11.4 空间中的垂直关系-11.4.2 平面与平面垂直 课件(共141张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.4 空间中的垂直关系-11.4.2 平面与平面垂直 课件(共141张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学人教B版必修第四册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
(共141张PPT)
11.4 空间中的垂直关系
11.4.2 平面与平面垂直
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 二面角
1 二面角的定义
一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一
个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二
面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
2 二面角的表示
如图11.4.2-1所示，以为棱， 和 为半平面的二面角，通常记作二面角
.如果和分别是半平面 和 内的点，那么这个二面角也可记作
.
图11.4.2-1
3 二面角的平面角
自然语言 图形语言 符号语言
. .
4 二面角的大小
（1）二面角的大小用它的平面角的大小来度量,即二面角大小等于它的平面角
大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
（2）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 ；当二面角的两
个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是 .所以二面角的平面角 的范
围是 .
知识剖析（1）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面
角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂
直，这三个要素缺一不可.
（2）一般地，平面 与 相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大
于 的二面角称为平面 与平面 所成的角（有时也称为平面 与平面 的夹
角）.
. .
. .
. .
. .
典例详解
例1-1 下列说法正确的是( )
B
A.二面角的平面角是从二面角的棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的最小
的角
B.二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面
C.如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个
二面角相等
D.异面直线,分别和一个二面角的两个半平面垂直，则, 所成的角与这个二面角
的平面角互补
【解析】由二面角的平面角的定义可知A不正确，B正确；
两个二面角的平面角的对应边平行，由等角定理可知这两个角相等或互补，故C不正
确；
当二面角的平面角为锐角时，异面直线, 所成的角与这个二面角的平面角相等，当
二面角的平面角为直角时，异面直线, 所成的角与这个二面角的平面角相等，当二
面角的平面角为钝角时，异面直线, 所成的角与这个二面角的平面角互补，故D不
正确.
例1-2 给出下列角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平
面角；④两个平面所成的角．其中可能为钝角的有( )
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】异面直线所成的角 的范围为 ;直线和平面所成的角 的范围
为 ;二面角的平面角 的范围为 ；两个平面所成的角
的范围为 .
故只有二面角的平面角可能为钝角．
知识点2 平面与平面垂直的判定
1 平面与平面垂直的定义
一般地，如果两个平面 与 所成角的大小为 ，则称这两个平面互相垂直
（两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况），记作 .作图时，两个平面
互相垂直可画成如图11.4.2-2所示的样子.
图11.4.2-2
. .
2 平面与平面垂直的判定定理（简称为面面垂直的判定定理）
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面经过另外一个平面的一条 垂线，则这两个平面互相垂直.
简述为：若线面垂直，则面面垂直. 特别提醒（1）由该定理可知要证明平面与平面垂直，可转化为寻找平面的垂线，即
证线面垂直.
（2）平面与平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是
找出与一个平面垂直的平面的依据（如建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平
面垂直，常用铅锤等先构造出一条与水平面垂直的线，实际上就是依据这个原理）.
典例详解
例2-3 设 , 是两个不同的平面，,是两条不同的直线，且 , .以下说
法正确的是( )
A
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
【解析】对于面面垂直的判定，主要是两个条件，即 ， ，若这两个条件
存在，则 .
例2-4 在正方体中，求证:平面 平面 .
【解析】 几何体是正方体, 平面, .
又, 平面 ,
平面 平面 .
【想一想丨问题质疑】
过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面吗
提示 有无数个.过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平
面,由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一
点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.
知识点3 平面与平面垂直的性质
1 平面与平面垂直的性质定理（简称为面面垂直的性质定理）
自然语言 图形语言 符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面.
简述为：若面面垂直，则线面垂直. 特别提醒 （1）平面与平面垂直的性质定理的条件有三个：①两个平面垂直；②有
一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平面的交线.
（2）如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交
（含垂直相交）或异面.
. .
2 平面与平面垂直的其他性质与结论
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的
直线在第一个平面内.
（2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
（3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在
另一个平面内.
（4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
（5）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
典例详解
例3-5 (2026·山西省阳泉一中开学考试)已知平面 平面 ，是 内一条直线，
是 内一条直线，且 ，则( )
C
A. B. C. 或 D. 且
【解析】在长方体中，记平面和平面分别为 和 ，
若为，为，则，但 ，故A不正确;同理B，D不正确.
点评 长方体中包含了大量的平行关系和垂直关系，解决此类问题可以以长方体为
模型来分析.
例3-6 [教材改编P122 T4]现有平面 , , .已知： , .求证： .
【解析】如图11.4.2-4，设，在 内任取一点，过作于点 .因为
,所以 .过作平面 交平面 于直线，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
图11.4.2-4
点评 此例题就证明了左栏的性质（2）.感兴趣的同学也可以尝试证明其他的几个性质.
释疑惑 重难拓展
知识点4 求二面角的一个特殊方法—— 射影面积法
设二面角 的大小为，是 内任一平面图形的面积，
它在平面 内的射影的面积为,则 .
我们从简单图形进行探究：
已知：二面角 的度数为,在平面 内有 ，面积
为,它在 内的射影为,面积为 .
求证： .
图11.4.2-3
证明：不妨假定的边在上（则与重合，
与重合），如图11.4.2-3，作边上的高,则在 内的
射影为.根据射影的性质，知 .
则 .
把换为 内的多边形或其他任意图形，所证公式
仍然成立.
因此，我们得到求二面角的另外一种方法——射影面积法（解答题使用此公式
时需要先证明）.如果能够找到一个半平面内的图形在另一个半平面内的射影图形，
那么射影图形的面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦值的绝对值.
. .
典例详解
例4-7 (2025·山东省日照市期中)已知正三棱锥 的棱长都相等，则侧面和底面
所成二面角的余弦值为________.
【解析】 如图11.4.2-5所示，过点作 底面,点为垂足，连接 .
图11.4.2-5
由正三棱锥的定义可知点为等边 的中心.
延长交于点，连接 ,
则, ,
为侧面与底面 所成的二面角的平面角.
又点也是 的重心，
.
在中， .
故侧面和底面所成二面角的余弦值为 .
三个侧面在底面上的射影完全相同,都是底面正三角形面积的 ,且正三棱锥
的四个面面积相同, 由 知，侧面和底面所成二面角
（显然为锐角）的余弦值为 .
知识点5 空间位置关系的相互转化
1 判定直线与直线垂直的方法
（1）定义法:两条直线所成的角为 ，则这两条直线互相垂直.
（2）利用直线与平面垂直的性质： , .
（3）若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
2 判定直线与平面垂直的方法
（1）定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条（等价于“全部的”“所有的”）
直线，则该直线与这个平面垂直.
（2）利用直线与平面垂直的判定定理：,, , ,
.
（3）利用平面与平面垂直的性质定理： ,, ,
.
（4）如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，
即, .
（5）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另
一个平面，即 , .
. .
3 证明面面垂直的方法
（1）利用平面与平面垂直的定义，若两个平面所成的二面角是直二面角，则两
平面垂直.
（2）利用平面与平面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，
则两平面垂直.
（3）若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直.
（4）若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于
第三个平面.
4 垂直关系之间的相互转化
5 平行关系与垂直关系之间的相互转化
典例详解
例5-8 (2025·北京市十一学校段考)已知,是平面 外的两条不同直线.给出下列三个
论断:； ； .
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题：______
____________________________________________________________.
若, ,则 （或若 ， ，则，答案不唯一）
【解析】其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题.
命题（1）：若, ,则 ，此命题不正确，可以举一个反例，例如在正
方体中，设平面为平面 ，和分别为和 ，满足
条件，但结论不成立.
命题（2）：若, ,则 ，此命题正确.证明：作直线，且与 相
交，故与确定一个平面 ，且，因为 ，所以平面 与平面 相交，
设，则，又, ，所以，又，所以，又 在
平面 外， ，故 .
命题（3）：若 , ,则 ，此命题正确.
证明：过直线作一平面，且与平面 相交，交线为，因为 ，所以 .因
为 ， ，所以，又，所以 .
例5-9 ［多选题］已知，是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列
命题正确的是( )
AD
A.若 ， ，，则
B.若 ， ，，则
C.若 ， ，，则
D.若 ， ， ，则
图11.4.2-6
【解析】对于A，若 且,则 或在 内，又
,所以 ,故A正确；
由图11.4.2-6可知平面 ， 可能垂直，故B，C不正确；
对于D，由 ， 可得 ，因为 ，所以过作平面 ，且
，则与交线平行，因为，所以 ，故D正确.
