11.4 空间中的垂直关系-11.4.1 直线与平面垂直-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.4 空间中的垂直关系-11.4.1 直线与平面垂直-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 9.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共155张PPT)
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 直线与直线所成角
1 异面直线所成的角
如图11.4.1-1所示，, 是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作
与,平行或重合的直线,,则与所成角的大小，称为异面直线与 所成角
（称为异面直线与 的夹角）的大小.
图11.4.1-1
. .
知识剖析 1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即
把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.
2.习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角
的角的大小.
3.在定义中,空间一点 是任取的,根据空间等角定理,可以判定异面直线所成的角
与,所成的锐角（或直角）相等,角的大小与点的位置无关.为了简便，点 常取
在两条异面直线中的一条上.
2 异面直线所成的角的范围
说明 POINT
为了方便起见，规定空间中两条平行直线所成角的大小为 .
异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即 的范围是 .
（注意区分异面直线所成角的范围与空间两条直线所成角的范围，后者为
）
3 空间两直线垂直的定义
空间中两条直线,所成角的大小为 时，称与垂直，记作 .显然，若
且,则一定有 .
（【注意】空间中两条直线垂直，包括相交垂直和异面垂直）
. .
典例详解
例1-1 [教材改编P112 尝试与发现] 在正方体中，求直线 与
所成的角.
【解析】如图11.4.1-3，连接, .
图11.4.1-3
因为,所以直线与所成的角即直线与 所成的角.
又，所以为正三角形，所以直线与 所成的角为
，
即直线与所成的角为 .
例1-2 已知三条直线两两垂直，则下列说法正确的是( )
C
A.这三条直线必共点 B.其中必有两条直线不同在任一平面内
C.三条直线不可能在同一平面内 D.其中必有两条直线在同一平面内
【解析】三条直线两两垂直的情况共有三种：
（1）三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内;
（2）三条直线中只有两条相交，此时只有这两条在同一平面内;
（3）三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直
线不在同一平面内.
因此，只有C选项是正确的.
知识点2 直线与平面垂直及其判定定理
1 直线与平面垂直的充要条件
自然语言 图形语言 符号语言
. .
知识剖析 1.定义中的“任意直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同.定
义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直.
2.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况.
3.运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一
个平面内的任意直线都垂直”，若在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这
条直线与这个平面不垂直.
4.画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直.
. .
2 直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线垂直，则这条直 线与这个平面垂直.
简述为若线线垂直，则线面垂直. 知识剖析（1）判定定理中，平面内的“两条相交直线”是关键性词语，它不能是“一
条直线”或“两条平行直线”，也不能是“无数条直线”，它是定义中“任意直线”的简化.
（2）要证一条已知直线与一个平面垂直，只需在该平面内找到两条相交直线与
已知直线垂直即可，至于这两条直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.
典例详解
例2-3 [教材改编P118 T2]［多选题］下列命题中正确的是( )
BD
A.若直线与平面 内的无数条直线垂直，则
B.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内
C.若直线不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线
D.若直线与平面内所有的直线都垂直，则
图11.4.1-4
【解析】如图11.4.1-4所示，直线与 内的无数条直线垂直，但
与 斜交，故A不正确；由直线与平面垂直的定义知，B正确；
同样由图可得,不垂直于 ，但 内有与 垂直的直线，且这样的
直线有无数条，故C不正确；由直线与平面垂直的定义可以知D
正确.
点评 对于本题A选项，除解析中给出的与 斜交外，与 平行或在 内时，
都可以与 内的无数条直线垂直，同学们可以尝试画出示意图.
知识点3 直线与平面垂直的性质
自然语言 图形语言 符号语言
结论 如果两条平行直线中,有一条直线 垂直于一个平面,那么另一条直线 也垂直于这个平面.
线面垂直 的性质定 理 如果两条直线垂直于同一个平面, 那么这两条直线平行.
说明 结论和线面垂直的性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起，完成了
平行关系与垂直关系的相互转化.
典例详解
例3-4 已知直线垂直于的边和，另一条直线垂直于的边 和
,则直线， 的位置关系是( )
A
A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直
【解析】因为直线垂直于的边和，,所以直线 垂直于平面
,同理可得直线垂直于平面,根据线面垂直的性质定理得 .
知识点4 直线与平面垂直的应用
1 直线与平面所成的角
图11.4.1-2
（1）斜线与斜足：如图11.4.1-2，如果是平面 外一点，
是平面 内一点，且与 不垂直，则称是平面 的斜线段
（类比垂线段学习）（相应地，直线称为平面 的斜线），
称 为斜足.
（2）斜线在平面上的射影：过平面 外同一点向平面 引
垂线段与斜线段，则垂足与斜足之间的线段 称为斜线
段在平面 内的射影，直线称为直线在平面 内的射影.
. .
（3）直线与平面所成的角：斜线与它在平面上的射影所成的角称为这条直线与
这个平面所成的角，如图11.4.1-2，为与平面 所成的角.
（4）直线与平面所成的角 的范围是 ，当直线在平面内或与平面
平行时，直线与平面所成角为 ，当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为 .
. .
2 有关距离问题
（1）利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进
而得到几何体的体积等.
（2）直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是
通过点到平面的距离来定义的，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与
平面的距离，以及两平行平面之间的距离.
3 三垂线定理及其逆定理
定理：平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.（教材链接：第117页例4）
逆定理：平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影.（教材链接：第118页练习B第5题）
. .
典例详解
例4-5 在正方体中， ，
（1）直线与平面 所成的角的大小为_____；
【解析】由线面角定义知，为与平面所成的角，易得 .
（2）直线与平面 所成的角的大小为_____；
【解析】在正方体中，易证得， ，又
,
平面，即与平面所成的角的大小为 .
（3）直线与平面 所成的角的大小为_____；
图11.4.1-5
【解析】如图11.4.1-5，连接，设，连接 ,则
易证平面 ，
在平面内的射影为 ，
与平面所成的角为 .
，
.
（4）直线到平面 的距离为___.
1
【解析】直线平面,因此直线到平面的距离即点 到平面
的距离.
又 平面,且 .
点到平面 的距离为1.
故直线到平面 的距离为1.
释疑惑 重难拓展
知识点5 点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点
在平面内的射影（由一点向平面引垂线，垂足称为这一点在这个平面上的射影）位
置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题关键.一般来说，可以直接过一个点作
平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论
进行确定.
1.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射
影在这个角的平分线上.
. .
. .
2.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹
角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
3.对于三棱锥 ，有下列结论：
（1）若,则点在平面内的射影为 的外心.
（2）若点到棱，，的距离相等，且点的射影在 的内部，则
点在平面内的射影为 的内心.
（3）若,,则点在平面内的射影为 的垂心.
这些结论为确定点、斜线在平面内的射影的位置提供了重要的方法和依据，为
分析问题时的广泛联想提供了有力的支持.
典例详解
例5-6 (2025·江西省乐平市第三中学月考)已知是所在平面外一点， ，
，两两垂直，且在所在平面内的射影在内，则一定是
的( )
D
A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心
图11.4.1-6
【解析】过点作 平面，垂足为，连接 并延长，
交于，连接并延长，交于 ，如图11.4.1-6，
因为，，故 平面，故 .
因为 平面，故 ，
故 平面 .
故，即 .
同理可得 .
故是 的垂心．
点评 若条件改成侧棱与底面所成角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心.
题型解析
03
题型1 求异面直线所成的角
图11.4.1-7
例7 如图11.4.1-7，是平面外的一点，， ，
,分别为,的中点，且.则异面直线与 所成的
角的大小为_____．
图11.4.1-8
【解析】如图11.4.1-8，取的中点，连接,，在
中，是的中点，是 的中点，
.同理可得 （将两条异面直线平移为相交直
线）.
为异面直线与 所成的角（或其补角）．（异面直线
所成角的范围是 ）
在中，，又，， ，
，即异面直线与所成的角为 .
. .
. .
. .
. .
例8 (2025·山东省泰安第一中学期中)在正方体中，， 分别是
，的中点，则异面直线与 所成的角的大小为_____．
【解析】 如图11.4.1-9所示，连接，，并设它们相交于点 ，取
的中点，连接，，，则， ，（利用中位线作平行
线，将两条异面直线平移到一个三角形中，找异面直线所成的角）
图11.4.1-9
为异面直线与 所成的角（或其补角）．
（异面直线所成角 的范围是 ）
，为的中点， .
故异面直线与所成的角为 .
. .
. .
图11.4.1-10
如图11.4.1-10所示，连接，取的中点 ，连接
，则,且 ,
为异面直线与 所成的角（或其补角）．
连接，设，则, ,
取的中点，连接，，则 ，
，
， .
故异面直线与所成的角为 .
如图11.4.1-11，连接，分别取,的中点，，连接 .
,分别是, 的中点，
,又, .
连接,,, ,
则 ,
四边形 为平行四边形，
与必相交，设交点为 ,
则为异面直线与 所成的角（或其补角）.
. .
设,则,, ,
, .
故异面直线与所成的角为 .
图11.4.1-11
说明 POINT
事实上，不难得出四边形,为菱形，则，可知所求角为 .
图11.4.1-12
如图11.4.1-12，在正方体 的右
侧补上一个与其大小相等的正方体，连接 ，易得
，
就是异面直线与 所成的角（或其补角）.
设,则,, ,
， .
故异面直线与所成的角为 .
连接,则在平面上的射影为， 平面 ，
利用正方形的性质得 ，由三垂线定理（在解答题中使用三垂线定理需写出
证明过程）得， 异面直线与所成的角为 .
. .
