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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.5 y=ax2+bx+c 图象与性质
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 4 2 …
A． B． C． D．
解： 如图所示，四个点在坐标系中的分布，
∵用列表法画二次函数图象时要列出顶点坐标，
∴若错，则二次函数对称轴在直线和直线之间，
∴表中的描点没有顶点坐标，故是正确的；
若错，则二次函数对称轴为直线，
∵二次函数开口向上，
∴当时的函数值最小，这与时，函数值为4不是最小矛盾，∴是正确的，
若错，由于，此时函数开口方向不可能向上，∴正确；
若错，此时抛物线对称轴为，∴当时，y随x增大而增大，满足题意，
综上所述，只有是错误的，故选B．
2．（本题3分）如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（ ）
A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1
解：由A、B的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意；
C．∵y=-x2-2x+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==-1，故C不合题意；
D．∵y=-x2+2x+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，故D符合题意；
故选：D．
3．（本题3分）若，是二次函数（b为常数）的图象上的两点，且，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵二次函数，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧随的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即、两点都在对称轴右侧，
∵，
∴，
将代入函数得，
又∵，
∴，
综上可得．
4．（本题3分）若抛物线的对称轴为直线，则“”内的数为（ ）
A． B．1 C． D．4
解：设“□”内的数为，则抛物线解析式为，
∵对称轴为直线
∴
∴
故“□”内的数为4．
故选：D．
5．（本题3分）已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
解：在二次函数中，，对称轴为直线，
∴图象开口向上，
∴在对称轴左侧，即时，随的增大而减小．
故选：D．
6．（本题3分）抛物线上部分点的坐标如表，则下列说法错误的是（ ）
… 0 1 …
… …
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．当时，随的增大而减小
D．抛物线的顶点坐标为
解：对于选项B：∵当和时，的值均为，这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线，故B选项正确；
对于选项A：观察表格可知，当从增大到时，从减小到，即对称轴右侧随的增大而减小，根据二次函数性质，可知抛物线开口向下，故A选项正确；
对于选项C：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，而非减小，故C选项错误；
对于选项D：已知对称轴为直线，对应表格中的，
∴抛物线的顶点坐标为，故D选项正确；
故选：C．
7．（本题3分）已知抛物线（为常数），当时，，当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：把代入，得
．
∵当时，，
∴，解得．
∵抛物线中，二次项系数，
∴抛物线开口向上．
∵当时，的值随值的增大而减小，
∴抛物线的对称轴．
对于抛物线，，，
∴对称轴为．
∵，
两边同时乘以（不等号变向），得，解得．
综上，的取值范围是．
8．（本题3分）我们约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“准奇函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“准奇点”．若点，是关于x的“准奇函数”上的一对“准奇点”，且该函数图象的对称轴始终在点的右侧，现有下列结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④
解：∵点是关于的“准奇函数”上的一对“准奇点”，
∴点关于原点对称，
∴，
∴，
将代入中得，，
解得，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终在点的右侧，
∴，即，
∴，故④正确，符合题意，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴，故③错误，不符合题意，
综上所述：正确的是①②④，
故选：D．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知点在函数的图象上，则的大小关系是_____．
解：∵，且，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
分别计算三个点到对称轴的距离：
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为.
因为开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且，
∴．
10．（本题3分）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________．
解：当时，，
当时，，
由于，
则，
解得，
故答案为：．
11．（本题3分）抛物线的顶点坐标为_____．
解：∵
；
∴顶点坐标为.
