(共43张PPT)
第十六章 函数及其图象
实践与探索
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
05
新知探究
06
课堂练习
07
课堂小结
04
典例精析
08
作业布置
01
教学目标
能从实际问题中抽象出一次函数模型，理解函数图象交点的实际意义，掌握利用函数图象解决实际问题的方法；
01
能通过观察函数图象，找出方程的解和不等式的解集，理解函数与方程、不等式之间的内在联系，体会数形结合思想；
02
能根据实际数据描点、拟合直线，求出近似的一次函数关系式，体会数学建模的过程和近似思想。
03
02
新知导入
一次函数的一般形式为
在实际生活中，哪些问题可以用一次函数来描述？
03
新知探究
问题1 某单位准备印制一批证书。当地有甲、乙两个印刷厂，它们的印制质量都很好。甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不制版费，直接按印刷数量收费，当印刷证书超过2千本时单价有优惠。甲、乙两厂的收费y（千元）关于印制的证书数量x（千本）的函数图象如图16.5.1所示。
03
新知探究
（1）根据图象回答：
①甲厂的制版费及印刷费单价各是多少？
甲厂制版费1千元；印刷费单价为0.5 元/本
②印制证书多少本时，两厂实际收费相同？
印制证书6千本时，两厂实际收费相同
③当印制证书8千本时，选择哪个印刷厂比较划算？
x=8时，乙厂印刷厂更划算
03
新知探究
（2）如果甲厂想把8千本证书印制的订单争取到手，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少？
设新单价 m（元/本），要争取订单需：，，原单价，至少降价：元/本。
03
新知探究
思考
（1）“收费相同”在图象上怎样反映出来？
“收费相同”在图象上反映为两条函数图象的交点。
（2）如何在图象上看出收费的多少？
在图象上，对于同一个值（印刷数量），对应的纵坐标值即为该厂的收费。
03
新知探究
我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式。而这两个函数关系式可以看成关于x, y的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解。例如，图 16.5.2 中的两条直线 y = 2x - 5 和 y = -x + 1，它们的交点坐标 (2, -1) 就是方程组的解：
04
典例精析
例 利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解。
分析 方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：
04
典例精析
如图16.5.3，分别作出一次函数y=x+5和y=-x-1的图象，得到它们的交点坐标(-4,1)，即方程组的解为：
05
新知探究
问题2 画出函数的图象，根据图象，说明：
1.x取什么值时，函数值y等于0？
2.x取什么值时，函数值y大于0？
函数的图象是一条直线，过点和。由图象可知，直线与轴交于点，所以当时，函数值。由图象可知，当时，直线位于轴上方，所以当时，函数值。
05
新知探究
思考 由问题2，想一想：一元一次方程的解、不等式的解集与函数的图象有什么关系？
一元一次方程的解，就是函数的图象与轴交点的横坐标，即。
一元一次不等式的解集，就是函数的图象在轴上方的部分所对应的的取值范围，即。
05
新知探究
问题3 为了研究某合金材料的体积随温度变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：
能否据此寻求V与t之间的函数关系式？
05
新知探究
分析 在平面直角坐标系中描出各对数值所对应的点，我们发现，这些点大致位于同一条直线上，可知V与t之间近似地符合一次函数关系。我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相贴近，求出近似的函数关系式。如图16.5.4所示的就是一条这样的直线，较接近的点可考虑取（10,1000.3）和（60,1002.3）。你也可以将直线稍稍挪动一下，换上其他适当的两点，试一试。求出近似的函数关系式。
V=0.04t+999.9
05
新知探究
概括 我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式。但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系，需要我们根据经验分析，进行近似计算和修正，列出比较接近的函数关系式。
06
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 如图，一次函数 (a，b为常数，) 的图象分别与轴，轴交于点 ，，则关于的不等式 的解集为 .
