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数学小当家：三角形内角和大闯关
探索三角形内角和的奥秘专项练习
闯关规则
关卡设置
本次闯关共设4个关卡，涵盖选择题、填空题、判断题和解答题，全方位考察知识掌握情况。
答题方式
仔细阅读每道题目，选择正确的选项或在输入框中填写答案，确认无误后点击“提交答案”按钮。
即时反馈
提交答案后，系统会立即判断对错，并提供详细的解析，帮助你理解题目背后的知识点。
通关奖励
成功通过所有关卡，你将获得“数学小当家”的荣誉称号，快来挑战吧！
第一关：火眼金睛选答案
共5题，考验你的观察和判断能力！
选择题 1/5
题目：下图是从一些三角形卡片上撕下来的碎片，哪一组是在同一个三角形撕下来的？
碎片角度展示：
碎片 ①
20°
碎片 ②
45°
碎片 ③
60°
碎片 ④
75°
碎片 ⑤
90°
请选择正确答案：
A. ①②③ (20°+45°+60°=125°)
B. ②③④ (45°+60°+75°=180°)
C. ③④⑤ (60°+75°+90°=225°)
D. ①③⑤ (20°+60°+90°=170°)
答案反馈
题目回顾：下图是从一些三角形卡片上撕下来的碎片，哪一组是在同一个三角形撕下来的？
A. ①②③
B. ②③④ (正确答案)
C. ③④⑤
D. ①③⑤
解析：
我们来算一下，②的45°加上③的60°等于105°，再加上④的75°，正好等于180°，符合三角形内角和是180°的定理。所以，②、③、④是从同一个三角形上撕下来的。
下一题
选择题 2/5
题目：如图的线段表示一个三角形中两个内角度数之和在点P处，这个三角形是什么三角形？
图示：两内角和示意图
0°
90°
180°
点P
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法判断
提交答案
答案反馈
题目回顾
如图的线段表示一个三角形中两个内角度数之和在点P处，这个三角形是什么三角形？
选项解析
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形 (正确答案)
D. 无法判断
解题思路
点P在0°和90°之间，说明两个内角和小于90°。根据三角形内角和180°，第三个角必然大于90°，因此判定为钝角三角形。
继续下一题
选择题 3/5
题目：观察图形，下面说法正确的有几个？
示意图：△ABC，AD⊥BC，D在BC上，E在AC上
① 只有2个直角三角形。
② 线段AB既是△ABD的高，又是△ADC的高。
③ 在△ADC中，DE是AC边上的高。
④ △ABD和△ABC内角和相等。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
提交答案
答案反馈
题目：观察图形，下面说法正确的有几个？
选项解析
A. 1
B. 2 (正确)
C. 3
D. 4
详细解析
① 错误：图中有3个直角三角形（ABD、ADC、ADE），而非1个。
② 正确：线段AB确实是△ABD和△ABC的高。
③ 错误：DE不是AC边上的高，AC边上的高是从D点向AC作的垂线。
④ 正确：任何三角形内角和均为180°，因此它们相等。
结论：正确的说法有2个，故选 B。
下一题
选择题 4/5
题目：如图，AB＝AC，BC的延长线形成一个120°的外角，BD垂直于AC。请问∠1（∠ABD）和∠2（∠BAC）分别是多少度？
A. 30° 和 60°
B. 60° 和 30°
C. 60° 和 60°
D. 30° 和 30°
提交答案
答案反馈
题目：如图，AB＝AC，∠1和∠2分别是多少度？
A. 30°和60° (正确)
B. 60°和30°
C. 60°和60°
D. 30°和30°
详细解析
首先，120°的外角和∠ACB组成平角，所以∠ACB=60°。因为AB=AC，所以三角形ABC是等边三角形，∠2=60°。在直角三角形BDC中，∠1=180°-90°-60°=30°。
下一题
选择题 5/5
题目：直角三角形的内角和与锐角三角形的内角和相比，哪个更大？
A. 等于
B. 小于
C. 大于
D. 不确定
提交答案
答案反馈
题目：直角三角形的内角和与锐角三角形的内角和相比，哪个更大？
A. 等于
B. 小于
C. 大于
D. 不确定
解析：任何一个三角形，无论它是直角、锐角还是钝角三角形，它的内角和都是180°。