求两条异面直线所成的角的一般步骤
【变式题】
1.(2025·天津市建华中学质检)已知直三棱柱中， ，
,，则异面直线与 所成角的余弦值为( )
C
A. B. C. D.
图D 11.4.1-1
【解析】如图D 11.4.1-1所示，将直三棱柱 补成直
四棱柱 ，其中四棱柱的底面为平行四边形,连
接，，则，所以 （或其补角）为异面
直线与所成的角.因为， ，所以
,.在中，易得 ，
，，由余弦定理得, ,则
，所以 ,
所以 .
题型2 线面垂直的判定
1 与平面图形伴随性质相关的垂直关系
所需要的证明两条相交直线垂直的条件，往往通过各自图形中的基于中点的伴随性
质（等腰三角形“三线合一”、菱形对角线互相垂直等）来提供.
例9 (新课标全国卷Ⅰ节选)如图11.4.1-13,三棱柱中,, ,
.证明: .
图11.4.1-13
【解析】取的中点,连接,, ,如图11.4.1-14所示.
图11.4.1-14
因为, ,
所以是正三角形,所以.因为,所以,又
（应用线面垂直判定定理时此条件不能省）,所以平面,而 平面
,所以 .
. .
2 基于平面图形本身的垂直关系
已知条件中有一个线面垂直，这个条件往往可以从空间角度来提供一个线线垂直，
因此只需从平面内找出两条直线满足互相垂直的关系，而考题中往往会提供本身具
备直角的图形（如直角三角形、矩形、直角梯形等）.
图11.4.1-15
例10 如图11.4.1-15，已知 底面，其中 .证
明： 平面 .
【解析】 底面， 平面 ，
，.又 ，且
平面， 平面， 平面 .
名师点评 本题中的几何模型是线面垂直中最经典的模型：鳖臑，
即四个面都为直角三角形的三棱锥,它是高考中的热点模型.
3 与平面图形数量关系相关的垂直关系
已知条件中对线面关系的描绘不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从
这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理．
图11.4.1-16
例11 (全国Ⅰ卷节选)如图11.4.1-16,为圆锥的顶点， 是圆锥底面
的圆心，为底面直径， 是底面的内接正三角
形，为上一点，.证明： 平面 .
【解析】设,由题设可得,,, .
因此,从而 .
又,故 .
又,, 平面 ，
所以 平面 .
利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
（1）在这个平面内找两条直线，证直线和这两条直线垂直；
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
（3）根据判定定理得出结论.
说明:证明垂直关系时，一般是本题型中几种垂直关系的综合应用，注意根据题目特
点灵活求解.
4 基于平行关系的线面垂直的证明问题
例12 (新高考全国Ⅰ卷节选)如图11.4.1-17，四棱锥的底面为正方形，
底面.设平面与平面的交线为.证明： 平面 .
图11.4.1-17
思路点拨 先利用线面垂直的判定定理证明 平面,再证明平面 ，
最后结合即可证得 平面 .
【解析】因为 底面，所以 .
又底面为正方形，所以 ,
因为,所以 平面 .
因为， 平面 ,
平面，所以平面 .
又平面 平面,所以 .
因此 平面 .
【变式题】
2.如图11.4.1-18，在四棱锥中，,，，且
平面，为棱的中点.证明:直线 平面 .
图11.4.1-18
【答案】取的中点，连接,因为,所以 ,
又 平面， 平面，所以 ，
又,所以 平面 .
连接，因为,分别为, 的中点，
所以,且 ,
又,且,则,所以四边形 是平行四边形，
所以,所以 平面 .
图11.4.1-19
3.如图11.4.1-19，为的直径，垂直于 所在的平面，
为圆周上任意一点，，点 为垂足.
（1）求证： 平面 ;
【答案】为的直径， .
又 平面, .
, 平面 .
又 平面, .
又,且, 平面 .
（2）若,垂足为点，证明： .
【答案】由（1）知 平面, 平面, .
,, 平面 .
又 平面, .
题型3 线面垂直的性质定理的应用
例13 在正方体中，点，分别在,上，, ,
证明： ．
【解析】如图11.4.1-20所示,连接，,, .
图11.4.1-20
， ，
．
又， ,
平面 ①．
平面， 平面 ， ．
四边形为正方形， ，
又， 平面 ，
而 平面， ．
同理可得 .
又， 平面 ②．
由①②可知 ．
名师点评 线面垂直的性质定理、空间平行线的传递性及线面平行的性质定理都是证
明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.
题型4 求直线与平面所成的角
图11.4.1-21
例14 (2025·广东省中山市质检)如图11.4.1-21，已知 在平面
内,是平面 的斜线,且 ,
,.则与平面 所成的角的大小为
_____.
【解析】如图11.4.1-22，连接, .
图11.4.1-22
, ,
,为正三角形， ，
又， 为等腰直角三角形.
, ,
为等腰直角三角形.
取的中点，连接, ，
则 ,
易得, ,（由 亦可得
）
. .
又, 平面 , 平面 ， 平面 ,为与平面
所成的角.
在中， ,
, ,
（【注意】线面角 的范围是 ）
即与平面 所成的角为 .
例15 (天津高考题节选)如图11.4.1-23，已知 平面, ，
，，,,点和分别为和 的中点.
图11.4.1-23
（1）求证：平面 ;
【解析】如图11.4.1-24，连接.在中，因为点和分别是和 的中点，
所以.又 平面,所以平面 .
图11.4.1-24
（2）求直线与平面 所成角的大小.
【解析】如图11.4.1-24，取的中点和的中点，连接,, .
图11.4.1-24
因为和分别为和 的中点，
所以,,故且 ，
所以四边形为平行四边形，所以，且 .
因为,为的中点，所以， .
因为 平面,,所以易证得 平面 .
因为 平面，所以, ,
又,所以 平面 ,
从而为直线与平面 所成的角.
在中，可得，所以 .
因为，,所以四边形为平行四边形，则 ,
，又由，得 .
在中，可得 .
在中, ,
因此 .
所以直线与平面所成角的大小为 .
图11.4.1-24
名师点评 求解第（2）小问的关键是找出直线在平面内的射影.
求直线与平面所成的角的一般步骤
【变式题】
4.如图，在直三棱柱中,,, ,
,是线段的中点，是侧棱上的一点，若,则 与底面
所成的角的正切值为__.
图11.4.1-25
【解析】取的中点,连接,,则易证 平面, .又
，, 平面, 平面, 平面 ,
.
在矩形中，易得 ,
, .
平面,是与底面 所成的角，
在中， .
故与底面所成的角的正切值为 .
题型5 求点到平面的距离
例16 已知在中，,.是 所在平面外一点，
,,点是的中点，则点到平面 的距离为_ __.
图11.4.1-26
【解析】 （直接法） 如图11.4.1-26，连接, ，易
知,.分别取,的中点,,连接,， ,则
, .
, .
, 平面, .
易证, .
又是的中点， .
, 平面 .
从而的长就是点到平面 的距离.
是 的中点，
在中， ,（直角三角形斜边上的中线长度是斜边长度的一
半）
,
，
即点到平面的距离为 .
. .
图11.4.1-27
（转化法） 如图11.4.1-27，过点作 的平行线，过
点作的平行线，两直线交于点 .
,, 四边形 为正方形.
连接 .
易知 ,
又, ,
平面， .
易知，又, ,
平面, .
, 平面 .
的长即点到平面 的距离.
在中，易得 .
点为 的中点,
点到平面的距离为 .
图11.4.1-28
（等体积法）如图11.4.1-28，取的中点 ，连接
， .
在中，, ,
,
故 为等腰直角三角形，
,，在中，, ,
，又, 平面, 平面, 平面 .
在中，，，， 由余弦定理
的推论得 ,
,
,
.
设点到平面的距离为，则 ，
.
点为 的中点，
点到平面的距离为 .
例17 (2025·广东省广州市第五中学段考)已知为矩形所在平面外一点， 平
面,为的中点，,，，则点到平面 的距离为___.
【解析】如图11.4.1-29，在平面内作,垂足为，连接 .
图11.4.1-29
平面, 平面 ,
,又, 平面 .
连接，则 .
在中， .
在中， .
为 的中点,
点与点到平面 的距离相等.
设点到平面的距离为 .
,
, ,
由,得 ，
.
故点到平面的距离为 .
求点到平面的距离的方法
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的
距离.求点到平面的距离一般采用以下三种方法：
一是直接作出点到平面的垂线，当该点到已知平面的垂线不易作出时，可转化为过
与已知平面等距离的点作垂线，然后计算；
二是通过补形进行转化，转化为易于求解的点；
三是采用等体积法.
【变式题】
图11.4.1-30
5.如图11.4.1-30,在四棱锥中，底面 为平行四边
形. ,, 底面 .
（1）证明： ；
【答案】因为 , ,由余弦定理得
,从而,故 .
又 底面，所以，又 ，
所以 平面,故 .
（2）设，求棱锥 的高.
【答案】由已知条件及（1）知，，，又 ，
所以 平面，因为底面 为平行四边形，
所以,所以 平面，所以 .
设点到平面的距离为，则由 可知，
,即 .
在中，可得，在中，可得 ，
故,故棱锥的高为 .
新考法 数学文化
图11.4.1-31
例18 九章算术 堑堵&阳马&鳖臑 [多选题](2025·上海市同济大
学第二附属中学期中)《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧
棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂
直于底面的四棱锥称为“阳马”，将四个面均为直角三角形的四面
体称为“鳖臑”．如图11.4.1-31，在堑堵 中，
，且 ．下列说法正确的是( )
ABD
A.四棱锥 为“阳马”
B.四面体 为“鳖臑”
C.四棱锥体积的最大值为
D.过点分别作于点，于点，则
【解析】A选项，在堑堵中，，侧棱 平面 ，又
平面,，又， 平面, 平面
, 平面 ，
四棱锥 为“阳马”，故A正确.
