4.1认识三角形第3课时 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
第四章 三角形
第3课时
4.1认识三角形
北师大版数学七年级下册
1.理解三角形的高线、中线、角平分线，并能在具体的三角形中画出它们；（重点）
2. 通过画图、折纸等，探究三角形的三条中线的位置关系，了解三角形的重心；（重点）
3.探究三角形的三条角平分线、三条高线所在的直线的位置关系.（难点）
目 录
1 新课导入
2 新课讲授
3 典例分析
4 学以致用
5 课堂小结
6 布置作业
三条边都不相等的三角形
等腰三角形
复习回顾
2.三角形的三边关系:
三角形任意两边之和　　　　　　.
三角形任意两边之差　　　　　　.
大于第三边
小于第三边
1.三角形按边分类
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形(三边都相等的三角形）
情境引入
如图所示，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置。说说你的想法并与同伴进行交流。
在点D的运动过程中，特殊位置有：
点D运动到BC的中点，
运动到线段AD与BC垂直，
或运动到AD平分∠BAC.
探究一：三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.
1.三角形中线的概念
B
A
C
E
如图， AE是BC边上的中线.
反之，若BE=EC=或BC=2BE=2EC或E为边BC中点，
则AE是△ABC的BC边上的中线.
如图所示，若AE是△ABC的BC边上的中线，
则BE=EC=或BC=2BE=2EC或E为边BC中点.
2.几何语言表达：
A
C
B
F
E
D
O
则AB边上的中线是： ;
BC边上的中线是： ;
AC边上的中线是： .
1.如图，点D、E、F分别是边BC、AC、AB上的中点.
CF
BE
AD
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？画一画，折一折，并与同伴进行交流．
锐角三角形的三条中线交于一点.
钝角三角形和直角三角形的三条中线也交于一点.
(1)在纸上画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流．
操作·交流
也可以利用数学软件探索任意三角形三条中线的位置关系.
(3)如图，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定这个点的位置吗？
作出三角形卡片的边上的三条中线，它们的交点的位置就是支点的位置.
三角形的三条中线交于一点,这个点称为三角形的重心．
铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的重心！
三角形的中心都在三角形的内部，如图，点O就是△ABC的重心．
O
知识归纳
三角形中线的性质：
2.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
B
A
C
D
提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
7cm
1.三角形角平分线的概念：
1
2
A
B
C
D
如图所示,若AD是△ABC的角平分线,
则∠1=∠2=∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2.
反之,若∠1=∠2=∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2，
则AD是△ABC的一条角平分线.
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
探究二：三角形的角平分线
注意:三角形的中线,角平分线都是一条线段！
2.几何语言表达：
3.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB的度数是 .
B
D
C
A
解析：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
110°
请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
思考·交流
分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的三条角平分线：
知识归纳
三角形角平分线的性质
三角形的三条角平分线交于一点．
在每个三角形中，3条角平分线都在三角形的内部.
B C
A
O
探究三：三角形的高线
A
B
C
F
三角形高线的概念：
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
如图, 线段AF是△ABC的的高.
也可叙述如下：
①AF是△ABC的BC边上的高；
②AF⊥BC,垂足为F；
③点F在BC上，且∠AFB =∠AFC =90°.
要标明垂直的记号和垂足的字母.
高是一条垂线段！
A
B
C
A
B
C
请你探究三角形的三条高线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
思考·交流
A
B
C
D
D
F
O
E
D
E
F
知识归纳
三角形高线的性质：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形的三条高的特征：
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在的直线交于一点.
4.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
例1：如图所示，在△ABC中,AD,BE分别是△ABC,△ABD的中线.
(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3,AB=8,求AC的长;
解:(1)因为AD为BC边上的中线,
所以BD=CD.
所以△ABD与△ADC的周长之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.
因为△ABD与△ADC的周长之差为3,AB=8,
所以8-AC=3,解得AC=5.
(2)若S△ABC=8，求S△ABE.
