《学霸笔记 同步精讲》7.5 正态分布 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3
文档属性
| 名称 | 《学霸笔记 同步精讲》7.5 正态分布 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 132.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
7.5 正态分布
课后训练巩固提升
A组
1.设随机变量X服从正态分布,且正态密度函数为f(x)=,则( )
A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ= D.μ=3,σ=
解析:由f(x)=,得μ=2,σ=.
答案:C
2.若随机变量X的密度函数为f(x)=,X在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为( )
A.p1>p2 B.p1C.p1=p2 D.不确定
解析:由正态密度函数的解析式知,μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称.所以p1=p2.
答案:C
3.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
解析:由P(X<4)=0.8,X~N(2,σ2),知P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,故P(0答案:C
4.工人加工机器零件的尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ,σ2).在一次正常的测验中,随机取出10 000个零件,不属于[μ-3σ,μ+3σ]这个尺寸范围的零件个数可能为( )
A.70 B.100 C.27 D.60
解析:正态变量的取值落在区间[μ-3σ,μ+3σ]上的概率约是0.997 3,则不落在区间[μ-3σ,μ+3σ]上的概率约是0.002 7.因此随机取出10 000个零件,不属于这个尺寸范围的零件个数可能是27.
答案:C
5.为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重(单位:kg)数据,抽查结果表明他们的体重X服从正态分布N(μ,22), 且正态密度曲线的图象如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数约是( )
A.997 B.954
C.819 D.683
解析:由题意及题图可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5答案:D
6.某工厂生产的零件外直径(单位:cm)服从正态分布N(10,0.012),今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.96 cm和9.97 cm,则可认为( )
A.上午生产情况异常,下午生产情况正常
B.上午生产情况正常,下午生产情况异常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
解析:由题意,该工厂生产的零件外直径服从正态分布N(10,0.012),根据3σ原则可得生产的零件外直径在区间[9.97,10.03]内是正常的.又由从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.96 cm和9.97 cm,所以可认为上午生产情况异常,下午生产情况正常,故选A.
答案:A
7.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.已知随机变量X服从二项分布B,则P(X=3)=
B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.9,则P(0C.已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)的值为
D.E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=2D(X)+3
解析:∵随机变量X服从二项分布B,
∴P(X=3)=,故A正确;
∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴正态曲线的对称轴是直线x=2.
∵P(X<4)=0.9,
∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.1,
∴P(2故B正确;
已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,
则P(X>2)=(1-P(|X|<2))=,
故C错误;
E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),
故D错误.
综上,选AB.
答案:AB
8.如果正态变量的取值落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么正态变量的均值为 .
解析:由题意知,正态曲线关于直线x=1对称,即μ=1,所以正态变量的均值为1.
答案:1
9.据抽样统计,在某市的公务员考试中,考生的综合得分X服从正态分布N(60,102),考生共10 000人,若一考生的综合得分为80分,则该考生在这次公务员考试中的名次大约是第 名.
解析:依题意,P(60-20≤X≤60+20)≈0.954 5,
则P(X>80)≈×(1-0.954 5)≈0.022 8.
故成绩高于80分的考生人数约为10 000×0.022 8=228.
所以该考生在这次公务员考试中的名次大约是第229名.
答案:229
10.在一次测试中,测试结果X服从正态分布N(2,σ2),若X在区间(0,2)内取值的概率为0.2,求:
(1)X在区间(0,4)内取值的概率;
(2)P(X>4).
解:(1)由X~N(2,σ2),知正态曲线的对称轴为直线x=2, 作出的正态曲线大致如图所示.
因为P(0所以P(0(2)P(X>4)=[1-P(011.已知公司职工年均收入X服从正态分布, 其正态密度曲线的图象如图所示.
(1)写出该公司职工年均收入的正态密度函数的解析式;
(2)求该公司职工年均收入在80 000~85 000元之间的人数所占的百分比(精确到0.01%).
解:设该公司职工年均收入X~N(μ,σ2),
由题图可知μ=80 000,σ=5 000.
(1)该公司职工年均收入的正态密度函数解析式为
f(x)=.