题型解析
03
题型1 求二面
例10 [教材改编P123 习题11-4A T2]如图11.4.2-7，在正方体 中：
图11.4.2-7
（1）求二面角 的大小;
【解析】因为 平面,所以,，为二面角
的平面角.
又 ，
所以二面角的大小为 .
提示 POINT
由正方体的结构特征不难发现，平面平面,故二面角 的大小
为 .
（2）求二面角 的大小.
【解析】在正方体中， 平面 ，
所以， ，
因此为二面角 的平面角.
在中， ，所以二面角的大小为 .
图11.4.2-8
例11 如图11.4.2-8所示，, 为二面角内部一点.
, ,垂足分别为, .
（1）证明： ；
思路点拨 由, , 推出 平
面，从而得出 ;
【解析】 , , ，
, , ，
又， 平面, .
（2）若为等边三角形，求二面角 的大小.
思路点拨 可转化为求 ，再求出二面角的大小.
【解析】假设平面与棱交于点，连接，，则， ，
则为二面角 的平面角.
为等边三角形， .
,与互补， 二面角 的大小为.
作二面角的平面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如
图11.4.2-9（1），为二面角 的平面角．
（2）垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面各有一
条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图11.4.2-9（2）， 为二面
角 的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的点向另一个平面作垂线，垂足为 ，
由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则 为二面角的平面角或其补
角．如图11.4.2-9（3），为二面角 的平面角．
图11.4.2-9
求二面角大小的步骤
一般情况下，先作出（找出）二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接
着求出这个角的大小，最后说明二面角为多少度．这个过程可以简记为：作（找）、
证、求、答．
【变式题】
图11.4.2-10
1.(2025·浙江省绍兴市期中)如图11.4.2-10，已知 ,斜边
平面 ,点 , ,为垂足， ,
,求二面角 的大小.
图D 11.4.2-1
【答案】如图D11.4.2-1，在平面 内，过点作 ,垂足为
点,连接,设 .
, , .
又,, 平面， 平面 ,而
平面, ,
是二面角的平面角.（【三垂线定理】为在平面 上的射
影，,则 ,即得所求二面角的平面角）
由 , , ,知, .
, ， ,
,, .
在中， , ,
.
在中， .
,即二面角的大小是 .
. .
. .
图11.4.2-11
2.如图11.4.2-11，已知，分别是正三棱柱 的侧棱
和上的点，且.设平面 与平面
相交于直线,则二面角 的大小为( )
B
A. B. C. D.
图D 11.4.2-2
【解析】 如图D11.4.2-2所示，延长交 的延长线于
点，连接,则为这两个平面的交线 ,因此，所求二面角
即为二面角 .
，且 ，
，分别为， 的中点．
， .
平面， 平面， .
又，为平面 内的两条相交直线，
平面 .
平面， .
是二面角的平面角．为在平面 上的射影，且
，则,即得所求二面角的平面角
由知，则 .
故所求二面角的大小为 .
. .
. .
三棱柱为正三棱柱，
在平面的射影为 .
设,则,, ,
等腰的面积为 ，
正的面积为 ，
设二面角的大小为 ，
则, .
题型2 面面垂直的判定定理的应用
图11.4.2-12
例12 (2026·北京市第四中学开学考试)如图11.4.2-12，在四
棱锥中， 平面，, .
（1）求证： 平面 ;
【解析】因为 平面,所以 .
又,,所以 平面 .
（2）求证：平面 平面 .
【解析】 因为, ,
所以 .
因为 平面,所以 .
又，所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
因为,且由（1）知 平面,所以 平面 .
又 平面,所以平面 平面 .
图11.4.2-13
例13 如图11.4.2-13，在三棱锥中，，， 分别为棱
，，的中点．已知，，， .
求证：
（1）直线平面 ；
【解析】因为，分别为棱， 的中点，
所以 .
又 平面， 平面 ，
所以直线平面 .
（2）平面 平面 .
【解析】因为，，分别为棱，，的中点，， ，所以
, .
又，所以 ，
所以 ，即 .
因为，，所以 .
又， 平面， 平面，所以 平面 .
又 平面，所以平面 平面 .
利用判定定理证明面面垂直的一般方法
先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明
面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.
【变式题】
3.如图11.4.2-14,为正三角形， 平面，//，且 ，
是 的中点．
图11.4.2-14
求证：
（1） ；
图D 11.4.2-3
【答案】设，则 .
如图D 11.4.2-3，过点作交于点，则 .
因为 平面，所以， .
因为, ,
所以 .
又,所以 平面， ,
所以,所以 .
（2）平面 平面 ；
图D 11.4.2-3
【答案】如图D 11.4.2-3所示，取的中点，连接， ，
则，且 ,
所以四边形为平行四边形，所以 .
因为 平面，所以，所以 .
由（1）知，为的中点，所以 .
因为, 平面, 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面,所以平面 平面 .
（3）平面 平面 .
【答案】由（2）知 平面，而 平面 ，
所以平面 平面 .
题型3 面面垂直的性质定理的应用
例14 如图11.4.2-15，正方形和四边形所在的平面互相垂直， ，
,，求证： 平面 .
图11.4.2-15
【解析】如图11.4.2-16，设，连接, .
图11.4.2-16
由易知，则 .
又,所以四边形 为菱形，
所以 .
因为四边形为正方形，所以 .
又平面 平面,且平面 平面,所以 平面 ,
因为 平面,所以 .
又, 平面, 平面 ,
所以 平面 .
面面垂直的性质定理的应用思路
在空间图形中，如已知条件中有面面垂直，一般需要作辅助线，应用面面垂直的性
质定理得到线面垂直，继而可得线线垂直.在运用面面垂直的性质定理时，找准两平
面的交线是关键.
题型4 垂直关系的相互转化
例15 (2025·四川省成都市期中)如图11.4.2-17，平面 平面,平面 平
面, 平面,点 为垂足.
图11.4.2-17
（1）求证： 平面 ;
【解析】 如图11.4.2-18（1），在平面内取一点,作于点 .
平面 平面,且交线为 ,
图11.4.2-18
平面 .（由面面垂直得线面垂直）
平面， .
作于点, 平面 平面 ，且交
线为, 平面 ,
平面, .
,都在平面内，且 ，
平面 .
. .
如图11.4.2-18（2），在平面内作直线，在平面 内作直线
，由平面 平面，平面 平面，得 平面 ，
同理可证 平面， .
又 平面， 平面，平面 .
又 平面，平面 平面， ，
平面 .
（2）当点为的垂心时，求证： 是直角三角形.
【解析】如图11.4.2-18（1），连接并延长交于点 .
图11.4.2-18
点是的垂心， .
又 平面, 平面, .
,, 平面， 平面 .
又 平面, .
由（1）知 平面,又 平面 ,
.
, 平面, 平面, 平面 .
又 平面, ,
即 是直角三角形.
（1）在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转
化.因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键.
（2）空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时，要通
过几何图形自身的特点，如等腰（等边）三角形的“三线合一”、中位线定理、菱形
的对角线互相垂直等，得出一些求解题目所需要的条件.对于一些较复杂的问题，注
意应用转化思想解决.
【变式题】
图11.4.2-19
4.如图11.4.2-19，在四棱锥中,底面 为菱形,侧
面为等边三角形,且侧面 底面,,分别为 ,
的中点.
（1）求证: ;
【答案】因为为等边三角形，为 的中点，
所以 .
又平面 平面，平面 平面 ,
平面，所以 平面 .
因为 平面，所以 .
（2）求证:平面 平面 .
【答案】连接，因为四边形为菱形，所以 .
因为,分别为, 的中点，
所以，所以 .
由（1）可知， 平面 ，
因为 平面，所以 .
又，所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
高考考向分析
04
考情揭秘
高考对本节的考查主要是面面垂直的判定定理和性质定理，一般结合线线、线面的
垂直关系进行综合考查，通常作为解答题的第一问证明，根据题意作出辅助线是解
题的关键.求二面角的大小也是高考的高频考点，在必修阶段，主要是通过找出或作
出二面角的平面角求解二面角的大小，找准二面角的平面角是解题的关键.将来在选
择性必修第一册中，会学习用空间向量求解空间角的大小.试题难度一般为中等.
核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出面面的垂直关系）,逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用）,数学运算（二面角的求解）.
