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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.6 y=ax2+bx+c 的最值
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）二次函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D． 9
解：
∵二次项系数，抛物线开口向上，
∴当时，函数取得最小值，最小值为，
故选D．
2．（本题3分）二次函数在时有最大值，则这个函数的图象可以是（ ）
A．B．C． D．
解：∵二次函数在时有最大值，
∴抛物线开口向下，顶点为：，
∴选项C符合题意，
故选：C．
3．（本题3分）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（ ）
A．函数有最大值 B．函数有最大值3
C．函数没有最小值 D．函数没有最大值
解：抛物线的对称轴为直线，
∵，开口向下，在的取值范围内，且，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
当时，函数有最小值，最小值为，
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
4．（本题3分）二次函数在时有最大值4，则这个函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵在时有最大值4，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴这个函数的图象可能是
故选：B
5．（本题3分）如图，是等边三角形，是上的动点，是上一点，，若，则的最小值为( )
A． B． C． D．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（点，，在同一条直线上），
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，要使最小，则有最大值，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，
∴当时，最大，，
∴，∴．故选：A．
6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，延长交轴于点，则轴，连接，
在与中，
，，
，
，
设，
则，
设，
，
，
，
抛物线开口向下，
又，
时，有最大值，
此时有最小值，，
当时，有最小值，
此时有最大值，，
的取值范围是．
故选：B．
7．（本题3分）已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（ ）
A．5或1 B．5或 C．或1 D．或
解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵当时，
即，
∴，
∴或，
即当或时，，
∴二次函数的图象如下：
∵当时，二次函数的最小值为，
∴或，
即实数a的值为或．
8．（本题3分）如图1，在中，，E，F分别是边上的动点，且，D是的中点，连接，设，的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值，最大值为，
由图2可知，当时，有最大值，最大值为m，
∴，即，
∴，
故选：B．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）二次函数的最小值是___________．
解：∵二次函数，，
∴该抛物线的开口向上，顶点坐标为，
则当时，二次函数的最小值是．
10．（本题3分）若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________．
解：对函数解析式配方得．
∴抛物线开口向下，当时，取得最大值，即礼炮到达最高处引爆，
∴礼炮引爆的时间为．
11．（本题3分）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行___________才能停下来．
解：
，
当时，取最大值．
即飞机着陆后滑行才能停下来．
故答案为：600．
12．（本题3分）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______．
解：根据题意，该函数图象开口向上，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵该函数图象与轴交于负半轴，
∴当时，，
∴，故结论①正确；
由图象可知，当时，，
∴，又，
∴，即，故结论③正确；
∵当时，该二次函数取最小值，
∴（为实数），
即（为实数），故④正确；
综上所述，结论正确的有①②③④．
故答案为：①②③④
13．（本题3分）如图1，在正方形中，动点E从点B出发，沿的方向运动，当点E到达点A时停止运动，将线段绕点B逆时针方向旋转得到，连接，，设点E的运动路程为x，的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点E在的运动过程中，y有最大值6，当点E停止运动时，函数图象中m的值为______．
解：设正方形的边长为a，根据题意，得，
当点E在的运动过程中，根据题意，得
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当，的面积最大，且最大值为．
∵y有最大值6，
∴即；
当点E与点A重合时，停止运动，
∵，
∴C，B，F三点共线，
∴，
根据题意，得，
∴m的值为48．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)求与的函数表达式，并求的最大值．
（1）解：，
，
又，，，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
15．（本题8分）抛物线，
(1)求顶点坐标；
(2)若，则的取值范围是___________．
（1）解：由可知：该二次函数的顶点坐标为；
（2）解：由（1）可知：该二次函数的对称轴为直线，，即开口向上，
∴当时，y有最小值，最小值为；
当时，则有，当时，则有；
∴当时，的取值范围是；故答案为．
16．（本题8分）已知二次函数的解析式
(1)在直角坐标系中画出它的图象；
(2)观察图象可知时，的取值范围是 ；
(3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围．
（1）解：列表如下：
… 0 1 3 …
… 0 6 …
描点，连线画出抛物线，如图所示．
（2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是；
（3）解：由图象可知顶点坐标为，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
当时，，
综上，当时，的取值范围为．
17．（本题8分）抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C．
(1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________；
(2)当x满足时，y的取值范围是_________；
(3)当y满足时，x的取值范围是_________．
（1）解：把代入得，，
∴点坐标为，
∵，
∴顶点坐标为，
故答案为：，；
（2）解：当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，
故答案为：；
（3）解：把代入得，，
解得，，
∴当时，或，
故答案为：或．
18．（本题9分）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：．
(1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义．