(2)因为AD是△ABC的中线,
所以S△ABD=S△ABC=4.
因为BE是△ABD的中线,
所以S△ABE=S△ABD=2.
例2：如图所示，在△ABC中,∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，且∠C=4∠BAD，求∠ADC的度数.
解:因为∠B=90°,
所以∠BAC+∠C=90°.
因为AD是△ABC的角平分线,
所以∠BAC=2∠BAD.
因为∠C=4∠BAD,
所以2∠BAD+4∠BAD=90°.
所以∠BAD=∠CAD=15°.所以∠C=60°,
则∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-15°-60°=105°.
例3：如图所示,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高，CD,BE交于点P,∠A=50°,求∠BPC的度数.
解:因为CD,BE分别是AB,AC边上的高,
所以∠ADC=∠BEC=90°.
因为∠A=50°,所以∠ACD=40°,
则在△PEC中,∠CPE=90°-40°=50°.
所以∠BPC=180°-∠CPE=180°-50°=130°.
2.如图所示，在△ABC中，D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,则AE是哪个三角形的角平分线(　　)
A.△ABE B.△ADF
C.△ABC D.△ABC,△ADF
1.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(　　)
A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线
A
D
4.如图所示,在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，则∠ADE的度数是(　　)
A.45° B.54°
C.40° D.50°
3.如图所示，AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm, AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为(　　)
A.19 cm B.22 cm
C.25 cm D.31 cm
A
C
5.若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的顶点,则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
B
6.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(　　)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
D
8.如图所示，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，它们交于点O.若△ABD的面积是6，则△ACF的面积是　　　　.
7.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3 cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD=　　　°, AE=　　　　cm.
25
1.5
6
9.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段
　　　　是△ABC中BC边上的高.
10.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.若∠1=30°,
∠2=20°，则∠B=　　　　°.
AE
50
11.如图所示,已知△ABC的周长为21 cm,AB=6 cm,BC边上的中线AD=5 cm,△ABD的周长为15 cm,求AC的长.
解:因为AB=6 cm,AD=5 cm,△ABD的周长为15 cm,
所以BD=15-6-5=4(cm).
因为AD是BC边上的中线,所以BC=8 cm.
因为△ABC的周长为21 cm,
所以AC=21-6-8=7(cm).
12.如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD= 2BD,BE=CE.设△ADC的面积为S1,△ACE的面积为S2.若S△ABC= 6,求S1-S2的值.
解:因为AD=2BD,
所以S1=S△ABC=×6=4.因为BE=CE,所以S2=S△ABC=×6=3,所以S1-S2=4-3=1.
13.如图所示,在△ABC中,∠A=62°,∠B=74°,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,且DE∥BC,求∠EDC的度数.
解:在△ABC中,因为∠A=62°,∠B=74°,
所以∠ACB=44°.
又因为CD是∠ACB的平分线,
所以∠ACD=∠BCD=22°.
因为DE∥BC,所以∠EDC=∠BCD=22°.
14.如图所示，在△ABC中,∠ACB=90°,∠1=∠A.
(1)试说明CD是△ABC的高;
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.
解:(1)因为∠ACB=∠1+∠ACD=90°,∠1=∠A,
所以∠A+∠ACD=90°,
所以∠ADC=90°,即CD⊥AB,
所以CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠ADC=90°,所以S△ABC=AC·BC=AB·CD.又因为AC=8,BC=6,AB=10,所以CD=.
15.已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°, ∠CAD=20°,求∠BAC的度数.
解:分以下两种情况:
(1)如图①,若高AD在△ABC的内部,则∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
(2)如图②,若高AD在△ABC的外部,
则∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.
综上所述,∠BAC的度数为90°或50°.
认识三角形3
三角形的中线
概念:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
性质:三角形的三条角平分线交于一点．
三角形的角平分线
概念:在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.
性质：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．
概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高线，简称三角形的高.
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点.
三角形的高线
习题4.1：6，7，8，9，13，14，15题.
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