考向1 二面角的大小
图11.4.2-20
例16 (2024·新课标Ⅰ卷节选)如图11.4.2-20，四棱锥 中，
底面，,,.若 ,且
二面角的正弦值为,求 .
思路点拨 几何法求二面角的平面角的关键是找半平面的垂线，
利用线面垂直关系或三垂线法找出平面角.本题一种解法是过点
找平面的垂线，另一种解法是过点找平面 的垂线.
【解析】 （考虑到平面 平面，故过点作交线的垂线 ，
利用面面垂直的性质定理可知即为平面 的垂线）
如图11.4.2-21，作于点,于点，连接 ,
底面, 平面 ，
平面 底面 .
平面 底面,, 底面, 平面 .
平面, .
,,, 平面, 平面, 平面 .
平面, .
,, 平面, 平面 ,
为二面角 的平面角.（【小技巧】
利用三垂线定理，为在平面 上的射影，且
,则,故为二面角 的平
面角）
由,可知 ,
. .
设,,易知,,则 ，
平面, 平面, .
,解得 ,
在直角三角形中， ,
,解得, ,
, .
. .
（考虑到平面 平面，故过点作交线的垂线 ，利用面面
垂直的性质定理可知即为平面 的垂线）
平面, 平面, .
,,, 平面 ,
平面 .
又 平面, 平面 平面 .
如图11.4.2-22，作于点,又平面 平面, 平面 ,
平面 .
又 平面, .
取的中点,连接,,由得 ,
又,, 平面, 平面 ，
又 平面, .
即为二面角 的平面角.
平面, 平面, .
，解得 ，
设,则，即 ，
解得，即 .
例17 (2023·全国乙卷)已知为等腰直角三角形,为斜边, 为等边三角形,
若二面角为 ，则直线与平面 所成角的正切值为( )
C
A. B. C. D.
图11.4.2-23
【解析】如图11.4.2-23所示，取的中点为，连接， ，
则， .
又 平面, 平面,所以 即为二面角
的平面角，于是 .设 ，则
， ，
在 中，由余弦定理可得
.
由正弦定理得 ，
即,显然 是锐角，
所以 ，
所以 ,故选C.
图11.4.2-24
例18 新情境 坡屋顶 (2023·北京)坡屋顶是我国传统建筑造
型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建
筑轮廓，展现造型之美．如图11.4.2-24，某坡屋顶可视为
一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全
C
A. B. C. D.
等的等腰三角形．若, ,且等腰梯形所在的面、等腰三角形
所在的面与平面 所成二
面角的正切值均为 ．为这个模型的轮廓安装灯带
（不计损耗），则所需灯带的长度为( )
图11.4.2-25
【解析】如图11.4.2-25,过作 平面,垂足为,过 分别
作,,垂足分别为,,连接, .
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与平面
所成二面角的平面角分别为和 ，
,
平面, 平面, ,
,, 平面,, 平面, 平面 ,
,同理, .
又,故四边形 是矩形.
由得,, .
在直角三角形中, .
在直角三角形中,, .
,
棱长之和为 .
故所需灯带的长度为 .
考向2 面面垂直的判定定理与性质定理的应用
1 面面垂直的判定定理的应用
例19 (2025·天津)已知，为两条直线， ， 为两个平面，则下列结论中正确的
是( )
C
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
【解析】对于A，若 ， ，则或, 异面,故A错误；
对于B，若 ， ，则 ，故B错误；
对于C，若 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 ， ，则 或与 相交或 ,故D错误.
例20 (2022·全国乙卷)在正方体中，,分别为， 的中点，则
( )
A
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面平面 D.平面平面
图11.4.2-26
【解析】如图11.4.2-26，对于选项A，在正方体
中，因为,分别为， 的中点，所以
,又,所以，又易知 ,
，从而 平面，又 平面 ，所
以平面 平面 ，故选项A正确；
对于选项B，设,连接,在平面中，过点作直线垂直 交
于点，点异于点，因为 平面，所以， ，
所以 平面,又 平面,所以平面 平面 不成立，
故选项B错误；
对于选项C，由题意知直线与直线必相交，故平面与平面 不平行，
故选项C错误；
对于选项D，连接，，易知平面平面，又平面 与平面
有公共点，所以平面与平面 不平行，故选项D错误.故选A.
图11.4.2-27
例21 (2025· 全国一卷节选)如图11.4.2-27，在四棱锥
中， 底面， .证明：平面
平面 .
【解析】因为 平面, 平面 ,
所以 ,
又,,所以 平面 ,
又 平面，所以平面 平面 ．
图11.4.2-28
例22 (2023·全国甲卷)如图11.4.2-28，在三棱柱
中， 平面， ．
（1）证明：平面 平面 ；
【解析】因为 平面, 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ,
又,, 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,
所以平面 平面 .
（2）设，，求四棱锥 的高．
图11.4.2-29
【解析】如图11.4.2-29，过点作,交于点 ，
由（1）知平面 平面 ，
又平面 平面, 平面 ，
所以 平面 ，
即四棱锥的高为 .
由题意知，, ,则
,故 .
又, ,
所以 .
由 ，得
，
故四棱锥 的高为1.
在等腰直角三角形中，为斜边中线，所以 ,
故四棱锥 的高为1.
例23 (2023·全国乙卷节选)如图11.4.2-30，三棱锥中，， ,
，,,,的中点分别为,,,,点在 上，
.
图11.4.2-30
（1）证明：平面 ；
图11.4.2-31
【解析】如图11.4.2-31,因为，,， 是
的中点，所以，所以 .
记与的交点为,则 ，又 ，
,所以，所以 ,
所以 ,
又 ， ，所以,所以 ,
同理可得,所以是 的中点.
因为,分别是,的中点，所以 ,
同理可得，所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）证明：平面 平面 .
【解析】, ,
又 ，
所以,所以 .
由于，所以 ，
又,， 平面, 平面,所以 平面 .
又 平面,所以平面 平面 .
2 面面垂直背景下的体积问题
例24 (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装
盒如图11.4.2-32所示.底面是边长为8（单位：）的正方形，, ,
,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直.
图11.4.2-32
（1）证明:平面 ;
【解析】如图11.4.2-33，分别取,的中点,，连接,, ，
图11.4.2-33
与 均为正三角形，且边长均为8，
,，且 ．
又平面与平面均垂直于平面 ，
平面 平面,平面 平面, 平面,
平面 ,
平面， 平面 ，
（面面垂直性质定理的应用）
， 四边形 为平行四边形，
．
又 平面， 平面 ,
平面 ．
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.
图11.4.2-33
【解析】如图11.4.2-33，分别取,的中点,，连接 ,
,,,，, ．
由（1）知 平面， 平面 ，
同理可证得， 平面， 平面 ，
易得， .
易得，, ，
所以 ，
又 ，
所以四边形 是正方形，
所以四棱柱 为正四棱柱，
所以 ．
因为,，所以 ．
因为 平面， 平面 ，
所以 ．
又, 平面，且 ，
所以 平面 ，
则点到平面的距离 ，
所以 ，
所以该包装盒的容积
．
高考新题型专练
1.[多选题] (2023· 新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为，底面圆心为， 为底面直
径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则
( )
AC
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
图D 11.4.2-4
【解析】在中,由余弦定理得 ，如图D 11.4.2-
4，连接,易知圆锥的高 ，底面圆的半径
.
对于A，该圆锥的体积 ，故A选项正确；
对于B，该圆锥的侧面积 ，故B选项错误；
对于C，取的中点，连接, ,
因为，所以，同理可得 ，
则二面角的平面角为 ，所以 ,
,所以 ，故C选项正确;
对于D，，,故D选项错误.综上，选 .
2.[多选题] (新高考全国Ⅱ卷)下列各正方体中，为下底面的中心，，为顶点，
为所在棱的中点，则满足 的是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】对于A，如图D 11.4.2-5，，则, ,
,四点共面，所以直线在平面 内，且
,所以直线与 相交但不垂直.
对于B，如图D 11.4.2-6，连接，取的中点 ，
连接,,则,因为平面 平面，所以 平面 ，所以
,又, ，所以 平面,所以 .
对于C，如图D 11.4.2-7，作于，连接 ,
,,则易知 平面,所以 ,又
,，所以 平面 ,又
，所以 平面,因为 平面
，所以 .
