行，
需证线面平行.
（2）面面平行判定定理的必备条件：①平面内的两条直线与另一平面平行；②这两
条直线必须是相交直线.
2 两个平面平行的画法
在画两个平行的平面时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别
画成平行线,如图11.3.3-1（1）（2）所示.
图11.3.3-1
典例详解
例1-1 [教材改编P106 想一想]［多选题］两个平面平行的条件是( )
AD
A.一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面
B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
图11.3.3-2
【解析】由判定定理知A正确,B不正确；对于C，如图11.3.3-2，
平面 内可以有无数条直线与平面 平行，而平面 与平面
相交,所以C不正确；D显然正确．
图11.3.3-3
例1-2 已知在如图11.3.3-3所示的长方体中，
为的中点，为的中点，为 的中点，则在该长方体
的6个表面中，与平面 平行的平面有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】 长方体中，为的中点，为的中点，为
的中点，, ,
又 平面, 平面 ，
平面,平面 .
又 ，
平面平面 .
同理，平面平面 .
即在该长方体中，与平面 平行的平面有2个.
知识点2 平面与平面平行的性质定理
1 平面与平面平行的性质定理（简称为面面平行的性质定理）
自然语言 图形语言 符号语言
如果两个平行平面同时与第 三个平面相交，那么它们的 交线平行. 如果 , ，
，（三个条件缺一不
可）则 .
简记为“面面平行，则线线平行”. . .
. .
2 两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；
（2）经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行；
（3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例;
（5）平行于同一平面的两个平面平行（面面平行的传递性）.
典例详解
例2-3 (2025·湖北省荆州中学月考)已知，表示直线, ， ， 表示平面,下列命
题正确的是( )
D
A., ，则
B. , , ，则
C. , , , ，则
D. ,,，则
【解析】A中, ,则, 可能平行、相交，故不正确；
B中 , ， ，则或与 异面，故不正确；
C中 , , ， ，根据面面平行的判定定理，若再加上条件
,才能得出 ，故不正确;
D为面面平行的性质定理的符号语言，是正确的.
释疑惑 重难拓展
知识点3 平行关系的相互转化
1 线线平行的判定方法
（1）利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
（2）利用平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行.
（3）利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
（4）利用平行线分线段成比例定理.
（5）利用线面平行的性质定理.
（6）利用面面平行的性质定理.
（7）利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是
平行的.
2 线面平行的判定方法
（1）利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
（2）利用直线与平面平行的判定定理： ,, ,则 .
（3）利用面面平行的性质：若平面平面 ，直线 ，则 .
（4）利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在
排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平
行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.
3 面面平行的判定方法
（1）根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
（2）根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交
直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.
（3）根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平
面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.
（4）根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面
平行.
（5）利用反证法．
典例详解
例3-4 [教材改编P110 T7]如图11.3.3-4,已知四棱锥的底面是菱形，, 分
别是,的中点，求证：平面 .
图11.3.3-4
【解析】 如图11.3.3-5,取的中点，连接, .
图11.3.3-5
因为，分别是，的中点，所以,，, ，
所以，所以四边形是平行四边形,从而 .
又 平面， 平面,故平面 .
图11.3.3-6
如图11.3.3-6,取的中点，连接, .
因为，分别是， 的中点,
所以,， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 .
因为， ,
所以平面平面 .
又 面 ,
所以平面 .
题型解析
03
题型1 平面与平面平行的判定
例5 如图11.3.3-7，在三棱柱中，点是棱的中点，，， 分别
是，， 的中点．
图11.3.3-7
（1）求证：平面 ；
【解析】如图11.3.3-8，连接 ，
图11.3.3-8
在中，，分别是， 的中点，
．
又 平面， 平面 ，
平面 ．
（2）求证：平面平面 ．
图11.3.3-8
【解析】如图11.3.3-8，在中，， 分别是
，的中点， ．
又 平面， 平面 ，
平面 ．
在平行四边形中，,分别是， 的中
点， ，
又 平面， 平面 ，
平面，又 ，
平面平面 .