(2)因为P(75 000≤X≤85 000)
=P(80 000-5 000≤X≤80 000+5 000)
≈0.682 7,
所以P(80 000≤X≤85 000)=P(75 000≤X≤85 000)≈0.341 4.
即该公司职工年均收入在80 000~85 000元之间的人数所占的百分比约为34.14%.
B组
1.设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为135 cm,方差为100的正态分布,令X表示从中随机抽取的一名儿童的身高,则下列概率中最大的是( )
A.P(120B.P(125C.P(130D.P(135解析:由题意知X~N(135,100),因此在长度都是10的区间上,概率最大的应该是在对称轴两侧关于对称轴对称的区间.故选C.
答案:C
2.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X≤-1.96)=0.025,则P(|X|<1.96)等于( )
A.0.025 B.0.050
C.0.950 D.0.975
解析:由随机变量X服从正态分布N(0,1),
知P(X≥1.96)=P(X≤-1.96)=0.025.
所以P(|X|<1.96)=P(-1.96=1-2P(X≤-1.96)
=1-2×0.025
=0.950.
答案:C
3.已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(m≤X≤104)=0.135 9,则m等于( )
(附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.954 5.)
A.100 B.101
C.102 D.103
解析:∵随机变量X服从正态分布N(100,4),
∴P(98≤X≤102)≈0.682 7,P(96≤X≤104)≈0.954 5.
∴P(102≤X≤104)=×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
又P(m≤X≤104)=0.135 9,∴m=102.
答案:C
4.在某市高二下学期期中考试中,学生的数学成绩X~N(90,σ2),已知P(70A.0.85 B.0.70
C.0.50 D.0.15
解析:∵X~N(90,σ2),∴μ=90.
又P(70∴P(90≤X<110)=0.35.
∴P(X≥110)=×(1-0.70)=0.15,
从而P(X<110)=1-0.15=0.85.
∴他的数学成绩小于110分的概率为0.85.
答案:A
5.(多选题)已知某批零件的质量指标Y(单位:毫米)服从正态分布N(25.40,σ2),且P(Y≥25.45)=0.1,现从该批零件中随机取3件,用X表示这3件产品的质量指标值Y不位于区间(25.35,25.45)内的产品件数,则( )
A.P(25.35B.E(X)=2.4
C.D(X)=0.48
D.P(X≥1)=0.512
解析:由正态分布的性质得P(25.35答案:AC
6.某校的一次数学考试有600人参加,已知学生的考试成绩X~N(100,a2),试卷满分150分,统计结果显示考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次数学考试中成绩不低于120分的学生约有 人.
解析:因为成绩X~N(100,a2),所以其正态曲线关于直线x=100对称.又考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,所以考试成绩在120分以上的人数约为总人数的.所以此次数学考试中成绩不低于120分的学生约有×600=120人.
答案:120
7.某品牌摄像头的使用寿命X(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命多于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为 .
解析:∵P(X≥2)=0.8,P(X>6)=0.2,∴P(X<2)=P(X>6)=0.2.∴正态曲线的对称轴为直线x=4.
∴P(X≥4)=,即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为.∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为.
答案:
8.一投资者要在两个投资方案中选择一个,这两个方案的利润X1,X2(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(3,22),投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应选择哪个方案
解:由题意知,只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率较大者即为应选择的方案.对于第一个方案X1~N(8,32),则μ1=8,σ1=3.于是P(8-3≤X1≤8+3)=P(5≤X1≤11)≈0.682 7.所以P(X1≤5)=[1-P(5≤X1≤11)]≈×(1-0.682 7)=0.158 65.
所以P(X1>5)≈1-0.158 65=0.841 35.
对于第二个方案X2~N(3,22),则μ2=3,σ2=2.
于是P(3-2≤X2≤3+2)=P(1≤X2≤5)≈0.682 7,
所以P(X2>5)=[1-P(1≤X2≤5)]≈×(1-0.682 7)=0.158 65.
由于P(X1>5)>P(X2>5),故应选择第一个方案.
9.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,若正态曲线在区间(0,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,且f(80)=.
(1)求正态密度函数的解析式;
(2)估计尺寸在72~88 mm之间的零件大约占总数的百分比.