解：∵一次函数 的图象分别与轴，轴交于点 ，，∴当时，
，故答案为：
06
课堂练习
2. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
解：根据函数图象可知函数与轴交于，
且随增大而减小，
∴当，有，
∴不等式的解集是。
06
课堂练习
3. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ．
解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，
得a＝1，∴P（1，2），
从图中直接看出，在P点右侧时，
直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方，
即当x≥1时，x+1≥mx+n，故答案为：x≥1．
06
课堂练习
4. 已知一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ．
解：∵一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，
∴方程组的解是．
06
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知关于x的函数y＝(3m﹣1)x＋m＋3．
（1）若这个函数的图象平行于直线y＝2x﹣3，求m的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围．
（1）解：由题意得：3m﹣1＝2，解得：m＝1∴m的值为1
（2）解：由题意得：3m﹣1<0，且m＋3>0
解得：，∴m的取值范围是
06
课堂练习
6. 我市某店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞的单价比B种雨伞的单价高15元．
（1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？
（2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最少？最少费用是多少元？
06
课堂练习
（1）解：设B种雨伞的单价为x元，则A种雨伞的单价为（x+15）元．
30（x+15）+40x=2900，解得x=35，∴A种：35+15=50（元）
答：A、B两种雨伞的单价分别是50元、35元．
（2）解：设购买m把A种雨伞，总费用为W元，则解得，∴最小整数解为m=13，．∵10﹥0，∴W随m的增大而增大．∴当m=13时，W取得最小值，最小值为10×13+1500=1630．答：应购买13把A种雨伞，购买雨伞的总费用最小，最小费用为1630元．
06
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点．
（1）求函数，的解析式与点的坐标．
（2）当时，请直接写出自变量x的取值范围．
（3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围．
06
课堂练习
（1）解：函数经过点，，
解得：，，点在反比例函数图象上，，
反比例函数解析式为，一次函数解析式为．
联立方程组，解得，，；
（2）解：由两个函数的性质及交点坐标可知：
当时，自变量的取值范围为或；
06
课堂练习
（3）解：点和点在函数的图象上，
，，，
，，，
，，．
的取值范围为．
07
课堂小结
实践与探索
数学建模
从实际问题中抽象出函数模型
利用函数图象分析和解决问题
数形结合
函数图象交点 → 对应方程组的解
图象与 轴交点 → 对应方程的解
图象在 轴上/下方部分 → 对应不等式的解集
近似拟合
描点、观察点的分布特征
用直线贴近点群
求出近似函数关系式
08
作业布置
【知识技能类作业】
1.已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为 ．
解：将点代入和中得：，，，，两函数表达式分别为，，如图，画出一次函数图象
08
作业布置
则直线与与轴的交点分别为，，∴，
∴．
08
作业布置
2. 已知直线与的交点为，则方程组的解是 ．
解：直线与的交点为，即，满足两个解析式，则是方程组的解．方程组可化为
08
作业布置
3. 直线 与直线 的交点坐标为（ ）
A．(5， 10) B．(， ) C．(4， 8) D．(， )
解：由题意可得：，解得：，
∴ 直线 与直线 的交点坐标为 (， )
08
作业布置
4. 已知反比例函数 ）的图象与一次函数y=2x+1的图象交于点A（2m，y1），B（-m，y2），则则下列各式的值最大的是 （ ）
A． B． C．D．
解：将A、B代入y=2x+1，则y1=4m+1，y2=-2m+1.∵A(2m，4m+1)，B(-m，-2m+1)在反比例函数y=(k>0)的图象上，∴2m(4m+1)=-m(-2m+1)，解得m1=0(不合题意，舍去)，m2=-，∴y1=-1，y2=2，∴y1-y2=-1-2=-3，y1+y2=-1+2=1，y1·y2=(-1)×2=-2，=-，∴y1+y2的值最大.
08
作业布置
5. 已知反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0．
（1）当x1＝1时，①求反比例函数和一次函数表达式．
②若点B（2，n）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，恰好落在的图象上，求n的值．
（2）已知点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，都有y2≤2≤y1，求m的取值范围．
08
作业布置
（1）解：把x＝1代入y＝m（x﹣1）+2得，y＝2，∴A（1，2），
①∵反比例函数过点A（1，2），∴2m＝1×2，
∴m＝1，∴反比例函数的表达式为y，一次函数表达式为y＝x+1．
②点B（2，n）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点（﹣1，n+2），
∵恰好落在的图象上，∴n+2，解得n＝-4
08
作业布置
（2）解：当y＝2时，2，解得x＝m，
当m＞0时，反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，∵反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0，∴点A（x1，y1）在第一象限，
∵点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，且2m+3＞0，
∴点P（2m+3，y2）在第一象限，∵都有y2≤2≤y1，
∴2m+3≥m，∴m≥﹣3，∴m＞0；
08
作业布置
当m＜0时，反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，∵反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0，∴点A（x1，y1）在第二象限，∵点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，都有y2≤2≤y1，
∴2m+3≤m或2m+3＞0，∴m≤﹣3或m，
∴m≤﹣3或m＜0，
综上，m的取值范围是m＞0或m≤﹣3或m＜0
08
作业布置
6.如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和
（1）根据函数图象可知，当 时，x的取值范围是 ；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式.