例6 如图11.3.3-9，在四棱锥中，， ，
，,,分别为线段,, 的中点，证明：平面
平面 ．
图11.3.3-9
【解析】连接，,设与相交于点，连接 ，如图11.3.3-10，
图11.3.3-10
因为，且， ，
所以四边形为矩形，所以为 的中点.
又为 的中点，
所以为的中位线，即 .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为，分别为线段，的中点，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 ，
因为 平面， 平面， ，
所以平面平面 ．
利用面面平行的判定定理证明两平面平行的步骤
【变式题】
图11.3.3-11
1.(2025·山东省实验中学期中)如图11.3.3-11，在三棱柱
中，，，，分别是，，， 的
中点.
求证：
（1），，， 四点共面；
【答案】由题意得是的中位线， .
又，，，，， 四点共面．
（2）平面平面 .
【答案】，分别为，的中点， .
平面， 平面，平面 .
， 四边形是平行四边形， .
平面， 平面，平面 .
又， 平面平面 .
题型2 面面平行性质定理的应用
图11.3.3-12
例7 如图11.3.3-12所示，在三棱柱中，是 的中
点，是的中点，设平面 平面 ，平面
平面，判断直线, 的位置关系，并证明．
思路点拨 由三棱柱的性质得平面 平面
，若第三个平面与它们相交，则所成交线平行．
【解析】直线, 的位置关系是平行,证明如下．
连接 平面平面，平面 平面，平面 平面
, .
同理可证 .
又是的中点，是的中点， ，
又， ，
四边形为平行四边形，， ．
利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤
题型3 与线、面平行相关的计算问题
例8 [教材改编P108 T3]已知平面平面 ,点， ,点， ,直线 ，
交于点.已知,, .
（1）若点在平面 ， 之间,则 ___;
4
图11.3.3-13
【解析】如图11.3.3-13所示,,则， 确定一个平
面,设为 ,, .
因为 ,所以 ,
于是,即，解得 .
（2）若点不在平面 ， 之间,则 ____.
20
【解析】如图11.3.3-14所示，同（1）知 ，
于是，即，解得 .
图11.3.3-14
由平面几何中的平行线分线段成比例定理及其推论，立体几何中的“夹在两个平行平
面间的平行线段长度相等”“两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例”，
我们可以解决立体几何中的计算问题.解题的关键是由线、面平行的判定和性质，实
现平面几何和立体几何的转化，依据平行关系确定线段的比例关系，进而求解相关
的计算问题.
题型4 平行关系的综合应用
例9 平面平面 ，点 ，点 ，点 ，点 ，点， 分别在
线段，上，且.求证： ， .
图11.3.3-15
【解析】①如图11.3.3-15，当， 在同一平面内时，
（【易错点】本题易忽略对, 的位置关系的讨论而致误）
由 ， 平面， 平面 ，得
.
，
，
又 ， ， .
同理， .
. .
图11.3.3-16
② 如图11.3.3-16，当与异面时，过点 作
,交平面 于,连接,，则平面 ，
又 ， 平面 ，
， 四边形 是平行四边形,
．
在上取一点，使，连接,, .又
，， ，
又，， 平面平面 .
平面， .
且 ， .
. .
图11.3.3-17
如图11.3.3-17，当与异面时，连接,在
上取一点，使,连接, .
在中，, .
又 ， ， .
同理， .
， ， ， ,在 内存在一
条直线,使得,又,,又 ,
. .
. .
又,, 平面, 平面 .
平面, .（两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行
于另一个平面）
且 ， .
综上， ， .
. .
图11.3.3-18
例10 (2025·安徽省合肥市期中)如图11.3.3-18所示,已知正方体
.
（1）求证：平面平面 ；
【解析】因为在正方体中，
，所以四边形是平行四边形，所以 .
