5.2简单的轴对称图形第2课时 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第五章 图形的轴对称
第2课时
5.2简单的轴对称图形
北师大版数学七年级下册
1.理解线段的垂直平分线的概念；
2.理解并掌握线段垂直平分线的性质．(重点）
3.能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．（难点）
目 录
1 新课导入
2 新课讲授
3 典例分析
4 学以致用
5 课堂小结
6 布置作业
复习回顾
(1)等腰三角形是　　　　图形.
(2)等腰三角形顶角的　　　　、底边上的　　　、底边上的　　　重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的　　　　.
(3)等腰三角形的两个底角　　　　.
轴对称
平分线
中线
高
对称轴
相等
等腰三角形的性质
(1)等边三角形是轴对称图形,有　　　　条对称轴.
(2)等边三角形每条边都　　　　,每个角都　　　　,都等于　　　　.
(3)等边三角形每条边上的中线、高、该边所对角的平分线重合(“三线合一”).
三
相等
相等
60°
等边三角形的性质
情境引入
问题：线段AB是轴对称图形吗
线段AB是轴对称图形.
如果是，你能找出它的对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系呢？
如图所示,画一条线段AB,然后对折AB,使A,B两点重合,设折痕与AB的交点为O.把图形展开，你发现了什么
操作·交流
探究一：线段的垂直平分线
折痕是线段AB的一条对称轴.
思考：观察自己手中的图形，折痕与AB有什么样的位置关系？AO与BO相等吗？说明你的理由.
折痕与AB垂直,
AO=BO.
C
D
O
几何语言:如图所示,因为直线CD⊥AB于点O，且AO=BO，
所以直线CD垂直平分线段AB.
知识归纳
1.线段的对称性
(1)对称性:线段是　　　　图形;
(2)对称轴:垂直并且平分线段的　　 　是它的一条对称轴.
轴对称
直线
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.（简称”中垂线”）
2.线段垂直平分线的定义
尝试·思考
如图所示，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。
(1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系 说说你的理由。
(2)特别地，当点D与点A重合时，点D'位于什么位置 此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
解：(1)CD =CD'.
理由：因为点D和点D'是以直线l为对称轴的一组对应点，所以将△CDD'沿直线l折叠时，线段CD与CD'重合，所以CD =CD'.
(2)当点D与点A重合时，点D'和点B重合，此时还有CD =CD'.
知识归纳
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
∵CO是线段AB的垂直平分线,
∴AC=BC.
几何语言：
1.如图所示，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长为（ ）.
A.6cm B.10cm C.12cm D.14cm
A
C
D
B
C
探究二：用尺规作线段的垂直平分线
思考·交流
如图所示，已知线段 AB，如何作出它的垂直平分线
假设线段 AB的垂直平分线已作出，请回答下列问题：
(1)这条直线有什么特征
解:(1)这条直线经过线段AB的中点，且垂直于线段AB，直线上的点到线段AB的两个端点的距离相等.
需要确定的点是线段对称轴上的点,因此应当从线段两端进行“对称”的操作。
(2)如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。
如果只用尺规呢 与同伴进行交流。
（2）方法不唯一。举例如下：
(方法一)用三角尺量出线段AB的中点O,用量角器画∠AOC=90°，则直线OC垂直平分线段AB。
(方法二）用量角器在线段AB的同侧作相等的两角∠MAB和∠NBA,AM与BN交于点C,再在线段AB的同侧作相等的两角∠EAB和∠FBA,AE与BF交于点D,点C与点 D不重合,作直线CD,则直线CD是线段AB的垂直平分线。
如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线.


A
B
例
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
C
D
请你说说这样作的道理.


A
B
C
D
理由详解：
如图所示，连接AC，BC，AD，BD，
由作图知AC=BC，AD=BD，
又因为CD=CD，
所以△ACD≌△BCD（SSS），
所以∠ACD=∠BCD.
因为AC=BC，
所以CD垂直平分线段AB（等腰三角形“三线合一”）
操作·思考
如图所示，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P 能说明你的作法的道理吗
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，交直线l于点A，B.
3.作直线CP.