对于D,如图D 11.4.2-8，取棱的中点，连接，则，连接 ，不妨设
正方体的棱长为2，则,,,则,则 ，
所以不垂直于，即不垂直于.故选 .
知识测评
05
建议时间：35分钟
图11.4.2-1
1.(2025·上海市松江区立达中学月考)如图11.4.2-1（1）
（2）所示,上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四
棱柱,且四个侧面均悬挂有时钟.则每天从0点到12点
（包括0点,但不包括12点）,相邻两个时钟的时针出
现两两相互垂直的情况的次数为( )
B
A.0 B.2 C.4 D.12
【解析】相邻两个时钟的时针分别在3点和 9点时相互垂直.
2.若平面 平面 ,平面 平面 ,则( )
D
A. B.
C. 与 相交但不垂直 D.以上都有可能
【解析】 , ,则 ,或 ,或 与 相交但不垂直，如图D11.4.2-1所示.
图D11.4.2-1
3.把边长为4的正方形沿对角线折成空间四边形，使得平面 平
面，则空间四边形的对角线 的长为( )
A
A.4 B. C.2 D.
图D 11.4.2-2
【解析】如图D 11.4.2-2所示，取的中点，连接, ，则
， ，
因为平面 平面，且平面 平面 ，所
以 ，
又 ，
所以 ，
所以，即空间四边形的对角线 的长为4．
4.(2025·天津市滨海新区期中)设,是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，
则下列命题中正确的是( )
C
A.若， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ， , ，则
D.若， ， ，则
【解析】对于A,若， ，则 或 或 或与 斜交，故A
错误；
对于B,若 ， ，则 或 或 或与 斜交，故B错误；
对于C,若 ， ,则，又 ,则 ，故C正确；
对于D,若， , ,则 或 或 或与 斜交，故D错误.
图11.4.2-2
5.［多选题］如图11.4.2-2，已知正方体 ，
则下面四个推断正确的是( )
BCD
A.
B.
C.平面平面
D.平面 平面
【解析】因为，所以直线与所成的角为 ，故A不正确.
因为，，所以 ，故B正确.
因为，,,，所以平面 平面
,故C正确.
因为，,，所以平面 ,因为
平面，所以平面 平面 ,故D正确.
6.如图11.4.2-3所示，在三棱锥中，， 都是等边三角形，且
，,则二面角 的大小为_____．
图11.4.2-3
图D 11.4.2-3
【解析】如图D 11.4.2-3,取的中点，连接， .因为
，是的中点，所以，同理可证 ，
所以是二面角 的平面角．
在中， ， ，
，所以 .
同理可得 .
又，所以 是等边三角形，
所以 ，即二面角的大小为 .
7.(2025·山东省泰安市期中)如图11.4.2-4，在空间几何体中，底面 是梯
形，且，， ， 是边长为2的等边三角形．
图11.4.2-4
（1）若为的中点，求证：平面 ；
【答案】如图D 11.4.2-4所示，取的中点，连接， ．
图D 11.4.2-4
为的中点，，且 ．
又， ，
，且 ，
四边形是平行四边形， ．
平面， 平面，平面 ．
（2）若，求证：平面 平面 ．
【答案】取的中点，连接， ．
是边长为2的等边三角形，
，且 ．
在中，，， ，
根据余弦定理可得
，即
．
在中，，， ,
，即 ．
，，且 平面， 平面， ，
平面 ．
又 平面， 平面 平面 ．
图11.4.2-5
8.新考法 结构不良 如图11.4.2-5，平行四边形的边 所在
的直线与菱形所在的平面垂直，且， ．
（1）求证：平面 平面 .
【答案】，， 是等边三角形.
，为中点，故， .
平面， ，
， 平面 ，
平面， 平面 平面 ．
（2）若，____，求二面角 的余弦值．
从， 这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题.
【答案】选①.
由（1）知 平面 ，
，， ，
平面平面， 平面 ，
平面， 平面，， ，
是二面角 的平面角.
，， ，
， ，
二面角的余弦值为 ．
选②.
由（1）得 平面 ，
，，， 平面平面 ，
平面 ，
平面， 平面，， ，
即为二面角 的平面角.
，， ，
， 二面角的余弦值为 ．
高考模拟
06
建议时间：40分钟
图11.4.2-6
9.(2025·湖南省长沙市长郡中学月考)如图11.4.2-6，点 为
正方形的中心，为正三角形，平面 平
面,是线段 的中点，则( )
B
A.，且直线， 是相交直线
B.，且直线， 是相交直线
C.，且直线， 是异面直线
D.，且直线， 是异面直线
图D 11.4.2-5
【解析】如图D 11.4.2-5，取的中点，连接，， ，
，因为是正三角形，所以 .
设，则 .
因为点是正方形的中心，所以, ,
.
因为平面 平面，平面 平面 ,所以
平面， 平面，所以， ，
所以在中，，在中， ，
所以在等腰三角形中，，所以 .
易知,都在面 上.是相交直线.
图11.4.2-7
10.(2025·陕西省渭南市期末)如图11.4.2-7，二面角
的大小是 ，线段 ，，与 所成的角为
，则与平面 所成的角的正弦值是( )
C
A. B. C. D.
图D 11.4.2-6
【解析】如图D 11.4.2-6，过点作平面 的垂线，垂足为 ，在
平面 内过作的垂线，垂足为，连接 .由线面垂直的判定
定理,可知 平面，则 ，
故为二面角 的平面角，即 .
连接，显然,为与平面 所成的角.
设，则， ,
故 .
11.［多选题］(2025·重庆市期中)如图11.4.2-8所示，在矩形中， ，
，为上一动点，现将沿折起至，在平面 内作
，为垂足．设， ，则下列说法正确的是( )
AC
图11.4.2-8
A.若 平面，则
B.若 平面，则
C.若平面 平面，且，则
D.若平面 平面，且，则
【解析】如图D 11.4.2-7，
图D 11.4.2-7
对于A，若 平面，则有 ，
在中，， ，
则 ，
所以 ，
在中，，即 ，故A正确；
对于B，若 平面，则有， ，
在中，，在中， ，
即，解得 ，故B错误；
对于C，若平面 平面，过点作，垂足为，连接 ，因为平
面 平面，所以 平面，所以，又 ，
所以 平面，所以，因为，所以在等腰中， ，
所以在等腰中， ，故C正确；
对于D，平面 平面，又平面 平面， ，所以
平面，所以 ，
过点作，垂足为，连接 ，
因为，所以 平面 ，
又 平面，所以 ，
所以在矩形中，连接，则有，， 三点共线，
则 ，又 ，所以 ，又
，
所以由知， ，
因为，，所以 ，故D错误．
故选 ．
图11.4.2-9
12.如图11.4.2-9，边长为的等边三角形的中线 与中位线
交于点,已知是绕 旋转过程中的一个图形，
则下列命题中正确的是______.（填序号）
①③
①动点在平面上的射影在线段 上；
②平面 ;
③三棱锥 的体积有最大值.
【解析】①中当与，不重合时，由已知可得平面 平面,故动点 在
平面上的射影在线段 上;
当与或 重合时，显然成立.
②因为,根据线面平行的判定定理可得，当不与,重合时， 平面
；当与或重合时, 平面 .
③当平面 平面时，三棱锥 的体积达到最大.
13.(2025·广西名校联盟模拟)在四面体中,,, ,
平面 平面 ,则该四面体外接球的表面积为_ ___.
【解析】因为,,所以,因为,所以 为
等边三角形，又平面 平面,取的中点,则点是的外心，连接 ,
则 平面，则球心在上,设四面体的外接球的半径为 ，则有
,解得 .
故该四面体外接球的表面积为 .
图11.4.2-10
14.(2025·安徽省合肥一六八中学期末)如图11.4.2-10，已知三
棱柱的底面是正三角形，侧面 是矩
形，,分别为,的中点，为上一点.过和
的平面交于，交于 .
（1）证明：，且平面 平面 .
【答案】因为，分别为,的中点，所以 .
又由已知得,故 .
因为是正三角形，所以 .
又且,故 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
（2）设为的中心.若，平面,且 ，求
四棱锥 的体积.
【答案】因为平面, 平面,平面 平面
,所以 .
又,所以四边形 是平行四边形，
所以,,, .
因为平面,所以四棱锥的顶点到底面 的距离等于
点到底面 的距离.
图D 11.4.2-8
如图D 11.4.2-8，作，垂足为 ，则由（1）知，
平面 ，（由面面垂直的性质定理可得线面垂直）
故.底面 的面积为
.
