专题卷(四) 二次函数
(建议时间:40分钟 满分:100分)
命题角度一 二次函数的表达式
1.在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … 21 12 5 0 -3 -4 -3 0 m …
其中m的值为 ( )
A.21 B.12 C.5 D.-4
2.[2025·广东] 已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点,则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
3.已知一条抛物线的形状与抛物线y=2x2+3的形状相同,与另一条抛物线y=-(x+1)2-2的顶点坐标相同,则这条抛物线的函数表达式为 .
4.(8分)在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2tx+3的图象经过点(3,0).
(1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标.
(2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位,再向下平移n(n>0)个单位,得到的图象恰好经过点(5,-2),求n的值.
命题角度二 二次函数的图象和性质
5.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如右,那么b,c的值可能是 ( )
A.b=-3,c=3 B.b=3,c=-3
C.b=3,c=3 D.b=-3,c=-3
6.已知二次函数y=(x-3)2+2m+1(m为常数),其图象上有两点A(a-1,y1),B(a+1,y2),如果y1>y2,那么a的取值范围是 ( )
A.a>0或a<-2 B.-1
7.已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的顶点坐标为(-2,-1),则下列说法正确的是 ( )
A.a= B.当x=-2时,二次函数有最小值3
C.当x>-2时,y随x的增大而减小 D.当-38.已知点A(a,b)在二次函数y=-x2+8的图象上,则2a-b的最小值为 ( )
A.-8 B.8 C.-9 D.9
9.[2025·安徽] 如图,这是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则 ( )
A.abc<0 B.2a+b<0
C.2b-c<0 D.a-b+c<0
10.(8分)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象经过点(-1,0),(0,3).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)当-1≤x≤2时,函数的最大值为m,最小值为n,求m-n.
命题角度三 二次函数的应用
11.[2025·山东] 在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系.其部分图象如右图所示.根据图象,下列结论正确的是 ( )
A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小 B.当x=2 000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1 000 D.当y=0.4时,x=600
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,若a+b=5,则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数表达式为 ( )
A.S= B.S= C.S= D.S=
13.(8分)[2025·兰州] 在学校项目化学习中,某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料,解决“数学建模”中的问题.
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素,以生长素浓度x(标准单位)为自变量,种子的发芽率y(%)为因变量,进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验,获得相关数据:
生长素浓度x/标准单位 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y/% 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图,小组成员以表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
说明:①当生长素浓度x=0时,种子的发芽率为自然发芽率;
②当发芽率大于或等于零且小于自然发芽率时,该生长素抑制种子发芽;
③当生长素抑制种子发芽,使得发芽率减小到0时,停止实验.
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题:
(1)观察上述各点的分布规律,判断y关于x的函数类型,并求出该函数的表达式.
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围.
14.(9分)如图1,这是网球场的示意图,球网在中线AB的中垂线上,自动网球发射器在C处,如图2,这是发射后的网球飞行示意图.发射后的网球在AB上方按固定的抛物线路线飞行,网球落在D处,相关数据如图所示.测得:当网球从发射口F发射后,飞行的水平距离为 m时,达到距地面最高 m处.
(1)在图2中建立合适的直角坐标系,求该抛物线的表达式.
(2)当网球飞行至O的正上方时,高度不低于0.92 m能顺利过网.将发射口向上调0.32 m,并将发射器向O移动,使网球飞行的路线经过点B,通过计算说明此时网球是否能顺利过网.
15.已知 A(-3,a),B(3,a),C(5,a+m)(m>0)三点在同一函数图象上,则该函数图象可能是 ( )
A. B. C. D.
16.[2025·陕西] 在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是 ( )
A.图象的开口向下 B.当x>0时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时,y<0
17.已知二次函数y=x2-2mx+4(m>0),若点A(n,a),B(n+2,a),C(6,b)都在该二次函数的图象上,且aA.n<2 B.26 C.14
18.(9分)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c是常数)的图象过A(2,0),B(3n-4,y1),C(5n+6,y2)三点.
(1)若A为此二次函数图象的顶点,求二次函数的表达式.
(2)若y1=y2,
①用含n的代数式表示b.
②已知n<-5,求b+c的取值范围.
19.(9分)已知点A(m,4)(m≠0)在抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)上.
