武汉市 2026 届高中毕业生三月调研考试 数学试卷 全解析
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】结合选项可知 ,故 错误; ,所以选项 错误.
2. 已知复数 的实部与虚部相等,则实数 的值为
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
【答案】A
【解析】由 ,又复数的实部与虚部相等,所以 ,解得 .
3. 记半径为 的球体的表面积和体积分别为 和 ,记某底面半径为 的圆锥的表面积和体积分别为 和 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设圆锥的母线长为 ,高为 ,则由 ,可得 ,所以 ,
则 ,从而 .
4. 设 的内角 所对的边分别为 ,若 ,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】根据射影定理可得 ,整理得 ,
又根据正弦定理的 ,所以 ,从而 .
5. 记等比数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则正整数 的值为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】A
【解析】根据 ,可得 ,所以 ,
从而由 ,可得 ,所以 ,从而 .
6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币 8 次，每次正面向上得 2 分，反面向上得 -1 分，记总得分为 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 8 次抛掷中正面向上的次数为 ,则反面向上次数为 ,
总得分 ,且 ,
又 ,
则 .
7. 若存在正实数 ,使得函数 是定义在 上的奇函数,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】考虑特殊情形, 时, 时, ,
由 是奇函数,则 ,得 .
8. 已知 是双曲线 的左右顶点, 是该双曲线上异于顶点的一系列不同点,记 ,若 和 都是等差数列且公差相等,则
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】 ,设 ,则 , ,
记直线 的倾斜角为 ,则 ,
,
由两数列公差相等,则 ,即 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分.
9. 现有 10 个数据为:3,3,3,3,4,4,4,5,5,6,对于该组数据,下列说法中正确的有
A. 众数是 4 B. 平均数是 4 C. 极差是 3 D. 中位数是 4.5
【答案】BC
【解析】A 项: 众数为 3 , 错误；B 项: 平均数 ,正确；C 项: 极差 ,正确；D 项: 中位数为 4, 错误.
10. 如图,在正三棱柱 中,点 分别是 的中点,则下列说法中正确的有
A. 平面 B.
C. 平面 D. 与 相交
【答案】ACD
【解析】A 项: 取 中点 ,连接 ,易得四边形 为平行四边形,
故 ,则 平面 , 正确;
B 项: ,故 ,故 与 不垂直,错误;
C 项: 易得 平面 ,故 平面 ,正确;
D 项: 连接 ,易得 ,故 与 相交,正确.
11. 定义在 上的函数 满足当 时, ,其中 ,则下列说法中正确的有
A.
B. 当 时,若 在区间 内恰有两个零点,则 的取值范围是
C. 存在正实数 和 ,使得 时,有
D. 当 时,若 在区间 内恰有两个极值点,则 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】当 时, ,因为 ,
此时 的符号由 的奇偶性决定,
因为 ,
所以 ,所以 , ,
又 , ,所以 ,即 正确;
令 ,则 或 ,若 在 内恰有两个零点,则 ,
所以 , 当 时,则 ; 当 时,则 ,故 错误;
当 时, ,当 时, ,故 正确;
因为 ,
则 ,
令 ,则 或 ,
所以当 时, ,故 在
内恰有两个极值点,则极值点是 和 ,所以 ,当 时,则 ;
当 时,则 ,故 正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 平面向量 满足: ，则 与 的夹角的余弦值是_____.
【答案】
【解析】由已知 ,可知 ,
即 .
13. 平行于 轴的直线交抛物线 于点 ,交抛物线 于点 ,记抛物线 和 的焦点分别为 和 ，若 ，则四边形 的面积为_____.
【答案】3
【解析】
设平行于 轴的直线方程为 ,将 代入 得 ,则 ,
将 代入 得 ,则 ,
由已知条件 ,可列方程 ,解得 ,
当 时,各点坐标为 ,所以面积为 3 .
14. 如图,已知 ,在函数 的部分图象中,其图象上的点 是同一直线上的三点，且该直线与 轴交于点 ，若 ，则 _____.
【答案】
【解析一】设点 为 ,则 为 为 为 ,
其中 都大于 0,且平方和为 1 .
点 三点代入函数可得:
由①+(2)=0,得 或者 ,若前者 成立,点 也是零点, 重合,不符合题意,舍去.
所以只能后者 成立,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 .