所以四棱锥的体积为 .
. .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册
11.4 空间中的垂直关系
11.4.2 平面与平面垂直
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 二面角
1 二面角的定义
一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一
个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二
面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
2 二面角的表示
如图11.4.2-1所示，以为棱， 和 为半平面的二面角，通常记作二面角
.如果和分别是半平面 和 内的点，那么这个二面角也可记作
.
图11.4.2-1
3 二面角的平面角
自然语言 图形语言 符号语言
. .
4 二面角的大小
（1）二面角的大小用它的平面角的大小来度量,即二面角大小等于它的平面角
大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
（2）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 ；当二面角的两
个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是 .所以二面角的平面角 的范
围是 .
知识剖析（1）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面
角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂
直，这三个要素缺一不可.
（2）一般地，平面 与 相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大
于 的二面角称为平面 与平面 所成的角（有时也称为平面 与平面 的夹
角）.
. .
. .
. .
. .
典例详解
例1-1 下列说法正确的是( )
B
A.二面角的平面角是从二面角的棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的最小
的角
B.二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面
C.如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个
二面角相等
D.异面直线,分别和一个二面角的两个半平面垂直，则, 所成的角与这个二面角
的平面角互补
【解析】由二面角的平面角的定义可知A不正确，B正确；
两个二面角的平面角的对应边平行，由等角定理可知这两个角相等或互补，故C不正
确；
当二面角的平面角为锐角时，异面直线, 所成的角与这个二面角的平面角相等，当
二面角的平面角为直角时，异面直线, 所成的角与这个二面角的平面角相等，当二
面角的平面角为钝角时，异面直线, 所成的角与这个二面角的平面角互补，故D不
正确.
例1-2 给出下列角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平
面角；④两个平面所成的角．其中可能为钝角的有( )
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】异面直线所成的角 的范围为 ;直线和平面所成的角 的范围
为 ;二面角的平面角 的范围为 ；两个平面所成的角
的范围为 .
故只有二面角的平面角可能为钝角．
知识点2 平面与平面垂直的判定
1 平面与平面垂直的定义
一般地，如果两个平面 与 所成角的大小为 ，则称这两个平面互相垂直
（两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况），记作 .作图时，两个平面
互相垂直可画成如图11.4.2-2所示的样子.
图11.4.2-2
. .
2 平面与平面垂直的判定定理（简称为面面垂直的判定定理）
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面经过另外一个平面的一条 垂线，则这两个平面互相垂直.
简述为：若线面垂直，则面面垂直. 特别提醒（1）由该定理可知要证明平面与平面垂直，可转化为寻找平面的垂线，即
证线面垂直.
（2）平面与平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是
找出与一个平面垂直的平面的依据（如建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平
面垂直，常用铅锤等先构造出一条与水平面垂直的线，实际上就是依据这个原理）.
典例详解
例2-3 设 , 是两个不同的平面，,是两条不同的直线，且 , .以下说
法正确的是( )
A
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
【解析】对于面面垂直的判定，主要是两个条件，即 ， ，若这两个条件
存在，则 .
例2-4 在正方体中，求证:平面 平面 .
【解析】 几何体是正方体, 平面, .
又, 平面 ,
平面 平面 .
【想一想丨问题质疑】
过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面吗
提示 有无数个.过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平
面,由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一
点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.
知识点3 平面与平面垂直的性质
1 平面与平面垂直的性质定理（简称为面面垂直的性质定理）
自然语言 图形语言 符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面.
简述为：若面面垂直，则线面垂直. 特别提醒 （1）平面与平面垂直的性质定理的条件有三个：①两个平面垂直；②有
一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平面的交线.
（2）如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交
（含垂直相交）或异面.
. .
2 平面与平面垂直的其他性质与结论
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的
直线在第一个平面内.
（2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
（3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在
另一个平面内.
（4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
（5）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
典例详解
例3-5 (2026·山西省阳泉一中开学考试)已知平面 平面 ，是 内一条直线，
是 内一条直线，且 ，则( )
C
A. B. C. 或 D. 且
【解析】在长方体中，记平面和平面分别为 和 ，
若为，为，则，但 ，故A不正确;同理B，D不正确.
点评 长方体中包含了大量的平行关系和垂直关系，解决此类问题可以以长方体为
模型来分析.
例3-6 [教材改编P122 T4]现有平面 , , .已知： , .求证： .
【解析】如图11.4.2-4，设，在 内任取一点，过作于点 .因为
,所以 .过作平面 交平面 于直线，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
图11.4.2-4
点评 此例题就证明了左栏的性质（2）.感兴趣的同学也可以尝试证明其他的几个性质.
释疑惑 重难拓展
知识点4 求二面角的一个特殊方法—— 射影面积法
设二面角 的大小为，是 内任一平面图形的面积，
它在平面 内的射影的面积为,则 .
我们从简单图形进行探究：
已知：二面角 的度数为,在平面 内有 ，面积
为,它在 内的射影为,面积为 .
求证： .
图11.4.2-3
证明：不妨假定的边在上（则与重合，
与重合），如图11.4.2-3，作边上的高,则在 内的
射影为.根据射影的性质，知 .
则 .
把换为 内的多边形或其他任意图形，所证公式
仍然成立.
因此，我们得到求二面角的另外一种方法——射影面积法（解答题使用此公式
时需要先证明）.如果能够找到一个半平面内的图形在另一个半平面内的射影图形，
那么射影图形的面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦值的绝对值.
. .
典例详解
例4-7 (2025·山东省日照市期中)已知正三棱锥 的棱长都相等，则侧面和底面
所成二面角的余弦值为________.
【解析】 如图11.4.2-5所示，过点作 底面,点为垂足，连接 .
图11.4.2-5
由正三棱锥的定义可知点为等边 的中心.
延长交于点，连接 ,
则, ,
为侧面与底面 所成的二面角的平面角.
又点也是 的重心，
.
在中， .
故侧面和底面所成二面角的余弦值为 .
三个侧面在底面上的射影完全相同,都是底面正三角形面积的 ,且正三棱锥
的四个面面积相同, 由 知，侧面和底面所成二面角
（显然为锐角）的余弦值为 .
知识点5 空间位置关系的相互转化
1 判定直线与直线垂直的方法
（1）定义法:两条直线所成的角为 ，则这两条直线互相垂直.
（2）利用直线与平面垂直的性质： , .
（3）若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
2 判定直线与平面垂直的方法
（1）定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条（等价于“全部的”“所有的”）
直线，则该直线与这个平面垂直.
（2）利用直线与平面垂直的判定定理：,, , ,
.
（3）利用平面与平面垂直的性质定理： ,, ,
.
（4）如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，
即, .
（5）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另
一个平面，即 , .
. .
3 证明面面垂直的方法
（1）利用平面与平面垂直的定义，若两个平面所成的二面角是直二面角，则两
平面垂直.
（2）利用平面与平面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，
则两平面垂直.
（3）若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直.
（4）若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于
第三个平面.
4 垂直关系之间的相互转化
5 平行关系与垂直关系之间的相互转化
典例详解
例5-8 (2025·北京市十一学校段考)已知,是平面 外的两条不同直线.给出下列三个
论断:； ； .
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题：______
____________________________________________________________.
若, ,则 （或若 ， ，则，答案不唯一）
【解析】其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题.
命题（1）：若, ,则 ，此命题不正确，可以举一个反例，例如在正
方体中，设平面为平面 ，和分别为和 ，满足
条件，但结论不成立.
命题（2）：若, ,则 ，此命题正确.证明：作直线，且与 相
交，故与确定一个平面 ，且，因为 ，所以平面 与平面 相交，
设，则，又, ，所以，又，所以，又 在
平面 外， ，故 .
命题（3）：若 , ,则 ，此命题正确.
证明：过直线作一平面，且与平面 相交，交线为，因为 ，所以 .因
为 ， ，所以，又，所以 .
例5-9 ［多选题］已知，是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列
命题正确的是( )
AD
A.若 ， ，，则
B.若 ， ，，则
C.若 ， ，，则
D.若 ， ， ，则
图11.4.2-6
【解析】对于A，若 且,则 或在 内，又
,所以 ,故A正确；
由图11.4.2-6可知平面 ， 可能垂直，故B，C不正确；
对于D，由 ， 可得 ，因为 ，所以过作平面 ，且
，则与交线平行，因为，所以 ，故D正确.