(2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？
(3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值．
（1）解：利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：，
∴对称轴直线为，
当时，，
∴顶点坐标为，
∵，即图象的开口象限，
∴当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元；
（2）解：当时，，
整理得，，
∴，
解得，，
∴当利润达到万元时，需要减少吨或吨；
（3）解：二次函数解析式为，
∵，顶点坐标为，
∴图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，
∴当时，确定最大值，
∴，
∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元．
19．（本题10分）配方法如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将复杂的表达式转化为“完全平方”模块或其组合，并利用非负性优势，能在方程求解、极值分析等场景中化繁为简，成为破解难题的黄金钥匙．例如，可配方成．
解决问题：
（1）已知，可配方成（，为常数），则______；
探究问题：
（2）已知，求的值；
拓展结论：
（3）已知实数，满足，则的最大值是______．
解：（1）
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
∴，
，
∵，
∴，
解得，，
∴；
（3）∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴的最大值是．
20．（本题12分）已知抛物线
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【探究发现】
（2）甲同学发现，对于任意正数m，只要取，就能得到y的最小值，请结合函数解析式解释甲同学的说法是否合理；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．乙同学发现，随着m的变化，抛物线顶点的位置发生变化，且经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
解：（1）①当时，对应的函数解析式为；
②，
∵，
∴当时，函数y有最小值，此时的y值为；
（2），
∵，
∴当时，函数y有最小值，
∴甲同学的说法合理；
（3）抛物线，
∴抛物线G顶点为，
∵抛物线G向右平移m个单位得到抛物线，
∴抛物线顶点为，
由题意得，则，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴这个函数关系式为．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.6 y=ax2+bx+c 的最值
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）二次函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D． 9
2．（本题3分）二次函数在时有最大值，则这个函数的图象可以是（ ）
A．B．C． D．
3．（本题3分）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（ ）
A．函数有最大值 B．函数有最大值3
C．函数没有最小值 D．函数没有最大值
4．（本题3分）二次函数在时有最大值4，则这个函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
5．（本题3分）如图，是等边三角形，是上的动点，是上一点，，若，则的最小值为( )
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（ ）
A．5或1 B．5或 C．或1 D．或
8．（本题3分）如图1，在中，，E，F分别是边上的动点，且，D是的中点，连接，设，的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）二次函数的最小值是___________．
10．（本题3分）若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________．
11．（本题3分）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行___________才能停下来．
12．（本题3分）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______．
13．（本题3分）如图1，在正方形中，动点E从点B出发，沿的方向运动，当点E到达点A时停止运动，将线段绕点B逆时针方向旋转得到，连接，，设点E的运动路程为x，的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点E在的运动过程中，y有最大值6，当点E停止运动时，函数图象中m的值为______．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)求与的函数表达式，并求的最大值．
15．（本题8分）抛物线，
(1)求顶点坐标；
(2)若，则的取值范围是___________．
16．（本题8分）已知二次函数的解析式
(1)在直角坐标系中画出它的图象；
(2)观察图象可知时，的取值范围是 ；
(3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围．
17．（本题8分）抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C．
(1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________；
(2)当x满足时，y的取值范围是_________；
(3)当y满足时，x的取值范围是_________．
18．（本题9分）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：．
(1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义．
(2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？
(3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值．
19．（本题10分）配方法如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将复杂的表达式转化为“完全平方”模块或其组合，并利用非负性优势，能在方程求解、极值分析等场景中化繁为简，成为破解难题的黄金钥匙．例如，可配方成．
解决问题：
（1）已知，可配方成（，为常数），则______；
探究问题：
（2）已知，求的值；
拓展结论：
（3）已知实数，满足，则的最大值是______．
20．（本题12分）已知抛物线
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【探究发现】
（2）甲同学发现，对于任意正数m，只要取，就能得到y的最小值，请结合函数解析式解释甲同学的说法是否合理；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．乙同学发现，随着m的变化，抛物线顶点的位置发生变化，且经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
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