B选项，由 平面,且 平面,可得 ，又
，且， 平面, 平面 ，
平面，，则 为直角三角形，
又由 平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得 为
直角三角形，为直角三角形， 四面体 为“鳖臑”，故B正确.
C选项，在中，，即 ，当且仅当
时取等号，
,
四棱锥体积的最大值为 ,故C错误.
D选项， 平面， 平面 ，
，又，且， 平面, 平面 ,
平面 ，
，又，且， 平面, 平面 ,
平面，则 ，故D正确.
高考考向分析
04
考情揭秘
垂直关系是立体几何中一种重要的空间位置关系,高考对线面垂直判定定理的考查频
率较高,试题属于中档题.对于空间角的计算也是高频考点,在选择、填空题中求解异
面直线夹角、线面角问题,关键是在直观图中作出角，然后利用解三角形知识求角,要
重视常见模型（正方体、长方体、鳖臑）中的线面垂直关系,在解答题中求解线面角
问题,通常用选择性必修第一册中的空间向量知识求解.
考向1 异面直线所成的角
例19 (2025·上海春季)已知是一个圆锥的顶点，母线 ，该圆锥的底面半径是
1，，均在圆锥的底面上，则异面直线与 所成角的最小值为__.
图11.4.1-32
【解析】 如图11.4.1-32，设点在底面的射影为，则
为底面圆的圆心，连接,，则.因为点, 为圆锥底面
上两点，所以由最小角定理可知，当直线与直线 在底面上
的射影平行时，异面直线与所成的角 最小，
，在中， ，所以
，即异面直线与所成角的最小值为 .
由题意易知，圆锥的轴截面是正三角形，所以母线 与圆锥的底面所成
角的大小为，又， 均在圆锥的底面上，所以由线面角的定义及最小角定理可知，
异面直线与所成角的最小值为 .
名师点评 （1）最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，是
这条斜线和平面上任意直线所成的角中最小的角.
（2）圆锥相关结论：若圆锥的轴截面是正三角形，则它的母线与底面所成角的大小
是 .
例20 (全国乙卷)在正方体中，为的中点，则直线与
所成的角为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 如图11.4.1-33所示，连接,，易知 ，所以异面直
线与所成角等于 的大小.（借助“平移”，可将异面直线所成角等价转化
为相交直线的夹角）设正方体的棱长为1，则易知,, ，所以
，所以，即 .
又，所以 .
（【另解】已知三边长，也可用余弦定理求角）
图11.4.1-33
图11.4.1-34
如图11.4.1-34所示，连接,,, ，易知
，所以异面直线与所成角等于 的大小.
根据为正方形的对角线的中点，易知,,
三点共线.
由正方体易知，所以 为等边三角
形，所以 .
又为的中点，所以 .（结合图形，
将所求角转化为等边三角形的某个内角的一半）
命题 探源 本题的出题意图是让同学们运用立体几何知识，求解异面直线所成角，考查 了同学们的空间想象能力、运算求解能力.一般地，求解异面直线所成角的关 键在于充分运用数形结合思想，借助直线与直线平行，将求异面直线所成角 转化为求解三角形的某个内角的大小，再灵活运用解三角形的知识进行计算. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 通过解三角形实现对数学运算素养的考查.
直观想象 通过作辅助线、平移实现对直观想象核心素养的考查.
考向2 线线垂直与线面垂直的相关问题
1 以垂直为背景的判断与证明问题
例21 ［多选题］(2025· 全国一卷)在正三棱柱中，为 的中点，则
( )
BD
A. B. 平面
C. D.平面
图11.4.1-35
【解析】如图11.4.1-35，由三棱柱的性质可知， 平面 ，
则,假设,因为,, 平
面,所以 平面,所以,与 为正三
角形矛盾，所以与 不垂直.故A错误.
因为三棱柱是正三棱柱，所以 平面，则，因为
为的中点，,所以 ，又
，, 平面，所以 平面，又 ，所以
平面 .故B正确.
，与相交，所以与 异面.故C错误.
， 平面， 平面，所以平面 .故D正确.
例22 (2023·全国甲卷节选) 如图11.4.1-36，在三棱柱中， 平面
， ，，到平面的距离为1.证明： .
图11.4.1-36
图11.4.1-37
【解析】第一步：作辅助线
如图11.4.1-37，过作，垂足为 ，
第二步：根据已知条件由直线与平面垂直的性质得到直线与直
线垂直
平面， 平面， ，
第三步：根据直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，
进而得到直线与直线垂直
又 ， ，
, 平面,且 ,
平面 ，
平面, ，
第四步：根据直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直
又, 平面，且 ，
平面， .
第五步：根据垂直关系以及三棱柱的性质得结论
由已知条件易证 是直角三角形，
又,，为 的中点，
又, ，
又在三棱柱中， ，
.
图11.4.1-38
例23 (2024· 新课标Ⅱ卷节选)如图11.4.1-38，平面四边形
中, ,，, ， ，
点, 满足，.将沿翻折至 ，
使得.证明: .
【解析】因为,，又 ,所以由余弦定理得
，故 .
又，所以 .
由及翻折的性质知, ,
又，， 平面，所以 平面 .
又 平面，所以 .
素养探 源 素养 考查途径
直观想象 通过题图中的线面位置关系以及由图想图来进行考查.
逻辑推理 通过线面垂直的判定定理以及线面平行的判定定理来进
行考查.
变式探源 (2023· 新课标Ⅱ卷节选)如图11.4.1-39，三棱锥 中，
,, ，为的中点.证明： .
图11.4.1-39
图11.4.1-40
【解析】如图11.4.1-40，连接,,因为,且 为
的中点,所以 .
因为 ,， ,所以
.
可得,故 .
因为,, 平面 ,
所以 平面 .
又 平面,所以 .
2 与垂直有关的求体积、面积问题
图11.4.1-41
例24 (2024·北京)如图11.4.1-41，在四棱锥 中，
底面是边长为4的正方形， ,
,该棱锥的高为( )
D
A.1 B.2 C. D.
图11.4.1-42
【解析】因为，所以 为正三角
形，因为，所以 .如图11.4.1-
42，分别取,的中点,，连接,, ，则
,,，于是 ，所
以.过点作，垂足为．易知 ,
由，得 ．（等面积法的应用）
，, 平面，且，所以 平面．又 平
面，所以．又，, 平面， ，所以
平面，所以为四棱锥 的高. （通过线面垂直确定四棱锥的高）
例25 (2023·全国甲卷)已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
， ，则 面积为( )
C
A. B. C. D.
图11.4.1-43
【解析】如图11.4.1-43，过点作 平面 ，垂足为
，取的中点,的中点,连接，，, .由
，得,又,,所以
平面,又 平面,所以.在正方形
中,,所以,,三点共线，所以 ,所以
,所以.在 中，由余弦定理，得
，所以.在 中，由余弦定
理，得
,所以 ,所以
.
考向3 直线与平面所成的角
例26 (2024·新课标全国Ⅱ卷)已知正三棱台的体积为， ，
，则与平面 所成角的正切值为( )
B
A. B.1 C.2 D.3
图11.4.1-44
【解析】 如图11.4.1-44,分别取,的中点, ，
连接,,,则, ，
可知 ,
.
设正三棱台的高为 ，
则 ，
解得 .
过,作底面垂线，垂足分别为,，设，在上.设 ，
则 ，
，
可得 ，
结合四边形为等腰梯形,可得 ,即
，解得 ，
所以与平面所成角的正切值 .
图11.4.1-45
将正三棱台补成正三棱锥 ，
如图11.4.1-45,
则与平面所成的角即为与平面 所成的角.
因为，则 ，
可知，则 ，
设正三棱锥的高为 ，则
，解得 .
取底面的中心为，连接,,则 底面，且，
的长是对应中线长的
所以与平面所成角的正切值 .
. .
例27 (2022·全国甲卷)在长方体中,已知与平面 和平面
所成的角均为 ，则( )
D
A. B.与平面所成的角为
C. D.与平面所成的角为
图11.4.1-46
【解析】如图11.4.1-46，连接,易知是直线 与平面
所成的角，所以在中， ，设
，则， .易知
是直线与平面所成的角，所以在
中， ，因为，所以 ,
，所以在中， ，所以A
项错误.易知是直线与平面所成的角，所以在 中，
，所以 ，所以B项错误.在
中，，而 ，所以C项错误.
易知是直线与平面所成的角，因为在 中，
，所以 ，所以D项正确．故选D.
考向4 点到平面的距离
例28 (2024·全国甲卷)如图11.4.1-47，已知， ，
，，，，为 的中点.
图11.4.1-47
（1）证明:平面 ;
【解析】由题意得，，且,所以四边形 是平行四边形，所以
.
又 平面, 平面,所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
图11.4.1-48
【解析】如图11.4.1-48，取的中点,连接, ，因为
，且，所以四边形 是平行四边形，所以
，又 ，
故是等腰三角形，同理 是等腰三角形，
可得,, ,
,
又，所以，故 .
又，, 平面, 平面，所以 平面
.
易知 .
在中， ，
所以， .
设点到平面的距离为,由,得 ，得
,
故点到平面的距离为 .
高考新题型专练
图11.4.1-49
1.［多选题］(2022·新高考全国Ⅱ卷)如图11.4.1-49，四
边形为正方形，平面, ,
.记三棱锥,,
的体积分别为,, ，则( )
CD
A. B.
C. D.
图D 11.4.1-2
【解析】如图D 11.4.1-2，连接，交于，连接, ．设
，则， ．因
为 平面，，所以 平面 ，所以
，又，且，, 平面，所以 平面
．因为, 平面，所以, ．易知
，
．因为 平面， 平面 ，所以
，， ，
，
，所以
，所以，又，, 平面 ，所以
平面 ，所以
，所
以，，， ，所以选项A，B不正确，选项C，D
正确，故选 ．
2.［多选题］(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知正方体 ,则( )
ABD
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为
D.直线与平面所成的角为
【解析】如图D 11.4.1-3，连接，在正方形中， ，
图D 11.4.1-3
因为，所以，所以直线与所成的角为 ,故A正确.