又 平面， 平面 ,
所以平面 .
同理平面 .
又， 平面， 平面 ，
所以平面平面 .
（2）试找出体对角线与平面和平面的交点， ，并证明：
.
【解析】如图11.3.3-19，连接交于点，连接，与交于点 .
图11.3.3-19
又 平面，所以点也在平面 内，
所以点就是与平面的交点.（点在直线上,点又在平面 内，因
此点 为它们的交点）
同理，连接交于点，连接，与交于点，则点就是 与平面
的交点．
下面证明 .
因为平面 平面，平面 平面 ，且平面
平面 ，
所以 .（面面平行的性质定理）
在中，是 的中点，
所以是的中点，即 .
同理可证，所以是的中点，即 ，
所以 .
. .
在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的相互转化,转化思想是解
决这类问题的最有效的方法.如图11.3.3-20所示．
图11.3.3-20
【变式题】
2.(2025·陕西省榆林市府谷县第一中学期中)如图11.3.3-21，在正方体
中，是的中点，，，分别是，， 的中点，求证：
图11.3.3-21
（1）直线平面 ；
【答案】如图D，连接 ，
图D 11.3.3-1
,分别是,的中点， .
又 平面， 平面 ，
直线平面 .
（2）平面平面 .
【答案】如图D 11.3.3-1,连接 ，
图D 11.3.3-1
,分别是,的中点， .
又 平面， 平面 ，
平面 .
由（1）知平面 ,
又 平面， 平面， ，
平面平面 .
题型5 平行关系的探究性问题
例11 (2025·贵州省遵义市期末)如图11.3.3-22，在棱长为1的正方体
中，点在上移动，点在 上移动，
,连接 .
图11.3.3-22
（1）证明：对任意，总有平面 .
思路点拨, 两点都是线段上的动点，且它们在面对角线上都成相同的比例关系.
解决本题的难点是， 两点所在的线段不在同一个三角形中，所以要寻找相应的线
段，用相同的比例关系得到平行关系，从而得到平行四边形，最后利用平行四边形
对边平行证明.
图11.3.3-23
【解析】如图11.3.3-23，作,交于点，作 ,
交于点，连接 .
由题意得，, ,
, ,
则四边形为平行四边形， .
又 平面， 平面 ,
平面 .
. .
（2）当为何值时， 最短？
思路点拨已知变量，把的长表示成关于 的函数，利用函数思想求最值.
【解析】由（1）知四边形为平行四边形， .
又,, ,
,,即 .
,
故当时，取得最小值 .
即当,分别为，的中点时，最短，此时的长为 .
例12 已知在正方体中,，分别是， 的中点,在该正方体
中是否存在过顶点且与平面 平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的
结论；若不存在，请说明理由.
图11.3.3-24
【解析】与平面 平行的平面有如图11.3.3-24所
示的三种情况（其中， 均为相应棱的中点）.
（对于此类题目，点的位置一般比较特殊，可优先
考虑几何体的顶点或者棱的中点）
下面以图11.3.3-24（1）为例进行证明.
连接,,易知， 四边形 是平行四边形,
，
又 平面， 平面，平面 .
. .
是的中位线, .
四边形 是平行四边形，
， .
又 平面, 平面 ，
平面 .
又 平面， 平面，且 ，
平面平面 .
探究性问题的求解方法
探究性问题主要有两种类型：
（1）结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.
（2）存在型：先假设“存在”，若经过推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则
结论为“不存在”.
高考考向分析
04
考情揭秘
高考中一般考查空间中利用线线、线面、面面平行关系的相互转化解决问题，经常
与空间中的垂直关系、空间角问题综合在一起考查，通常在解答题的第一问中以证
明题的形式出现，新高考中作为多选题进行考查的可能性比较大，难度中等.
核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出线面的平行关系），逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用）.