再根据②式 ③式，得:
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,则 .
【解析二】(杭州林木木老师)
由平移不变性,将新的 轴置于使 的位置,则此时 ,
设 ,则 ,其中 ,
,
所以 ,所以 ,得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 在数列 中, ,且 是等差数列.
(1) 求 ； (2)证明: .
【解析】(1)由题可设 ,
则
即 为二次函数型,设 ,
所以 ,故 .
(2) ，所以 .
16. (15 分)如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， ， ， 点 分别是棱 上的点,且直线 平面 .
(1)求 的长；
(2)求三棱锥 的体积;
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1) 面 ，则 且 ，
由余弦定理 ,
故 .
(2)由(1)知 ， ，故 ，
(3)取 中点 ， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 垂直底面直线为 轴建系，
则 ,
由 是 中点知 ,由 知 ,
则 ,
取面 法向量 ,设 与面 所成角为 ,
则 .
17. (15 分) 已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)讨论 的单调性;
(3)若 有极小值，且 ，求 的取值范围.
【解析】(1)当 时， ， ，
,代入 ,即 .
(2) ，定义域 ，
若 ,则 在 上单调递增;
若 ,则由 ,解得 在 上单调递减, 上单调递增.
(3) 由 (2): 当 时, 有极小值,考虑 ,
当 时, 在 上单调递减, 上单调递增,故 ,
,即
当 时, ,而 关于 递增,故 .
18. (17分)曲线 与直线 交于点 ，过点 且与 垂直的直线交曲线 于另外的点 ,设线段 的中点为 ,定点 的坐标为 .
(1)用 表示点 的坐标；
(2)证明: 为定值；
(3)是否存在某条直线始终与以 为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程，若不存在，请说明理由.
解析：(1) ,
即 ,所以 .
(2) ，则 ，所以 ，
联立 ,整理即 ,
故 ，
,
(这是由于 ,故 ,故 ) 于是 .
(3)存在直线 满足条件，
下证之. 设圆心为 ,半径 ,直线 交 于 ,连接 ,则 , ,设 为 与 之间得距离, , ,由 (2) , 所以圆心 到 的距离 ,故 与 相切, 满足条件.
19. (17 分) 有 张编号分别为 1 到 的卡片,横向随机排列. 对于这 张卡片,初始状态下卡片标号从左到右为 ,记此时的卡片排列为 . 对这 张卡片的排列进行如下三步操作: 1. 取出最左边的卡片，记其标号为 ; 2. 剩余卡片中，标号小于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空),标号大于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空); 3. 对这 张卡片重新排列,得到新排列: . 每进行完上述三步操作, 称为一次 “完整操作”.
(1)若初始排列为 ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率；
(3)记初始排列中有 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列，当 时， 证明: .
解析：(1) .
(2)设最左的卡片是 ，只需满足 1 到 的卡片均按顺序出现， 到 也按顺序出现，
所以 .
(3)设第一张卡片是 ，第一次操作后变成 ，注意到 无法有变动，故其本身必须是升序，
而 是可操作变为升序的序列,所以 ,其中 ,
从而 ,所以 ,
其中 ,
所以 ,
其中 ,
其中 (这里 ),所以 .
(
2
)湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．1
3．记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ）
A． B． C． D．
7．若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知A，B是双曲线（，）的左右顶点，，，…，是该双曲线上异于顶点的一系列不同点，记，若和都是等差数列且公差相等，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ）
A．众数是4 B．平均数是4
C．极差是3 D．中位数是4.5
10．如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．平面ABC B．
C．平面 D．PQ与MN相交
11．定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是
C．存在正实数和，使得时，有
D．当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是
三、填空题
12．平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________.
13．平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________.
14．如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________.
四、解答题
15．在数列中，，，，且是等差数列.
(1)求； (2)证明：.
16．如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面.
(1)求的长；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有极小值，且，求a的取值范围.
18．曲线E：（）与直线l：交于点A，过点A且与l垂直的直线交曲线E于另外的点B，设线段AB的中点为P，定点Q的坐标为.
(1)用t表示点A的坐标；
(2)证明：为定值；
(3)是否存在某条直线始终与以为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.
19．有n张编号分别为1到n的卡片，横向随机排列.对于这n张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这n张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为k；2.剩余卡片中，标号小于k的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于k的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这n张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”.
(1)若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率；
(3)记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：.