在正方体中， 平面，又 平面 ，所以
，连接,则，因为，， 平面 ，
所以 平面，又 平面，所以，所以直线 与
所成的角为 ,故B正确.
连接，交于点，则易得 平面，连接,因为 平面
，所以，为直线与平面 所成的角．设正方体的
棱长为，则易得,，所以在中， ,所以
,故C错误.
因为 平面，所以为直线与平面 所成的角，易得
，故D正确．故选 ．
知识测评
05
建议时间：30分钟
图11.4.1-1
1.(2025·湖北省武汉市第四十九中学月考)如图11.4.1-1,如果
菱形所在平面,那么与 的位置关系是( )
C
A.平行 B.垂直且相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
【解析】因为是菱形,所以.又 平面,则 .因为
,所以 平面,又 平面,所以.显然直线 与
直线不共面,因此直线与 的位置关系是垂直但不相交.
图11.4.1-2
2.如图11.4.1-2，在正方体中，点, 分
别在棱,上，则“直线 直线”是“直线
平面 ”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】（充分性）连接，因为在平面 上的射
影为，且，所以，若 ，
，， 平面，则 平面
.
（必要性）若直线 平面，因为 平面，所以 .
所以“直线 直线”是“直线 平面 ”的充要条件．
3.(2025·四川省眉山市期中)已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，
则直线与侧面 所成角的正弦值等于( )
A
A. B. C. D.
图D 11.4.1-1
【解析】如图D 11.4.1-1所示，取的中点,连接, ,则易
证得 平面,即直线与平面 所成
的角.不妨设正三棱柱的棱长为2，则在 中，
,故选A.
图11.4.1-3
4.［多选题］ (2025·山东省安丘市青云学府开学考试)如图
11.4.1-3所示，垂直于以为直径的圆所在的平面， 为圆
上异于， 的任一点，则下列结论中正确的是( )
AC
A. B.
C. 平面 D.
【解析】由 平面，可得，故A正确；因为
为圆上异于，的任一点，可得，又 ，
，所以 平面，故C正确；由 平面，可得 ，
故D错误；若，又，，则 平面，则 ，
这与直角三角形中为锐角矛盾，故B错误．故选 ．
5.如图11.4.1-4，正方体中，，分别为棱， 的中点，则
异面直线与 所成角的余弦值是__．
图11.4.1-4
图D 11.4.1-2
【解析】取的中点，连接，， ，如图D 11.4.1-2
所示，
，且， 四边形 为平行四边形，
,又,
,
四边形 为平行四边形， ，
异面直线与所成角为 或其补角，设正方体的棱长
为2，则,, ,在 中，
由余弦定理可得 .
6.［开放题］ 如图11.4.1-5，在三棱柱中，已知 面 ，
，当底面满足___________________________时，有
（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
（答案不唯一）
图11.4.1-5
【答案】当底面满足时，有 ．
理由如下：
连接, 面， ，
四边形是正方形， ，
， ．
又，，， 平面 ，
平面 ，
， 平面 ，
平面， ，
, 平面， 平面， .
故当底面满足时，有 ．
图11.4.1-6
7.(2025·江西省南昌市期末)如图11.4.1-6所示，在三棱锥
中， 平面，，为 的中
点，垂直平分，且分别交，于点, .
（1）证明：平面 ；
【答案】垂直平分， 点为 的中点.
又点为的中点，为的中位线， .
平面, 平面 ，
平面 .
（2）证明： .
【答案】如图D 11.4.1-3，连接 .
图D 11.4.1-3
，点为 的中点，
，
垂直平分， ，
又，, 平面 ，
平面 .
平面， .
平面, 平面， .
又，, 平面， 平面 .
平面， .
8.新情境 九章算术 (2025·浙江省宁波市期中)《九章算术》中，将底面为长方形且
有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称
之为鳖臑．某博览会的展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图11.4.1
-7所示，在阳马中， 底面 ．
图11.4.1-7
（1）已知，斜梁与底面所成角为 ，求立柱 的长．
【答案】 侧棱 底面 ，
侧棱在底面上的射影是 ，
是侧棱与底面所成角， .
在中， ， ，
由，得，解得 ，
立柱的长为 ．
（2）求证：四面体 为鳖臑．
【答案】由题意知底面是长方形， 是直角三角形，
侧棱 底面，，， ，
， 是直角三角形，
，，， 平面 ，
平面，， 是直角三角形，
四面体 为鳖臑．
高考模拟
06
建议时间：45分钟
图11.4.1-8
9.如图11.4.1-8，三棱柱中， 平面 ，
．则下列两条直线中，不互相垂直的是( )
B
A.和
B.和
C.和
D.和
【解析】对于A，因为 平面， 平面，所以 ；对于C，
因为，，且，, 平面,所以 平
面，又 平面，则；对于D，因为 平面 ，
，所以 平面，所以，又，且 ，
, 平面，所以 平面，又 平面 ，所以
.选B．
图11.4.1-9
10.(2025·四川省成都市期末)如图11.4.1-9，正方体
的棱长为2，点为底面的中心，点 在
侧面的边界及其内部运动．若，则 的
面积的最大值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正方体的性质知，当位于点时,,当位于的中点 时，由
已知得,,,, ,求得
，, ,
得.又,连接,, 平面, 平面 ，
得到的点的轨迹为线段.由,可知 为锐角，而
，知到棱的距离的最大值为.则 的面积的最大值为
.故选C.
图11.4.1-10
11.［多选题］ (2025·辽宁省朝阳市期末)如图11.4.1-10，
为正方体，下面结论中正确的是( )
ABD
A. 平面
B. 平面
C.与平面所成角的正切值是
D.过点与异面直线与成 角的直线有2条
图D 11.4.1-4
【解析】连接,如图D 11.4.1-4，在正方体
中， 平面 ，
又 平面 ，
则 ，
又， ，
平面 ，故A正确.
在正方体中， 平面，则 ，
又，且， 平面，得 ，同理可得
，又， 平面 ，故B正确.
由 平面，得为与平面 所成角，其正切值为
，故C错误.
易知异面直线与成 角， 把两直线平移至经过点 ，可知两直线所成角
为 ，则把 角的平分线旋转,有两条能与直线与成 角的直线，其他
情况不存在，
故过点与异面直线与成 角的直线有2条，故D正确．
故选 ．
12.(全国Ⅰ卷)已知 ,为平面外一点，,点到两边,
的距离均为，那么到平面 的距离为____.
图D 11.4.1-5
【解析】如图D 11.4.1-5，过点分别作交于点 ，作
交于点.由题意知.过点作 平面
于点，连接，,，易知，则点在
的平分线上，又 ，故 为等腰直角三角形.在
中，，，则，故 ,在
中，可得，即点到平面的距离为 .
图11.4.1-11
13.新考法 结构不良 (2026·重庆市彭水第一中学开
学考试)如图11.4.1-11（1），平面四边形 中，
，， ，将
沿 边折起如图11.4.1-11（2），使_______，
点，分别为， 的中点．
在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此
（1）证明：直线平面 ；
【答案】因为，分别为，的中点，所以 ，
又 平面, 平面,所以直线平面 .
题：；为四面体外接球的直径； 平面 ．
（2）判断直线与平面 的位置关系，并说明理由．
【答案】直线 平面 ,理由如下.
选 ，
在中，，，则 ，
又，，则 .
又，， 平面 ，
，又，， 平面 .
又，分别为，的中点，，则 平面 .
选为四面体 外接球的直径，
则 ， ，
又，， 平面 ，
，分别为，的中点，，则 平面 .
选 平面，则，又， ，
平面 ，
，分别为，的中点，，则 平面 .
14.(全国Ⅰ卷)如图11.4.1-12，直四棱柱的底面是菱形， ，
， ，，，分别是,， 的中点.
图11.4.1-12
（1）证明：平面 ；
图D 11.4.1-6
【答案】如图D 11.4.1-6，连接,.因为,分别为,
的中点,所以，且 .
又为的中点，所以 .
由题设知,则四边形 为平行四边形，
可得,故，
因此四边形 为平行四边形，所以 .
又 平面，所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
图D 11.4.1-6
【答案】 如图D 11.4.1-6，过作的垂线，垂足为 .
由已知可得，，,所以 平
面，故 .
又,从而 平面 ，
故的长即到平面 的距离.
由已知可得,,所以，故 .
从而点到平面的距离为 .
由，,可得,由,,可得 ,
由，，可得，则 ,所以
,.设点 到平面
的距离为,则由可得， ,解得
,即点到平面的距离为 .
图11.4.1-13
15.(2026·四川省平武中学开学考试)如图11.4.1-13，在四棱锥
中，底面是平行四边形， , ,
,,,分别为,的中点，, .
（1）证明: ;
【答案】在中，,, ,
由余弦定理可得,又，所以 .
因为,,且， 平面,所以
平面，因此 .
因为，所以 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
图D 11.4.1-7
【答案】如图D 11.4.1-7所示，连接，交于点,过 作
，交于点,过点作，交于点，连接 .
由（1）知 平面，所以 平面 .
故是直线与平面 所成的角.
由（1）知,又,,且, 平
面,所以 平面 .
连接,在平行四边形中，, （可利用余弦定理求得）.
在中，由,得 .
在中，由，得 .
. .
在中，由,,,得
（由余弦定理可得， ,所以
，从而求得 ）.
在平行四边形中，（由 可得）,所以
,
故, .
