《学霸笔记 同步精讲》第七章测评 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3

第七章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知P(AB)=0.35,P(B)=0.1,则P(B)等于(　　)
A.0.45 B.0.25
C.0.035 D.0.65
解析:由于P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=P(AB)+P(B)=0.35+0.1=0.45,所以P(B)=0.45,故选A.
答案:A
2.若随机变量X的分布列如下表所示,且E(X)=6.3,则表中a的值为(　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.-14.39 B.7
C.5.61 D.6.61
解析:由题意知0.5+0.1+b=1,解得b=0.4,
E(X)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,解得a=7.
答案:B
3.已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(6,p),且E(X)=1,则D(X)=(　　)
A. B. C. D.
解析:离散型随机变量X服从二项分布B(6,p),且E(X)=1,则6p=1,可得p=,于是D(X)=6×.
答案:D
4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,设事件A为“第一次取到的是奇数”,B为“第二次取到的是3的整数倍”,则P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
解析:∵n(AB)==13,n(A)==40,
∴P(B|A)=.
答案:B
5. 已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的5个球,其中红球2个,白球3个,现从中随机摸取1球,记下颜色后放回,连续摸取3次,设X为取得红球的次数,则P(X=2)= (　　)
A. B. C. D.
解析:由题意知每次取得红球的概率p=,则X~B.
因此,P(X=2)=.
答案:B
6.甲、乙两人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“五局三胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则比赛进行了四局且甲获得冠军的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析:由题意可得比赛进行了四局且甲获得冠军的概率为P=.
答案:B
7.在三次独立重复试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A发生次数X的均值和方差分别为(　　)
A. B.
C. D.
解析:设事件A在每次试验中发生的概率为p,
则X~B(3,p).
∵1-(1-p)3=,解得p=,
∴X~B.
∴E(X)=3×,D(X)=3×.
答案:A
8.设θ∈,随机变量X的分布列如表所示,则E(X)(　　)
X 1 2 3
P sin2θ cos2θ
A.有最大值,最小值
B.有最大值,最小值
C.有最大值,无最小值
D.无最大值,有最小值
解析:E(X)=sin2 θ+2×cos2 θ=+cos2 θ.
∵θ∈,∴≤cos θ≤,从而cos2θ∈.
∴E(X)=+cos2θ∈.
故E(X)有最大值,最小值.
答案:B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某校篮球队的首轮选拔测试,参加测试的5名同学的投篮命中率分别为,每人均有10次投篮机会,至少投中6次才能晋级下一轮测试.假设每人每次投篮相互独立,则(　　)
A.5名同学投篮各10次,相当于各做了10重伯努利试验
B.他们投中的次数均服从二项分布
C.他们投中的均值分别为6,5,
D.晋级下一轮的大约有5人
解析:对于A,5名同学投篮各10次,相当于各做了10重伯努利试验,故正确;
对于B,他们投中的次数服从二项分布,故正确;
对于C,他们投中的均值分别为10×=6,10×=5,10×,10×,10×,故正确;
对于D,他们投中的均值满足10×=6,10×<6,10×>6,10×>6,10×<6,故晋级下一轮的大约有3人,故错误.
答案:ABC
10.已知随机变量X服从正态分布N(100,102),则下列选项正确的是(　　)
(参考数值:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.E(X)=100
B.D(X)=100
C.P(X≥90)=0.841 35
D.P(X≤120)=0.998 7
解析:∵随机变量X服从正态分布N(100,102),
∴正态曲线关于直线x=100对称.
根据题意可得P(90≤X≤110)≈0.682 7,P(80≤X≤120)≈0.954 5,
∴P(X≥90)=0.5+×0.682 7=0.841 35,故C正确;
P(X≤120)=0.5+×0.954 5=0.977 25,故D错误;
而A,B都正确.故选ABC.
答案:ABC
11.某产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知该产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.若该产品可以销售,则每件产品获利40元;若该产品不能销售,则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品,记一箱产品中可以销售的件数为Y,一箱产品的获利为X元,则下列说法正确的是(　　)
A.该产品能销售的概率为
B.Y~B
C.P(Y=3)=
D.P(X=-80)=
解析:对于选项A,该产品能销售的概率为,故A正确;
对于选项B,由A可得每件产品能销售的概率为,一箱中有4件产品,则Y~B(4,),故选项B正确;
对于选项C,由题意P(Y=3)=,故选项C不正确;
对于选项D,由题意X=-80,即4件产品中有2件能销售,有2件产品不能销售,所以P(X=-80)=,故选项D正确.
故选ABD.
答案:ABD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在80到90分之间的学生有120名,若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上(含90分)的学生,估计获奖的学生有　　　　　人.
(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
解析:由全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100),得μ=70,σ=10,则P(80≤X≤90)=×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,
故参加竞赛的学生总人数为N=≈883.
而P(X≥90)=×(1-0.954 5)≈0.022 8,
所以估计获奖的学生人数有883×0.022 8≈20.