直线CP就是直线l的垂线．
2.分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C；
A
B
C
A
B
C
作法道理：
如图所示，连接AC，BC，
由作法可知AP=BP，AC=BC，
又因为PC=PC，
所以△ACP≌△BCP（SSS），
所以∠APC=∠BPC.
因为∠APC+∠BPC=180°，
所以∠APC=∠BPC=90°，即CP⊥l.
例1:如图,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E.
(1)若BC=10,求△ACD的周长;
(2)若∠C=25°,求∠CAD的度数.
(2)因为AB=AC,
所以∠B=∠C=25°,
所以∠BAC=130°.
因为AD=BD,
所以∠BAD=∠B=25°,
所以∠CAD=130°-25°=105°.
解:(1)因为DE是AB的垂直平分线,
所以AD=BD,
所以△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=16.
例2：如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
∵EO是线段AB的垂直平分线，
∴点O到A，B的距离相等，
∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
2.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线,交BC于点E,连接AE,则∠BAE等于(　　)
A.20° B.40° C.50° D.70°
1.如图所示,直线l是线段AB的垂直平分线,O,P是直线l上的两点,则线段PA,PB,OA,OB的关系是(　　)
A.PA=OA,PB=OB B.PA=PB=OA=OB
C.PA=OB,PB=OA D.PA=PB,OA=OB
D
C
4.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为(　　)
A.8 B.11
C.16 D.17
3.如图所示,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,连接AE,BE,作直线EF交AB于点M,连接CM,则下列判断不正确的是(　　)A.AB=2CM B.EF⊥ABC.AE=BE D.AM=BM
A
B
5.如图所示，∠A=80°，O是AB，AC垂直平分线的交点,则∠BCO的度数是(　　)
A.40° B.30° C.20° D.10°
D
D
6.如图所示,在暑假期间,某学校对其校内的高中楼(图中的点A),临建楼(图中的点B)和图书馆(图中的点C)进行装修,装修工人小明需要放置一批装修物资,使得装修物资到点A,B, C的距离相等,则装修物资应该放置在(　　)
A.AC,BC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处
C.∠BAC,∠ABC两内角平分线的交点处 D.AC,BC两边垂直平分线的交点处
8.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边AB的垂直平分线DE交边AC于点D,且∠CBD∶∠ABD=4∶3,那么∠A=　　　　°.
7.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=8 cm,DE是BC边的垂直平分线,△ABD的周长为14 cm,则△ABC的面积是　　　　cm2.
9.如图所示,在△ABC中,若PM,QN分别垂直平分AB,AC,点P, Q在BC上,BC=10 cm,则△APQ的周长为　　　　cm.
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10
10.如图所示,在△ABC中,∠A>∠B.
(1)作边AB的垂直平分线DE,分别与AB,BC相交于点D,E;
(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,连接AE,若∠B=50°,求∠AEC
的度数.
解:(1)如图所示.
(2)如图.因为DE是AB的垂直平分线,
所以AE=BE.所以∠EAB=∠B=50°.
所以∠AEC=180°-∠AEB=180°-(180°-∠EAB-∠B)
=∠EAB+∠B=100°.
11.如图所示,在△ABC中,BC边的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,CE平分∠ACB.
(1)若△ABC的周长为20,BD=4,求△ACE的周长;
(2)若∠B=36°,求∠A的度数.
解:(1)因为BC边的垂直平分线交BC于点D,
交AB于点E,BD=4,
所以BE=CE,BC=2BD=8.
又因为△ABC的周长为20,
所以AB+AC=20-8=12,
所以△ACE的周长=AE+CE+AC
=AE+BE+AC=AB+AC=12.
(2)因为BE=CE,∠B=36°,
所以∠ECB=∠B=36°.
又因为CE平分∠ACB,
所以∠ACB=2∠ECB=72°,
所以∠A=180°-∠B-∠ACB=72°.
定义:垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）.
简单的轴对称图形2-线段
线段的对称性
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
线段的垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
尺规作线段的垂直平分线
作图依据：SSS.
应用：过直线上一点作垂线.
习题5.2：2，3，7，8，13题.
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