（1）008
作业布置
（2）解：∵点 和 在反比例函数 的图象上.解得m=12，
∴A(3，4)， B(-2，-6)，∴反比例函数为
将点A和点B的坐标代入 得
解得 ，∴一次函数为 。
08
作业布置
【综合实践类作业】
7.已知正比例函数的图象与反比例函数
的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求证：；
（2）求点B的横坐标；
（3）当时，对于实数m，当时，；当
时，，直接写出m的取值范围．
08
作业布置
（1）证明：∵正比例函数的图象与反比例函数
的图象交于两点，其中点A的横坐标为2，
∴，∵，∴，∴
（2）解：∵正比例函数的图象与反比例函数
的图象交于两点，其中点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为
08
作业布置
（3）解：∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为，
∴当时，对于实数m，当时，；
当时，，
m的取值范围是或，
解得：或
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实践与探索分课时教学设计
《16.5实践与探索》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是“函数及其图象”的最后一节内容，属于综合与实践领域。前几节学生系统学习了一次函数的概念、图象与性质，以及一次函数与方程、不等式关系，本节课安排了三个层层递进的实际问题：印制证书收费比较问题、利用函数图象解方程组问题、合金材料体积随温度变化规律问题。这三个问题分别对应函数在实际决策中的应用、函数与方程的内在联系、以及从实验数据中建立函数模型的近似拟合思想。通过本节课的学习，学生将从单纯的数学知识学习走向数学应用实践，体会函数作为刻画现实世界变化规律的重要工具的价值，培养数学建模意识和综合运用能力。本节课内容体现了从具体到抽象、从精确到近似的认知规律，符合八年级学生的思维发展特点。
学习者分析 八年级学生经过前几节的学习，已经掌握了一次函数的概念、图象画法、待定系数法求解析式等基础知识，能够理解函数与方程、不等式之间的初步联系，具备一定的图象观察能力和代数运算能力。同时，这个年龄段的学生对生活中的实际问题有较强的好奇心，乐于探究与生活相关的数学问题。但是，学生对于如何从复杂的实际问题中抽象出函数模型、如何利用图象进行最优决策分析、如何处理带有误差的实验数据等问题还缺乏经验，数形结合思想的应用尚不熟练，从精确数学思维向近似数学思维的转变需要引导。
教学目标 1. 能从实际问题中抽象出一次函数模型，理解函数图象交点的实际意义，掌握利用函数图象解决实际问题的方法； 2. 能通过观察函数图象，找出方程的解和不等式的解集，理解函数与方程、不等式之间的内在联系，体会数形结合思想； 3. 能根据实际数据描点、拟合直线，求出近似的一次函数关系式，体会数学建模的过程和近似思想。
教学重点 从实际问题中建立一次函数模型，利用函数图象分析和解决问题。
教学难点 理解函数图象交点与方程组解的关系，以及根据实际数据拟合近似函数关系式。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾旧知：一次函数的一般形式为，在实际生活中，哪些问题可以用一次函数来描述？学生活动1： 回忆一次函数的相关知识，思考并举例说明生活中的一次函数问题。活动意图说明：通过回顾一次函数的基础知识，为本节课运用函数模型解决实际问题做好知识铺垫，帮助学生建立新旧知识的联系。环节二：新知探究教师活动2： 问题1 某单位准备印制一批证书。当地有甲、乙两个印刷厂，它们的印制质量都很好。甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不制版费，直接按印刷数量收费，当印刷证书超过2千本时单价有优惠。甲、乙两厂的收费y（千元）关于印制的证书数量x（千本）的函数图象如图16.5.1所示。 （1）根据图象回答： ①甲厂的制版费及印刷费单价各是多少？ ②印制证书多少本时，两厂实际收费相同？ ③当印制证书8千本时，选择哪个印刷厂比较划算？ 如果甲厂想把8千本证书印制的订单争取到手，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少？ （1）①甲厂制版费1千元；印刷费单价为0.5 元/本； ②印制证书6千本时，两厂实际收费相同； ③x=8时，乙厂印刷厂更划算。 （2）设新单价 m（元/本），要争取订单需：，，原单价，至少降价：元/本。 【思考】 （1）“收费相同”在图象上怎样反映出来？ （2）如何在图象上看出收费的多少？ （1）“收费相同”在图象上反映为两条函数图象的交点。 （2）在图象上，对于同一个值（印刷数量），对应的纵坐标值即为该厂的收费。 我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式。而这两个函数关系式可以看成关于x, y的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解。 例如，图 16.5.2 中的两条直线 y = 2x - 5 和 y = -x + 1，它们的交点坐标 (2, -1) 就是方程组的解：学生活动2： 学生观察图象，回答问题 活动意图说明：通过引导学生观察函数图象，理解两函数图象交点的实际意义，掌握从图象中读取函数值并比较大小的方法，培养学生的数形结合思想和读图能力，为后续运用函数解决实际问题奠定基础。环节三：典例精析教师活动3： 例 利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解。 分析 方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式： 如图16.5.3，分别作出一次函数y=x+5和y=-x-1的图象，得到它们的交点坐标(-4,1)，即方程组的解为：学生活动3： 观察图象，找出两条直线的交点坐标，写出方程组的解。活动意图说明：通过具体例题，让学生体会“两个一次函数图象的交点坐标即为相应二元一次方程组的解”这一数形结合思想，掌握利用函数图象解方程组的方法，加深对函数与方程之间内在联系的理解。环节四：新知探究教师活动4： 问题2 画出函数的图象，根据图象，说明： 1.x取什么值时，函数值y等于0？ 2.x取什么值时，函数值y大于0？ 函数的图象是一条直线，过点和。 由图象可知，直线与轴交于点，所以当时，函数值。由图象可知，当时，直线位于轴上方，所以当时，函数值。 思考 由问题2，想一想：一元一次方程的解、不等式的解集与函数的图象有什么关系？ 一元一次方程的解，就是函数的图象与轴交点的横坐标，即。 一元一次不等式的解集，就是函数的图象在轴上方的部分所对应的的取值范围，即。 问题3 为了研究某合金材料的体积随温度变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下： 能否据此寻求V与t之间的函数关系式？ 分析 在平面直角坐标系中描出各对数值所对应的点，我们发现，这些点大致位于同一条直线上，可知V与t之间近似地符合一次函数关系。我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相贴近，求出近似的函数关系式。如图16.5.4所示的就是一条这样的直线，较接近的点可考虑取（10,1000.3）和（60,1002.3）。你也可以将直线稍稍挪动一下，换上其他适当的两点，试一试。 求出近似的函数关系式。 V=0.04t+999.9 概括 我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式。但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系，需要我们根据经验分析，进行近似计算和修正，列出比较接近的函数关系式。学生活动4： 小组讨论，合作探究 活动意图说明：通过探究，引导学生从函数图象的角度理解方程与不等式的解，并经历从实际数据中建立近似函数模型的过程，体会数形结合思想与数学建模思想，培养读图能力、数据处理能力和函数应用意识。
板书设计 1.实际问题与函数模型 2.函数与方程、不等式 3.近似函数关系
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，一次函数 (a，b为常数，) 的图象分别与轴，轴交于点 ，，则关于的不等式 的解集为 . 解：∵一次函数 的图象分别与轴，轴交于点 ，， ∴当时，，故答案为： 2. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 解：根据函数图象可知函数与轴交于，且随增大而减小， ∴当，有，∴不等式的解集是。 3. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ． 解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，∴P（1，2）， 从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方， 即当x≥1时，x+1≥mx+n，故答案为：x≥1． 4. 已知一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ． 