《学霸笔记 同步精讲》8.2 一元线性回归模型及其应用 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3

8.2　一元线性回归模型及其应用
课后训练巩固提升
A组
1.对于经验回归方程x+>0),下列说法错误的是 (　　)
A.当x增加一个单位时,的值平均增加个单位
B.点()一定在x+所表示的直线上
C.当x=t时,一定有y=t+
D.当x=t时,y的值近似为t+
解析:经验回归方程是一个模拟函数,它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律,故有些散点不一定在经验回归直线上.
答案:C
2.有一名同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计得到了一个热饮销售杯数与当天气温之间的线性关系,其经验回归方程为=-2.35x+155.47.如果某天气温为4 ℃,那么该小卖部大约能卖出热饮的杯数是(　　)
A.140 B.146
C.151 D.164
答案:B
3.设两个变量x和y之间具有线性相关关系,它们的样本相关系数是r,y关于x的经验回归直线的斜率是,纵轴上的截距是,那么必有(　　)
A.与r的符号相同
B.与r的符号相同
C.与r的符号相反
D.与r的符号相反
解析:因为>0时,两变量正相关,此时r>0;
<0时,两变量负相关,此时r<0,
所以与r的符号相同.
答案:A
4.如图,有一散点图,在5个点中去掉D(3,10)后,下列说法正确的是(　　)
A.残差平方和变小
B.相关系数r变小
C.决定系数R2变小
D.解释变量x与响应变量y的线性相关程度变弱
解析:由题中散点图可知,只有D点偏离经验回归直线,去掉D点后,解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强,相关系数r变大,决定系数R2变大,残差平方和变小,故选A.
答案:A
5.(多选题)3月15日,某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x(单位:元)和销售量y(单位:件)之间的一组数据如表所示:
售价x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是=-3.2x+,则下列说法正确的有(　　)
A.=40
B.回归直线过点(10,8)
C.当x=8.5时,y的估计值为12.8
D.点(10.5,6)处的随机误差为0.4
解析:由题意可知×(9+9.5+10+10.5+11)=10,×(11+10+8+6+5)=8,故回归直线过点(10,8),且8=-3.2×10+=40,故A,B正确.
当x=8.5时,=-3.2×8.5+40=12.8,故C正确.
点(10.5,6)处的随机误差为6-(-3.2×10.5+40)=-0.4,故D不正确,故选ABC.
答案:ABC
6.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(单位:件)与平均气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温,其数据如表:
时间 二月上旬 二月中旬 二月下旬 三月上旬
旬平均气温x/℃ 3 8 12 17
旬销售量y/件 55 m 33 24
由表中数据算出线性回归方程x+中的=-2,样本中心点为(10,38).
(1)表中数据m=　　　　　;
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃,据此估计,该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量为　　　　　　.
解析:(1)由=38,得m=40.
(2)由,得=58,则=-2x+58,
当x=22时,=14,
故估计三月中旬的销售量为14件.
答案:(1)40　(2)14件
7.某工厂1~8月份某种产品的产量x(单位:t)与成本y(单位:万元)的统计数据如下表.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8
产量/t 5.6 6.0 6.1 6.4 7.0 7.5 8.0 8.2
成本/万元 130 136 143 149 157 172 183 188
(1)画出散点图;
(2)判断y与x是否具有线性相关关系,若有,求出其经验回归方程.
解:(1)作出的散点图如图所示.
(2)由图可看出,这些点基本分布在一条直线附近,可以认为x和y线性相关.
∵=6.85,=157.25,
xiyi=8 764.5,=382.02,
∴≈22.169,≈157.25-22.169×6.85≈5.392.
∴经验回归方程为=22.169x+5.392.
B组
1.由变量x与y相对应的一组数据(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的经验回归方程为=2x+45,则=(　　)
A.135 B.90
C.67 D.63
解析:因为×(1+5+7+13+19)=9,=2+45,所以=2×9+45=63.
答案:D
2.某鞋厂为了研究初二学生的脚长x(单位:cm)和身高y(单位:cm)的关系,从初二某班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图(图略)可以看出y与x之间有线性相关关系,设其经验回归方程为x+.已知xi=225,yi=1 600,=4.该班某学生的脚长为24 cm,据此估计其身高为(　　)
A.160 cm B.163 cm
C.166 cm D.170 cm
解析:=22.5,=160,=160-4×22.5=70,则经验回归方程为=4x+70,故该学生的身高为4×24+70=166(cm).
答案:C
3.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得经验回归方程,分别得到以下四个结论,其中一定不正确的结论是(　　)
A.y与x负相关,且=2.347x-6.423
B.y与x负相关,且=-3.476x+5.648
C.y与x正相关,且=5.437x+8.493
D.y与x正相关,且=-4.326x-4.578
解析:A结论错误,由经验回归方程知,此两变量的关系是正相关;
B结论正确,经验回归方程符合负相关的特征;
C结论正确,经验回归方程符合正相关的特征;
D结论不正确,经验回归方程符合负相关的特征.
故选AD.
答案:AD
4.对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如表:
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
根据上表,利用最小二乘法得它们的经验回归方程为=10.5x+,据此模型预测,当x=10时,=　　　　　.
解析:根据表中数据,计算×(2+4+5+6+8)=5,
×(20+40+60+70+80)=54,
代入经验回归方程=10.5x+中,求得=54-10.5×5=1.5,故经验回归方程为=10.5x+1.5,
据此模型预测,当x=10时,=10.5×10+1.5=106.5.
答案:106.5
5.某市春节期间7家超市的广告费支出xi(单位:万元)和销售额yi(单位:万元)的数据如下:
超市 A B C D E F G
广告费支出xi 1 2 4 6 11 13 19
销售额yi 19 32 40 44 52 53 54
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的经验回归方程;
(2)若用对数回归模型拟合y与x的关系,可得经验回归方程=12ln x+22,经计算得出线性回归模型和对数回归模型的决定系数R2分别约为0.75和0.97,请用决定系数R2说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额.
参考数据及公式:=8,=42,xiyi=2 794,=708,,ln 2≈0.7.
解:(1)=1.7,
=28.4,
故y关于x的经验回归方程是=1.7x+28.4.
(2)因为0.75<0.97,
所以对数回归模型更合适.
把x=8代入回归方程=12ln x+22,得=12×ln 8+22=36ln 2+22≈47.2,所以当x=8万元时,预测A超市销售额为47.2万元.
6.假设关于某设备的使用年限x(单位:年)和支出的维修费用y(单位:万元),有如下表的统计资料:
使用年限x/年 2 3 4 5 6
维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系,试求:
(1)经验回归方程x+;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少
(3)计算残差平方和;
(4)求决定系数R2并说明模型的拟合效果.
解:(1)将已知条件制成下表.
i 1 2 3 4 5 合计
xi 2 3 4 5 6 20
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25
xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3
4 9 16 25 36 90
=4;=5;=90;xiyi=112.3
设经验回归方程为x+,
于是有=1.23,
=5-1.23×4=0.08,
故经验回归方程为=1.23x+0.08.
(2)当x=10时,=1.23×10+0.08=12.38,即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
(3)因为=2.54,=3.77,=5,=6.23,=7.46,
所以残差平方和(yi-)2=0.651.
(4)决定系数R2=1-=1-≈0.958 7,模型的拟合效果较好,使用年限解释了95.87%的维修费用支出.
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