5.2简单的轴对称图形第3课时 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第五章 图形的轴对称
第3课时
5.2简单的轴对称图形
北师大版数学七年级下册
1.会用尺规作图作角平分线;
2.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理;（难点）
3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.（重点）
目 录
1 新课导入
2 新课讲授
3 典例分析
4 学以致用
5 课堂小结
6 布置作业
复习回顾
1.线段的对称性
(1)对称性:线段是　　　　图形;
(2)对称轴:垂直并且平分线段的　　 　是它的一条对称轴.
轴对称
直线
2.线段的垂直平分线
(1)定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的　　　　　　.(简称中垂线)
(2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　　　　.
垂直平分线
相等
O
P
如果是，你能找出它的对称轴吗？
情境引入
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗
探究一：角平分线的性质
如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么
1.对称性：角是　　 　图形.
轴对称
角的对称性
2.对称轴：　　 　　　　是它的对称轴.
角平分线所在的直线
(1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系 说说你的理由。
解:(1)CD和CD'.
理由：因为点D和点D'关于OP所在直线对称点C在OP上，
所以线段CD与CD'关于OP所在直线对称，
所以CD=CD'.
尝试·思考
如图所示，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD 和CD'.
(2)特别地，当CD⊥OA时(如图所示)，CD'与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
(2)当CD⊥OA时,CD'⊥OB.
理由：因为点D和点D'关于OP所在直线对称，点O，C都在OP上，
所以△OCD与△OCD'关于OP所在直线对称，
所以∠ODC=∠OD'C,
当CD⊥OA时,∠OD'C=∠ODC=90°，即CD' ⊥OB，
此时CD=CD'，还有(1)中的关系.
几何语言：
知识归纳
角平分线的性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴CD =CD′.
CD⊥OA,CD′⊥OB，
1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为　　　　.
2.4
解析：因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
所以CD=DE.
因为DE=1.6,所以CD=1.6,
所以BD=BC-CD=4-1.6=2.4.
探究二：用尺规作角平分线
思考·交流
如图所示，已知∠AOB，如何作出它的平分线？
假设∠AOB的平分线已作出，请回答下列问题:
(1)这条射线有什么特征
答案:(1)这条射线平分∠AOB，这条射线上的任一点与∠AOB两条边上关于这条射线对称的一组对应点所连的两条线段相等。
(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。
如果只用尺规呢？与同伴进行交流.
(2)方法不唯一。举例：
(方法一)用量角器量出∠AOB的度数，在角的内部用量角器画出∠AOC=∠AOB,找射线OC上除点O外的任意一点即可。
D
E
(方法二)如图所示，用圆规取OD=OE，连接DE,用三角尺作DE的中点F,点F就是所求。
F
需要确定的点是角的对称轴上的点,因此应当从角两边进行“对称”的操作.
如图所示，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线.
例
作法:
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE(如图).
2.分别以点D,E为圆心、以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
3.作射线OC.
射线OC就是∠AOB的平分线.
请说说这样作的道理.
D
E
C
理由详解：
如图所示，连接CE，CD，
C
D
E
由作图知OD=OE，CE=CD，
又因为OC=OC，
所以△OCE≌△OCD（SSS），
所以∠AOC=∠BOC,
所以OC平分∠AOB.
思考·交流
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图的方法有什么共同点？与同伴进行交流.
这两种尺规作图方法都是根据“SSS”判定三角形全等，根据全等三角形的性质得出角相等，过直线上一点作已知直线的垂线可以看成作一个平角的平分线.
2.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示,能说明∠AOC=∠BOC的依据是(　　)
A.角平分线上的点到角两边的距离相等 B.ASA
C.SSS D.AAS
C
回顾·反思
回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？
根据轴对称的性质、全等三角形的判定及性质等知识，运用了操作尝试、交流验证、猜测类比、找一找、画一画等方法.
经验：从轴对称的视角探索并感知平面图形轴对称的规律，积累研究平面图形性质的经验.（答案不唯一）
例1：如图所示,已知∠C=∠D=90°,E是CD上的一点,AE,BE分别平分∠DAB，∠ABC.试说明:E是CD的中点.
解:过点E作EF⊥AB于点F.
因为∠C=∠D=90°,
AE,BE分别平分∠DAB,∠ABC,
所以CE=EF,DE=EF,
所以CE=DE,
所以E是CD的中点.
例2：如图所示,在△ABC中,P是AC上的一点,连接BP,求作一点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图，点M即为所求.
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DB=5，BC=8，则DE的长为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
1.如图所示,∠1=∠2,PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D,E,则下列结论中错误的是(　　)
A.PD=PE B.BD=BE
C.∠BPD=∠BPE D.BP=BE
D
A
3.如图所示,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点, OE⊥AC于点E,且OE=3,则AB与CD之间的距离为(　　)
A.3 B.3.5 C.4 D.6
D
4.如图所示,∠B=∠C=90°,根据角平分线的性质填空:
(1)若∠1=∠2,则　　　　=　　　　;
(2)若∠3=∠4,则　　　　=　　　　.
BD
CD
AB
AC
6.如图所示,l1,l2,l3是三条两两相交的公路,现需修建一个仓库,要求仓库到三条公路的距离相等,则仓库的可能地址有　　处.
5.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AB于点E.若BC=9,BE=3,则△BDE的周长是　　　　.
12
4
7.如图所示,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是14 cm2,AB=9 cm,AC=5 cm,则DE的长是　　　　cm.
2
8.在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=13，AC=12，BC=5.在△ABC的内部找一点P，使得点P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是　　　　.
2
9.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,交AC于点E,DE垂直平分AB,垂足为D.试说明:BE+DE=AC.
解:因为∠ACB=90°,
所以AC⊥BC.
又因为DE⊥AB,BE平分∠ABC,
所以CE=DE.
因为DE垂直平分AB,
所以AE=BE.
因为AE+CE=AC,
所以BE+DE=AC.
解:(1)如图,过点M作MN⊥AB于点N.
由题意可得∠CAD=∠DAB=30°.
因为∠C=90°,MN⊥AB,
所以MC=MN(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等),
则MC的长度等于点M到AB的距离.
(2)由题意知∠MAB=∠MBA=30°,
所以∠AMB=180°-30°-30°=120°.
10.把两个同样大小的含30°角的三角尺如图所示放置，其中M是AD与BC的交点.
(1)试说明MC的长度等于点M到AB的距离;
(2)求∠AMB的度数.
N
简单的轴对称图形3-角
角的对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用注意：
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等.
角平分线的性质
尺规作角平分线
作图依据：SSS.
习题5.2：4，9，10，11题.
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北师大版数学七年级下册