解:(1)因为正态曲线在区间(0,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,
所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处达到峰值.所以μ=80.又,所以σ=8.故正态密度函数的解析式为f(x)=.
(2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88.所以零件的尺寸X的取值落在区间[72,88]上的概率约为0.682 7.故尺寸在72~88 mm之间的零件大约占总数的68.27%.
6
课后训练巩固提升
A组
1.设随机变量X服从正态分布,且正态密度函数为f(x)=,则( )
A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ= D.μ=3,σ=
解析:由f(x)=,得μ=2,σ=.
答案:C
2.若随机变量X的密度函数为f(x)=,X在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为( )
A.p1>p2 B.p1
解析:由正态密度函数的解析式知,μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称.所以p1=p2.
答案:C
3.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0
C.0.3 D.0.2
解析:由P(X<4)=0.8,X~N(2,σ2),知P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,故P(0
4.工人加工机器零件的尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ,σ2).在一次正常的测验中,随机取出10 000个零件,不属于[μ-3σ,μ+3σ]这个尺寸范围的零件个数可能为( )
A.70 B.100 C.27 D.60
解析:正态变量的取值落在区间[μ-3σ,μ+3σ]上的概率约是0.997 3,则不落在区间[μ-3σ,μ+3σ]上的概率约是0.002 7.因此随机取出10 000个零件,不属于这个尺寸范围的零件个数可能是27.
答案:C
5.为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重(单位:kg)数据,抽查结果表明他们的体重X服从正态分布N(μ,22), 且正态密度曲线的图象如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数约是( )
A.997 B.954
C.819 D.683
解析:由题意及题图可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5
6.某工厂生产的零件外直径(单位:cm)服从正态分布N(10,0.012),今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.96 cm和9.97 cm,则可认为( )
A.上午生产情况异常,下午生产情况正常
B.上午生产情况正常,下午生产情况异常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
解析:由题意,该工厂生产的零件外直径服从正态分布N(10,0.012),根据3σ原则可得生产的零件外直径在区间[9.97,10.03]内是正常的.又由从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.96 cm和9.97 cm,所以可认为上午生产情况异常,下午生产情况正常,故选A.
答案:A
7.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.已知随机变量X服从二项分布B,则P(X=3)=
B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.9,则P(0
D.E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=2D(X)+3
解析:∵随机变量X服从二项分布B,
∴P(X=3)=,故A正确;
∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴正态曲线的对称轴是直线x=2.
∵P(X<4)=0.9,
∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.1,
∴P(2
已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,
则P(X>2)=(1-P(|X|<2))=,
故C错误;
E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),
故D错误.
综上,选AB.
答案:AB
8.如果正态变量的取值落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么正态变量的均值为 .
解析:由题意知,正态曲线关于直线x=1对称,即μ=1,所以正态变量的均值为1.
答案:1
9.据抽样统计,在某市的公务员考试中,考生的综合得分X服从正态分布N(60,102),考生共10 000人,若一考生的综合得分为80分,则该考生在这次公务员考试中的名次大约是第 名.
解析:依题意,P(60-20≤X≤60+20)≈0.954 5,
则P(X>80)≈×(1-0.954 5)≈0.022 8.
故成绩高于80分的考生人数约为10 000×0.022 8=228.
所以该考生在这次公务员考试中的名次大约是第229名.
答案:229
10.在一次测试中,测试结果X服从正态分布N(2,σ2),若X在区间(0,2)内取值的概率为0.2,求:
(1)X在区间(0,4)内取值的概率;
(2)P(X>4).
解:(1)由X~N(2,σ2),知正态曲线的对称轴为直线x=2, 作出的正态曲线大致如图所示.
因为P(0
(1)写出该公司职工年均收入的正态密度函数的解析式;
(2)求该公司职工年均收入在80 000~85 000元之间的人数所占的百分比(精确到0.01%).
解:设该公司职工年均收入X~N(μ,σ2),
由题图可知μ=80 000,σ=5 000.
(1)该公司职工年均收入的正态密度函数解析式为
f(x)=.