在中， .
因此，直线与平面所成角的正弦值为 .
. .
. .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 直线与直线所成角
1 异面直线所成的角
如图11.4.1-1所示，, 是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作
与,平行或重合的直线,,则与所成角的大小，称为异面直线与 所成角
（称为异面直线与 的夹角）的大小.
图11.4.1-1
. .
知识剖析 1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即
把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.
2.习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角
的角的大小.
3.在定义中,空间一点 是任取的,根据空间等角定理,可以判定异面直线所成的角
与,所成的锐角（或直角）相等,角的大小与点的位置无关.为了简便，点 常取
在两条异面直线中的一条上.
2 异面直线所成的角的范围
说明 POINT
为了方便起见，规定空间中两条平行直线所成角的大小为 .
异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即 的范围是 .
（注意区分异面直线所成角的范围与空间两条直线所成角的范围，后者为
）
3 空间两直线垂直的定义
空间中两条直线,所成角的大小为 时，称与垂直，记作 .显然，若
且,则一定有 .
（【注意】空间中两条直线垂直，包括相交垂直和异面垂直）
. .
典例详解
例1-1 [教材改编P112 尝试与发现] 在正方体中，求直线 与
所成的角.
【解析】如图11.4.1-3，连接, .
图11.4.1-3
因为,所以直线与所成的角即直线与 所成的角.
又，所以为正三角形，所以直线与 所成的角为
，
即直线与所成的角为 .
例1-2 已知三条直线两两垂直，则下列说法正确的是( )
C
A.这三条直线必共点 B.其中必有两条直线不同在任一平面内
C.三条直线不可能在同一平面内 D.其中必有两条直线在同一平面内
【解析】三条直线两两垂直的情况共有三种：
（1）三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内;
（2）三条直线中只有两条相交，此时只有这两条在同一平面内;
（3）三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直
线不在同一平面内.
因此，只有C选项是正确的.
知识点2 直线与平面垂直及其判定定理
1 直线与平面垂直的充要条件
自然语言 图形语言 符号语言
. .
知识剖析 1.定义中的“任意直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同.定
义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直.
2.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况.
3.运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一
个平面内的任意直线都垂直”，若在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这
条直线与这个平面不垂直.
4.画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直.
. .
2 直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线垂直，则这条直 线与这个平面垂直.
简述为若线线垂直，则线面垂直. 知识剖析（1）判定定理中，平面内的“两条相交直线”是关键性词语，它不能是“一
条直线”或“两条平行直线”，也不能是“无数条直线”，它是定义中“任意直线”的简化.
（2）要证一条已知直线与一个平面垂直，只需在该平面内找到两条相交直线与
已知直线垂直即可，至于这两条直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.
典例详解
例2-3 [教材改编P118 T2]［多选题］下列命题中正确的是( )
BD
A.若直线与平面 内的无数条直线垂直，则
B.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内
C.若直线不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线
D.若直线与平面内所有的直线都垂直，则
图11.4.1-4
【解析】如图11.4.1-4所示，直线与 内的无数条直线垂直，但
与 斜交，故A不正确；由直线与平面垂直的定义知，B正确；
同样由图可得,不垂直于 ，但 内有与 垂直的直线，且这样的
直线有无数条，故C不正确；由直线与平面垂直的定义可以知D
正确.
点评 对于本题A选项，除解析中给出的与 斜交外，与 平行或在 内时，
都可以与 内的无数条直线垂直，同学们可以尝试画出示意图.
知识点3 直线与平面垂直的性质
自然语言 图形语言 符号语言
结论 如果两条平行直线中,有一条直线 垂直于一个平面,那么另一条直线 也垂直于这个平面.
线面垂直 的性质定 理 如果两条直线垂直于同一个平面, 那么这两条直线平行.
说明 结论和线面垂直的性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起，完成了
平行关系与垂直关系的相互转化.
典例详解
例3-4 已知直线垂直于的边和，另一条直线垂直于的边 和
,则直线， 的位置关系是( )
A
A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直
【解析】因为直线垂直于的边和，,所以直线 垂直于平面
,同理可得直线垂直于平面,根据线面垂直的性质定理得 .
知识点4 直线与平面垂直的应用
1 直线与平面所成的角
图11.4.1-2
（1）斜线与斜足：如图11.4.1-2，如果是平面 外一点，
是平面 内一点，且与 不垂直，则称是平面 的斜线段
（类比垂线段学习）（相应地，直线称为平面 的斜线），
称 为斜足.
（2）斜线在平面上的射影：过平面 外同一点向平面 引
垂线段与斜线段，则垂足与斜足之间的线段 称为斜线
段在平面 内的射影，直线称为直线在平面 内的射影.
. .
（3）直线与平面所成的角：斜线与它在平面上的射影所成的角称为这条直线与
这个平面所成的角，如图11.4.1-2，为与平面 所成的角.
（4）直线与平面所成的角 的范围是 ，当直线在平面内或与平面
平行时，直线与平面所成角为 ，当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为 .
. .
2 有关距离问题
（1）利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进
而得到几何体的体积等.
（2）直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是
通过点到平面的距离来定义的，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与
平面的距离，以及两平行平面之间的距离.
3 三垂线定理及其逆定理
定理：平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.（教材链接：第117页例4）
逆定理：平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影.（教材链接：第118页练习B第5题）
. .
典例详解
例4-5 在正方体中， ，
（1）直线与平面 所成的角的大小为_____；
【解析】由线面角定义知，为与平面所成的角，易得 .
（2）直线与平面 所成的角的大小为_____；
【解析】在正方体中，易证得， ，又
,
平面，即与平面所成的角的大小为 .
（3）直线与平面 所成的角的大小为_____；
图11.4.1-5
【解析】如图11.4.1-5，连接，设，连接 ,则
易证平面 ，
在平面内的射影为 ，
与平面所成的角为 .
，
.
（4）直线到平面 的距离为___.
1
【解析】直线平面,因此直线到平面的距离即点 到平面
的距离.
又 平面,且 .
点到平面 的距离为1.
故直线到平面 的距离为1.
释疑惑 重难拓展
知识点5 点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点
在平面内的射影（由一点向平面引垂线，垂足称为这一点在这个平面上的射影）位
置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题关键.一般来说，可以直接过一个点作
平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论
进行确定.
1.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射
影在这个角的平分线上.
. .
. .
2.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹
角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
3.对于三棱锥 ，有下列结论：
（1）若,则点在平面内的射影为 的外心.
（2）若点到棱，，的距离相等，且点的射影在 的内部，则
点在平面内的射影为 的内心.
（3）若,,则点在平面内的射影为 的垂心.
这些结论为确定点、斜线在平面内的射影的位置提供了重要的方法和依据，为
分析问题时的广泛联想提供了有力的支持.
典例详解
例5-6 (2025·江西省乐平市第三中学月考)已知是所在平面外一点， ，
，两两垂直，且在所在平面内的射影在内，则一定是
的( )
D
A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心
图11.4.1-6
【解析】过点作 平面，垂足为，连接 并延长，
交于，连接并延长，交于 ，如图11.4.1-6，
因为，，故 平面，故 .
因为 平面，故 ，
故 平面 .
故，即 .
同理可得 .
故是 的垂心．
点评 若条件改成侧棱与底面所成角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心.
题型解析
03
题型1 求异面直线所成的角
图11.4.1-7
例7 如图11.4.1-7，是平面外的一点，， ，
,分别为,的中点，且.则异面直线与 所成的
角的大小为_____．
图11.4.1-8
【解析】如图11.4.1-8，取的中点，连接,，在
中，是的中点，是 的中点，
.同理可得 （将两条异面直线平移为相交直
线）.
为异面直线与 所成的角（或其补角）．（异面直线
所成角的范围是 ）
在中，，又，， ，
，即异面直线与所成的角为 .
. .
. .
. .
. .
例8 (2025·山东省泰安第一中学期中)在正方体中，， 分别是
，的中点，则异面直线与 所成的角的大小为_____．
【解析】 如图11.4.1-9所示，连接，，并设它们相交于点 ，取
的中点，连接，，，则， ，（利用中位线作平行
线，将两条异面直线平移到一个三角形中，找异面直线所成的角）
图11.4.1-9
为异面直线与 所成的角（或其补角）．
（异面直线所成角 的范围是 ）
，为的中点， .
故异面直线与所成的角为 .
. .
. .
图11.4.1-10
如图11.4.1-10所示，连接，取的中点 ，连接
，则,且 ,
为异面直线与 所成的角（或其补角）．
连接，设，则, ,
取的中点，连接，，则 ，
，
， .
故异面直线与所成的角为 .
如图11.4.1-11，连接，分别取,的中点，，连接 .
,分别是, 的中点，
,又, .
连接,,, ,
则 ,
四边形 为平行四边形，
与必相交，设交点为 ,
则为异面直线与 所成的角（或其补角）.
. .
设,则,, ,
, .
故异面直线与所成的角为 .
图11.4.1-11
说明 POINT
事实上，不难得出四边形,为菱形，则，可知所求角为 .
图11.4.1-12
如图11.4.1-12，在正方体 的右
侧补上一个与其大小相等的正方体，连接 ，易得
，
就是异面直线与 所成的角（或其补角）.
设,则,, ,
， .
故异面直线与所成的角为 .
连接,则在平面上的射影为， 平面 ，
利用正方形的性质得 ，由三垂线定理（在解答题中使用三垂线定理需写出
证明过程）得， 异面直线与所成的角为 .
. .