考向 面面平行的判定或性质
例13 (2025·全国二卷节选)如图11.3.3-25，在四边形中，,为 的中
点，点在上，.将四边形沿翻折至四边形.证明： 平
面 .
图11.3.3-25
【解析】 ， 平面， 平面， 平面
，
， 平面， 平面 ，
平面 .
平面， 平面， ，
平面平面 .
平面，平面 .
， ，
平面， 平面 ，
平面， 平面 ，
，， 平面平面 .
平面，平面 .
图11.3.3-26
第1步：补形，将梯形 补形为平行四边形
如图11.3.3-26，延长至点，使得，连接 ，
，
，，又 ，
四边形是平行四边形，， .
第2步：利用翻折过程中与折痕平行的直线平行关系不变得到线线平行，进而证明
翻折后，， ，
四边形是平行四边形， .
第3步：利用线线平行得线面平行
平面， 平面 ,
平面 .
图11.3.3-27
例14 (2023·新课标Ⅰ卷节选)如图11.3.3-27，在正四棱柱
中，，.点,，， 分别
在棱,,,上，,, .
证明： .
图11.3.3-28
【解析】如图11.3.3-28，作，交于点 ，作
，交于点，连接 .
因为，所以 ，
因为平面平面,且平面 平面
，平面 平面 ,所以
.（面面平行的性质定理）
因为,所以四边形 为平行四边形，
所以,同理可得 .
所以 ,
因为，所以四边形 为平行四边形，
所以,又，所以 .
. .
. .
. .
高考新题型专练
图11.3.3-29
1.［多选题］(2025·河北省高碑店市崇德实验中学月考)图11.3.3-
29为某一正方体的平面展开图，在这个正方体中( )
BC
A.平面 B.平面
C.平面平面 D.平面平面
图 D 11.3.3-2
【解析】将平面图形折起，折成一个正方体,如图D 11.3.3-2.因为
与平面交于点，所以与平面 相交，故A不正
确.因为平面平面，且 平面,所以
平面 ,故B正确.
连接，，,，因为,, ,
,所以平面平面 ，故C正确.
连接,易知平面与平面有公共点,如点 ，所以两平面
相交,故D不正确.故选 .
图11.3.3-30
2.[多选题](2025·山东省德州市武城县第二中学开学考试)如图
，在三棱柱中，已知点， 分别在
，上，且经过的重心，点， 分别是
，的中点，且，，， 四点共面，则下列结论正确的
是( )
ABC
A. B.平面
C. D.平面平面
【解析】对于A，因为平面平面，平面 平面 ，平
面 平面，所以 ，
因为，分别是，的中点，所以， ，
所以 ，所以A正确.
对于B，由选项A可知 ，
因为 平面， 平面 ，
所以平面 ，所以B正确.
对于C，因为，，所以 ，
因为经过的重心，所以 ，
因为，所以 ，
因为，所以 ，所以C正确.
对于D，因为，，所以 ，
因为，所以四边形为梯形，且与为腰，所以与 必相交，
因为 平面， 平面 ，
所以平面与平面 相交，所以D错误．
故选 ．
知识测评
05
建议时间：30分钟
1.下列四个结论：
①若两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行;
②过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行;
③若一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行;
④若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.
其中正确结论的个数为( )
A
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】①若两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或异面，
故①错误；
图D 11.3.3-1
②如图D 11.3.3-1，,为异面直线,过上任一点作的平行线 ,则
相交直线,确定一个平面，且与 平行，即过两条异面直线中的
一条只能作一个平面与另一条直线平行,故②错误；
③若一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线
在这个平面内或与该平面平行或与该平面相交，故③错误;
④不符合面面平行的判定定理，这两个平面还可能相交.故选A.
2.设平面平面 ， ， ，是的中点.当点，分别在 , 内运动
时，所有的动点 ( )
D
A.不共面
B.当且仅当, 在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当, 在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.不论, 如何移动都共面
【解析】由 及是中点可知，点到平面 ， 的距离相等，所以点 在平
面 ， 之间且与这两个平面平行等距的平面上.
