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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.9 反比例函数,二次函数图象综合判断
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
2．（本题3分）二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（ ）
A．或 B． C． D．或
3．（本题3分）方程的负实数根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（本题3分）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（ ）
A． B．C．D．
5．（本题3分）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
6．（本题3分）对于方程的根的情况，下列判断中正确的一项是（ ）.
A．该方程有且仅有一个实数根． B．该方程有且仅有两个实数根．
C．该方程有且仅有三个实数根． D．该方程无实数根．
7．（本题3分）关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A．B． C． D．
8．（本题3分）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）．
A．B． C． D．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为________．
10．（本题3分）写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点________．
11．（本题3分）如图抛物线y=ax2与反比例函数交于点C（1，2），不等式的解集是_________．
12．（本题3分）已知二次函数和反比例函数在同一个坐标系中的图象如图所示，则k的值为_______；不等式的解集是________．
13．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示）
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数．
15．（本题8分）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．
例如：的“属派生点”为，即．
若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标________；
试说明点的“属派生点”一定满足（其中）
16．（本题8分）如图所示，在平面内有一线段，分别过A点，B点向x轴作垂线，垂足分别为C、D，我们把线段称之为线段在x轴上的射影，线段的长称之为线段在x轴上的射影长．
(1)双曲线上有两点A、B，，求在x轴上的射影长；
(2)直线的图象上有两点A、B，在x轴上的射影长为4，求的长；
(3)已知抛物线和直线，其中a、b、c满足，抛物线过点，且与直线相交于A、B两点，求线段在x轴上的射影长的取值范围．
17．（本题8分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4．当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”
（1）反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．
（2）若二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；
（3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．
18．（本题9分）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点.
（1）若点为的中点，且的面积.
①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______；
②求的长和点的坐标.
（2）在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由.
19．（本题10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数的性质的过程，以下是我们研究的函数y1＝性质及其应用的部分过程，请按照要求完成下列各小题．
（1）补全下列表格，并求出b的值：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣8 ﹣3 0 ﹣3 ﹣8 2 …
（2）描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像，写出这个函数的一条性质；
（3）若函数y2＝m，若y1＝y2有两个解，结合你所画的图象，直接写出m的取值范围．
20．（本题12分）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
… 0 1 2 3 4 5 …
… 0 3 …
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号）
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.9 反比例函数,二次函数图象综合判断
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴右侧，并与y轴交于正半轴，则选项A、B、C、D均不符合题意；
当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴左侧，并与y轴交于负半轴，则A、B、D选项都不符合题意；C选项符合题意；
故选：C．
2．（本题3分）二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（ ）
A．或 B． C． D．或
解：根据函数图象可得：二次函数与反比例函数的图象交点坐标为，，
当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，因此时，则的取值范围或．
故选：A．
3．（本题3分）方程的负实数根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：如图，
可知使值为负的交点有一个，
即方程的负实数根的个数为1．
故选：B．
4．（本题3分）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（ ）
A． B．C．D．
解：∵一次函数图象过第二、三、四象限，
∴，，
∴ ，
∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧；
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴与y轴交点在x轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项．
故选：B．
5．（本题3分）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴，，，
∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴与矛盾，故本选项不符合题意；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴，，，
∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴，，，
∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（本题3分）对于方程的根的情况，下列判断中正确的一项是（ ）.
A．该方程有且仅有一个实数根． B．该方程有且仅有两个实数根．
C．该方程有且仅有三个实数根． D．该方程无实数根．
解：∵当时，，
∴不是的根，
∵，
∴，
∴，
不妨设，，
∵，，
∴其图象开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为，
∵，，
∴其图象过第一，第三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
画出，图象，如图所示：
可以判断，只有一个交点，
∴方程有且仅有一个实数根．
故选：A．
7．（本题3分）关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A．B． C． D．
解：当时，，
则的开口方向向上，与轴的交点在正半轴，且经过第二、四象限；
当时，，
则的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，且经过第一、三象限；
观察四个选项，唯有C选项符合题意；
故选：C
8．（本题3分）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）．
A．B． C． D．
解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴右侧，并与y轴交于正半轴，则选项A、B、C、D均不符合题意；
当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴左侧，并与y轴交于负半轴，则A、B、D选项都不符合题意；C选项符合题意；
故选：C．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为________．
解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为，
∴的解集为，
即不等式的解集为，
故答案为：．
10．（本题3分）写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点________．
解：若要与反比例函数的图像有3个不同的交点，
这样的函数可以为二次函数，设，
如图，二次函数与反比例函数有3个交点，
可得开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
这样的函数可以是，
其中，，，
故答案为：（答案不唯一）．
11．（本题3分）如图抛物线y=ax2与反比例函数交于点C（1，2），不等式的解集是_________．
解：从图象得出当或时，二次函数y=ax2的图象在双曲线的上方，
∴不等式的解集为或．
故答案为：或
12．（本题3分）已知二次函数和反比例函数在同一个坐标系中的图象如图所示，则k的值为_______；不等式的解集是________．
解：∵反比例函数的图像在过点（1，-2）
∴k=1×（-2）=-2；
∵当或时，抛物线在双曲线的下方，
∴不等式的解集是：或．
故答案是：2；或．
13．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示）
解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，
∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上，
假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上，
∴m=，得x3=，
∴=x1+x2+x3=0+x3=；
故答案为：.