进入下一关
第二关：精打细算填一填
考验你的知识掌握程度！
填空题：计算三角形内角
请根据三角形内角和为 180° 的定理，计算出下列图形中 ∠C 的度数。
题目一：等腰三角形
已知：顶角 = 100°，底角 = 40°
求：另一个底角 ∠C 的度数
请输入 ∠C 的度数 (°)
题目二：直角三角形
已知：直角 = 90°，锐角 = 61°
求：另一个锐角 ∠C 的度数
请输入 ∠C 的度数 (°)
提交答案
答案反馈
题目一：一般三角形
正确答案：∠C = 40°
解析：根据三角形内角和为180°，计算得出：
180° - 100° - 40° = 40°
题目二：直角三角形
正确答案：∠C = 29°
解析：直角三角形直角为90°，计算得出：
180° - 90° - 61° = 29°
进入下一关
第三关：明辨是非判对错
对的打√，错的打×！
判断题
题目：钝角三角形的内角和比锐角三角形的内角和大。
正确 (√)
错误 (×)
提交答案
答案反馈
题目：钝角三角形的内角和比锐角三角形的内角和大。
正确答案：× (错误)
解析：任何三角形的内角和都是180°，无论是钝角、锐角还是直角三角形，内角和都是相等的。
进入最终关
第四关：解决问题小能手
运用知识解决实际问题！
解答题
题目：一个等腰三角形其中的一个角是52度，另外两个角可能是多少度？请分情况讨论并写出解题步骤。
请在此处输入解题过程
输入你的答案...
提交答案
答案反馈
题目：一个等腰三角形其中的一个角是52度，另外两个角可能是多少度？
情况一：52°是底角
等腰三角形两底角相等，故另一底角也为52°
顶角 = 180° - 52° - 52° = 76°
结论：另外两个角是 52° 和 76°
情况二：52°是顶角
两底角之和 = 180° - 52° = 128°
每个底角 = 128° ÷ 2 = 64°
结论：另外两个角都是 64°
正确答案：另外两个角可能是 52° 和 76°，或者都是 64°。
查看最终成绩
恭喜通关！
你成功通过了所有关卡，展现了出色的观察能力和对三角形内角和的深刻理解，你就是当之无愧的“数学小当家”！
重新挑战
结束
谢谢参与！
三角形的世界，奇妙无穷！希望这次闯关能让你感受到数学在生活中的应用，我们下次再见！2.3探索与发现：三角形内角和
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下图是从一些三角形卡片上撕下来的碎片，（ ）是在同一个三角形撕下来的。
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①③⑤
2．如图的线段表示到一个三角形中两个内角度数之和在点处，这个三角形是（ ）三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断
3．观察图形，下面说法正确的有（ ）个．
①只有2个直角三角形．
②线段AB既是三角形ABD的高，又是三角形ADC的高．
③在三角形ADC中，DE是AC边上的高．
④三角形ABD和三角形ABC内角和相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，AB＝AC，∠1和∠2分别是（ ）。
A．30°和60° B．60°和30° C．60°和60° D．30°和30°
5．直角三角形的内角和（ ）锐角三角形的内角和。
A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定
二、填空题
6．填出下面各角的度数。
∠C＝( )
∠C＝( )
7．笑笑制作了一个等腰三角形的警示牌（如图），提醒大家不要践踏草坪。已知这个警示牌的一个底角是40°，那么它的顶角是( )°；按角分，这个三角形是( )三角形。
8．直角三角形中，两个锐角的度数和是( )；等腰三角形的一个底角是，它的顶角的度数是( )。
9．一个三角形至少有( )个锐角；一个直角三角形的一个锐角是55°，另一个锐角是( )。
10．如下图。，那么∠1＝( )，∠( )。
11．三角形ABC中，∠A＝49°，∠B＝54°，∠C＝( )，这是一个( )三角形．
12．如图，把一张长方形纸折叠后，∠1＝50°，∠2＝( )。
13．如图，∠1＝( )°，∠2＝( )°。
三、判断题
14．一个三角形三个内角中，一定至少有两个角是锐角。( )