3.(2025·山东省泰安市期末)在下列四个正方体中，，，，，，， 分别为
所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与点，， 所在平面平行的是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】如图D 11.3.3-2，连接，，则 ,
图D 11.3.3-2
, 四边形为平行四边形， ,
, 四边形 为平行四边形，
,连接，，,又, ,
平面平面 .
4.(2025·陕西省西安市期末)在空间中，已知命题的三个顶点到平面 的距
离相等且不为零，命题平面平面，则是 的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当平面平面时，的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，
当的三个顶点到平面 的距离相等且不为零时，平面 可能与平面 相交，
例如当平面 且，的中点在平面 内时，的三个顶点到平面 的
距离相等且不为零，但平面 与平面相交，即是 的必要不充分条件．
5.［多选题］(2025·湖南省长沙市期中)设 ， 为两个平面，则 的充分条件
可以是( )
AD
A. 内的所有直线都与 平行 B. 内有3条直线与 平行
C. 和 平行于同一条直线 D. 和 都平行于同一平面
【解析】 内的所有直线都与 平行，可知两个平面没有公共点，所以两个平面平
行，所以A正确；
内有3条直线与 平行，如果3条直线是平行线，则这两个平面可能相交，所以B
不正确；
和 平行于同一条直线，这两个平面可能相交，所以C不正确；
和 都平行于同一平面 ，满足两个平面平行的性质，所以D正确.
图11.3.3-1
6.(2025·湖北省襄阳市期末)如图11.3.3-1，是 所在平
面外一点，平面平面, 分别交线段,, 于点
,,,若 ，则 ___.
【解析】由平面平面,得, ,
,从而, .因为
,所以,所以 .
图11.3.3-2
7.如图11.3.3-2所示,四棱锥的底面 为矩形，
，，分别为，，的中点.求证：平面 平面
.
【答案】因为为的中点，为的中点，所以 ，
又 平面, 平面,所以平面 .
又为的中点，四边形为矩形，所以 且
，
所以四边形为平行四边形，所以 ，
又 平面, 平面,所以平面 .
由 平面， 平面，，得平面平面 .
8.如图11.3.3-3，在三棱台中，,,分别为, 的中点.
求证：平面 .
图11.3.3-3
【答案】 如图D 11.3.3-3，连接,,设，连接 .
图D 11.3.3-3
在三棱台 中,
,为 的中点,
可得, ,
所以四边形 为平行四边形,
则为 的中点.
又为的中点，所以 .
又 平面， 平面,所以平面 .
在三棱台 中,
易得,又为的中点,可得， ,
所以四边形为平行四边形，可得 .
在中，为的中点，为的中点，所以 .
又,所以平面平面 .
因为 平面，所以平面 .
高考模拟
06
建议时间：45分钟
图11.3.3-4
9.(2025·福建省福州市期末)如图11.3.3-4，三棱
柱中，， ，
，，为中点，为 上一
点，， ， 为侧面
上一点，且平面，则点 的
轨迹的长度为( )
C
A.1 B. C. D.3
【解析】由题意得，，在上取点，使， ，连接
,则且，所以四边形是平行四边形，所以．
在上取点，使，，连接,则 ，所以
．又，，所以平面平面 ，
所以点的轨迹就是线段，在中， ，
，由余弦定理得
．
10.［多选题］(2025·陕西省渭南市期末)在三棱柱中，底面 为正三
角形，侧棱垂直于底面，，，分别是，，的中点，是 的中
点．则下列结论正确的是( )
BC
A.若是上的动点，则与 异面
B.平面
C.若该三棱柱有内切球，则 ：1
D.平面平面
【解析】是的中点时，，而，则 ，所以A不正确；
图D 11.3.3-4
如图D 11.3.3-4所示，连接，由为 的中位线，显然
且， 平面， 平面 ，
所以平面 ，所以B正确；
设底面边长为，球在底面的投影为底面 的内切圆，其半径
为底面高的，则 ，
所以 ：1，所以C正确；
过作与平行的直线，由，可得平面与底面 的
交线为，且与直线 相交，所以D不正确．
故选 ．
图11.3.3-5
11.如图11.3.3-5，在长方体中，,,, 分别为
,,,的中点，是的中点，点在四边形 内
运动，则满足_____________时，有平面 ．
在线段上
【解析】连接,,当在线段上时，有 ，而
，且, ,
平面平面 .
