5.1轴对称及其性质 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
第五章 图形的轴对称
5.1 对称及其性质
北师大版数学七年级下册
1.理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念及意义；(重点)
2.能够识别轴对称图形和成轴对称的图形，并能指出它们的对称轴；(重点)
3.经历探索轴对称的性质的过程，理解轴对称的性质；
4.会画与已知图形成轴对称的图形，会利用轴对称的性质进行简单的计算以及解决实际问题.(难点)
目 录
1 新课导入
2 新课讲授
3 典例分析
4 学以致用
5 课堂小结
6 布置作业
轴对称现象在生活中广泛存在:无论是气势恢宏的大型建筑还是生活中随处可见的各种标志，无论是传统的民间艺术还是现代的工业设计，都不乏轴对称的身影。你能发现生活中的轴对称图形吗 对于轴对称，你有怎样的认识
本章将在小学学习的基础上，进一步研究轴对称的性质，从轴对称的视角探索等腰三角形、线段和角的一些性质，开展搜集、欣赏、设计轴对称图案的活动。在这一过程中，你将感知并描述平面图形轴对称的规律，积累研究平面图形性质的经验，初步形成合乎逻辑地思考、表达与交流的习惯，发展空间观念、几何直观和推理能力等。
情境引入
观察图中的图片和图形，它们有什么共同特点？
你还能举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流.
它们都具有对称性.
探究一：轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
轴对称图形的概念
右图是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A与点A'重合，称点 A关于对称轴的对应点是点A'。类似地，线段 AB 关于对称轴的对应线段是线段 A'B'，∠B关于对称轴的对应角是∠B'.
对称轴是一条直线.
对应点：点B与点B'，点C与点C'；
对应线段：AC 与 A'C，BC 与 B'C等；
对应角：∠BAC与∠B'A'C，∠ACB与∠A'CB'等.
你还能在图中找出其他的对应点、对应线段和对应角吗
1.下列图形中，是轴对称图形的是 (　　)
D
方法归纳：判断一个图形是不是轴对称图形的关键是看能否找到一条直线,将图形沿着这条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,若能找到,则该图形就是轴对称图形,否则就不是轴对称图形.
你能画出下列各图形中的对称轴吗？哪一个图形的对称轴最多？
操作·思考
圆的对称轴最多，有无数条.
知识归纳
确定对称轴的条数：
一个轴对称图形的对称轴可能有1条，也能有多条，还可能有无数条.
通过对所给图形的直观感知，分析图形的特征，依据轴对称图形的概念，确定出对称轴的条数.
2.观察下面的图形，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴.
解:如图所示.
探究二：两个图形成轴对称
观察·交流
观察下图中的每组图案，你发现了什么？与同伴进行交流.
每组图案中的两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合.
知识归纳
两个图形成轴对称：
如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴.
B
D
C
A
3.下列四组图片中有哪几组图形成轴对称？
知识归纳
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系：
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
区别
联系
一个图形具有的特殊形状
两个全等图形的特殊的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合.
2.可以互相转化.
下图是一个轴对称图形,直线l是它的对称轴.观察这个图形,回答下列问题:
观察·思考
(1)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有什么关系 为什么
(2)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有什么关系 说说你的理由.
解:(1)任意选一组对应线段，如选择AD与A'D'，则AD=A'D'，因为沿对称轴折叠后它们能够互相重合.
(2)任意选一组对应角，如选择∠1与∠2，则∠1=∠2，因为沿对称轴折叠后它们能够互相重合.
探究三：轴对称的性质
(3)连接对应点A与A',线段 AA'与对称轴之间有什么关系 连接其他任意一组对应点再试一试.
(3)线段 AA'被对称轴垂直平分.
其他任意一组对应点所连线段也被对称轴垂直平分.
思考·交流
如图，将一张长方形纸对折,然后用笔尖扎出数字“14”,将纸打开后铺平.
在铺平的图中：
(1)两个“14”之间有什么关系？
关于直线l对称.
连接对应点的线段均垂直于对称轴l且被对称轴l平分，如：线段AA′，EE′等.
(2)对应线段相等，如：AB=A′B′，CD=C′D′等.
对应角相等，如：∠1=∠2，∠D=∠D′等.
(2)对应线段之间有什么关系？对应角之间有什么关系？连接对应点的线段与对称轴l之间有什么关系？请举例说明，并与同伴进行交流.
知识归纳
轴对称的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
提示：(1)关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形，但全等图形不一定成轴对称.
(2)成轴对称的两个图形的对应线段所在的直线有以下3种位置关系：①平行；②重合；③相交，且交点在对称轴上.
(3)若对应点所连线段被某一直线垂直平分，则此直线为这两点的对称轴.