15．钝角三角形的内角和比锐角三角形的内角和大。( )
16．一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，这个三角形是钝角三角形。( )
17．直角三角形中两个锐角的和大于钝角三角形的两个锐角和。( )
18．一个三角形三个内角不相等，最小的角为45°，这个三角形是锐角三角形。( )
四、解答题
19．如下面这个三角形的两条边相等，∠B＝58°。请你想一想另外两个角分别是多少度，把想法写出来。
20．一个等腰三角形其中的一个角是52度，另外两个角可能是多少度？
21．三角形ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，∠C＝？它是什么三角形？
22．在如图所示的三角形中，已知∠1＋∠2＝100°，∠1＋∠3＝125°，求∠1的度数。
23．一个三角形可能有两个直角吗？请写出你的理由。
《2.3探索与发现：三角形内角和》参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 B C B A A
1．B
【分析】三角形内角和180°，把选项中选择的三个碎片的角度加起来，如果和是180°，那么它三个就是在同一个三角形中撕下来的，否则就不是在同一个三角形中撕下来的。
【详解】A．①②③：20°＋45°＋60°＝65°＋60°＝125°，不是在同一个三角形中撕下来的；
B．②③④：45°＋60°＋75°＝105°＋75°＝180°，是在同一个三角形中撕下来的；
C．③④⑤：60°＋75°＋90°＝135°＋90°＝225°，不是在同一个三角形中撕下来的；
D．①③⑤：20°＋60°＋90°＝80°＋90°＝170°，不是在同一个三角形中撕下来的；
故答案为：B
2．C
【分析】根据题图可知，0°和180°中间是90°，点P在0°和90°之间，那么这个三角形两个内角的度数和小于90°。根据三角形的内角和为180度可知，第三个角的度数应大于90度，是一个钝角，则该三角形就是钝角三角形。
【详解】由分析可知，这个三角形是钝角三角形。
故答案为：C
3．B
【详解】略
4．A
【分析】观察图形可知，∠ACB和120°的角组成一个平角，则∠ACB＝180°－120°＝60°，三角形的内角和是180°，则∠1＝180°－90°－60°＝30°；AB＝AC，说明三角形是一个等腰三角形，等腰三角形的底角相等，即∠ABC＝∠ACB＝60°，那么∠2＝180°－60°×2＝60°。
【详解】∠1＝180°－90°－（180°－120°）
＝90°－60°
＝30°
∠2＝180°－（180°－120°）×2
＝180°－120°
＝60°
故答案为：A
5．A
【分析】任何一个三角形，无论形状、大小，内角和都是180°。据此解答。
【详解】直角三角形的内角和等于锐角三角形的内角和，都是180°。
故答案为：A
6． 40° 29°
【分析】根据三角形内角和是180°，用180°减去其他两个角的度数，据此解答即可。
【详解】（1）180°－100°－40°
＝80°－40°
＝40°
（2）∠B＝90°
180°－61°－90°
＝119°－90°
＝29°
【点睛】解答本题的关键是牢记三角形的内角和是180°即可。
7． 100 钝角
【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，已知其中一个底角为40°，另一个底角也是40°，用180°减去两个40°，就是顶角的度数；三角形按角分类： 三角形按角分类分为：锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。以此答题即可。
【详解】根据分析可知：
180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
100°＞90°
笑笑制作了一个等腰三角形的警示牌（如图），提醒大家不要践踏草坪。已知这个警示牌的一个底角是40°，那么它的顶角是100°；按角分，这个三角形是钝角三角形。
8． 90°/90度 100°/100度
【分析】三角形的内角和为180°，直角三角形中，有两个锐角和一个直角，直角为90°，那么用180°减去90°，计算出两个锐角的度数和；等腰三角形的两腰相等、两个底角也相等，那么用180°减去2个底角的度数，计算出顶角的度数；据此解答。
