《学霸笔记 同步精讲》7.3.2 离散型随机变量的方差 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3

7.3.2　离散型随机变量的方差
课后训练巩固提升
A组
1.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则D(X)的值为(　　)
A. B. C. D.
解析:E(X)=1×+2×+3×+4×,
D(X)=+(3-)2×.
答案:C
2.随机变量X的分布列如表所示.
X 1 2 3
P 0.5 x y
若E(X)=,则D(X)等于(　　)
A. B. C. D.
解析:由
所以D(X)=.
答案:D
3.甲、乙两台自动机床各生产同种产品1 000件,X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,X,Y的分布列分别为
甲机床生产次品数的分布列
X 0 1 2 3
P 0.7 0 0.2 0.1
乙机床生产次品数的分布列
Y 0 1 2 3
P 0.6 0.2 0.1 0.1
据此可判定(　　)
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
解析:由题中随机变量X与Y的分布列,可得甲机床生产的次品数均值为E(X)=0.7,乙机床生产的次品数均值为E(Y)=0.7,进而得D(X)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21,D(Y)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01.由于E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),故乙比甲质量好.
答案:B
4.编号为1,2,3的3名同学随意坐入编号为1,2,3的3个座位,每名同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生人数是X,则X的方差为(　　)
A. B. C. D.1
解析:X的可能取值为0,1,3.
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=3)=,
则E(X)=0×+1×+3×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.
答案:D
5.抛掷一枚硬币,规定正面朝上得1分,反面朝上得-1分,则得分X的均值与方差分别为(　　)
A.E(X)=0,D(X)=1
B.E(X)=,D(X)=
C.E(X)=0,D(X)=
D.E(X)=,D(X)=1
解析:由题意知,随机变量X的分布列为
X 1 -1
P 0.5 0.5
所以E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,
D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.
答案:A
6.(多选题)设随机变量X的分布列如下(其中ab≠0),则下列说法正确的是(　　)
X 0 1 2
P a
A.a+b=1
B.E(X)=2b
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)有最小值
解析:由题意可知a+=1,即a+b=1,所以A正确;E(X)=0×a+1×+2×,所以B不正确;D(X)=a2-2=-b2+b,b∈(0,1),所以D(X)在区间内单调递增,在区间内单调递减,所以D(X)先增大后减小、无最小值,所以C正确;D不正确.故选AC.
答案:AC
7.已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P
若Y=2X+2,则D(Y)的值为　　　　　.
解析:E(X)=-1×+0×+1×=-,可得D(X)=,从而D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=.
答案:
8.在一轮投篮练习中,每名选手最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习中该选手的实际投篮次数X的分布列,并求X的均值与方差 (结果精确到0.001).
解:X的可能取值为1,2,3,4.
X=1表示第一次即投中,
则P(X=1)=0.7;
X=2表示第一次未投中,第二次投中,
则P(X=2)=(1-0.7)×0.7=0.21;
X=3表示第一、二次未投中,第三次投中,
则P(X=3)=(1-0.7)2×0.7=0.063;
X=4表示前三次未投中,
则P(X=4)=(1-0.7)3=0.027.
因此X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.7 0.21 0.063 0.027
E(X)=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417.
D(X)=(1-1.417)2×0.7+(2-1.417)2×0.21+(3-1.417)2×0.063+(4-1.417)2×0.027≈0.531.
B组
1.已知随机变量X的分布列如表所示,则随机变量X的方差D(X)的最大值为(　　)
X 0 1 2
P y 0.4 x
A.0.72 B.0.6 C.0.24 D.0.48
解析:由题意知x≥0,y=0.6-x≥0,故0≤x≤0.6.
因为E(X)=0.4+2x,E(X2)=0.4+4x,所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.4+4x-(0.4+2x)2=-4x2+2.4x+0.24,当x=0.3时,D(X)max=0.6.
答案:B
2.随机变量Y的分布列如下表:
Y n n+1 n+2
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则D(Y)(　　)
A.与n有关,有最大值
B.与n有关,有最小值
C.与n无关,有最大值
D.与n无关,有最小值
解析:由题意得,a+c=2b,a+b+c=1,解得b=.
E(Y)=na+(n+1)b+(n+2)c=n(a+b+c)+b+2c=n+b+2c,E(Y2)=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c,
则D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c-(n+b+2c)2=-4c2+c+,所以D(Y)与n无关,且当c=时,D(Y)有最大值.
答案:C
3.已知X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1A. B. C.3 D.
解析:由E(X)=,D(X)=,得
解得
因为x1答案:C
4.(多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试.设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则(　　)
A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布
C.E(X)= D.D(X)=
解析:由已知得X的可能取值为0,1,且服从两点分布.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
则E(X)=,D(X)=.
故选ABCD.
答案:ABCD
5.若抛掷一枚质地均匀的骰子的点数为随机变量X,则=　　　　　.
解析:由题意得X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
所以E(X)=(1+2+3+4+5+6)×,
D(X)=E(X2)-(E(X))2=1×+4×+9×+16×+25×+36×.
所以.
答案:
6. 一个不透明的袋中有20个大小、质地相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取1球,X表示所取球的记号.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,求a,b的值.
解:(1)X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×.
D(X)=.
(2)由D(Y)=D(aX+b)=a2D(X),即a2×=11,得a=±2.∵E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b,
∴当a=2时,由1=2×+b,得b=-2;
当a=-2时,由1=-2×+b,得b=4.
∴
7.根据以往经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量X X<50 50≤X<100 100≤X<250 X≥250
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于50 mm,100 mm,250 mm的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:
(1)工期延误天数Y的均值与方差;
(2)在降水量至少是50 mm的条件下,工期延误不超过6天的概率.
解:(1)由已知可得P(X<50)=0.3,P(50≤X<100)=P(X<100)-P(X<50)=0.7-0.3=0.4,
P(100≤X<250)=P(X<250)-P(X<100)=0.9-0.7=0.2,
P(X≥250)=1-P(X<250)=1-0.9=0.1,
所以Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
(2)由概率的加法公式,得P(X≥50)=1-P(X<50)=0.7,P(50≤X<250)=P(X<250)-P(X<50)=0.9-0.3=0.6.
由条件概率公式,得P(Y≤6|X≥50)=P(X<250|X≥50)=.
故在降水量X至少是50 mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.
8.投资A,B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为
投资A项目的利润率分布列
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
投资B项目的利润率分布列
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(单位:万元)和Y2(单位:万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出当x为何值时,f(x)取得最小值.
解:(1)由题意知,Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 10
P 0.8 0.2
Y2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,
D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;
E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.
(2)f(x)=D+D
=D(Y1)+D(Y2)
=[x2+3(100-x)2]
=(4x2-600x+3×1002).
所以,当x=75时,f(x)取得最小值3.
9