专题卷(五) 三角形与全等三角形
(建议时间:40分钟 满分:100分)
命题角度一 几何基本知识
1.在跳远比赛中,某同学从点C处起跳后,在沙池留下的脚印如图所示.测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离),依据的数学原理是 ( A )
A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.两点之间,线段最短
D.两直线平行,内错角相等
2.[2025·长沙] 如图,AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F,直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°,∠2=50°,则∠GEF的度数为 ( B )
A.50° B.60° C.65° D.70°
3.[2025·陕西] 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有 ( C )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
命题角度二 三角形及三角形全等
4.如图,AD是△ABC的中线,下列说法错误的是 ( A )
A.△ABD和△ACD全等 B.若AD平分∠BAC,则△ABC是等腰三角形
C.若AD⊥BC,则△ABC是等腰三角形 D.若点D到AB和AC的距离相等,则AD⊥BC
5.[2025·连云港] 如图,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,连结AE,AG,则△AEG的周长为 ( C )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.如图,在△ABC中,点D在BC边上,2∠B=∠DAC,CE⊥AD,若AE=DE=2,AC=6,则BC的长为( A )
A.10 B.5 C.8 D.8
7.如图,在△ABC中,∠A=45°,D为AC上一点,BC=BD,过点C作CE⊥BD于点E,交AB于点F.若∠ABD=α(0°<α<45°),则∠BCF的大小为 ( A )
A.2α B.45°-α C.45°+α D.90°-α
【解析】 在△ABD中,∠A=45°,∠ABD=α(0°<α<45°),∴∠BDC=∠A+∠ABD=45°+α.
∵BC=BD,∴∠BCD=∠BDC=45°+α.
在△BCD中,∠CBD=180°-(∠BCD+∠BDC)=180°-(45°+α+45°+α)=90°-2α.
∵CE⊥BD,∴∠BCF+∠CBD=90°,∴∠BCF=90°-∠CBD=90°-(90°-2α)=2α.
8.(6分)如图,AB,DE相交于点F,AD∥BE,点C在线段AB上,且AC=BE,AD=BC,连结CD,CE.
(1)求证:∠ADC=∠BCE.
(2)若∠A=50°,∠ADC=30°,求∠CDE的度数.
解:(1)证明:∵AD∥BE,∴∠A=∠B.
在△ADC和△BCE中,
∴△ADC≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BCE.
(2)∵∠A=50°,∠ADC=30°,∴∠BCD=∠A+∠ADC=80°.
由(1)得△ADC≌△BCE,∴CD=EC,∠ADC=∠BCE=30°,∴∠CDE=∠CED,
∠DCE=∠BCD+∠BCE=110°.
∵∠CDE+∠CED+∠DCE=180°,∴2∠CDE+110°=180°,∴∠CDE=35°,∴∠CDE的度数是35°.
9.(6分)如图1,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为点D,E.
(1)求证:AD=AE.
(2)在图1的条件下,如图2,点M,N分别在AB,AC上,且PM=PN,AM=5,AN=3,求AD的长.
解:(1)证明:∵AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,∴PD=PE.
在Rt△APD和Rt△APE中,
∴Rt△APD≌Rt△APE(HL),∴AD=AE.
(2)在Rt△PEN和Rt△PDM中,
∴Rt△PEN≌Rt△PDM(HL),∴NE=MD.
∵AM=AD+MD=5,AD=AE=AN+NE=AN+MD,∴AN+MD+MD=5.
∵AN=3,∴MD=1,∴AD=AM-MD=4.
10.(8分)如图,在四边形ACBD中,AC=BC,∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.
(1)求证:CE=BD.
(2)若AC=AD=2,求BD的长.
解:(1)证明:∵∠ACB=∠BDC=∠AED=90°,
∴∠ACE=∠B=90°-∠BCD,∠CEA=∠BDC=90°.
在△ACE和△CBD中,
∴△ACE≌△CBD(AAS),∴CE=BD.
(2)∵AC=AD=2,AE⊥CD,∴CE=DE,∴AE=CD=2CE=2BD,
∴AC===BD,∴BD=2,∴BD=2,∴BD的长为2.
命题角度三 特殊的三角形
11.[2025·江苏] 如图,在房屋的人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是 ( B )
A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C
C.BD=CD D.AD平分∠BAC
12.[2025·安徽] 如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=,则AC的长是 ( B )
A.4 B.6 C.2 D.3
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC的延长线上,且∠ADC=30°.若AB=2,则CD的长度为 ( C )
A.1 B.