(1)若m=4,且抛物线经过点B(1,2),求抛物线的表达式.
(2)若点C(6-m,0)也在该抛物线上.
①当函数的最小值为0时,求m的值.
②若当0≤x≤1时,y随x的增大而增大,直接写出m的取值范围.
20.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+6(a,b为常数,a≠0)经过点(4,6).
(1)用含a的代数式表示b,并求该抛物线的对称轴.
(2)当-2≤x≤0时,0≤y≤6,求抛物线的函数表达式.
(3)在(2)的条件下,已知点(t-1,y1),(5,y2),(2t,y3)在抛物线上,y1>y2,求y3的取值范围.专题卷(四) 二次函数
(建议时间:40分钟 满分:100分)
命题角度一 二次函数的表达式
1.在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … 21 12 5 0 -3 -4 -3 0 m …
其中m的值为 ( C )
A.21 B.12 C.5 D.-4
2.[2025·广东] 已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点,则该二次函数的表达式可以是 y=-x2+x+2(答案不唯一) .(写出一个即可)
3.已知一条抛物线的形状与抛物线y=2x2+3的形状相同,与另一条抛物线y=-(x+1)2-2的顶点坐标相同,则这条抛物线的函数表达式为 y=2(x+1)2-2或y=-2(x+1)2-2 .
4.(8分)在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2tx+3的图象经过点(3,0).
(1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标.
(2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位,再向下平移n(n>0)个单位,得到的图象恰好经过点(5,-2),求n的值.
解:(1)把(3,0)的坐标代入y=-x2+2tx+3,得t=1,∴y=-x2+2x+3.
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).
(2)把此二次函数的图象先向右平移2个单位,再向下平移n(n>0)个单位,得到y=-(x-1-2)2+4-n的图象.
∵平移后的图象经过点(5,-2),∴-2=-(5-1-2)2+4-n,解得n=2.
命题角度二 二次函数的图象和性质
5.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如右,那么b,c的值可能是 ( C )
A.b=-3,c=3 B.b=3,c=-3
C.b=3,c=3 D.b=-3,c=-3
6.已知二次函数y=(x-3)2+2m+1(m为常数),其图象上有两点A(a-1,y1),B(a+1,y2),如果y1>y2,那么a的取值范围是 ( C )
A.a>0或a<-2 B.-1【解析】 ∵二次函数的表达式为y=(x-3)2+2m+1,∴其图象开口向上,对称轴为直线x=3,
∴当x≤3时,y随x的增大而减小,当x>3时,y随x的增大而增大.
当a+1≤3,即a≤2时,显然成立;
当a-1<3(a+1-3)2+2m+1,
解得a<3,∴2综上所述,a的取值范围为a<3.
7.已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的顶点坐标为(-2,-1),则下列说法正确的是 ( D )
A.a= B.当x=-2时,二次函数有最小值3
C.当x>-2时,y随x的增大而减小 D.当-3【解析】 ∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的顶点坐标为(-2,-1),
∴
解得故选项A错误,不符合题意;
当x=-2时,二次函数有最小值-1,故选项B错误,不符合题意;
当x>-2时,y随x的增大而增大,故选项C错误,不符合题意;
∵y=x2+4x+3=(x+1)(x+3),∴当y=0时,x=-1或x=-3,∴当-38.已知点A(a,b)在二次函数y=-x2+8的图象上,则2a-b的最小值为 ( C )
A.-8 B.8 C.-9 D.9
9.[2025·安徽] 如图,这是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则 ( C )
A.abc<0 B.2a+b<0
C.2b-c<0 D.a-b+c<0
【解析】 观察图象知a>0,b<0,c<0,故abc>0,故A选项错误;
由题图知,二次函数图象交x轴于点(2,0),另一个交点的横坐标在-1和0之间,
根据二次函数图象的对称性可知<-<1.
又∵a>0,∴b>-2a,即2a+b>0,故B选项错误;
由<-,知b<-a,即b+a<0,故4b+4a<0①,
由图象过点(2,0),得4a+2b+c=0,故4a=-2b-c,
再代入①式中,可得4b-2b-c<0,
整理得2b-c<0,故C选项正确;
当x=-1时,可知y>0,即a-b+c>0,故D选项错误.