【详解】根据分析：180°－90°＝90°，所以直角三角形中，两个锐角的度数和是90°；180°－40°－40°＝100°，所以等腰三角形的一个底角是，它的顶角的度数是100°。
9． 两 35°
【分析】根据三角形的内角和等于180°可知，三个角中最多有一个直角或钝角，所以最少有两个锐角；
用180°减去90°再减去55°，求出另一个锐角的度数，据此解答即可。
【详解】一个三角形至少有两个锐角；
180°－90°－55°
＝90°－55°
＝35°
一个直角三角形的一个锐角是55°，另一个锐角是35°。
【点睛】熟练掌握三角形的内角和定理是解答此题的关键。
10． 30° 60°
【分析】
如上图：∠3与120°组成一个平角，180°减120°即可求出∠3的度数；
∠1加上∠3加上90°等于180°，用180°减去90°再减去∠3，求出∠1；
因为AB＝AC，根据等腰三角形的特征，所以∠B等于∠3，用180°减去2个∠3，求出∠2。
【详解】180°－120°＝60°
∠1＝180°－90°－60°
＝90°－60°
＝30°
∠2＝180°－60°－60°
＝120°－60°
＝60°
【点睛】1平角＝180°，三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等。
11． 77° 锐角
【详解】略
12．65°
【分析】由图可知∠1＋∠2＋∠2＝180°，∠1＝50°可求出∠2的度数。
【详解】由图可知∠1＋∠2＋∠2＝180°，
所以∠2＋∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°，
130°÷2＝65°
所以∠2＝65°
【点睛】本题的关键是掌握三角形的内角和是180°，并灵活运用。
13． 40 50
【分析】有两边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等，三角形内角之和等于180°，5cm＝5cm，所以三角形是等腰三角形；∠1＝（180°－100°）÷2，用90°减去∠1的度数求出∠2的度数，据此解答。
【详解】5cm＝5cm，所以三角形是等腰三角形。
∠1：（180°－100°）÷2
＝80°÷2
＝40°
∠2：90°－40°＝50°
所以∠1＝40°，∠2＝50°。
14．√
【分析】假设在一个三角形中只有一个锐角或零个锐角，则另外的两个角或三个角都大于或等于90°，即这个三角形的内角和大于180°，与三角形的内角和等于180°相矛盾，所以假设不成立，据此即可判断。
【详解】由分析可知：
一个三角形三个内角中，一定至少有两个角是锐角的说法是正确的。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理及反证法的应用。用反证法证明命题有三个步骤：①假设命题不成立；②由假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不成立，从而证明原命题正确。
15．×
【分析】三角形的内角和是180°，与三角形的类型（钝角、锐角或直角）无关，因此，钝角三角形和锐角三角形的内角和相等，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，三角形的内角和是180°，钝角三角形和锐角三角形的内角和都为180°，两者相等，原说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和为180°，等腰三角形两个底角度数相等，把一个底角看作1份，则顶角是1×3＝3（份），所以三个角的度数和就是1＋1＋3＝5（份），用180°除以总份数5，即得到每份数一个底角的度数，再乘3，即得到顶角的度数。角的度数大于90度，属于钝角，据此解答。
【详解】根据分析可知：
1×3＝3
1＋1＋3
＝2＋3
＝5
180°÷5＝36°
36°×3＝108°
108°＞90°
一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，这个三角形是钝角三角形。原题说法正确。
故答案为：√
17．√
【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，根据三角形内角和等于180度，直角三角形两个锐角和为180－90＝90度，因为钝角大于90度所以钝角三角形两个锐角和是小于90度的。据此解答。