题型解析
03
题型1 求二面
例10 [教材改编P123 习题11-4A T2]如图11.4.2-7，在正方体 中：
图11.4.2-7
（1）求二面角 的大小;
【解析】因为 平面,所以,，为二面角
的平面角.
又 ，
所以二面角的大小为 .
提示 POINT
由正方体的结构特征不难发现，平面平面,故二面角 的大小
为 .
（2）求二面角 的大小.
【解析】在正方体中， 平面 ，
所以， ，
因此为二面角 的平面角.
在中， ，所以二面角的大小为 .
图11.4.2-8
例11 如图11.4.2-8所示，, 为二面角内部一点.
, ,垂足分别为, .
（1）证明： ；
思路点拨 由, , 推出 平
面，从而得出 ;
【解析】 , , ，
, , ，
又， 平面, .
（2）若为等边三角形，求二面角 的大小.
思路点拨 可转化为求 ，再求出二面角的大小.
【解析】假设平面与棱交于点，连接，，则， ，
则为二面角 的平面角.
为等边三角形， .
,与互补， 二面角 的大小为.
作二面角的平面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如
图11.4.2-9（1），为二面角 的平面角．
（2）垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面各有一
条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图11.4.2-9（2）， 为二面
角 的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的点向另一个平面作垂线，垂足为 ，
由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则 为二面角的平面角或其补
角．如图11.4.2-9（3），为二面角 的平面角．
图11.4.2-9
求二面角大小的步骤
一般情况下，先作出（找出）二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接
着求出这个角的大小，最后说明二面角为多少度．这个过程可以简记为：作（找）、
证、求、答．
【变式题】
图11.4.2-10
1.(2025·浙江省绍兴市期中)如图11.4.2-10，已知 ,斜边
平面 ,点 , ,为垂足， ,
,求二面角 的大小.
图D 11.4.2-1
【答案】如图D11.4.2-1，在平面 内，过点作 ,垂足为
点,连接,设 .
, , .
又,, 平面， 平面 ,而
平面, ,
是二面角的平面角.（【三垂线定理】为在平面 上的射
影，,则 ,即得所求二面角的平面角）
由 , , ,知, .
, ， ,
,, .
在中， , ,
.
在中， .
,即二面角的大小是 .
. .
. .
图11.4.2-11
2.如图11.4.2-11，已知，分别是正三棱柱 的侧棱
和上的点，且.设平面 与平面
相交于直线,则二面角 的大小为( )
B
A. B. C. D.
图D 11.4.2-2
【解析】 如图D11.4.2-2所示，延长交 的延长线于
点，连接,则为这两个平面的交线 ,因此，所求二面角
即为二面角 .
，且 ，
，分别为， 的中点．
， .
平面， 平面， .
又，为平面 内的两条相交直线，
平面 .
平面， .
是二面角的平面角．为在平面 上的射影，且
，则,即得所求二面角的平面角
由知，则 .
故所求二面角的大小为 .
. .
. .
三棱柱为正三棱柱，
在平面的射影为 .
设,则,, ,
等腰的面积为 ，
正的面积为 ，
设二面角的大小为 ，
则, .
题型2 面面垂直的判定定理的应用
图11.4.2-12
例12 (2026·北京市第四中学开学考试)如图11.4.2-12，在四
棱锥中， 平面，, .
（1）求证： 平面 ;
【解析】因为 平面,所以 .
又,,所以 平面 .
（2）求证：平面 平面 .
【解析】 因为, ,
所以 .
因为 平面,所以 .
又，所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
因为,且由（1）知 平面,所以 平面 .
又 平面,所以平面 平面 .
图11.4.2-13
例13 如图11.4.2-13，在三棱锥中，，， 分别为棱
，，的中点．已知，，， .
求证：
（1）直线平面 ；
【解析】因为，分别为棱， 的中点，
所以 .
又 平面， 平面 ，
所以直线平面 .
（2）平面 平面 .
【解析】因为，，分别为棱，，的中点，， ，所以
, .
又，所以 ，
所以 ，即 .
因为，，所以 .
又， 平面， 平面，所以 平面 .
又 平面，所以平面 平面 .
利用判定定理证明面面垂直的一般方法
先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明
面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.
【变式题】
3.如图11.4.2-14,为正三角形， 平面，//，且 ，
是 的中点．
图11.4.2-14
求证：
（1） ；
图D 11.4.2-3
【答案】设，则 .
如图D 11.4.2-3，过点作交于点，则 .
因为 平面，所以， .
因为, ,
所以 .
又,所以 平面， ,
所以,所以 .
（2）平面 平面 ；
图D 11.4.2-3
【答案】如图D 11.4.2-3所示，取的中点，连接， ，
则，且 ,
所以四边形为平行四边形，所以 .
因为 平面，所以，所以 .
由（1）知，为的中点，所以 .
因为, 平面, 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面,所以平面 平面 .
（3）平面 平面 .
【答案】由（2）知 平面，而 平面 ，
所以平面 平面 .
题型3 面面垂直的性质定理的应用
例14 如图11.4.2-15，正方形和四边形所在的平面互相垂直， ，
,，求证： 平面 .
图11.4.2-15
【解析】如图11.4.2-16，设，连接, .
图11.4.2-16
由易知，则 .
又,所以四边形 为菱形，
所以 .
因为四边形为正方形，所以 .
又平面 平面,且平面 平面,所以 平面 ,
因为 平面,所以 .
又, 平面, 平面 ,
所以 平面 .
面面垂直的性质定理的应用思路
在空间图形中，如已知条件中有面面垂直，一般需要作辅助线，应用面面垂直的性
质定理得到线面垂直，继而可得线线垂直.在运用面面垂直的性质定理时，找准两平
面的交线是关键.
题型4 垂直关系的相互转化
例15 (2025·四川省成都市期中)如图11.4.2-17，平面 平面,平面 平
面, 平面,点 为垂足.
图11.4.2-17
（1）求证： 平面 ;
【解析】 如图11.4.2-18（1），在平面内取一点,作于点 .
平面 平面,且交线为 ,
图11.4.2-18
平面 .（由面面垂直得线面垂直）
平面， .
作于点, 平面 平面 ，且交
线为, 平面 ,
平面, .
,都在平面内，且 ，
平面 .
. .
如图11.4.2-18（2），在平面内作直线，在平面 内作直线
，由平面 平面，平面 平面，得 平面 ，
同理可证 平面， .
又 平面， 平面，平面 .
又 平面，平面 平面， ，
平面 .
（2）当点为的垂心时，求证： 是直角三角形.
【解析】如图11.4.2-18（1），连接并延长交于点 .
图11.4.2-18
点是的垂心， .
又 平面, 平面, .
,, 平面， 平面 .
又 平面, .
由（1）知 平面,又 平面 ,
.
, 平面, 平面, 平面 .
又 平面, ,
即 是直角三角形.
（1）在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转
化.因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键.
（2）空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时，要通
过几何图形自身的特点，如等腰（等边）三角形的“三线合一”、中位线定理、菱形
的对角线互相垂直等，得出一些求解题目所需要的条件.对于一些较复杂的问题，注
意应用转化思想解决.
【变式题】
图11.4.2-19
4.如图11.4.2-19，在四棱锥中,底面 为菱形,侧
面为等边三角形,且侧面 底面,,分别为 ,
的中点.
（1）求证: ;
【答案】因为为等边三角形，为 的中点，
所以 .
又平面 平面，平面 平面 ,
平面，所以 平面 .
因为 平面，所以 .
（2）求证:平面 平面 .
【答案】连接，因为四边形为菱形，所以 .
因为,分别为, 的中点，
所以，所以 .
由（1）可知， 平面 ，
因为 平面，所以 .
又，所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
高考考向分析
04
考情揭秘
高考对本节的考查主要是面面垂直的判定定理和性质定理，一般结合线线、线面的
垂直关系进行综合考查，通常作为解答题的第一问证明，根据题意作出辅助线是解
题的关键.求二面角的大小也是高考的高频考点，在必修阶段，主要是通过找出或作
出二面角的平面角求解二面角的大小，找准二面角的平面角是解题的关键.将来在选
择性必修第一册中，会学习用空间向量求解空间角的大小.试题难度一般为中等.
核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出面面的垂直关系）,逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用）,数学运算（二面角的求解）.
考向1 二面角的大小
图11.4.2-20
例16 (2024·新课标Ⅰ卷节选)如图11.4.2-20，四棱锥 中，
底面，,,.若 ,且
二面角的正弦值为,求 .