解：∵一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 选做题： 5. 已知关于x的函数y＝(3m﹣1)x＋m＋3． （1）若这个函数的图象平行于直线y＝2x﹣3，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． （1）解：由题意得：3m﹣1＝2 解得：m＝1∴m的值为1 （2）解：由题意得：3m﹣1<0，且m＋3>0 解得：，∴m的取值范围是 6. 我市某店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞的单价比B种雨伞的单价高15元． （1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？ （2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最少？最少费用是多少元？ （1）解：设B种雨伞的单价为x元，则A种雨伞的单价为（x+15）元． 30（x+15）+40x=2900，解得x=35，∴A种：35+15=50（元） 答：A、B两种雨伞的单价分别是50元、35元． （2）解：设购买m把A种雨伞，总费用为W元， 则解得， ∴最小整数解为m=13，． ∵10﹥0，∴W随m的增大而增大．∴当m=13时，W取得最小值，最小值为10×13+1500=1630． 答：应购买13把A种雨伞，购买雨伞的总费用最小，最小费用为1630元． 【综合拓展类作业】 7. 在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点． （1）求函数，的解析式与点的坐标． （2）当时，请直接写出自变量x的取值范围． （3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围． （1）解：函数经过点，， 解得：，，点在反比例函数图象上，， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为． 联立方程组，解得，，； （2）解：由两个函数的性质及交点坐标可知： 当时，自变量的取值范围为或； （3）解：点和点在函数的图象上， ，，， ，，， ，，． 的取值范围为．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为 ． 解：将点代入和中 得：，， ，，两函数表达式分别为，， 如图，画出一次函数图象， 则直线与与轴的交点分别为，， ∴，∴． 2. 已知直线与的交点为，则方程组的解是 ． 解：直线与的交点为，即，满足两个解析式， 则是方程组的解．方程组可化为。 3. 直线 与直线 的交点坐标为（ ） A．(5， 10) B．(， ) C．(4， 8) D．(， ) 解：由题意可得：，解得：， ∴ 直线 与直线 的交点坐标为 (， ) 4. 已知反比例函数 的图象与一次函数y=2x+1的图象交于点A（2m，y1），B（-m，y2），则则下列各式的值最大的是 （ ） A． B． C．D． 解：将A(2m，y1)，B(-m，y2)代入y=2x+1，则y1=4m+1，y2=-2m+1. ∵A(2m，4m+1)，B(-m，-2m+1)在反比例函数y=(k>0)的图象上， ∴2m(4m+1)=-m(-2m+1)，解得m1=0(不合题意，舍去)，m2=-， ∴y1=-1，y2=2，∴y1-y2=-1-2=-3，y1+y2=-1+2=1，y1·y2=(-1)×2=-2，=-， ∴y1+y2的值最大. 5. 已知反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0． （1）当x1＝1时， ①求反比例函数和一次函数表达式． ②若点B（2，n）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，恰好落在的图象上，求n的值． （2）已知点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，都有y2≤2≤y1，求m的取值范围． （1）解：把x＝1代入y＝m（x﹣1）+2得，y＝2，∴A（1，2）， ①∵反比例函数过点A（1，2），∴2m＝1×2， ∴m＝1，∴反比例函数的表达式为y，一次函数表达式为y＝x+1． ②点B（2，n）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点（﹣1，n+2）， ∵恰好落在的图象上，∴n+2，解得n＝-4 （2）解：当y＝2时，2，解得x＝m， 