又 平面，平面 .
12.(2025·江苏省南通市期中)如图11.3.3-6，在平行六面体 中，底面
为菱形，若，分别为棱与上的点，且平面平面 ，则
___．
1
图11.3.3-6
【解析】如图D 11.3.3-5，设，连接 .
图D 11.3.3-5
底面为菱形，为 的中点.
平面平面，平面 平面 ，
平面 平面， .
为的中点，为 的中点.
平面平面，平面 平面 ，
平面 平面， .
为的中点，为的中点，即 ．
13.(2025·广东省广州市期中)如图11.3.3-7所示，在斜三棱柱中，，
分别为， 上的点．
图11.3.3-7
（1）当等于何值时,平面
【答案】如图D 11.3.3-6所示，连接，交于点，连接 .
图D 11.3.3-6
由棱柱的性质知，四边形 为平行四边形，
为 的中点．
,为平面与平面 的公共点，
平面 平面 ,
又 平面,且平面, .
又在中，为的中点，为 的中点.
故当时，平面 .
（2）若平面平面，求 的值.
【答案】 平面平面，且平面 平面 ，平面
平面 ，
.同理可得 .
,, ,
又,,即 .
14.(2025·山东省淄博市模拟)如图11.3.3-8，在四棱锥中，底面四边形
是平行四边形，，，,分别为棱, 的中点．
图11.3.3-8
（1）证明：平面 ；
【答案】如图D 11.3.3-7，取的中点，连接， ，
图D 11.3.3-7
在中，，分别为， 的中点，
， ，
，分别为, 的中点，
，，， ，
故四边形为平行四边形， ，
平面， 平面，平面 .
（2）点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，求 的
最大值．
【答案】如图D 11.3.3-8，取中点为，连接 ，
图D 11.3.3-8
在中，，分别为，的中点， ，
平面， 平面，平面 ，
又， 平面， 平面 ，
平面 ，
又，且， 平面 ，
故平面平面 ，
因为点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面 ，则点
，即点在线段 （包括端点）上移动，
当点运动到时，此时 取得最大值，最大值为2．
图11.3.3-9
15.如图11.3.3-9，在矩形和矩形中， ,
,矩形可沿 任意翻折.
（1）求证：当点,,不共线时，线段总平行于平面 .
【答案】在平面图形中，连接,设与交于点 .
四边形和四边形都是矩形, ,
且, 四边形 是平行四边形，
.
又, 四边形是平行四边形， .
图D 11.3.3-9
当点,,不共线时，如图D 11.3.3-9，, .
又, ,
平面平面 .
又 平面,平面 .
故当点,,不共线时，线段总平行于平面 .
（2）“不管怎样翻折矩形，线段总与线段 平行”这个结论正确吗？如果
正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给
出理由.
【答案】这个结论不正确.
要使上述结论成立，,应分别为和 的中点.理由如下.
当点,,共线时，如题图，易证得.当点,, 不共线时，由（1）知平面
平面,则要使总成立，根据面面平行的性质定理，只要 与
共面即可.若要使与共面，连接,只要与 相交即可.
平面, 平面,平面 平面, 若 与
相交，则交点只能为点,此时只有，分别为, 的中点才满足.
由,可知它们确定一个平面，即,,, 四点共面.
平面 平面,平面 平面,平面 平面
, .
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高二下学期数学人教B版必修第四册