4.如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是(　　)
A．130° B．150°
C．40° D．65°
解析：∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°-150°-40°-40°＝130°.
A
下图是一个轴对称图形的一半，直线MN是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半.
例
解:如图所示，延长AO至 A'，使 OA'=OA;延长BN至B'，使NB'=NB;依次连接 MA'，MB'，A'B'，A'P，B'P。这样画出的图形就是这个图形的另一半.
A′
B′
(1)找:找出已知图形的关键点（如端点、顶点或拐点）;
(2)画:过关键点关于对称轴的对应点;
(3)连:按已知图形的顺序依次连接相应的对应点.
知识归纳
画轴对称图形的步骤：
5.下图是一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴,画出这个图案的另一半.
解:如图所示.
例1：下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出每个图形的对称轴．
例2：如图所示，画出与△ABC关于直线l成轴对称的三角形.
解:如图所示,△A'B'C'即为所求.
例3：如图所示,△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上.若ED=4 cm,FC=1 cm,∠BAC=76°,∠EAC=58°.
(1)求BF的长;
(2)求∠CAD的度数;
(3)连接EC,线段EC与直线MN有什么关系
解:(1)因为△ABC与△ADE关于直线MN对称,ED=4 cm,
所以BC=ED=4 cm,
所以BF=BC-FC=4-1=3(cm).
(2)因为△ABC与△ADE关于直线MN对称,∠BAC=76°,
所以∠EAD=∠BAC=76°,
所以∠CAD=∠EAD-∠EAC=76°-58°=18°.
(3)直线MN垂直平分线段EC.
1.下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是(　　)
2.右图是由“○”和“□”组成的轴对称图形,该图形的对称轴是直线(　　)
A.l1 B.l2
C.l3 D.l4
C
C
4.将一张正方形纸片按如图所示的步骤①②对折两次,然后沿③中的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是(　　)
3.下列几组图案中成轴对称的有(　　)
A.3组 B.2组 C.1组 D.0组
A
B
6.如图所示,△ABC和△AB'C'关于直线l对称,有下列结论:①△ABC≌△AB'C';②∠BAC'=∠B’AC;
③直线l垂直平分线段CC';④直线BC和B'C'的交点不一定在直线l上.其中正确的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
5.下列关于轴对称性质的说法中,不正确的是(　　)
A.对应线段互相平行 B.对应线段相等
C.对应角相等 D.对应点的连线与对称轴垂直
A
B
7.如图所示的四个汽车标志图案中是轴对称图形的有　　　　(填序号).
①③
8.下列说法中,正确的是　　　　(填序号).
①轴对称图形只有一条对称轴;②轴对称图形的对称轴是一条线段;③若两个图形成轴对称,则这两个图形是全等图形;④全等的两个图形一定成轴对称;⑤轴对称图形是指一个图形,而成轴对称是对于两个图形而言的.
③⑤
9.如图所示，△ABC与△DEF关于直线MN对称.
(1)若AB=7 cm,则DE=　　　　;
(2)若∠A=70°,∠B=50°,则∠F=　　　　°;
(3)若S△DEF=56 cm2,则S△ABC=　　 　　.
7 cm
60
56 cm2
10.将五边形纸片按右图所示的方式折叠,折痕为AF,点E, D分别落在点E',D'处,已知∠AFC=76°,则∠CFD'的度数为　　　　.
28°
11.如图所示的图形分别是正三角形、正方形、正五边形、正六边形.
(1)分别说出它们各有几条对称轴，并作出各图形的所有对称轴;
(2)通过作图与思考,你发现了什么规律 试写出几条.
解:(1)正三角形有3条对称轴,正方形有4条对称轴,正五边形有5条对称轴,正六边形有6条对称轴.对称轴如图所示.
(3)答案不唯一,如:①正n(n≥3且n为整数)边形有n条对称轴.②正多边形的对称轴都交于同一点.
12.如图所示,D是△ABC的边BC上一点,以直线AD为对称轴作出△ABC的对称图形.
解:如图所示,△AB'C'即为所求.
13.如图所示，△ABC与△DEF关于直线MN对称,其中∠C=90°, AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm.
(1)连接AD,线段AD与直线MN的关系是什么
(2)求∠F的度数;
(3)求△ABC的周长和△DEF的面积.
解:(1)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称,所以直线MN垂直平分线段AD.
(2)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称,所以△ABC≌△DEF,所以∠F=∠C=90°.
(3)由题意得AB=DE=10 cm,所以△ABC的周长=6+8+10=24(cm);△DEF的面积=△ABC的面积=×6×8=24(cm2).
轴对称及其性质
轴对称图形
两个图形成轴对称
轴对称的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等，对应角相等.
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴.
习题5.1.
课程结束感谢观看
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