答案:20
13. 一个不透明的袋子中装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球,从中摸出一个红球的概率是,现从袋子中有放回地摸球,每次摸出一个,摸到红球2次即停止,则恰好摸4次停止的概率p= 　　　　　;若记4次内摸到红球的次数为X,则随机变量X的均值E(X)=　　　　.
解析:①恰好摸4次停止的概率p=.
②由题意得X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=.
故随机变量X的均值E(X)=0×+1×+2×.
答案:
14.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数中a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,且ak出现数字0,1的结果是相互独立的.记X=a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,X的数学期望E(X)=　　　　　.
解析:由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B,因此E(X)=4×.
答案:
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过A,B,C三道工序加工而成的,A,B,C三道工序加工的元件合格率分别为.已知每道工序的加工相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰有两道工序加工合格的元件为二等品;其他的为废品,不进入市场.
(1)生产1个元件,求该元件为二等品的概率;
(2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有2个元件是一等品的概率.
解:(1)用A,B,C分别表示元件经过A,B,C三道工序加工合格的事件,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=,
P()=,P()=,P()=.
设事件D=“生产1个元件,该元件为二等品”.
由已知A,B,C是相互独立事件.
根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式,得
P(D)=P(BC+AC+AB)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=.所以生产1个元件,该元件为二等品的概率为.
(2)生产1个元件,该元件为一等品的概率为
P=.
设事件E为“任意取出3个元件进行检测,至少有2个元件是一等品”,则P(E)=.
所以至少有2个元件是一等品的概率为.
16.(15分)甲盒中装有标号分别为1,2,3的3个红球,乙盒中装有标号分别为1,2,3,4的4个黑球,这些球的质地、大小完全相同,从甲、乙两盒中各抽取1个小球.
(1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率;
(2)现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为X,求X的分布列和均值.
解:(1)由题意知,抽到红球的标号是偶数的概率为P1=,抽到黑球的标号是偶数的概率为P2=.
因为两次抽取是相互独立事件,所以抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率为P=P1P2=.
(2)根据题意列出X的可能取值情况如下表:
从乙盒中取到 的球的标号 从甲盒中取到的球的标号
1 2 3
1 0 1 2
2 1 0 1
3 2 1 0
4 3 2 1
因此X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的均值为E(X)=0×+1×+2×+3×.
17.(15分)在一次智力测试中,有A,B两个相互独立的问题,答题规则是:被测试者答对问题A的得分为a,答对问题B的得分为b,先答哪个问题由被测试者自由选择,但只有第一道问题答对,才能再答第二道问题,否则终止答题.若你是被测试者,假设你答对问题A,B的概率分别为p1,p2.
(1)当p1=,p2=时,你应该如何依据问题分值的设置选择先答哪一道问题
(2)已知a=10,b=20,当p1,p2满足怎样的关系时,你选择先答问题A
解:设先答问题A的得分为随机变量X,先答问题B的得分为随机变量Y.
∵P(X=0)=1-p1,P(X=a)=p1(1-p2),P(X=a+b)=p1p2,
∴E(X)=0×(1-p1)+ap1(1-p2)+(a+b)·p1p2=ap1(1-p2)+(a+b)p1p2.
∵P(Y=0)=1-p2,P(Y=b)=p2(1-p1),P(Y=a+b)=p1p2,
∴E(Y)=0×(1-p2)+bp2(1-p1)+(a+b)·p1p2=bp2(1-p1)+(a+b)p1p2.
∴E(X)-E(Y)=ap1(1-p2)-bp2(1-p1).
(1)当p1=,p2=时,E(X)-E(Y)=a-b.
①当a>b时,先答问题A;
②当a=b时,先答问题A,B均可;
③当a(2)已知a=10,b=20,则E(X)-E(Y)=10p1-20p2+10p1p2.
当10p1-20p2+10p1p2>0,
即p1+p1p2>2p2时,选择先答问题A.
18.(17分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.
(1)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;
(2)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种
解:(1)X可能的取值为0,1,2,3,4,且X服从参数为N=8,M=4,n=4的超几何分布.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.
(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为×(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,
×[32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62]=57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为
×(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,
×[72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12]=56.
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.
19.(17分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量(单位:瓶)相同,进货成本为4元/瓶,售价为6元/瓶,未售出的酸奶降价处理,以2元/瓶的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量(单位:瓶)与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,那么需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,那么需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,那么需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温/℃ [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n为多少时,Y的数学期望达到最大值
解:(1)由题意知,X的可能取值为200,300,500.由表格数据知
P(X=200)==0.2,
P(X=300)==0.4,
P(X=500)==0.4,
所以X的分布列为
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,
则Y=6n-4n=2n;
若最高气温位于区间[20,25)内,
则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高气温低于20,
则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
当200≤n<300时,
若最高气温不低于20,
则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,
则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
所以,当n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
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