(2)因为P(75 000≤X≤85 000)
=P(80 000-5 000≤X≤80 000+5 000)
≈0.682 7,
所以P(80 000≤X≤85 000)=P(75 000≤X≤85 000)≈0.341 4.
即该公司职工年均收入在80 000~85 000元之间的人数所占的百分比约为34.14%.
B组
1.设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为135 cm,方差为100的正态分布,令X表示从中随机抽取的一名儿童的身高,则下列概率中最大的是( )
A.P(120
答案:C
2.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X≤-1.96)=0.025,则P(|X|<1.96)等于( )
A.0.025 B.0.050
C.0.950 D.0.975
解析:由随机变量X服从正态分布N(0,1),
知P(X≥1.96)=P(X≤-1.96)=0.025.
所以P(|X|<1.96)=P(-1.96
=1-2×0.025
=0.950.
答案:C
3.已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(m≤X≤104)=0.135 9,则m等于( )
(附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.954 5.)
A.100 B.101
C.102 D.103
解析:∵随机变量X服从正态分布N(100,4),
∴P(98≤X≤102)≈0.682 7,P(96≤X≤104)≈0.954 5.
∴P(102≤X≤104)=×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
又P(m≤X≤104)=0.135 9,∴m=102.
答案:C
4.在某市高二下学期期中考试中,学生的数学成绩X~N(90,σ2),已知P(70
C.0.50 D.0.15
解析:∵X~N(90,σ2),∴μ=90.
又P(70
∴P(X≥110)=×(1-0.70)=0.15,
从而P(X<110)=1-0.15=0.85.
∴他的数学成绩小于110分的概率为0.85.
答案:A
5.(多选题)已知某批零件的质量指标Y(单位:毫米)服从正态分布N(25.40,σ2),且P(Y≥25.45)=0.1,现从该批零件中随机取3件,用X表示这3件产品的质量指标值Y不位于区间(25.35,25.45)内的产品件数,则( )
A.P(25.35
C.D(X)=0.48
D.P(X≥1)=0.512
解析:由正态分布的性质得P(25.35
6.某校的一次数学考试有600人参加,已知学生的考试成绩X~N(100,a2),试卷满分150分,统计结果显示考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次数学考试中成绩不低于120分的学生约有 人.
解析:因为成绩X~N(100,a2),所以其正态曲线关于直线x=100对称.又考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,所以考试成绩在120分以上的人数约为总人数的.所以此次数学考试中成绩不低于120分的学生约有×600=120人.
答案:120
7.某品牌摄像头的使用寿命X(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命多于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为 .
解析:∵P(X≥2)=0.8,P(X>6)=0.2,∴P(X<2)=P(X>6)=0.2.∴正态曲线的对称轴为直线x=4.
∴P(X≥4)=,即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为.∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为.
答案:
8.一投资者要在两个投资方案中选择一个,这两个方案的利润X1,X2(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(3,22),投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应选择哪个方案
解:由题意知,只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率较大者即为应选择的方案.对于第一个方案X1~N(8,32),则μ1=8,σ1=3.于是P(8-3≤X1≤8+3)=P(5≤X1≤11)≈0.682 7.所以P(X1≤5)=[1-P(5≤X1≤11)]≈×(1-0.682 7)=0.158 65.
所以P(X1>5)≈1-0.158 65=0.841 35.
对于第二个方案X2~N(3,22),则μ2=3,σ2=2.
于是P(3-2≤X2≤3+2)=P(1≤X2≤5)≈0.682 7,
所以P(X2>5)=[1-P(1≤X2≤5)]≈×(1-0.682 7)=0.158 65.
由于P(X1>5)>P(X2>5),故应选择第一个方案.
9.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,若正态曲线在区间(0,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,且f(80)=.
(1)求正态密度函数的解析式;
(2)估计尺寸在72~88 mm之间的零件大约占总数的百分比.
解:(1)因为正态曲线在区间(0,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,
所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处达到峰值.所以μ=80.又,所以σ=8.故正态密度函数的解析式为f(x)=.
(2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88.所以零件的尺寸X的取值落在区间[72,88]上的概率约为0.682 7.故尺寸在72~88 mm之间的零件大约占总数的68.27%.
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