C.- D.2-2
【解析】 如图,过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠BAC=90°,AB=AC=2,∴BC==2.
∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,BE=CE=BC=,∴AE=BC=.
∵∠ADC=30°,∴tan 30°=,∴DE=,∴CD=DE-CE=-.
14.将Rt△ABC和Rt△EBD按如图所示的方式放置,其中∠ACB=∠BDE=90°,∠EBD=∠A=60°,连结CE,已知AC=BD=2,则线段CE的长为 ( A )
A.2 B.4 C.2 D.4
15.为抬高水平放置的长方体木箱ABCD的一侧(其中AB=2 m),在下方垫入扇形木块,其中木块的横截面是圆心角为60°的扇形,假设扇形半径足够长,将木块推至如图所示的位置,AO=2 m,则此时木箱的顶点B距离地面的高度为 ( D )
A.π m B.2 m C. m D. m
【解析】 过点B作BE⊥AN于点E,如图,设OE=x m.
∵∠BOE=60°,∴∠OBE=90°-60°=30°,∴OB=2x m,
BE===x.
∵AO=2 m,AB=2m,∴AE=AO+OE=(2+x) m.
在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,即(2+x)2+(x)2=(2)2,
解得x=1或x=-2(负值舍去),∴BE= m.
16.[2025·江苏] 如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则DF的长是 6 .
17.(8分)如图,△ABC是等边三角形,D是AB的中点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G.
(1)求∠DCE的大小.
(2)求证:△CEG是等边三角形.
解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°.
∵D是AB的中点,
∴∠DCB=∠DCA=∠ACB=×60°=30°.
∵CE⊥BC,∴∠BCE=90°,
∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°.
(2)证明:由平移可知CD∥EF,∴∠EAC=∠DCA=30°.
又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°,∴∠EAC=∠ECA,∴AE=CE,∠AEC=120°.
又∵AB=CB,∴BE垂直平分AC,∴∠GEC=∠AEC=×120°=60°.
由(1)知,∠GCE=60°,∴∠EGC=60°,∴∠GEC=∠GCE=∠EGC,∴△CEG是等边三角形.
18.[2025·凉山州] 如图,AB=AC,AE=AD,点E在BD上,∠EAD=∠BAC,若∠BDC=56°,则∠ABC的度数为 ( C )
A.56° B.60° C.62° D.64°
【解析】 设AC与BD相交于点O,如图.
∵∠EAD=∠BAC,∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD,∴∠BAE=∠CAD.
在△BAE和△CAD中,
∴△BAE≌△CAD(SAS),∴∠ABE=∠ACD.
∵∠BOC是△ABO和△CDO的外角,∴∠BOC=∠ABE+∠BAC=∠ACD+∠BDC.
∵∠BDC=56°,∴∠BAC=∠BDC=56°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=×(180°-56°)=62°.
19.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点D在AB上,点E在BC上,连结AE,CD,DE,若AE=AC=CD,CE=4,则BD的长为 ( A )
A.2 B.3 C.4 D.2
【解析】 如图,过点D作DF⊥BC于点F,过点A作AG⊥BC于点G,则∠AGC=∠CFD=90°.
又∵∠B=45°,∴∠BDF=∠BAG=45°,DF=BF.
∵CA=CD,∴∠CAD=∠CDA,∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠B,即∠CAG=∠DCF.
又∵CD=CA,∴△CAG≌△DCF(AAS),∴CG=DF.
∵CA=EA,AG⊥CE,∴CG=CE=×4=2,∴BF=DF=2.
在Rt△BDF中,BD==2.
20.[2025·黑龙江] 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点D,E分别在边AB和BC上,且AD=4,CE=3,连结DE,M,N分别是AC,DE的中点,连结MN,则MN的长度为 ( A )
A. B. C.2 D.
【解析】 连结CD,取CD的中点K,连结MK,NK,如图.
∵M,N分别是AC,DE的中点,
∴MK,NK分别是△ACD和△DCE的中位线,
∴MK∥AB,NK∥BC,MK=AD,NK=CE.
∵AD=4,CE=3,∴MK=2,NK=.
∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴MK⊥NK,∴∠MKN=90°,∴MN==.
21.如图,C是线段AB上一点(AC>BC),分别以AC,BC为直角边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,连结AE,BD.记S△ACD=S1,S△BCE=S2,S△ADE=S3,S△BDE=S4,若S1-S2=20,则S3+S4= ( C )
A.10 B.15 C.20 D.40
【解析】 依题意得△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,
∴设AC=CD=a,BC=CE=b,∴DE=CD-CE=a-b,
∴S1=a2,S2=b2,S3=a(a-b)=(a2-ab),S4=b(a-b)=(ab-b2).
