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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.7 二次函数图象与各项系数的符号
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图是二次函数的图象，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
3．（本题3分）若二次函数，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．C． D．
4．（本题3分）如图，二次函数的图像经过平面直角坐标系中的、、三个点，则该二次函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）抛物线的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（本题3分）二次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
7．（本题3分）抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，则下列正确的个数是（ ）
；；若此抛物线经过和两点，则．
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③当时，的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）．
10．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限．
11．（本题3分）二次函数的图象如图所示，则______ ，______
12．（本题3分）已知二次函数 的图象如图所示，则点所在的象限是_________．
13．（本题3分）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论：
①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则
其中正确的结论序号有______．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题．
(1)请确定的正负．
(2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由．
15．（本题8分）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)若，求m的取值范围．
16．（本题8分）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴．
(1)确定a、b、c的符号；
(2)当x取何值时，；当x取何值时，．
17．（本题8分）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
18．（本题9分）[回归教材]（1）已知一元二次方程（a、b、c为常数，）的两个实数解为，，则有，．这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．请你证明这个定理．
[夯实基础]（2）若一元二次方程的两个实数解为，，求的值．
[拓展应用]（3）若关于x的一元二次方程的两个实数解为，，求的最小值．
19．（本题10分）甲、乙两袋中装有大小、材质完全相同的卡片，其中甲袋有3张卡片，上面分别标有的数字为，，：乙袋有4张卡片，上面分别标有的数字为，，，．从甲袋任意摸出一张卡片，记其标有的数字为m，从乙袋任意摸出一张卡片，记其标有的数字为n，以此确定点M的坐标．
(1)求乙袋摸出卡片的数字n是非负数的概率；
(2)①请用画树状图或列表的方式，写出点M所有可能的坐标；
②求点在函数图象上的概率．
20．（本题12分）已知抛物线的图象如图所示．
(1)判断、、及的符号；
(2)求的值；
(3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号）
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.7 二次函数图象与各项系数的符号
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图是二次函数的图象，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示：
抛物线交于轴正半轴上，
，
满足条件的是AD；
抛物线的对称轴，
，
满足条件的是D；
故选：D．
2．（本题3分）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
解：∵抛物线开口向下，
∴，故选项A不正确；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，故选项B正确，选项C不正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，故选项D不正确．
故选：B．
3．（本题3分）若二次函数，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．C． D．
解：对于二次函数，
令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴可以排除A选项；
∵，
∴抛物线的对称轴，
∴可以排除B和C选项；
故选：D．
4．（本题3分）如图，二次函数的图像经过平面直角坐标系中的、、三个点，则该二次函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
解:由图可知二次函数与轴交于正半轴可知，故B选项、D选项不符合题意；
二次函数对称轴为，故，故A选项不符合题意；
C选项：，符合题意．
故选C．
5．（本题3分）抛物线的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
解：抛物线开口向下
∴，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴
，
抛物线与轴交于正半轴，
∴．
故选：D．
6．（本题3分）二次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
解：A、∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，开口向上，对称轴在y轴的右侧，
∴，，，
∴，
∴，矛盾，
故A不符合；
B、∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∵二次函数与y轴交于正半轴，开口向上，对称轴在y轴的左侧，
∴，，，
∴，
∴，矛盾，
故B不符合；
C、∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∵二次函数与y轴交于负半轴，开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴，，，
∴，
∴，
故C符合；
D、∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∵二次函数与y轴交于负半轴，开口向下，对称轴在y轴的右侧，
∴，，，
∴，
∴，矛盾，
故D不符合，
故选：C．
