4.3探索三角形全等的条件第2课时 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
第四章 三角形
第2课时
4.3探索三角形全等的条件
北师大版数学七年级下册
1.探索并正确理解三角形全等的条件：“ASA” 和“AAS”;（重点）
2.会用三角形全等的条件“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等；（难点）
3.在给出两角及其夹边的条件下，能够利用尺规作出三角形.
目 录
1 新课导入
2 新课讲授
3 典例分析
4 学以致用
5 课堂小结
6 布置作业
复习回顾
（SSS）
2.几何语言
在△ABC和△A'B'C'中，
△ABC≌△A'B'C'
∴
A'
B'
C'
A
B
C
对应相等的两个三角形全等，简写为 .
1.三角形全等的条件:“边边边”
AB=A'B'，
BC=B'C'，
AC=A'C'.
∵
“边边边”或“SSS”
三边
注意：在列举两个三角形全等的条件时,一般是把同一个三角形的三个量放在等号的同一侧.
情境引入
由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的。如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
有两种情况：①两角及其夹边；
②两角及其中一角的对边.
每种情况下得到的三角形都是全等的吗？下面我们一起来探究吧！
探究一:三角形全等的条件：“角边角”(“ASA”)
一定全等.
80°
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢？小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形。
尝试·思考
例如,三角形的两个内角分别是60°和80°,它们所夹的边为2cm.
60°
2 cm
你作的三角形与同伴作的一定全等吗？
知识归纳
三角形全等的条件:“角边角”
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.
几何语言：
A
B
C
D
E
F
∵
在△和△ 中，
∴ △ ≌△ （ASA）.
1.已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
B
C
A
D
解：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
∵
回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。
已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的.
请按照给出的作法作出相应的图形：
作法 图形
△ABC就是所要作的三角形。
1.作∠DAF=∠α。
2.在射线 AF上截取线段 AB=c。
3.以点B为顶点，以BA为一边作∠ABE=∠B，BE交AD于点C。
D
A
F
B
E
C
作法思路：先作一角，截一边，在边同侧的另一端作另一角.
另一种作法是先作一边，再在边的两端同侧分别作角.
还有其他作法吗？
2.如图所示,已知线段a和∠α,用尺规作△ABC,使BC=a,∠B=∠α，∠C=2∠α.
解:如图,△ABC就是所求作的三角形.
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,情况会怎样呢 你能将它转化为“尝试·思考”中的条件吗 与同伴进行交流.
思考·交流
探究二:三角形全等的条件：“角角边”(“AAS”)
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，两个三角形全等。
能将它转化为“尝试·思考”中的条件，根据三角形内角和为180°，可以求出第三个角，这样就可以转化为已知两角及其夹边得到三角形全等了.
你能证明你的结论吗？
在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
∴△ABC≌△DEF（ASA ）.
解：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
∴ ∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E,
∴ ∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
∵
知识归纳
三角形全等的条件:“角角边”
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 简写为“角角边”或“AAS”。
几何语言：
A
B
C
D
E
F
∵
在△和△中，
∴ △ ≌△ （AAS）.
3.如图所示,AC是∠BAE的平分线,D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD.试说明:△BAC≌△DAE.
证明：∵AC是∠BAE的平分线,
∴∠BAC=∠DAE.
∵ ∠BAC=∠DAE,
∠C=∠E,
AB=AD,
∴△BAC≌△DAE(AAS).
在△BAC和△DAE中,
知识归纳
说明三角形全等时寻找等角的方法：
(1)公共角相等、对顶角相等、直角相等；
(2)等角加(减)等角,其和(差)相等；
(3)同角(或等角)的余角(或补角)相等；
(4)根据角平分线、平行线得角相等.
例1：如图所示,AB平分∠CAD,点E在AB上，∠1=∠2，△AEC和△AED全等吗 试说明理由.
解:△AEC≌△AED.
理由:∵AB平分∠CAD,
∴∠CAE=∠DAE.