10.(8分)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象经过点(-1,0),(0,3).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)当-1≤x≤2时,函数的最大值为m,最小值为n,求m-n.
解:(1)把点(-1,0),(0,3)的坐标分别代入y=ax2-2ax+c,
得解得
∴这个二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴当x=1时,y有最大值4,
当x=-1时,y=0,当x=2时,y=3,∴当-1≤x≤2时,0≤y≤4,∴m=4,n=0,∴m-n=4-0=4.
命题角度三 二次函数的应用
11.[2025·山东] 在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系.其部分图象如右图所示.根据图象,下列结论正确的是 ( B )
A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小 B.当x=2 000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1 000 D.当y=0.4时,x=600
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,若a+b=5,则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数表达式为 ( A )
A.S= B.S= C.S= D.S=
【解析】 ∵∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,∴a2+b2=c2.
∵Rt△ABC的面积为S,∴S=ab,
∵a+b=5,∴(a+b)2=25,∴a2+b2+2ab=25,∴c2+4S=25,∴S=.
13.(8分)[2025·兰州] 在学校项目化学习中,某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料,解决“数学建模”中的问题.
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素,以生长素浓度x(标准单位)为自变量,种子的发芽率y(%)为因变量,进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验,获得相关数据:
生长素浓度x/标准单位 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y/% 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图,小组成员以表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
说明:①当生长素浓度x=0时,种子的发芽率为自然发芽率;
②当发芽率大于或等于零且小于自然发芽率时,该生长素抑制种子发芽;
③当生长素抑制种子发芽,使得发芽率减小到0时,停止实验.
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题:
(1)观察上述各点的分布规律,判断y关于x的函数类型,并求出该函数的表达式.
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围.
解:(1)观察图中各点的分布规律,知y关于x的函数是二次函数.
设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),
将点(0,35),(1,56),(2,63)的坐标代入,得
解得
∴该二次函数的表达式为y=-7x2+28x+35.
(2)当x=0或x=4时,y=35,
即种子的自然发芽率为35%.
当y=0时,-7x2+28x+35=0,解得x1=-1(舍去),x2=5.
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为414.(9分)如图1,这是网球场的示意图,球网在中线AB的中垂线上,自动网球发射器在C处,如图2,这是发射后的网球飞行示意图.发射后的网球在AB上方按固定的抛物线路线飞行,网球落在D处,相关数据如图所示.测得:当网球从发射口F发射后,飞行的水平距离为 m时,达到距地面最高 m处.
(1)在图2中建立合适的直角坐标系,求该抛物线的表达式.
(2)当网球飞行至O的正上方时,高度不低于0.92 m能顺利过网.将发射口向上调0.32 m,并将发射器向O移动,使网球飞行的路线经过点B,通过计算说明此时网球是否能顺利过网.
解:(1)以D为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图.
∴A(-17,0),C(-14,0),O(-5,0),B(7,0).
∵当网球从发射口F发射后,飞行的水平距离为 m时,达到距地面最高 m处,
∴抛物线的顶点坐标为.
设抛物线的表达式为y=a+,
将点D的坐标(0,0)代入,得0=a×+,解得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-·+=-x2-x.
(2)∵将发射口向上调0.32 m,∴抛物线的表达式变为y=-x2-x+0.32.
设将发射器向O移动m(0则抛物线的表达式变为y=-(x-m)2-(x-m)+0.32.
∵此时抛物线经过点B(7,0),∴0=-(7-m)2-(7-m)+0.32,
解得m=6或m=23(舍去),∴抛物线的表达式为y=-(x-6)2-(x-6)+0.32.
令x=-5,则y=1.2>0.92,∴此时网球能顺利过网.
15.已知 A(-3,a),B(3,a),C(5,a+m)(m>0)三点在同一函数图象上,则该函数图象可能是 ( B )
A. B. C. D.
16.[2025·陕西] 在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是 ( D )
A.图象的开口向下 B.当x>0时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时,y<0
17.已知二次函数y=x2-2mx+4(m>0),若点A(n,a),B(n+2,a),C(6,b)都在该二次函数的图象上,且aA.n<2 B.26 C.14
【解析】 由题意,二次函数图象过点A(n,a),B(n+2,a),∴对称轴是直线x==n+1.