∵S1-S2=20,∴a2-b2=20,∴(a2-b2)=20,
∴S3+S4=(a2-ab+ab-b2)=(a2-b2)=20.
22.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,过点C作CD⊥AB于点D,过点B作BM⊥AC于点M,连结MD,过点D作DN⊥MD,交BM于点N,CD与BM相交于点E.若E是CD的中点,则下列结论:①AC=BE;②DM=DN;③∠AMD=45°;④NE=3ME.其中正确的有 ( A )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】 ∵CD⊥AB,BM⊥AC,∴∠BDE=∠CME=90°.
∵∠DEB=∠MEC,∴∠DBE=∠DCA.
∵∠ABC=45°,CD⊥AB,∴△BDC是等腰直角三角形,∴BD=CD.
∵∠BDE=∠CDA,∠DBE=∠DCA,∴△BDE≌△CDA(ASA),∴BE=AC,故①正确.
∵∠BDC=∠NDM=90°,∴∠BDN=∠CDM.
∵∠DBN=∠DCM,BD=CD,∴△BDN≌△CDM(ASA),∴DM=DN,故②正确.
∵∠NDM=90°,∴△DNM是等腰直角三角形,
∴∠DMN=45°,∴∠AMD=45°,故③正确.
过点D作DF⊥MN于点F,则∠DFE=∠CME=90°.
∵DN⊥MD,DN=DM,∴MN=2FM=2FN.
∵E是CD的中点,∴DE=CE.
∵∠DEF=∠CEM,∠DFE=∠CME,∴△DEF≌△CEM(AAS),∴ME=EF,
∴MN=2MF=4ME,∴NE=3ME,故④正确.
23.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在边AB,AC上,且CB=CE=CF,连结BF,CE.
(1)当∠A=40°时,求∠BFC的度数.
(2)若∠BFC+∠BEC=126°,求∠A的度数.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=70°.
∵CB=CF,∴∠BFC=∠CBF=(180°-∠ACB)=55°.
(2)∵CB=CE=CF,AB=AC,∴∠CBE=∠CEB=∠BCF.
∵∠BFC+∠BEC=126°,∴∠BFC+∠BCF=126°,∴∠CBF=180°-(∠BFC+∠BCF)=54°,
∴∠BFC=∠CBF=54°,∴∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=72°,∴∠CBE=∠BCF=72°,
∴∠A=180°-∠CBE-∠BCF=36°.
24.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,O为BC的中点,点D在边AB上,连结OD.
(1)如图1,若OD⊥AB,OE⊥AC于点E,求证:OE=OD.
(2)如图2,已知∠BAC=90°,AB=4,AD=1.若点F在边AC上,OF=OD,求AF的长.
解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠C=∠B.
∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴∠ODB=∠OEC=90°.
∵O为BC的中点,∴OB=OC.
在△OCE和△OBD中,
∴△OCE≌△OBD(AAS),∴OE=OD.
(2)如图,连结OA,过点O作OG⊥AB于点G,OH⊥AC于点H,
则∠OGB=∠OGA=∠OHC=∠OHA=90°.
∵AB=AC=4,∠BAC=90°,O为BC的中点,∴∠B=∠C=45°,OA平分∠BAC,
OA=BC=OB=OC,∴OG=OH,AH=CH=AC=2,AG=BG=AB=2,∴AH=AG.
∵AD=1,∴DG=AG-AD=1.
分两种情况:①当点F在线段AH上时,
在Rt△OHF和Rt△OGD中,
∴Rt△OHF≌Rt△OGD(HL),∴FH=DG=1,∴AF=AH-FH=1;
②当点F在线段CH上时,记点F为F',
同理可证Rt△OHF'≌Rt△OGD(HL),
∴F'H=DG=1,∴AF=AH+F'H=2+1=3.