【详解】由分析可知，直角三角形中两个锐角的和大于钝角三角形的两个锐角和。原题说法正确。
故答案为：√
18．√
【分析】在一个三角形的三个内角中，最小的角是45°，则另外两个角应该大于或等于45°。但三个内角又不相等，说明另外两个角应该大于45°。要想判断这个三角形是什么三角形，需要求出这个三角形的最大内角是多少度。根据三角形的内角和是180°，已知最小的角是45°，要使其中一个内角最大，则另外两个内角应该最小，最小为45°和46°，据此求出最大的内角度数，进而判断出三角形是什么三角形。
【详解】180°－45°－46°
＝135°－46°
＝89°，即第三个角最大是89°。这个三角形是锐角三角形。原题说法正确。
故答案为：√
19．当∠B是底角时，另外两个角分别是58°、64°；当∠B是顶角时，另外两个角分别是61°、61°
【分析】因为等腰三角形的两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形；等腰三角形的底角是相等的，且等腰三角形的三个角的和是180°；当∠B是底角时，用三角形的内角和减去2个底角的度数就是顶角的度数；当∠B是顶角时，用三角形的内角和减去顶角的度数就是两个底角的度数和，再除以2，就是底角的度数；据此解答。
【详解】三角形的两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形；
当∠B是底角时，顶角是：
当∠B是顶角时，底角是：
答：当∠B是底角时，另外两个角分别是58°、64°；当∠B是顶角时，另外两个角分别是61°、61°。
20．52°和76°或64°和64°
【分析】本题要分2种情况，第一种：52°的角为底角，则另外两个角中有一个是52°，三角形的内角和等于180°，顶角等于180°减去两个底角的度数；第二种：52°的角为顶角，则另外两个角为底角，180°减52°，再除以2即等于两个底角的度数；据此即可解答。
【详解】（1）若52°作为底角，则另一个底角也等于52°。
180°－52°－52°
＝128°－52°
＝76°
（2）若52°作为顶角。
（180°－52°）÷2
＝128°÷2
＝64°
答：另外两个角是52°和76°或两个角都是64
21．70°；锐角三角形
【分析】因为三角形的内角和是180°，所以用180°减去∠A的度数再去∠B的度数，即可求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类进行判断即可。
三角形按边分可分为：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。两个底角相等的三角形是等腰三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形。
三角形按角分类可分成：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
1、锐角三角形：三个角都小于90°。
2、直角三角形：其中一个角等于90°。
3、钝角三角形：其中一个角一定大于90°小于180°。
【详解】∠C＝180°－∠A－∠B
三角形ABC中三个角都小于90°，它是锐角三角形。
答：∠C＝70°，它是锐角三角形。
【点睛】掌握三角形的内角和是180°及三角形的分类是解题的关键。
22．45°
【分析】结合所学知识，三角形的内角和是180°，并且∠1＋∠2＝100°，∠1＋∠3＝125°，据此用180°－（∠1＋∠2）求出∠3的度数，再根据∠1＋∠3＝125°求出∠1的度数。
【详解】∠3＝180°－（∠1＋∠2）＝180°－100°＝80°
∠1＋∠3＝125°，即∠1＋80°＝125°，∠1＝125°－80°＝45°
答：∠1的度数是45°。
23．见详解
【分析】三角形的内角和是180度，也就是三角形里面的3个角的度数和是180度，一个直角是90度，2个直角就是180度，如果三角形有两个直角，那么第3个角为0度，因为三角形不可能有0度的角，所以三角形不可能有2个直角。
【详解】答：不可能，因为三角形的内角和是180度，3个角的度数和是180度，则其中2个角的度数和小于180度，因为两个直角就是180度，那么第3个角为0度。所以三角形不可能有2个直角。
【点睛】掌握三角形的内角和以及直角的定义是解答本题的关键。