求两条异面直线所成的角的一般步骤
【变式题】
1.(2025·天津市建华中学质检)已知直三棱柱中， ，
,，则异面直线与 所成角的余弦值为( )
C
A. B. C. D.
图D 11.4.1-1
【解析】如图D 11.4.1-1所示，将直三棱柱 补成直
四棱柱 ，其中四棱柱的底面为平行四边形,连
接，，则，所以 （或其补角）为异面
直线与所成的角.因为， ，所以
,.在中，易得 ，
，，由余弦定理得, ,则
，所以 ,
所以 .
题型2 线面垂直的判定
1 与平面图形伴随性质相关的垂直关系
所需要的证明两条相交直线垂直的条件，往往通过各自图形中的基于中点的伴随性
质（等腰三角形“三线合一”、菱形对角线互相垂直等）来提供.
例9 (新课标全国卷Ⅰ节选)如图11.4.1-13,三棱柱中,, ,
.证明: .
图11.4.1-13
【解析】取的中点,连接,, ,如图11.4.1-14所示.
图11.4.1-14
因为, ,
所以是正三角形,所以.因为,所以,又
（应用线面垂直判定定理时此条件不能省）,所以平面,而 平面
,所以 .
. .
2 基于平面图形本身的垂直关系
已知条件中有一个线面垂直，这个条件往往可以从空间角度来提供一个线线垂直，
因此只需从平面内找出两条直线满足互相垂直的关系，而考题中往往会提供本身具
备直角的图形（如直角三角形、矩形、直角梯形等）.
图11.4.1-15
例10 如图11.4.1-15，已知 底面，其中 .证
明： 平面 .
【解析】 底面， 平面 ，
，.又 ，且
平面， 平面， 平面 .
名师点评 本题中的几何模型是线面垂直中最经典的模型：鳖臑，
即四个面都为直角三角形的三棱锥,它是高考中的热点模型.
3 与平面图形数量关系相关的垂直关系
已知条件中对线面关系的描绘不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从
这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理．
图11.4.1-16
例11 (全国Ⅰ卷节选)如图11.4.1-16,为圆锥的顶点， 是圆锥底面
的圆心，为底面直径， 是底面的内接正三角
形，为上一点，.证明： 平面 .
【解析】设,由题设可得,,, .
因此,从而 .
又,故 .
又,, 平面 ，
所以 平面 .
利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
（1）在这个平面内找两条直线，证直线和这两条直线垂直；
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
（3）根据判定定理得出结论.
说明:证明垂直关系时，一般是本题型中几种垂直关系的综合应用，注意根据题目特
点灵活求解.
4 基于平行关系的线面垂直的证明问题
例12 (新高考全国Ⅰ卷节选)如图11.4.1-17，四棱锥的底面为正方形，
底面.设平面与平面的交线为.证明： 平面 .
图11.4.1-17
思路点拨 先利用线面垂直的判定定理证明 平面,再证明平面 ，
最后结合即可证得 平面 .
【解析】因为 底面，所以 .
又底面为正方形，所以 ,
因为,所以 平面 .
因为， 平面 ,
平面，所以平面 .
又平面 平面,所以 .
因此 平面 .
【变式题】
2.如图11.4.1-18，在四棱锥中，,，，且
平面，为棱的中点.证明:直线 平面 .
图11.4.1-18
【答案】取的中点，连接,因为,所以 ,
又 平面， 平面，所以 ，
又,所以 平面 .
连接，因为,分别为, 的中点，
所以,且 ,
又,且,则,所以四边形 是平行四边形，
所以,所以 平面 .
图11.4.1-19
3.如图11.4.1-19，为的直径，垂直于 所在的平面，
为圆周上任意一点，，点 为垂足.
（1）求证： 平面 ;
【答案】为的直径， .
又 平面, .
, 平面 .
又 平面, .
又,且, 平面 .
（2）若,垂足为点，证明： .
【答案】由（1）知 平面, 平面, .
,, 平面 .
又 平面, .
题型3 线面垂直的性质定理的应用
例13 在正方体中，点，分别在,上，, ,
证明： ．
【解析】如图11.4.1-20所示,连接，,, .
图11.4.1-20
， ，
．
又， ,
平面 ①．
平面， 平面 ， ．
四边形为正方形， ，
又， 平面 ，
而 平面， ．
同理可得 .
又， 平面 ②．
由①②可知 ．
名师点评 线面垂直的性质定理、空间平行线的传递性及线面平行的性质定理都是证
明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.
题型4 求直线与平面所成的角
图11.4.1-21
例14 (2025·广东省中山市质检)如图11.4.1-21，已知 在平面
内,是平面 的斜线,且 ,
,.则与平面 所成的角的大小为
_____.
【解析】如图11.4.1-22，连接, .
图11.4.1-22
, ,
,为正三角形， ，
又， 为等腰直角三角形.
, ,
为等腰直角三角形.
取的中点，连接, ，
则 ,
易得, ,（由 亦可得
）
. .
又, 平面 , 平面 ， 平面 ,为与平面
所成的角.
在中， ,
, ,
（【注意】线面角 的范围是 ）
即与平面 所成的角为 .
例15 (天津高考题节选)如图11.4.1-23，已知 平面, ，
，，,,点和分别为和 的中点.
图11.4.1-23
（1）求证：平面 ;
【解析】如图11.4.1-24，连接.在中，因为点和分别是和 的中点，
所以.又 平面,所以平面 .
图11.4.1-24
（2）求直线与平面 所成角的大小.
【解析】如图11.4.1-24，取的中点和的中点，连接,, .
图11.4.1-24
因为和分别为和 的中点，
所以,,故且 ，
所以四边形为平行四边形，所以，且 .
因为,为的中点，所以， .
因为 平面,,所以易证得 平面 .
因为 平面，所以, ,
又,所以 平面 ,
从而为直线与平面 所成的角.
在中，可得，所以 .
因为，,所以四边形为平行四边形，则 ,
，又由，得 .
在中，可得 .
在中, ,
因此 .
所以直线与平面所成角的大小为 .
图11.4.1-24
名师点评 求解第（2）小问的关键是找出直线在平面内的射影.
求直线与平面所成的角的一般步骤
【变式题】
4.如图，在直三棱柱中,,, ,
,是线段的中点，是侧棱上的一点，若,则 与底面
所成的角的正切值为__.
图11.4.1-25
【解析】取的中点,连接,,则易证 平面, .又
，, 平面, 平面, 平面 ,
.
在矩形中，易得 ,
, .
平面,是与底面 所成的角，
在中， .
故与底面所成的角的正切值为 .
题型5 求点到平面的距离
例16 已知在中，,.是 所在平面外一点，
,,点是的中点，则点到平面 的距离为_ __.
图11.4.1-26
【解析】 （直接法） 如图11.4.1-26，连接, ，易
知,.分别取,的中点,,连接,， ,则
, .
, .
, 平面, .
易证, .
又是的中点， .
, 平面 .
从而的长就是点到平面 的距离.
是 的中点，
在中， ,（直角三角形斜边上的中线长度是斜边长度的一
半）
,
，
即点到平面的距离为 .
. .
图11.4.1-27
（转化法） 如图11.4.1-27，过点作 的平行线，过
点作的平行线，两直线交于点 .
,, 四边形 为正方形.
连接 .
易知 ,
又, ,
平面， .
易知，又, ,
平面, .
, 平面 .
的长即点到平面 的距离.
在中，易得 .
点为 的中点,
点到平面的距离为 .
图11.4.1-28
（等体积法）如图11.4.1-28，取的中点 ，连接
， .
在中，, ,
,
故 为等腰直角三角形，
,，在中，, ,
，又, 平面, 平面, 平面 .
在中，，，， 由余弦定理
的推论得 ,
,
,
.
设点到平面的距离为，则 ，
.
点为 的中点，
点到平面的距离为 .
例17 (2025·广东省广州市第五中学段考)已知为矩形所在平面外一点， 平
面,为的中点，,，，则点到平面 的距离为___.
【解析】如图11.4.1-29，在平面内作,垂足为，连接 .
图11.4.1-29
平面, 平面 ,
,又, 平面 .
连接，则 .
在中， .
在中， .
为 的中点,
点与点到平面 的距离相等.
设点到平面的距离为 .
,
, ,
由,得 ，
.
故点到平面的距离为 .
求点到平面的距离的方法
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的
距离.求点到平面的距离一般采用以下三种方法：
一是直接作出点到平面的垂线，当该点到已知平面的垂线不易作出时，可转化为过
与已知平面等距离的点作垂线，然后计算；
二是通过补形进行转化，转化为易于求解的点；
三是采用等体积法.
【变式题】
图11.4.1-30
5.如图11.4.1-30,在四棱锥中，底面 为平行四边
形. ,, 底面 .
（1）证明： ；
【答案】因为 , ,由余弦定理得
,从而,故 .
又 底面，所以，又 ，
所以 平面,故 .
（2）设，求棱锥 的高.
【答案】由已知条件及（1）知，，，又 ，
所以 平面，因为底面 为平行四边形，
所以,所以 平面，所以 .
设点到平面的距离为，则由 可知，
,即 .
在中，可得，在中，可得 ，
故,故棱锥的高为 .
新考法 数学文化
图11.4.1-31
例18 九章算术 堑堵&阳马&鳖臑 [多选题](2025·上海市同济大
学第二附属中学期中)《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧
棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂
直于底面的四棱锥称为“阳马”，将四个面均为直角三角形的四面
体称为“鳖臑”．如图11.4.1-31，在堑堵 中，
，且 ．下列说法正确的是( )
ABD
A.四棱锥 为“阳马”
B.四面体 为“鳖臑”
C.四棱锥体积的最大值为
D.过点分别作于点，于点，则
【解析】A选项，在堑堵中，，侧棱 平面 ，又
平面,，又， 平面, 平面
, 平面 ，
四棱锥 为“阳马”，故A正确.