7．（本题3分）抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，则下列正确的个数是（ ）
；
；
若此抛物线经过和两点，则．
A． B． C． D．
解：∵抛物线的开口方向向下，
∴，
∵对称轴在轴左侧，
∴对称轴为，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
∴，
∴，故错误；
由图像可知：当时，，
∴，故错误；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴图像上的点离对称轴越远则的值越小，
∵，，
∴，
∴，故错误；
综上可得：三个结论错误，个正确，
故选：A．
8．（本题3分）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③当时，的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由图知，二次函数开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
，
，
故①正确；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，
时，，
故②错误；
抛物线对称轴为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当时，的取值范围是，
故③正确；
④点，都在抛物线上，且，
则，
故④正确；
综上，结论正确的个数是3个；
故选：C．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）．
解：∵函数图象开口向下，
∴，故①错误；
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故②错误；
由函数图象可知，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，
∴，故③正确；
由函数图象可知，当时，，
∴，故④错误；
∴正确的只有③，
故答案为：③．
10．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限．
解：由图知，二次函数开口向下，
，
二次函数的图象与轴交于正半轴，
，
则点在第二象限；
故答案为：二．
11．（本题3分）二次函数的图象如图所示，则______ ，______
解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
故答案为：，
12．（本题3分）已知二次函数 的图象如图所示，则点所在的象限是_________．
解：根据抛物线图象可知，
抛物线开口向下，
∴；
对称轴位于轴左侧，
∴同号，
∴；
∴点所在的象限是第三象限，
故答案为：第三象限．
13．（本题3分）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论：
①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则
其中正确的结论序号有______．
解：二次函数图象与x轴交于点，，
设解析式为，
则，，
由于二次函数图象与y轴的交点在与之间，
则，即，
解得，故结论④正确；
对于结论①：，，，则，故①错误；
对于结论②：当时，
由得，当时，，
则，故②正确；
对于结论③：对称轴为直线，抛物线开口向上，
由且，得，点离对称轴比点更远，
则，故③正确；
对于结论⑤：考虑函数，
由于，为开口向上的抛物线，
顶点在，,则，当时取等号，
故，不一定大于，故⑤错误；
综上，正确结论为②、③、④．
故答案为：②③④．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题．
(1)请确定的正负．
(2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由．
（1）解：抛物线的开口方向向下，
．
，
．
（2）解：，
，
由图可知，，
，
，
一次函数的图象经过第二、三、四象限．
15．（本题8分）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)若，求m的取值范围．
（1）解：由题知，
所以抛物线的对称轴为直线；
（2）解：将点点，坐标代入函数解析式得，
，
，
又因为，
所以，
解得或．
所以m的取值范围是：或
16．（本题8分）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴．
(1)确定a、b、c的符号；
(2)当x取何值时，；当x取何值时，．
（1）解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线与y轴交点位于y轴的正半轴，
，
综上可知，，，；
（2）解：由所给图象可得，抛物线与x轴交点坐标为，，
当时，抛物线在x轴上方，当或时，抛物线在x轴下方，
当时，；当或时，．
17．（本题8分）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，，
解得：；
（2）解：∵函数图象的开口向下，
，
，
∴当时，该函数图象的开口向下；
（3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值，
，
∵或1，
∴当时，该函数有最小值．
18．（本题9分）[回归教材]（1）已知一元二次方程（a、b、c为常数，）的两个实数解为，，则有，．这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．请你证明这个定理．
[夯实基础]（2）若一元二次方程的两个实数解为，，求的值．
[拓展应用]（3）若关于x的一元二次方程的两个实数解为，，求的最小值．
解：（1）根据求根公式可知，一元二次方程（a、b、c为常数，）的两个解为
，，
由此可得
，
．
（2）∵的两个实数解为和，
∴，．
∴．
（3）∵方程的两个实数解为和，
∴，．
∴．
设，可知
．
可知二次函数开口向上，对称轴为．
∵方程有实数解，
∴．
解得．
∵当时，对于二次函数，随着的增大而增大，
∴当时，有最小值，
即．
19．（本题10分）甲、乙两袋中装有大小、材质完全相同的卡片，其中甲袋有3张卡片，上面分别标有的数字为，，：乙袋有4张卡片，上面分别标有的数字为，，，．从甲袋任意摸出一张卡片，记其标有的数字为m，从乙袋任意摸出一张卡片，记其标有的数字为n，以此确定点M的坐标．
(1)求乙袋摸出卡片的数字n是非负数的概率；
(2)①请用画树状图或列表的方式，写出点M所有可能的坐标；
②求点在函数图象上的概率．
（1）解：乙袋摸出的卡片共有4种可能结果，摸出的卡片数字是非负数的可能有3种，
乙袋摸出卡片的数字n是非负数的概率；
（2）①画树状图得：
点M有12种等可能，分别是：，，，，，，，，，，，；
②只有，，满足，
点在函数图象上的概率．
20．（本题12分）已知抛物线的图象如图所示．
(1)判断、、及的符号；
(2)求的值；
(3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号）
（1）解：抛物线开口向上，
，
对称轴在y轴右侧，
、异号，
，
抛物线与y轴负半轴相交，
，
当时，，
；
（2）解：由函数的图象可知，当时，，
；
（3）解：由（1）可知，，
，
，①结论正确；
，
，
，
，
，
，②结论错误；
当时，，
当时，，
，
，
，③结论正确；
故答案为：①③．
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