当m＞0时，反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0，∴点A（x1，y1）在第一象限， ∵点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，且2m+3＞0， ∴点P（2m+3，y2）在第一象限，∵都有y2≤2≤y1， ∴2m+3≥m，∴m≥﹣3，∴m＞0； 当m＜0时，反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0， ∴点A（x1，y1）在第二象限，∵点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，都有y2≤2≤y1， ∴2m+3≤m或2m+3＞0，∴m≤﹣3或m， ∴m≤﹣3或m＜0，综上，m的取值范围是m＞0或m≤﹣3或m＜0 6. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 （1）根据函数图象可知，当 时，x的取值范围是 ； （2）求反比例函数和一次函数的解析式. （1）0教学反思 本节课以三个层层递进的实际问题为主，引导学生在解决问题中运用一次函数知识，体会数学的应用价值。从课堂实施来看，学生在第一个问题中对图象信息的提取较为顺利，能够理解交点与收费相同的关系；在第二个问题中，大部分学生能通过观察图象找到方程的解和不等式的解集，初步建立起数形结合的思维方式；第三个问题对学生的挑战较大，部分学生在选择点和求近似函数时存在困难，需要教师适时引导。整体而言，本节课较好地达成了教学目标，学生在探究过程中表现积极，数学建模意识得到初步培养。后续教学中应进一步加强近似拟合思想的渗透，增加学生动手描点、画图的机会，让数学学习更贴近生活实际。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第16章
课标要求 1.理解函数的基本概念，能识别变量与常量，判断两个变量之间是否存在函数关系，并会求简单函数的自变量的取值范围；2.掌握函数的三种表示方法，理解其各自特点并能相互转化；3.熟练运用平面直角坐标系，能根据坐标描点、根据点的位置写出坐标，理解函数图象的概念；4.掌握一次函数的概念、图象和性质，能根据已知条件用待定系数法确定一次函数表达式，并能结合图象解释其实际意义，能用一次函数解决简单实际问题；5.掌握反比例函数的概念、图象和性质，理解比例系数k的几何意义，能根据实际问题确定反比例函数表达式，能用反比例函数解决简单实际问题；6.能画出简单函数的图象，并能从图象中获取信息，分析函数的增减性、变化趋势等性质；7.具备初步的函数应用能力，能建立简单实际问题的函数模型；8.通过阅读材料与数学活动，了解函数发展的文化背景，体会数形结合思想，初步接触函数性质的理性推理方法。
内容分析 函数这一章在初中数学里具有重要的连接作用，它为学生搭建起从认识变量到建立函数模型的完整思维框架。本章以函数概念为核心起点，从生活实例中抽象出变量间的对应关系，并借助平面直角坐标系实现函数关系的可视化表达，在此基础上，重点展开对一次函数和反比例函数两类基本模型的深入研究，系统学习它们的概念、图象特征、性质以及实际应用方法。整个单元都强调数形结合思想和函数建模能力的培养，既为后续函数学习奠定坚实基础，也引导学生学会用联系的数学观点理解和描述现实世界的变化规律。由于函数知识具有高度抽象性、数形结合紧密、与实际应用联系广泛等特点，学生理解起来往往存在困难，教师在教学中要注重从学生熟悉的情境出发，设计循序渐进的探究活动，让学生在具体到抽象的过渡中逐步建立起对函数概念的深刻理解。
学情分析 八年级学生在本章之前尚未系统学面直角坐标系和变量、常量的概念，虽然学生在生活中对“一个量随着另一个量变化”有过一些直观感受，比如气温随时间变化等，但还没有把这些经验转化为系统的数学概念。他们对用图形表示数量关系有一定兴趣，但还不熟悉如何在坐标系中描点、看图说话。同时，学生刚开始学习用数学语言描述变化规律，容易把函数关系和简单算式混淆，需要教师通过具体实例帮助他们理解“唯一对应”这一核心特征。教学中应当从学生熟悉的生活变化入手，逐步引导他们认识变量、建立坐标系、画出变化图形，最终形成对函数及其图象的整体认识。