B选项，由 平面,且 平面,可得 ，又
，且， 平面, 平面 ，
平面，，则 为直角三角形，
又由 平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得 为
直角三角形，为直角三角形， 四面体 为“鳖臑”，故B正确.
C选项，在中，，即 ，当且仅当
时取等号，
,
四棱锥体积的最大值为 ,故C错误.
D选项， 平面， 平面 ，
，又，且， 平面, 平面 ,
平面 ，
，又，且， 平面, 平面 ,
平面，则 ，故D正确.
高考考向分析
04
考情揭秘
垂直关系是立体几何中一种重要的空间位置关系,高考对线面垂直判定定理的考查频
率较高,试题属于中档题.对于空间角的计算也是高频考点,在选择、填空题中求解异
面直线夹角、线面角问题,关键是在直观图中作出角，然后利用解三角形知识求角,要
重视常见模型（正方体、长方体、鳖臑）中的线面垂直关系,在解答题中求解线面角
问题,通常用选择性必修第一册中的空间向量知识求解.
考向1 异面直线所成的角
例19 (2025·上海春季)已知是一个圆锥的顶点，母线 ，该圆锥的底面半径是
1，，均在圆锥的底面上，则异面直线与 所成角的最小值为__.
图11.4.1-32
【解析】 如图11.4.1-32，设点在底面的射影为，则
为底面圆的圆心，连接,，则.因为点, 为圆锥底面
上两点，所以由最小角定理可知，当直线与直线 在底面上
的射影平行时，异面直线与所成的角 最小，
，在中， ，所以
，即异面直线与所成角的最小值为 .
由题意易知，圆锥的轴截面是正三角形，所以母线 与圆锥的底面所成
角的大小为，又， 均在圆锥的底面上，所以由线面角的定义及最小角定理可知，
异面直线与所成角的最小值为 .
名师点评 （1）最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，是
这条斜线和平面上任意直线所成的角中最小的角.
（2）圆锥相关结论：若圆锥的轴截面是正三角形，则它的母线与底面所成角的大小
是 .
例20 (全国乙卷)在正方体中，为的中点，则直线与
所成的角为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 如图11.4.1-33所示，连接,，易知 ，所以异面直
线与所成角等于 的大小.（借助“平移”，可将异面直线所成角等价转化
为相交直线的夹角）设正方体的棱长为1，则易知,, ，所以
，所以，即 .
又，所以 .
（【另解】已知三边长，也可用余弦定理求角）
图11.4.1-33
图11.4.1-34
如图11.4.1-34所示，连接,,, ，易知
，所以异面直线与所成角等于 的大小.
根据为正方形的对角线的中点，易知,,
三点共线.
由正方体易知，所以 为等边三角
形，所以 .
又为的中点，所以 .（结合图形，
将所求角转化为等边三角形的某个内角的一半）
命题 探源 本题的出题意图是让同学们运用立体几何知识，求解异面直线所成角，考查 了同学们的空间想象能力、运算求解能力.一般地，求解异面直线所成角的关 键在于充分运用数形结合思想，借助直线与直线平行，将求异面直线所成角 转化为求解三角形的某个内角的大小，再灵活运用解三角形的知识进行计算. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 通过解三角形实现对数学运算素养的考查.
直观想象 通过作辅助线、平移实现对直观想象核心素养的考查.
考向2 线线垂直与线面垂直的相关问题
1 以垂直为背景的判断与证明问题
例21 ［多选题］(2025· 全国一卷)在正三棱柱中，为 的中点，则
( )
BD
A. B. 平面
C. D.平面
图11.4.1-35
【解析】如图11.4.1-35，由三棱柱的性质可知， 平面 ，
则,假设,因为,, 平
面,所以 平面,所以,与 为正三
角形矛盾，所以与 不垂直.故A错误.
因为三棱柱是正三棱柱，所以 平面，则，因为
为的中点，,所以 ，又
，, 平面，所以 平面，又 ，所以
平面 .故B正确.
，与相交，所以与 异面.故C错误.
， 平面， 平面，所以平面 .故D正确.
例22 (2023·全国甲卷节选) 如图11.4.1-36，在三棱柱中， 平面
， ，，到平面的距离为1.证明： .
图11.4.1-36
图11.4.1-37
【解析】第一步：作辅助线
如图11.4.1-37，过作，垂足为 ，
第二步：根据已知条件由直线与平面垂直的性质得到直线与直
线垂直
平面， 平面， ，
第三步：根据直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，
进而得到直线与直线垂直
又 ， ，
, 平面,且 ,
平面 ，
平面, ，
第四步：根据直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直
又, 平面，且 ，
平面， .
第五步：根据垂直关系以及三棱柱的性质得结论
由已知条件易证 是直角三角形，
又,，为 的中点，
又, ，
又在三棱柱中， ，
.
图11.4.1-38
例23 (2024· 新课标Ⅱ卷节选)如图11.4.1-38，平面四边形
中, ,，, ， ，
点, 满足，.将沿翻折至 ，
使得.证明: .
【解析】因为,，又 ,所以由余弦定理得
，故 .
又，所以 .
由及翻折的性质知, ,
又，， 平面，所以 平面 .
又 平面，所以 .
素养探 源 素养 考查途径
直观想象 通过题图中的线面位置关系以及由图想图来进行考查.
逻辑推理 通过线面垂直的判定定理以及线面平行的判定定理来进
行考查.
变式探源 (2023· 新课标Ⅱ卷节选)如图11.4.1-39，三棱锥 中，
,, ，为的中点.证明： .
图11.4.1-39
图11.4.1-40
【解析】如图11.4.1-40，连接,,因为,且 为
的中点,所以 .
因为 ,， ,所以
.
可得,故 .
因为,, 平面 ,
所以 平面 .
又 平面,所以 .
2 与垂直有关的求体积、面积问题
图11.4.1-41
例24 (2024·北京)如图11.4.1-41，在四棱锥 中，
底面是边长为4的正方形， ,
,该棱锥的高为( )
D
A.1 B.2 C. D.
图11.4.1-42
【解析】因为，所以 为正三角
形，因为，所以 .如图11.4.1-
42，分别取,的中点,，连接,, ，则
,,，于是 ，所
以.过点作，垂足为．易知 ,
由，得 ．（等面积法的应用）
，, 平面，且，所以 平面．又 平
面，所以．又，, 平面， ，所以
平面，所以为四棱锥 的高. （通过线面垂直确定四棱锥的高）
例25 (2023·全国甲卷)已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
， ，则 面积为( )
C
A. B. C. D.
图11.4.1-43
【解析】如图11.4.1-43，过点作 平面 ，垂足为
，取的中点,的中点,连接，，, .由
，得,又,,所以
平面,又 平面,所以.在正方形
中,,所以,,三点共线，所以 ,所以
,所以.在 中，由余弦定理，得
，所以.在 中，由余弦定
理，得
,所以 ,所以
.
考向3 直线与平面所成的角
例26 (2024·新课标全国Ⅱ卷)已知正三棱台的体积为， ，
，则与平面 所成角的正切值为( )
B
A. B.1 C.2 D.3
图11.4.1-44
【解析】 如图11.4.1-44,分别取,的中点, ，
连接,,,则, ，
可知 ,
.
设正三棱台的高为 ，
则 ，
解得 .
过,作底面垂线，垂足分别为,，设，在上.设 ，
则 ，
，
可得 ，
结合四边形为等腰梯形,可得 ,即
，解得 ，
所以与平面所成角的正切值 .
图11.4.1-45
将正三棱台补成正三棱锥 ，
如图11.4.1-45,
则与平面所成的角即为与平面 所成的角.
因为，则 ，
可知，则 ，
设正三棱锥的高为 ，则
，解得 .
取底面的中心为，连接,,则 底面，且，
的长是对应中线长的
所以与平面所成角的正切值 .
. .
例27 (2022·全国甲卷)在长方体中,已知与平面 和平面
所成的角均为 ，则( )
D
A. B.与平面所成的角为
C. D.与平面所成的角为
图11.4.1-46
【解析】如图11.4.1-46，连接,易知是直线 与平面
所成的角，所以在中， ，设
，则， .易知
是直线与平面所成的角，所以在
中， ，因为，所以 ,
，所以在中， ，所以A
项错误.易知是直线与平面所成的角，所以在 中，
，所以 ，所以B项错误.在
中，，而 ，所以C项错误.
易知是直线与平面所成的角，因为在 中，
，所以 ，所以D项正确．故选D.
考向4 点到平面的距离
例28 (2024·全国甲卷)如图11.4.1-47，已知， ，
，，，，为 的中点.
图11.4.1-47
（1）证明:平面 ;
【解析】由题意得，，且,所以四边形 是平行四边形，所以
.
又 平面, 平面,所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
图11.4.1-48
【解析】如图11.4.1-48，取的中点,连接, ，因为
，且，所以四边形 是平行四边形，所以
，又 ，
故是等腰三角形，同理 是等腰三角形，
可得,, ,
,
又，所以，故 .
又，, 平面, 平面，所以 平面
.
易知 .
在中， ，
所以， .
设点到平面的距离为,由,得 ，得
,
故点到平面的距离为 .
高考新题型专练
图11.4.1-49
1.［多选题］(2022·新高考全国Ⅱ卷)如图11.4.1-49，四
边形为正方形，平面, ,
.记三棱锥,,
的体积分别为,, ，则( )
CD
A. B.
C. D.
图D 11.4.1-2
【解析】如图D 11.4.1-2，连接，交于，连接, ．设
，则， ．因
为 平面，，所以 平面 ，所以
，又，且，, 平面，所以 平面
．因为, 平面，所以, ．易知
，
．因为 平面， 平面 ，所以
，， ，
，
，所以
，所以，又，, 平面 ，所以
平面 ，所以
，所
以，，， ，所以选项A，B不正确，选项C，D
正确，故选 ．
2.［多选题］(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知正方体 ,则( )
ABD
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为
D.直线与平面所成的角为
【解析】如图D 11.4.1-3，连接，在正方形中， ，
图D 11.4.1-3
因为，所以，所以直线与所成的角为 ,故A正确.