12．（本题3分）已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________．
解：抛物线关于直线对称，
，即，
则，
抛物线过点，且关于直线对称，
关于直线的对称点是，且抛物线过点，
则当时，，
即．
13．（本题3分）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，并与抛物线的对称轴交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________．
解：①观察图象开口向下，，故①正确；
②对称轴在y轴右侧，，故②正确；
③∵抛物线与x轴的一个交点B的坐标为，对称轴在y轴右侧，
∴当时，，即，故③错误；
④∵抛物线与x轴交于A，B两点，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，故④正确．
综上：①②④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象
x … 0 1 2 3 …
y … 0 …
(2)根据图象下列回答：
①当时，y的取值范围是______；
②当时，x的取值范围是______．
（1）解：当时，；当时，，
所以补全表格为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 …
描点、连线：
（2）解：①观察图象可知：当时，．
②当时，．
15．（本题8分）已知抛物线（b，c为常数）．
(1)当，时，
①求该抛物线的顶点坐标．
②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围．
(2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式．
（1）①解：当，时，抛物线，
则抛物线的顶点坐标为；
②解：由①知抛物线，
将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线为：，
将点代入新抛物线得：，即，
由于，
则当时，有最小值，最小值为1，
当时，，
当时，，
因此，h的取值范围为；
（2）解：抛物线开口向上，对称轴为，
当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2，
则
即当时，；时，，
代入抛物线得，
解得或（舍去），
则该抛物线的表达式为．
16．（本题8分）已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标；
(2)求该函数图象与y轴的交点坐标．
（1）解：
，
即顶点坐标为；
（2）解：当时，，
即该函数图象与y轴的交点坐标为．
17．（本题8分）已知抛物线．
(1)将抛物线解析式转化为的形式；
(2)当取何值时，随的增大而增大？
(3)写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式．
（1）解：；
（2）解：，函数图象的开口方向向下，
又对称轴，
当时，随的增大而增大；
（3）解：∵将抛物线向左平移1个单位长度，
此时解析式为，
∵再向下平移2个单位长度，
∴解析式为．
18．（本题9分）已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若点在此抛物线上，试比较的大小；
(3)平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程．
（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴当时，随着的增大而增大，
∵点在此抛物线上，，
∴；
（3）解：∵抛物线平移后得到抛物线，
∴新的抛物线是由原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到．
19．（本题10分）已知抛物线对应的二次函数为．
(1)该抛物线的顶点坐标是_____，该函数的最大值是_____．
(2)若点、均在抛物线上，且轴，点，则点的坐标为_____．
(3)若该抛物线经过点和，，比较、与的大小：_____（用“”连接）．
(4)若，则的取值范围是_____．
（1）解：
∴抛物线的顶点坐标是，抛物线开口向下，最大值为
故答案为：，．
（2）解： ∵轴，抛物线的对称轴直线
∴关于对称轴直线对称，
∵点 ，
∴点的坐标为
（3）解：抛物线开口向下，对称轴直线
又∵该抛物线经过点和，
到对称轴的距离分别为：，
∴
（4）解： 由（1）知抛物线开口向下，顶点坐标为，
当时，取得最大值3，
∵
将代入 得
∴当，则的取值范围是
20．（本题12分）已知抛物线
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【探究发现】
（2）甲同学发现，对于任意正数m，只要取，就能得到y的最小值，请结合函数解析式解释甲同学的说法是否合理；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．乙同学发现，随着m的变化，抛物线顶点的位置发生变化，且经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
解：（1）①当时，对应的函数解析式为；
②，
∵，
∴当时，函数y有最小值，此时的y值为；
（2），
∵，
∴当时，函数y有最小值，
∴甲同学的说法合理；
（3）抛物线，
∴抛物线G顶点为，
∵抛物线G向右平移m个单位得到抛物线，
∴抛物线顶点为，
由题意得，则，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴这个函数关系式为．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.5 y=ax2+bx+c 图象与性质
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 4 2 …
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（ ）
A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1
3．（本题3分）若，是二次函数（b为常数）的图象上的两点，且，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）若抛物线的对称轴为直线，则“”内的数为（ ）
A． B．1 C． D．4
5．（本题3分）已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
6．（本题3分）抛物线上部分点的坐标如表，则下列说法错误的是（ ）
… 0 1 …
… …
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．当时，随的增大而减小
D．抛物线的顶点坐标为
7．（本题3分）已知抛物线（为常数），当时，，当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）我们约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“准奇函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“准奇点”．若点，是关于x的“准奇函数”上的一对“准奇点”，且该函数图象的对称轴始终在点的右侧，现有下列结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知点在函数的图象上，则的大小关系是_____．
10．（本题3分）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________．
11．（本题3分）抛物线的顶点坐标为_____．
12．（本题3分）已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________．
13．（本题3分）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，并与抛物线的对称轴交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象
x … 0 1 2 3 …
y … 0 …
(2)根据图象下列回答：
①当时，y的取值范围是______；
②当时，x的取值范围是______．
15．（本题8分）已知抛物线（b，c为常数）．
(1)当，时，
①求该抛物线的顶点坐标．
②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围．
(2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式．
16．（本题8分）已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标；
(2)求该函数图象与y轴的交点坐标．
17．（本题8分）已知抛物线．
(1)将抛物线解析式转化为的形式；
(2)当取何值时，随的增大而增大？
(3)写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式．
18．（本题9分）已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若点在此抛物线上，试比较的大小；
(3)平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程．
19．（本题10分）已知抛物线对应的二次函数为．
(1)该抛物线的顶点坐标是_____，该函数的最大值是_____．
(2)若点、均在抛物线上，且轴，点，则点的坐标为_____．
(3)若该抛物线经过点和，，比较、与的大小：_____（用“”连接）．
(4)若，则的取值范围是_____．
20．（本题12分）已知抛物线
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【探究发现】
（2）甲同学发现，对于任意正数m，只要取，就能得到y的最小值，请结合函数解析式解释甲同学的说法是否合理；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．乙同学发现，随着m的变化，抛物线顶点的位置发生变化，且经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
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