思路点拨 几何法求二面角的平面角的关键是找半平面的垂线，
利用线面垂直关系或三垂线法找出平面角.本题一种解法是过点
找平面的垂线，另一种解法是过点找平面 的垂线.
【解析】 （考虑到平面 平面，故过点作交线的垂线 ，
利用面面垂直的性质定理可知即为平面 的垂线）
如图11.4.2-21，作于点,于点，连接 ,
底面, 平面 ，
平面 底面 .
平面 底面,, 底面, 平面 .
平面, .
,,, 平面, 平面, 平面 .
平面, .
,, 平面, 平面 ,
为二面角 的平面角.（【小技巧】
利用三垂线定理，为在平面 上的射影，且
,则,故为二面角 的平
面角）
由,可知 ,
. .
设,,易知,,则 ，
平面, 平面, .
,解得 ,
在直角三角形中， ,
,解得, ,
, .
. .
（考虑到平面 平面，故过点作交线的垂线 ，利用面面
垂直的性质定理可知即为平面 的垂线）
平面, 平面, .
,,, 平面 ,
平面 .
又 平面, 平面 平面 .
如图11.4.2-22，作于点,又平面 平面, 平面 ,
平面 .
又 平面, .
取的中点,连接,,由得 ,
又,, 平面, 平面 ，
又 平面, .
即为二面角 的平面角.
平面, 平面, .
，解得 ，
设,则，即 ，
解得，即 .
例17 (2023·全国乙卷)已知为等腰直角三角形,为斜边, 为等边三角形,
若二面角为 ，则直线与平面 所成角的正切值为( )
C
A. B. C. D.
图11.4.2-23
【解析】如图11.4.2-23所示，取的中点为，连接， ，
则， .
又 平面, 平面,所以 即为二面角
的平面角，于是 .设 ，则
， ，
在 中，由余弦定理可得
.
由正弦定理得 ，
即,显然 是锐角，
所以 ，
所以 ,故选C.
图11.4.2-24
例18 新情境 坡屋顶 (2023·北京)坡屋顶是我国传统建筑造
型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建
筑轮廓，展现造型之美．如图11.4.2-24，某坡屋顶可视为
一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全
C
A. B. C. D.
等的等腰三角形．若, ,且等腰梯形所在的面、等腰三角形
所在的面与平面 所成二
面角的正切值均为 ．为这个模型的轮廓安装灯带
（不计损耗），则所需灯带的长度为( )
图11.4.2-25
【解析】如图11.4.2-25,过作 平面,垂足为,过 分别
作,,垂足分别为,,连接, .
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与平面
所成二面角的平面角分别为和 ，
,
平面, 平面, ,
,, 平面,, 平面, 平面 ,
,同理, .
又,故四边形 是矩形.
由得,, .
在直角三角形中, .
在直角三角形中,, .
,
棱长之和为 .
故所需灯带的长度为 .
考向2 面面垂直的判定定理与性质定理的应用
1 面面垂直的判定定理的应用
例19 (2025·天津)已知，为两条直线， ， 为两个平面，则下列结论中正确的
是( )
C
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
【解析】对于A，若 ， ，则或, 异面,故A错误；
对于B，若 ， ，则 ，故B错误；
对于C，若 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 ， ，则 或与 相交或 ,故D错误.
例20 (2022·全国乙卷)在正方体中，,分别为， 的中点，则
( )
A
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面平面 D.平面平面
图11.4.2-26
【解析】如图11.4.2-26，对于选项A，在正方体
中，因为,分别为， 的中点，所以
,又,所以，又易知 ,
，从而 平面，又 平面 ，所
以平面 平面 ，故选项A正确；
对于选项B，设,连接,在平面中，过点作直线垂直 交
于点，点异于点，因为 平面，所以， ，
所以 平面,又 平面,所以平面 平面 不成立，
故选项B错误；
对于选项C，由题意知直线与直线必相交，故平面与平面 不平行，
故选项C错误；
对于选项D，连接，，易知平面平面，又平面 与平面
有公共点，所以平面与平面 不平行，故选项D错误.故选A.
图11.4.2-27
例21 (2025· 全国一卷节选)如图11.4.2-27，在四棱锥
中， 底面， .证明：平面
平面 .
【解析】因为 平面, 平面 ,
所以 ,
又,,所以 平面 ,
又 平面，所以平面 平面 ．
图11.4.2-28
例22 (2023·全国甲卷)如图11.4.2-28，在三棱柱
中， 平面， ．
（1）证明：平面 平面 ；
【解析】因为 平面, 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ,
又,, 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,
所以平面 平面 .
（2）设，，求四棱锥 的高．
图11.4.2-29
【解析】如图11.4.2-29，过点作,交于点 ，
由（1）知平面 平面 ，
又平面 平面, 平面 ，
所以 平面 ，
即四棱锥的高为 .
由题意知，, ,则
,故 .
又, ,
所以 .
由 ，得
，
故四棱锥 的高为1.
在等腰直角三角形中，为斜边中线，所以 ,
故四棱锥 的高为1.
例23 (2023·全国乙卷节选)如图11.4.2-30，三棱锥中，， ,
，,,,的中点分别为,,,,点在 上，
.
图11.4.2-30
（1）证明：平面 ；
图11.4.2-31
【解析】如图11.4.2-31,因为，,， 是
的中点，所以，所以 .
记与的交点为,则 ，又 ，
,所以，所以 ,
所以 ,
又 ， ，所以,所以 ,
同理可得,所以是 的中点.
因为,分别是,的中点，所以 ,
同理可得，所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）证明：平面 平面 .
【解析】, ,
又 ，
所以,所以 .
由于，所以 ，
又,， 平面, 平面,所以 平面 .
又 平面,所以平面 平面 .
2 面面垂直背景下的体积问题
例24 (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装
盒如图11.4.2-32所示.底面是边长为8（单位：）的正方形，, ,
,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直.
图11.4.2-32
（1）证明:平面 ;
【解析】如图11.4.2-33，分别取,的中点,，连接,, ，
图11.4.2-33
与 均为正三角形，且边长均为8，
,，且 ．
又平面与平面均垂直于平面 ，
平面 平面,平面 平面, 平面,
平面 ,
平面， 平面 ，
（面面垂直性质定理的应用）
， 四边形 为平行四边形，
．
又 平面， 平面 ,
平面 ．
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.
图11.4.2-33
【解析】如图11.4.2-33，分别取,的中点,，连接 ,
,,,，, ．
由（1）知 平面， 平面 ，
同理可证得， 平面， 平面 ，
易得， .
易得，, ，
所以 ，
又 ，
所以四边形 是正方形，
所以四棱柱 为正四棱柱，
所以 ．
因为,，所以 ．
因为 平面， 平面 ，
所以 ．
又, 平面，且 ，
所以 平面 ，
则点到平面的距离 ，
所以 ，
所以该包装盒的容积
．
高考新题型专练
1.[多选题] (2023· 新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为，底面圆心为， 为底面直
径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则
( )
AC
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
图D 11.4.2-4
【解析】在中,由余弦定理得 ，如图D 11.4.2-
4，连接,易知圆锥的高 ，底面圆的半径
.
对于A，该圆锥的体积 ，故A选项正确；
对于B，该圆锥的侧面积 ，故B选项错误；
对于C，取的中点，连接, ,
因为，所以，同理可得 ，
则二面角的平面角为 ，所以 ,
,所以 ，故C选项正确;
对于D，，,故D选项错误.综上，选 .
2.[多选题] (新高考全国Ⅱ卷)下列各正方体中，为下底面的中心，，为顶点，
为所在棱的中点，则满足 的是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】对于A，如图D 11.4.2-5，，则, ,
,四点共面，所以直线在平面 内，且
,所以直线与 相交但不垂直.
对于B，如图D 11.4.2-6，连接，取的中点 ，
连接,,则,因为平面 平面，所以 平面 ，所以
,又, ，所以 平面,所以 .
对于C，如图D 11.4.2-7，作于，连接 ,
,,则易知 平面,所以 ,又
,，所以 平面 ,又
，所以 平面,因为 平面
，所以 .
对于D,如图D 11.4.2-8，取棱的中点，连接，则，连接 ，不妨设
正方体的棱长为2，则,,,则,则 ，
所以不垂直于，即不垂直于.故选 .
