4.4利用三角形全等测距离 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第四章 三角形
4.4利用三角形全等测距离
北师大版数学七年级下册
1.能利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系；(重点)　
2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考与表达．(难点)　　
目 录
1 新课导入
2 新课讲授
3 典例分析
4 学以致用
5 课堂小结
6 布置作业
复习回顾
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
1.全等三角形的性质：
2.几何语言表达：
如图所示，因为△ABC≌△DEF，
所以AB=DE，BC=EF，AC=DF，
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
情境引入
你知道这位战士是怎么做的吗？能不能用本章所学习的知识来解决呢？
一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功.
如图，这个战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
探究：利用三角形全等测距离
步测距离
碉堡距离
（1）按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.
具体操作时，可以用一张纸或一个本子代替帽檐，先确定好一个目标，再调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去恰好落在目标上，然后保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个目标.最后用步测等方法测量出两个目标与观察者的距离，验证战士做法的合理性.
确定第二个目标时，可以重复2~3次后求平均数，以避免出现较大的误差.
（2）你能解释其中的道理吗？
人面向两个不同方向，人的身体分别与视线、地平线构成的两个三角形全等（ASA），再根据全等三角形的对应边相等，量出自己与那个点的距离就是他与碉堡间的距离.
你能将这个问题转化为数学问题吗？
在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E=90°，∠A= ∠D。则有BC=EF，为什么？
如图所示，将实际问题转换成数学问题为：
A
B
C
D
E
F
∴BC= DC（ ）
理由：在△ACB与△ACD中，
∠A=∠D
AB=DE（公共边）
∠B=∠E
∴△ACB≌△ACD（ASA）
全等三角形的对应边相等
∵
知识归纳
利用三角形全等测距离的原理:
由于两个全等三角形的对应边相等，因此利用全等三角形可以解决不能直接到达或不能直接测量的两点之间的距离问题。
解题关键是构造两个全等三角形，根据全等三角形的对应边相等得到两点间的距离。
1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
B
A
●
●
D
C
E
F
B
你能说明其中的道理吗
如图所示，A,B两点分别位于一个池塘的两端,小丽想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位叔叔帮他出了这样一个主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A,B间的距离.
观察·思考
你能说出小丽每一步的理由吗？
小丽的思考过程如下。
解:在△ABC和△DEC中,
因为AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,
所以△ABC≌△DEC,
所以AB=DE.
解:在△ABC和△DEC中,
因为AC=DC(已知), ∠ACB=∠DCE (对顶角相等), BC=EC(已知),
所以△ABC≌△DEC(SAS),
所以AB=DE(全等三角形对应边相等).
知识归纳
利用三角形全等测距离的方法:
(1)构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形;
(2)构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形.
2.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
A.大于100 m B.等于100 m
C.小于100 m D.无法确定
B
例1：如图所示,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,先在地面上取一点C,使∠ACB=90°,然后延长BC至点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就能得到A,B两点之间的距离,请说明其中的道理.
解:因为∠ACB=90°,
所以∠ACB=∠ACD=90°.
在△ACD和△ACB中,
因为AC=AC,∠ACD=∠ACB,CD=CB,
所以△ACD≌△ACB(SAS),
所以AD=AB,
所以测量出AD的长度就能得到A,B两点之间的距离.
例2：如图所示,某湖泊岸边A,B两地有两棵大树,计划在两棵大树之间架一电话线路,为了计算两棵大树能承受的压力,需测量出A,B两地之间的距离,但是A,B两地又不能直接到达,请你用学过的知识设计一个测量方法,求出A,B两地之间的距离.


解:方法不唯一,如图,在湖泊岸边找一点C,连接AC,BC并延长,截取DC=BC,EC=AC,连接DE.
在△ABC和△EDC中,
因为BC=DC,∠ACB=∠ECD,AC=EC,
所以△ABC≌△EDC(SAS),
所以AB=ED,
所以测量出ED的长即可得到A,B两地之间的距离.

2.A,B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,如图所示(AC=CD,∠ACB=∠DCB)的这种方法,是利用了三角形全等中的(　　)
A.SSS B.ASA
C.AAS D.SAS
1.利用三角形全等测量距离的原理是(　　)
A.全等三角形的对应角相等 B.全等三角形的对应边相等
C.全等三角形的周长相等 D.全等三角形的形状相同
B
D
3.如图所示，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，他们在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB= 40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们还应做什么才能测得A,B之间的距离(　　)
A.直接测量BM的长
B.测量BC的长
C.测量∠A的度数
D.作∠BCN=40°,且CN交射线BM于点N,测量BN的长
D
4.如图所示，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并分别延长至点C，D，使PC=PA，PD=PB，连接CD.测得CD的长为10 m,则池塘的宽度AB为　　　m.理由是_______________________________.
10
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等
5.小明想知道一堵墙上点A的高度(AO⊥OE),但又无法到达A处直接测量,于是设计了下面的方案(如图),请你先补全方案,再说明理由.
第一步:找一根长度大于OA的直杆AB,使直杆靠在墙上,且顶端与点A重合,记下直杆与地面的夹角∠ABO;
第二步:使直杆顶端竖直缓慢下滑,直到∠　　　　=∠　　　　,标记此时直杆的底端点D;
第三步:测量　　　　的长度,即为点A的高度.
DCO
ABO
OD
解:理由:在△AOB与△DOC中,
因为∠AOB=∠DOC,∠ABO=∠DCO,AB=DC,
所以△AOB≌△DOC(AAS),所以OA=OD.
6.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，
所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
利用三角形全等测距离
原理
由于两个全等三角形的对应边相等，因此利用全等三角形可以解决不能直接到达或不能直接测量的两点之间的距离问题。
解题关键是构造两个全等三角形，根据全等三角形的对应边相等得到两点间的距离。
(1)构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形;
(2)构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形.
方法
习题4.4.
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