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数．
解：由等式的性质，得
m2+2=﹣．
在同一平面直角坐标系内画出n=m2+2，n=﹣，
，
由图象，得
n=m2+2与n=﹣的交点坐标在﹣2与﹣1之间，
即方程m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间．
15．（本题8分）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．
例如：的“属派生点”为，即．
若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标________；
试说明点的“属派生点”一定满足（其中）
解:．∵点的“属派生点”，
∴，，
∴．
16．（本题8分）如图所示，在平面内有一线段，分别过A点，B点向x轴作垂线，垂足分别为C、D，我们把线段称之为线段在x轴上的射影，线段的长称之为线段在x轴上的射影长．
(1)双曲线上有两点A、B，，求在x轴上的射影长；
(2)直线的图象上有两点A、B，在x轴上的射影长为4，求的长；
(3)已知抛物线和直线，其中a、b、c满足，抛物线过点，且与直线相交于A、B两点，求线段在x轴上的射影长的取值范围．
（1）解：∵在上，
∴，，
∴，
∴在x轴上的射影长为；
（2）解：设A的横坐标为m，则A的纵坐标为：，
∴， B的横坐标为，
∴B的纵坐标为：；
∴；
（3）解：令的方程，
设其两根为，，则：，；
由，
∴；
∵，
∴，
∴，
即，
∴线段在x轴上的射影长的取值范围为．
17．（本题8分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4．当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”
（1）反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．
（2）若二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；
（3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．
解：（1）反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”，
理由：∵当x＝1时，y＝2019，当x＝2019时，y＝1，
∴反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k＝（x﹣1）2﹣1﹣k，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，
∴当x＝1时，12﹣2×1﹣k＝1，得k＝﹣2，
即k的值是﹣2；
（3）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
∴当k＞0时，，
得，
即此函数的解析式为y＝x；
当k＜0时，，
得，
即此函数的解析式为y＝﹣x+m+n．
18．（本题9分）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点.
（1）若点为的中点，且的面积.
①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______；
②求的长和点的坐标.
（2）在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由.
解（1）①，.
②设，如图3，过点作轴于，过点作轴于.
∵，∴，，∴.
∵，∴.
∵为的中点，∴.
∵，，∴，.
∴.∴.
∵点、都在的图象上，∴.
∴，∴，即.∴，.
∵，∴.
∴.
（2）存在三种情况：如图4.
当时，在的两侧各有一点，
分别为：，；当时，；
当时，.
提示：当时，易证点为的中点，则，设交轴于点，由，得，；当时，设，由构造方程求；当时，同理由构造方程求.
19．（本题10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数的性质的过程，以下是我们研究的函数y1＝性质及其应用的部分过程，请按照要求完成下列各小题．
（1）补全下列表格，并求出b的值：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣8 ﹣3 0 ﹣3 ﹣8 2 …
（2）描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像，写出这个函数的一条性质；
（3）若函数y2＝m，若y1＝y2有两个解，结合你所画的图象，直接写出m的取值范围．
解：（1）把x=-3，y=0代入函数解析式可得：
-（-3）2-3b-3=0，解之可得：b=-4，
∴当x≤1时，函数y1=-x2-4x-3，
∴当x=-2时，y=1；
当x=-1时，y=0；
当x=时，y=，
故答案为1，0，；
（2）根据表中的数据在直角坐标系中描点，然后把各点用平滑曲线连接就可得到函数图象如下：
由函数的图象可以看出：
当x≤-2或x≥2时，函数值随自变量的增大而增大；
当2（3）∵y2＝m表示与x轴平行的直线，
∴若y1＝y2有两个解，则表示直线y2＝m与原函数图象有两个交点，
∴由图象可得m的取值范围为：-8≤m<1或m>2．
20．（本题12分）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
… 0 1 2 3 4 5 …
… 0 3 …
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号）
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
解：（1）当x=-3时，
当x=3时，
故填：，
补全图象．
（2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，正确；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，正确；
故答案为：②③④；
（3）由图象得，或
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