∵∠1=∠2,∠AEC=180°-∠1,∠AED=180°-∠2,
∴∠AEC=∠AED.
在△AEC≌△AED中，
∵ ∠CAE=∠DAE，
AE=AE,
∠AEC=∠AED
∴△AEC≌△AED(ASA).
例2：如图所示,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,△ABC和△ADE全等吗 试说明理由.
解:△ABC≌△ADE.
理由:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC≌△ADE中，
∵ ∠BAC=∠DAE,
∠C=∠E,
AB=AD,
∴△ABC≌△ADE(AAS).
解:如图所示,△A1B1C1即为所求.
例3：如图所示,△ABC被污渍污染了,请你重新作一个△A1B1C1，使△A1B1C1≌△ABC(要求:用尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹).
2.如图所示,D是AB延长线上一点,DF交AC于点E，AE=CE, FC∥AB,若AB=3,CF=5,则BD的长是(　　)
A.0.5 B.1
C.1.5 D.2
1.如图所示,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,则直接判定△ABD≌△CBD的依据是 (　　)
A.SSS B.ASA
C.AAS D.以上均不正确
B
D
3.如图所示,在△ABC中,F为AC的中点,E为AB上一点,D为EF延长线上一点,∠A=∠ACD,则CD与AE的关系为(　　)
A.相等 B.平行
C.平行且相等 D.以上均不正确
C
4. △ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）
A．AC＝DF B．BC＝EF
C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
A
5.如图是作△ABC的作图痕迹,则此作图的已知条件是(　　)
A.已知两边及夹角 B.已知三边
C.已知两角及夹边 D.已知两边及一边的对角
C
6.如图①,已知线段a,∠1,求作△ABC,使BC=a,∠ABC= ∠BCA=∠1,张蕾的作法如图②所示,则下列说法中一定正确的是 (　　)
A.作△ABC的依据为ASA
B.弧EF是以AC长为半径画的
C.弧MN是以点A为圆心,a为半径画的
D.弧GH是以CP长为半径画的
A
7.如图所示,AE=AD,∠B=∠C,则△ABD≌　　　　,理由是　　 　　.
△ACE
AAS
8.如图所示,∠1=∠2,BC=EC,请补充一个条件:　 　　　，能直接根据“AAS”判定△ABC≌△DEC.
∠A=∠D
9.如图所示，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，AD⊥AB于点A.若BC=AE，AD=5，则AB=　　　　.
5
第7题图
第8题图
第9题图
10.如图所示,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.
试说明:BD=CE.
解:因为AB⊥AC,AD⊥AE,
所以∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°,
所以∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中,
因为∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠ABD=∠ACE,
所以△ABD≌△ACE(ASA),
所以BD=CE.
11.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
证明：
∠1=∠2 ，
∠ B=∠D，
AC=AC ，
∵
12.如图所示,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD,连接AC,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F.
(1)若∠ABF=63°,求∠ADE的度数;
解:(1)因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°.
又因为AD∥BC,所以∠BAD=90°,
即∠BAF+∠DAE=90°.
因为DE⊥AC,所以∠DEA=90°,
所以∠DAE+∠ADE=90°,所以∠ADE=∠BAF.
因为BF⊥AC,∠ABF=63°,
所以∠ADE=∠BAF=90°-63°=27°.
(2)DE=BF+EF.
理由:因为DE⊥AC,BF⊥AC,
所以∠BFA=∠AED=90°.
在△ABF和△DAE中,
因为∠BFA=∠AED,∠BAF=∠ADE,AB=DA,
所以△ABF≌△DAE(AAS),
所以BF=AE,AF=DE.
因为AF=AE+EF,
所以DE=BF+EF.
(2)请写出线段BF,EF,DE三者之间的数量关系,并说明理由.
探索三角形全等的条件2
三角形全等的条件：“角边角”
三角形全等的条件：“角角边”
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.
已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的.
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 简写为“角角边”或“AAS”。
习题4.3：2，3，4，7，14题.
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