综上所述,AF的长为1或3.专题卷(五) 三角形与全等三角形
(建议时间:40分钟 满分:100分)
命题角度一 几何基本知识
1.在跳远比赛中,某同学从点C处起跳后,在沙池留下的脚印如图所示.测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离),依据的数学原理是 ( )
A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.两点之间,线段最短
D.两直线平行,内错角相等
2.[2025·长沙] 如图,AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F,直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°,∠2=50°,则∠GEF的度数为 ( )
A.50° B.60° C.65° D.70°
3.[2025·陕西] 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
命题角度二 三角形及三角形全等
4.如图,AD是△ABC的中线,下列说法错误的是 ( )
A.△ABD和△ACD全等 B.若AD平分∠BAC,则△ABC是等腰三角形
C.若AD⊥BC,则△ABC是等腰三角形 D.若点D到AB和AC的距离相等,则AD⊥BC
5.[2025·连云港] 如图,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,连结AE,AG,则△AEG的周长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.如图,在△ABC中,点D在BC边上,2∠B=∠DAC,CE⊥AD,若AE=DE=2,AC=6,则BC的长为( )
A.10 B.5 C.8 D.8
7.如图,在△ABC中,∠A=45°,D为AC上一点,BC=BD,过点C作CE⊥BD于点E,交AB于点F.若∠ABD=α(0°<α<45°),则∠BCF的大小为 ( )
A.2α B.45°-α C.45°+α D.90°-α
8.(6分)如图,AB,DE相交于点F,AD∥BE,点C在线段AB上,且AC=BE,AD=BC,连结CD,CE.
(1)求证:∠ADC=∠BCE.
(2)若∠A=50°,∠ADC=30°,求∠CDE的度数.
9.(6分)如图1,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为点D,E.
(1)求证:AD=AE.
(2)在图1的条件下,如图2,点M,N分别在AB,AC上,且PM=PN,AM=5,AN=3,求AD的长.
10.(8分)如图,在四边形ACBD中,AC=BC,∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.
(1)求证:CE=BD.
(2)若AC=AD=2,求BD的长.
命题角度三 特殊的三角形
11.[2025·江苏] 如图,在房屋的人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是 ( )
A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C
C.BD=CD D.AD平分∠BAC
12.[2025·安徽] 如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=,则AC的长是 ( )
A.4 B.6 C.2 D.3
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC的延长线上,且∠ADC=30°.若AB=2,则CD的长度为 ( )
A.1 B.
C.- D.2-2
14.将Rt△ABC和Rt△EBD按如图所示的方式放置,其中∠ACB=∠BDE=90°,∠EBD=∠A=60°,连结CE,已知AC=BD=2,则线段CE的长为 ( )
A.2 B.4 C.2 D.4
15.为抬高水平放置的长方体木箱ABCD的一侧(其中AB=2 m),在下方垫入扇形木块,其中木块的横截面是圆心角为60°的扇形,假设扇形半径足够长,将木块推至如图所示的位置,AO=2 m,则此时木箱的顶点B距离地面的高度为 ( )
A.π m B.2 m C. m D. m
16.[2025·江苏] 如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则DF的长是 .
17.(8分)如图,△ABC是等边三角形,D是AB的中点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G.
(1)求∠DCE的大小.
(2)求证:△CEG是等边三角形.
18.[2025·凉山州] 如图,AB=AC,AE=AD,点E在BD上,∠EAD=∠BAC,若∠BDC=56°,则∠ABC的度数为 ( )
A.56° B.60° C.62° D.64°
19.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点D在AB上,点E在BC上,连结AE,CD,DE,若AE=AC=CD,CE=4,则BD的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.2
20.[2025·黑龙江] 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点D,E分别在边AB和BC上,且AD=4,CE=3,连结DE,M,N分别是AC,DE的中点,连结MN,则MN的长度为 ( )
A. B. C.2 D.
21.如图,C是线段AB上一点(AC>BC),分别以AC,BC为直角边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,连结AE,BD.记S△ACD=S1,S△BCE=S2,S△ADE=S3,S△BDE=S4,若S1-S2=20,则S3+S4= ( )
A.10 B.15 C.20 D.40
22.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,过点C作CD⊥AB于点D,过点B作BM⊥AC于点M,连结MD,过点D作DN⊥MD,交BM于点N,CD与BM相交于点E.若E是CD的中点,则下列结论:①AC=BE;②DM=DN;③∠AMD=45°;④NE=3ME.其中正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
23.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在边AB,AC上,且CB=CE=CF,连结BF,CE.
(1)当∠A=40°时,求∠BFC的度数.
(2)若∠BFC+∠BEC=126°,求∠A的度数.
24.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,O为BC的中点,点D在边AB上,连结OD.
(1)如图1,若OD⊥AB,OE⊥AC于点E,求证:OE=OD.
(2)如图2,已知∠BAC=90°,AB=4,AD=1.若点F在边AC上,OF=OD,求AF的长.