单元目标 （一）教学目标1.经历从生活实例中抽象变量与函数概念的过程，理解函数是描述两个变量间单值对应关系的数学模型；2.通过建立平面直角坐标系和描点作图的活动，掌握函数图象的绘制方法，体会数形结合的思想方法；3.经历一次函数图象的绘制与观察过程，掌握一次函数的图象特征和性质，发展几何直观能力；4.通过待定系数法的学习与应用，掌握根据已知条件确定一次函数表达式的方法，体会方程与函数的联系；5.经历反比例函数图象的探究过程，理解反比例函数的图象特征及其性质，形成分类讨论的思维习惯；6.通过函数知识在实际问题中的综合应用，初步建立函数模型，发展数学建模能力和应用意识；7.在函数学习过程中，感受数学与现实生活的密切联系，养成严谨求实的科学态度。（二）教学重点、难点教学重点：函数概念的理解与建立，一次函数与反比例函数的图象特征及其基本性质的掌握，数形结合思想的初步运用。教学难点：从具体情境中抽象出函数关系并建立模型，理解函数图象与解析式之间的对应关系，综合运用函数知识解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数16.1变量与函数116.2函数的图象216.3一次函数416.4反比例函数216.5实践与探索1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1变量与函数1.理解并掌握变量、常量、自变量、因变量和函数的基本概念，理解函数的本质；2.能准确识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量；3.了解函数的三种表示方法，能结合具体实例说出其表示形式；4.通过分析实际问题，能根据问题情境列出简单的函数解析式，体会函数与生活的联系，发展从具体情境中抽象数学关系的能力。1.能区分具体问题中的常量、变量、自变量和因变量；2.能判断两个变量之间是否存在函数关系；3.能说出函数的三种表示方法；4.能根据简单情境列出函数解析式。任务1：分析生活实例，指出其中的变量与常量；任务2：判断给定的对应关系是否为函数关系；任务3：用解析式、列表两种方式表示同一个函数关系；任务4：根据实际问题列出函数式。16.2函数的图象1.认识并能画出平面直角坐标系，理解点的坐标意义；2.理解函数图象的概念，初步体会“数形结合”思想；3.能识别简单的函数图象，并会通过描点法画出简单函数的图象；4.能从函数图象中读取基本信息。1.能在坐标系中标出点的位置，或根据点的位置写出坐标；2.能说出函数图象是满足函数关系的点的集合的概念；3.能用描点法画出简单函数的图象；4.能根据图象，说出因变量随自变量的增减变化情况。任务1：在给定的坐标系中，能准确描出给的点，并写出已知点的坐标；任务2：判断给定的坐标系中的曲线是否能表示一个函数的图象；任务3：用描点法画出简单函数在给定范围内的图象；任务4：观察一个简单实际问题的函数图象，描述其上升、下降或保持不变的趋势。16.3一次函数1.理解一次函数和正比例函数的概念，能识别和判断；2.掌握一次函数的图象和性质；3.能用待定系数法求一次函数的表达式;4.能运用一次函数知识解决简单的实际问题。1.能根据解析式判断函数是否为一次函数或正比例函数;2.能画出一次函数的草图，并能根据k、b的符号说出图象经过的象限和增减性;3.能根据已知两点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式;4.能根据实际问题建立一次函数模型，并进行简单计算或判断。任务1：对给定的函数关系式进行分类与辨析;任务2：分析与讨论一次函数中参数对图象的影响，并进行作图;任务3：根据已知点的坐标等信息，求解一次函数的解析式;任务4：建立一次函数模型来解决简单的应用问题。16.4反比例函数1.理解反比例函数的概念，能根据定义进行判断;2.会用描点法画反比例函数的图象，了解其图象特征;3.掌握反比例函数的主要性质（如增减性、象限分布）;4.能用反比例函数解决简单的实际问题。1.能准确识别反比例函数，并能说出其一般形式;2.能正确画出反比例函数的图象，并描述其形状特征;3.能根据k的符号，说出反比例函数的图象所在的象限及增减性;4.能利用反比例函数的关系式解决简单的几何或实际问题。任务1：辨析给定的函数关系式是否为反比例函数;任务2：通过描点法画出反比例函数的图象，并观察总结其特点;任务3：分析与讨论反比例函数中比例系数k对图象和性质的影响;任务4：运用反比例函数知识解决简单的应用问题。16.5实践与探索1.理解一次函数与一元一次方程（组）之间的联系，体会数形结合思想;2.能综合运用函数、方程知识分析并解决实际问题;3.提高从函数图象中获取信息，并进行数学分析和决策的能力。1.能从“数”与“形”两个角度，解释一次函数与一元一次方程（组）的关系;2.能利用函数图象法或解析法，解决涉及方程的简单综合问题;3.能建立合适的函数模型，对实际问题进行定量分析和解释。任务1：探究并讨论一次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元一次方程的解之间的关系;任务2：通过函数图象法求两条直线交点的坐标，并理解其与方程组解的关系;任务3：结合图象分析，解决实际问题。
《函数及其图象》单元教学设计
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