在正方体中， 平面，又 平面 ，所以
，连接,则，因为，， 平面 ，
所以 平面，又 平面，所以，所以直线 与
所成的角为 ,故B正确.
连接，交于点，则易得 平面，连接,因为 平面
，所以，为直线与平面 所成的角．设正方体的
棱长为，则易得,，所以在中， ,所以
,故C错误.
因为 平面，所以为直线与平面 所成的角，易得
，故D正确．故选 ．
知识测评
05
建议时间：30分钟
图11.4.1-1
1.(2025·湖北省武汉市第四十九中学月考)如图11.4.1-1,如果
菱形所在平面,那么与 的位置关系是( )
C
A.平行 B.垂直且相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
【解析】因为是菱形,所以.又 平面,则 .因为
,所以 平面,又 平面,所以.显然直线 与
直线不共面,因此直线与 的位置关系是垂直但不相交.
图11.4.1-2
2.如图11.4.1-2，在正方体中，点, 分
别在棱,上，则“直线 直线”是“直线
平面 ”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】（充分性）连接，因为在平面 上的射
影为，且，所以，若 ，
，， 平面，则 平面
.
（必要性）若直线 平面，因为 平面，所以 .
所以“直线 直线”是“直线 平面 ”的充要条件．
3.(2025·四川省眉山市期中)已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，
则直线与侧面 所成角的正弦值等于( )
A
A. B. C. D.
图D 11.4.1-1
【解析】如图D 11.4.1-1所示，取的中点,连接, ,则易
证得 平面,即直线与平面 所成
的角.不妨设正三棱柱的棱长为2，则在 中，
,故选A.
图11.4.1-3
4.［多选题］ (2025·山东省安丘市青云学府开学考试)如图
11.4.1-3所示，垂直于以为直径的圆所在的平面， 为圆
上异于， 的任一点，则下列结论中正确的是( )
AC
A. B.
C. 平面 D.
【解析】由 平面，可得，故A正确；因为
为圆上异于，的任一点，可得，又 ，
，所以 平面，故C正确；由 平面，可得 ，
故D错误；若，又，，则 平面，则 ，
这与直角三角形中为锐角矛盾，故B错误．故选 ．
5.如图11.4.1-4，正方体中，，分别为棱， 的中点，则
异面直线与 所成角的余弦值是__．
图11.4.1-4
图D 11.4.1-2
【解析】取的中点，连接，， ，如图D 11.4.1-2
所示，
，且， 四边形 为平行四边形，
,又,
,
四边形 为平行四边形， ，
异面直线与所成角为 或其补角，设正方体的棱长
为2，则,, ,在 中，
由余弦定理可得 .
6.［开放题］ 如图11.4.1-5，在三棱柱中，已知 面 ，
，当底面满足___________________________时，有
（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
（答案不唯一）
图11.4.1-5
【答案】当底面满足时，有 ．
理由如下：
连接, 面， ，
四边形是正方形， ，
， ．
又，，， 平面 ，
平面 ，
， 平面 ，
平面， ，
, 平面， 平面， .
故当底面满足时，有 ．
图11.4.1-6
7.(2025·江西省南昌市期末)如图11.4.1-6所示，在三棱锥
中， 平面，，为 的中
点，垂直平分，且分别交，于点, .
（1）证明：平面 ；
【答案】垂直平分， 点为 的中点.
又点为的中点，为的中位线， .
平面, 平面 ，
平面 .
（2）证明： .
【答案】如图D 11.4.1-3，连接 .
图D 11.4.1-3
，点为 的中点，
，
垂直平分， ，
又，, 平面 ，
平面 .
平面， .
平面, 平面， .
又，, 平面， 平面 .
平面， .
8.新情境 九章算术 (2025·浙江省宁波市期中)《九章算术》中，将底面为长方形且
有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称
之为鳖臑．某博览会的展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图11.4.1
-7所示，在阳马中， 底面 ．
图11.4.1-7
（1）已知，斜梁与底面所成角为 ，求立柱 的长．
【答案】 侧棱 底面 ，
侧棱在底面上的射影是 ，
是侧棱与底面所成角， .
在中， ， ，
由，得，解得 ，
立柱的长为 ．
（2）求证：四面体 为鳖臑．
【答案】由题意知底面是长方形， 是直角三角形，
侧棱 底面，，， ，
， 是直角三角形，
，，， 平面 ，
平面，， 是直角三角形，
四面体 为鳖臑．
高考模拟
06
建议时间：45分钟
图11.4.1-8
9.如图11.4.1-8，三棱柱中， 平面 ，
．则下列两条直线中，不互相垂直的是( )
B
A.和
B.和
C.和
D.和
【解析】对于A，因为 平面， 平面，所以 ；对于C，
因为，，且，, 平面,所以 平
面，又 平面，则；对于D，因为 平面 ，
，所以 平面，所以，又，且 ，
, 平面，所以 平面，又 平面 ，所以
.选B．
图11.4.1-9
10.(2025·四川省成都市期末)如图11.4.1-9，正方体
的棱长为2，点为底面的中心，点 在
侧面的边界及其内部运动．若，则 的
面积的最大值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正方体的性质知，当位于点时,,当位于的中点 时，由
已知得,,,, ,求得
，, ,
得.又,连接,, 平面, 平面 ，
得到的点的轨迹为线段.由,可知 为锐角，而
，知到棱的距离的最大值为.则 的面积的最大值为
.故选C.
图11.4.1-10
11.［多选题］ (2025·辽宁省朝阳市期末)如图11.4.1-10，
为正方体，下面结论中正确的是( )
ABD
A. 平面
B. 平面
C.与平面所成角的正切值是
D.过点与异面直线与成 角的直线有2条
图D 11.4.1-4
【解析】连接,如图D 11.4.1-4，在正方体
中， 平面 ，
又 平面 ，
则 ，
又， ，
平面 ，故A正确.
在正方体中， 平面，则 ，
又，且， 平面，得 ，同理可得
，又， 平面 ，故B正确.
由 平面，得为与平面 所成角，其正切值为
，故C错误.
易知异面直线与成 角， 把两直线平移至经过点 ，可知两直线所成角
为 ，则把 角的平分线旋转,有两条能与直线与成 角的直线，其他
情况不存在，
故过点与异面直线与成 角的直线有2条，故D正确．
故选 ．
12.(全国Ⅰ卷)已知 ,为平面外一点，,点到两边,
的距离均为，那么到平面 的距离为____.
图D 11.4.1-5
【解析】如图D 11.4.1-5，过点分别作交于点 ，作
交于点.由题意知.过点作 平面
于点，连接，,，易知，则点在
的平分线上，又 ，故 为等腰直角三角形.在
中，，，则，故 ,在
中，可得，即点到平面的距离为 .
图11.4.1-11
13.新考法 结构不良 (2026·重庆市彭水第一中学开
学考试)如图11.4.1-11（1），平面四边形 中，
，， ，将
沿 边折起如图11.4.1-11（2），使_______，
点，分别为， 的中点．
在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此
（1）证明：直线平面 ；
【答案】因为，分别为，的中点，所以 ，
又 平面, 平面,所以直线平面 .
题：；为四面体外接球的直径； 平面 ．
（2）判断直线与平面 的位置关系，并说明理由．
【答案】直线 平面 ,理由如下.
选 ，
在中，，，则 ，
又，，则 .
又，， 平面 ，
，又，， 平面 .
又，分别为，的中点，，则 平面 .
选为四面体 外接球的直径，
则 ， ，
又，， 平面 ，
，分别为，的中点，，则 平面 .
选 平面，则，又， ，
平面 ，
，分别为，的中点，，则 平面 .
14.(全国Ⅰ卷)如图11.4.1-12，直四棱柱的底面是菱形， ，
， ，，，分别是,， 的中点.
图11.4.1-12
（1）证明：平面 ；
图D 11.4.1-6
【答案】如图D 11.4.1-6，连接,.因为,分别为,
的中点,所以，且 .
又为的中点，所以 .
由题设知,则四边形 为平行四边形，
可得,故，
因此四边形 为平行四边形，所以 .
又 平面，所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
图D 11.4.1-6
【答案】 如图D 11.4.1-6，过作的垂线，垂足为 .
由已知可得，，,所以 平
面，故 .
又,从而 平面 ，
故的长即到平面 的距离.
由已知可得,,所以，故 .
从而点到平面的距离为 .
由，,可得,由,,可得 ,
由，，可得，则 ,所以
,.设点 到平面
的距离为,则由可得， ,解得
,即点到平面的距离为 .
图11.4.1-13
15.(2026·四川省平武中学开学考试)如图11.4.1-13，在四棱锥
中，底面是平行四边形， , ,
,,,分别为,的中点，, .
（1）证明: ;
【答案】在中，,, ,
由余弦定理可得,又，所以 .
因为,,且， 平面,所以
平面，因此 .
因为，所以 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
图D 11.4.1-7
【答案】如图D 11.4.1-7所示，连接，交于点,过 作
，交于点,过点作，交于点，连接 .
由（1）知 平面，所以 平面 .
故是直线与平面 所成的角.
由（1）知,又,,且, 平
面,所以 平面 .
连接,在平行四边形中，, （可利用余弦定理求得）.
在中，由,得 .
在中，由，得 .
. .
在中，由,,,得
（由余弦定理可得， ,所以
，从而求得 ）.
在平行四边形中，（由 可得）,所以
,
故, .
在中， .
因此，直线与平面所成角的正弦值为 .
. .
. .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册