又∵二次函数为y=x2-2mx+4(m>0),
∴其图象的对称轴是直线x=-=m,∴m=n+1>0.
又∵图象开口向上,∴图象上的点离对称轴越近,其纵坐标越小.
又∵a6.
18.(9分)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c是常数)的图象过A(2,0),B(3n-4,y1),C(5n+6,y2)三点.
(1)若A为此二次函数图象的顶点,求二次函数的表达式.
(2)若y1=y2,
①用含n的代数式表示b.
②已知n<-5,求b+c的取值范围.
解:(1)将A(2,0)的坐标代入二次函数表达式,得0=4+2b+c.
又点A(2,0)是图象的顶点,所以-=2,解得b=-4,c=4,
故二次函数的表达式为y=x2-4x+4.
(2)①由于y1=y2,所以=-,得b=-8n-2.
②将A(2,0)的坐标代入函数表达式,得4+2b+c=0,即b+c=-b-4=8n-2.
由n<-5,得b+c<-42.
19.(9分)已知点A(m,4)(m≠0)在抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)上.
(1)若m=4,且抛物线经过点B(1,2),求抛物线的表达式.
(2)若点C(6-m,0)也在该抛物线上.
①当函数的最小值为0时,求m的值.
②若当0≤x≤1时,y随x的增大而增大,直接写出m的取值范围.
解:(1)当m=4时,A(4,4),
把A的坐标代入y=ax2+bx+4中,可得4=16a+4b+4,∴b=-4a.
又∵抛物线经过点B(1,2),∴2=a+b+4.
∴a=,b=-.
∴抛物线的表达式为y=x2-x+4.
(2)①∵抛物线经过点C(6-m,0),且函数的最小值为0,∴C为抛物线的顶点,且函数图象开口向上,
∴该函数图象的对称轴为直线x=6-m.
又∵当x=0时,y=4,∴该抛物线经过点(0,4).
又∵点A(m,4)(m≠0)也在该抛物线上,∴=6-m,∴m=4.
②∵点A(m,4)(m≠0)在抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)上,∴am2+bm+4=4,
∴m=-或m=0(不合题意,舍去).∴对称轴是直线x=-=.
当0≤x≤1时,y随x的增大而增大,
当a<0时,抛物线开口向下,
则当x≤时,y随x的增大而增大,
∴≥1,即m≥2.
又∵点C(6-m,0)在抛物线上,∴6-m<0或6-m>m,即m>6或m<3.
∴2≤m<3或m>6.
当a>0时,抛物线开口向上,则当x>时,y随x的增大而增大,∴≤0,即m≤0.
又∵点C(6-m,0)在抛物线上,∴m<6-m<0,此时无解.
综上所述,2≤m<3或m>6.
20.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+6(a,b为常数,a≠0)经过点(4,6).
(1)用含a的代数式表示b,并求该抛物线的对称轴.
(2)当-2≤x≤0时,0≤y≤6,求抛物线的函数表达式.
(3)在(2)的条件下,已知点(t-1,y1),(5,y2),(2t,y3)在抛物线上,y1>y2,求y3的取值范围.
解:(1)由题意可得16a+4b+6=6,∴b=-4a,∴y=ax2-4ax+6(a为常数,a≠0),
∴对称轴为直线x=-=2.
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=2,当a>0时,图象开口向上,∴当-2≤x≤0时,y随x的增大而减小,∴当x=-2时,y=6,即4a+8a+6=6,
解得a=0(不符合题意,舍去);
当a<0时,图象开口向下,当-2≤x≤0时,y随x的增大而增大,
∴当x=-2时,y=0,即4a+8a+6=0,∴a=-,∴y=-x2+2x+6.
(3)∵y=-x2+2x+6,对称轴为直线x=2,图象开口向下,当x≤2时,y随x的增大而增大,当x≥2时,y随x的增大而减小,∴点(5,y2)关于对称轴对称的点为(-1,y2).
∵y1>y2,∴-1∵当2t=0时,y3=6;
当2t=2时,y3=-×22+2×2+6=8,当2t=12时,y3=-×122+2×12+6=-42,
∴-42