知识测评
05
建议时间：35分钟
图11.4.2-1
1.(2025·上海市松江区立达中学月考)如图11.4.2-1（1）
（2）所示,上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四
棱柱,且四个侧面均悬挂有时钟.则每天从0点到12点
（包括0点,但不包括12点）,相邻两个时钟的时针出
现两两相互垂直的情况的次数为( )
B
A.0 B.2 C.4 D.12
【解析】相邻两个时钟的时针分别在3点和 9点时相互垂直.
2.若平面 平面 ,平面 平面 ,则( )
D
A. B.
C. 与 相交但不垂直 D.以上都有可能
【解析】 , ,则 ,或 ,或 与 相交但不垂直，如图D11.4.2-1所示.
图D11.4.2-1
3.把边长为4的正方形沿对角线折成空间四边形，使得平面 平
面，则空间四边形的对角线 的长为( )
A
A.4 B. C.2 D.
图D 11.4.2-2
【解析】如图D 11.4.2-2所示，取的中点，连接, ，则
， ，
因为平面 平面，且平面 平面 ，所
以 ，
又 ，
所以 ，
所以，即空间四边形的对角线 的长为4．
4.(2025·天津市滨海新区期中)设,是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，
则下列命题中正确的是( )
C
A.若， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ， , ，则
D.若， ， ，则
【解析】对于A,若， ，则 或 或 或与 斜交，故A
错误；
对于B,若 ， ，则 或 或 或与 斜交，故B错误；
对于C,若 ， ,则，又 ,则 ，故C正确；
对于D,若， , ,则 或 或 或与 斜交，故D错误.
图11.4.2-2
5.［多选题］如图11.4.2-2，已知正方体 ，
则下面四个推断正确的是( )
BCD
A.
B.
C.平面平面
D.平面 平面
【解析】因为，所以直线与所成的角为 ，故A不正确.
因为，，所以 ，故B正确.
因为，,,，所以平面 平面
,故C正确.
因为，,，所以平面 ,因为
平面，所以平面 平面 ,故D正确.
6.如图11.4.2-3所示，在三棱锥中，， 都是等边三角形，且
，,则二面角 的大小为_____．
图11.4.2-3
图D 11.4.2-3
【解析】如图D 11.4.2-3,取的中点，连接， .因为
，是的中点，所以，同理可证 ，
所以是二面角 的平面角．
在中， ， ，
，所以 .
同理可得 .
又，所以 是等边三角形，
所以 ，即二面角的大小为 .
7.(2025·山东省泰安市期中)如图11.4.2-4，在空间几何体中，底面 是梯
形，且，， ， 是边长为2的等边三角形．
图11.4.2-4
（1）若为的中点，求证：平面 ；
【答案】如图D 11.4.2-4所示，取的中点，连接， ．
图D 11.4.2-4
为的中点，，且 ．
又， ，
，且 ，
四边形是平行四边形， ．
平面， 平面，平面 ．
（2）若，求证：平面 平面 ．
【答案】取的中点，连接， ．
是边长为2的等边三角形，
，且 ．
在中，，， ，
根据余弦定理可得
，即
．
在中，，， ,
，即 ．
，，且 平面， 平面， ，
平面 ．
又 平面， 平面 平面 ．
图11.4.2-5
8.新考法 结构不良 如图11.4.2-5，平行四边形的边 所在
的直线与菱形所在的平面垂直，且， ．
（1）求证：平面 平面 .
【答案】，， 是等边三角形.
，为中点，故， .
平面， ，
， 平面 ，
平面， 平面 平面 ．
（2）若，____，求二面角 的余弦值．
从， 这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题.
【答案】选①.
由（1）知 平面 ，
，， ，
平面平面， 平面 ，
平面， 平面，， ，
是二面角 的平面角.
，， ，
， ，
二面角的余弦值为 ．
选②.
由（1）得 平面 ，
，，， 平面平面 ，
平面 ，
平面， 平面，， ，
即为二面角 的平面角.
，， ，
， 二面角的余弦值为 ．
高考模拟
06
建议时间：40分钟
图11.4.2-6
9.(2025·湖南省长沙市长郡中学月考)如图11.4.2-6，点 为
正方形的中心，为正三角形，平面 平
面,是线段 的中点，则( )
B
A.，且直线， 是相交直线
B.，且直线， 是相交直线
C.，且直线， 是异面直线
D.，且直线， 是异面直线
图D 11.4.2-5
【解析】如图D 11.4.2-5，取的中点，连接，， ，
，因为是正三角形，所以 .
设，则 .
因为点是正方形的中心，所以, ,
.
因为平面 平面，平面 平面 ,所以
平面， 平面，所以， ，
所以在中，，在中， ，
所以在等腰三角形中，，所以 .
易知,都在面 上.是相交直线.
图11.4.2-7
10.(2025·陕西省渭南市期末)如图11.4.2-7，二面角
的大小是 ，线段 ，，与 所成的角为
，则与平面 所成的角的正弦值是( )
C
A. B. C. D.
图D 11.4.2-6
【解析】如图D 11.4.2-6，过点作平面 的垂线，垂足为 ，在
平面 内过作的垂线，垂足为，连接 .由线面垂直的判定
定理,可知 平面，则 ，
故为二面角 的平面角，即 .
连接，显然,为与平面 所成的角.
设，则， ,
故 .
11.［多选题］(2025·重庆市期中)如图11.4.2-8所示，在矩形中， ，
，为上一动点，现将沿折起至，在平面 内作
，为垂足．设， ，则下列说法正确的是( )
AC
图11.4.2-8
A.若 平面，则
B.若 平面，则
C.若平面 平面，且，则
D.若平面 平面，且，则
【解析】如图D 11.4.2-7，
图D 11.4.2-7
对于A，若 平面，则有 ，
在中，， ，
则 ，
所以 ，
在中，，即 ，故A正确；
对于B，若 平面，则有， ，
在中，，在中， ，
即，解得 ，故B错误；
对于C，若平面 平面，过点作，垂足为，连接 ，因为平
面 平面，所以 平面，所以，又 ，
所以 平面，所以，因为，所以在等腰中， ，
所以在等腰中， ，故C正确；
对于D，平面 平面，又平面 平面， ，所以
平面，所以 ，
过点作，垂足为，连接 ，
因为，所以 平面 ，
又 平面，所以 ，
所以在矩形中，连接，则有，， 三点共线，
则 ，又 ，所以 ，又
，
所以由知， ，
因为，，所以 ，故D错误．
故选 ．
图11.4.2-9
12.如图11.4.2-9，边长为的等边三角形的中线 与中位线
交于点,已知是绕 旋转过程中的一个图形，
则下列命题中正确的是______.（填序号）
①③
①动点在平面上的射影在线段 上；
②平面 ;
③三棱锥 的体积有最大值.
【解析】①中当与，不重合时，由已知可得平面 平面,故动点 在
平面上的射影在线段 上;
当与或 重合时，显然成立.
②因为,根据线面平行的判定定理可得，当不与,重合时， 平面
；当与或重合时, 平面 .
③当平面 平面时，三棱锥 的体积达到最大.
13.(2025·广西名校联盟模拟)在四面体中,,, ,
平面 平面 ,则该四面体外接球的表面积为_ ___.
【解析】因为,,所以,因为,所以 为
等边三角形，又平面 平面,取的中点,则点是的外心，连接 ,
则 平面，则球心在上,设四面体的外接球的半径为 ，则有
,解得 .
故该四面体外接球的表面积为 .
图11.4.2-10
14.(2025·安徽省合肥一六八中学期末)如图11.4.2-10，已知三
棱柱的底面是正三角形，侧面 是矩
形，,分别为,的中点，为上一点.过和
的平面交于，交于 .
（1）证明：，且平面 平面 .
【答案】因为，分别为,的中点，所以 .
又由已知得,故 .
因为是正三角形，所以 .
又且,故 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
（2）设为的中心.若，平面,且 ，求
四棱锥 的体积.
【答案】因为平面, 平面,平面 平面
,所以 .
又,所以四边形 是平行四边形，
所以,,, .
因为平面,所以四棱锥的顶点到底面 的距离等于
点到底面 的距离.
图D 11.4.2-8
如图D 11.4.2-8，作，垂足为 ，则由（1）知，
平面 ，（由面面垂直的性质定理可得线面垂直）
故.底面 的面积为
.
所以四棱锥的体积为 .
. .
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高二下学期数学人教B版必修第四册