《学霸笔记 同步精讲》7.3.1 离散型随机变量的均值 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3

7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
课后训练巩固提升
A组
1.有两台在两地独立工作的雷达,两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为X,则E(X)的值为(　　)
A.0.765 B.1.75
C.1.765 D.0.22
解析:当X=0时,P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;
当X=1时,P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.135+0.085=0.22;
当X=2时,P(X=2)=0.9×0.85=0.765.
所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
答案:B
2.已知随机变量X的分布列如下表所示, 且E(X)=1.6,则a-b=(　　)
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4
解析:由随机变量分布列的性质,得0.1+a+b+0.1=1,即a+b=0.8.①
由E(X)=1.6,得0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,即a+2b=1.3.②
由①②,可得a=0.3,b=0.5,所以a-b=0.3-0.5=-0.2.
答案:C
3.口袋中有编号分别为1,2,3的3个大小和质地相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为 (　　)
A. B. C.2 D.
解析:X的可能取值为2,3.
P(X=2)=,P(X=3)=.
所以E(X)=×2+×3=+2=.
答案:D
4.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,则再重新试验一次;若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为,则此人试验次数X的均值是(　　)
A. B. C. D.
解析:试验次数X的可能取值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
所以试验次数X的分布列为
X 1 2 3
P
于是E(X)=1×+2×+3×.
答案:B
5.(多选题)已知随机变量X的分布列如下:
X -1 0 2
P cos α
其中α∈,则(　　)
A.+cos α=1
B.cos α=,sin α=
C.E(X)=1
D.P(X=2)=
解析:对于A,由离散型随机变量分布列的性质,得+cos α=1,故正确;
对于B,由A,得sin α+2cos α=2,解方程组故正确;
对于C,E(X)=-+2cos α=-+2×=1,故正确;对于D,由B,得cos α=,所以P(X=2)=cos α=,故错误.故选ABC.
答案:ABC
6.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:
投资成功 投资失败
192例 8例
则该公司一年后估计可获收益的均值是　　　　　.
解析:由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,亏损25 000元的概率为0.04,故一年后收益的均值是6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元).
答案:4 760
7.某项课外活动的奖励分为一、二、三等奖,且相应的获奖概率是以a1为首项,2为公比的等比数列,相应的奖金是以700元为首项,-140元为公差的等差数列,则参与该课外活动获得奖金的均值为　　　　　.
解析:由随机变量分布列的性质,可得a1+2a1+4a1=1,解得a1=,从而2a1=,4a1=.因此参与该课外活动获得奖金X(单位:元)的分布列为
X 700 560 420
P
所以E(X)=700×+560×+420×=500(元).
答案:500
8.对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲单独解出该题的概率为,乙单独解出该题的概率为,设解出该题的人数为X,求E(X).
解:设“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B.由题意知,X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=P()P()=,
P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=,
P(X=2)=P(A)P(B)=.
所以解出该题的人数X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×.
9.某中学选派40名学生参加某市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的次数统计如表所示.
培训次数 1 2 3
参加人数 5 15 20
(1)从这40名学生中任选3名,求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率;
(2)从这40名学生中任选2名,用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及均值E(X).
解:(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P=1-.
(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
则随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的均值E(X)=0×+1×+2×.
B组
1.一名射击运动员对靶射击,直到第一次命中或子弹用尽为止,每次命中的概率为0.6,现有4发子弹,则命中后剩余子弹数目的均值为(　　)
A.2.44 B.3.376
C.2.376 D.2.4
解析:设命中后剩余子弹数为X,则X的可能取值为0,1,2,3.
因为P(X=0)=0.44+0.43×0.6=0.064,
P(X=1)=0.42×0.6=0.096,
P(X=2)=0.4×0.6=0.24,
P(X=3)=0.6,
所以E(X)=0.064×0+0.096×1+0.24×2+0.6×3=2.376.
答案:C
2.某城市有甲、乙、丙三个旅游景点,一名游客游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响.设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(X)等于(　　)
A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1
解析:随机变量X的可能取值为1,3,X=3表示三个景点都游览了或都没有游览,所以P(X=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,从而P(X=1)=1-0.24=0.76.
所以随机变量X的分布列为
X 1 3
P 0.76 0.24
从而E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48.
答案:A
3.(多选题)一盒中有7个乒乓球,其中5个未使用过,2个已使用过,现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是(　　)
A.X的所有可能取值是3,4,5
B.X最有可能的取值是5
C.X等于3的概率为
D.X的均值是
解析:记未使用过的乒乓球为A,已使用过的为B,任取3个球的所有可能是:1A2B,2A1B,3A;A使用后成为B,故X的所有可能取值是3,4,5;P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以X最有可能的取值是4;E(X)=3×+4×+5×,故选AC.
答案:AC
4. 一个不透明的袋中有大小、质地相同的3个黑球,1个红球.从中任取2个,取出1个黑球得0分,取出1个红球得2分,则所得分数X的均值E(X)=　　　　　.
解析:由题意得X的所有可能取值为0,2,其中X=0表示取出的球为2个黑球,X=2表示取出的球为1黑1红,所以P(X=0)=,P(X=2)=.
所以X的分布列为
X 0 2
P
故E(X)=0×+2×=1.
答案:1
5.已知随机变量X和Y,其中Y=4X-2,且E(Y)=7,若X的分布列如表所示,则n的值为　　　　　.
X 1 2 3 4
P m n
解析:因为Y=4X-2,
所以E(Y)=4E(X)-2,
即7=4×E(X)-2,解得E(X)=.
所以1×+2×m+3×n+4×.①
由分布列的性质,可得+m+n+=1.②
联立①②,解得n=.
答案:
6.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数,若P(X=0)=,则随机变量X的均值E(X)=　　　　　.
解析:由题意得P(X=0)==(1-p)2×,解得p=.
随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=1)=+2×,
P(X=2)=×2+,
P(X=3)=.
因此E(X)=0×+1×+2×+3×.
答案:
7.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和均值.
解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×.
8.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机
分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的概率.
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与均值E(X).
解:(1)设事件M=“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3”,则P(M)=.
(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,4.
根据古典概型知识,可得
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=.因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的均值为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.
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