《学霸笔记 同步精讲》复习课 第1课时 计数原理 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3

复习课
第1课时　计数原理
课后训练巩固提升
1.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有(　　)
A.()2个 B.个
C.()2104个 D.104个
解析:2个英文字母可重复,都有种不同取法.4个不同数字有种不同排法.由分步乘法计数原理知满足条件的牌照号码有=()2·个.
答案:A
2.如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有(　　)
A.400种 B.460种
C.480种 D.496种
解析:从A开始,有6种涂法,B有5种涂法,C有4种涂法,D,A同色时有1种涂法,D,A不同色时有3种涂法,故不同涂法共有6×5×4×(1+3)=480种.
答案:C
3.在某种信息的传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)
A.10 B.11
C.12 D.15
解析:(方法一)分0个相同、1个相同、2个相同讨论.
(1)若0个相同,则信息为1 001,共1个.
(2)若1个相同,则信息为0 001,1 101,1 011,1 000,共4个.
(3)若2个相同,则又分为以下情况:
①若位置一与二相同,则信息为0 101;
②若位置一与三相同,则信息为0 011;
③若位置一与四相同,则信息为0 000;
④若位置二与三相同,则信息为1 111;
⑤若位置二与四相同,则信息为1 100;
⑥若位置三与四相同,则信息为1 010,共有6个.
故与信息0 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.
(方法二)若0个相同,则共有1个;
若1个相同,则共有=4个;
若2个相同,则共有=6个.
故共有1+4+6=11个.
答案:B
4.将18个参加市青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校,要求每校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为(　　)
A.96 B.114
C.128 D.136
解析:若某一学校的最少人数是1,2,3,4,5,则各有7,5,4,2,1种不同的分组方案.故不同的分配方法种数是(7+5+4+2+1)·=19×6=114.
答案:B
5.一次考试中,要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题,要求至少包含前5个题目中的3个,则考生答题的不同选法的种数是(　　)
A.40 B.74
C.84 D.200
解析:分三类:
第1类,前5个题目中选3个,后4个题目中选3个;
第2类,前5个题目中选4个,后4个题目中选2个;
第3类,前5个题目中选5个,后4个题目中选1个.
由分类加法计数原理,得=74.
答案:B
6.张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这六人的入园顺序排法种数为(　　)
A.12 B.24
C.36 D.48
解析:第1步,将两位爸爸排在两端有2种排法;第2步,将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2种排法,故总的排法有2×2×=24种.
答案:B
7.设(1+x)8=a0+a1x+…+a8x8,则a0,a1,…,a8中奇数的个数为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:因为a0=a8==1,a1=a7==8,a2=a6==28,a3=a5==56,a4==70,所以奇数的个数为2.
答案:A
8.(1+)6展开式中的常数项为(　　)
A.1 B.46 C.4 245 D.4 246
解析:因为(1+)6展开式的通项Tr+1=·()r=,r=0,1,…,6,又因为的展开式的通项Tk+1=)k=,k=0,1,2,3,…,10,两通项相乘得,令=0,得4r=3k,(r,k)只有三组:(0,0),(3,4),(6,8)满足要求.故常数项为1+=4 246.
答案:D
9.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn.若a1+a2+…+an-1=29-n,则自然数n的值为(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+an=2+22+…+2n==2n+1-2,又因为a0=n,an=1,
所以a1+a2+…+an-1=2n+1-3-n=29-n,得n=4.
答案:C
10.若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为(　　)
A.1或-3 B.-1或3
C.1 D.-3
解析:令x=0,得a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,令x=-2,得a0-a1+a2-a3+…-a9=m9,故有(2+m)9m9=39,即m2+2m=3,解得m=1或-3.
答案:A
11.已知(i为虚数单位)的展开式中第三项与第五项的系数之比为-,其中i2=-1,则展开式中系数为实数且最大的项为(　　)
A.第三项
B.第四项
C.第五项
D.第五项或第六项
解析:二项展开式的第三项为T3=-x2n-5,第五项为T5=x2n-10,
由=-,得n2-5n-50=0,解得n=10,又二项展开式的通项为Tr+1=(-i)r,
据此可知当r=0,2,4,6,8,10时其系数为实数,且当r=4时,=210最大.
答案:C
12.(多选题)某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班且每班安排2名,则不同的安排方案种数为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:(方法一)先从6个班选2个班有种方法,再从4名学生中选2名学生有种方法,故不同的安排方案种数为.
(方法二)把新转来的4名学生平均分两组,每组2人,分法有种,把这两组人安排到6个班中的某2个班中去,有种方法,故不同的安排方案种数为.
答案:AB
13.已知(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11,则a1+a2+a3+…+a11=　　　　　.
解析:令x=0,得a0=1.
令x=1,得a0+a1+a2+…+a11=-64.
故a1+a2+…+a11=-65.
答案:-65
14.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=　　　　　.
解析:令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a12=1,
得a0+a2+a4+…+a12=,
令x=0,则a0=1,故a2+a4+…+a12=-1=364.
答案:364
15.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到甲市,乙同学不到乙市,则不同的派遣方案有　　　 种.
解析:因为甲、乙有限制条件,所以按照是否含有甲、乙来分类,有以下四种情况:
①若甲、乙都不参加,则有派遣方案种;
②若甲参加而乙不参加,则先安排甲有3种方法,再安排其余学生有种方法,故共有3种方法;
③若乙参加而甲不参加,同理也有3种方法;
④若甲、乙都参加,则先安排甲、乙,有7种方法,再安排其余8人到另两个城市有种方法,共有7种方法.故共有不同的派遣方法总数为+3+3+7=4 088.
答案:4 088
16.已知()n展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6,则展开式中的第7项为　　　　　.
解析:第7项:T7=)n-6()6,
倒数第7项:Tn-7+2=Tn-5=)6()n-6,
由,得n=9,
故T7=)9-6()6=×2×.
答案:
17.某中学高中部组织篮球比赛,共24个班参加,第一轮比赛是分四组进行单循环赛,然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中已相遇过的两队不再进行比赛),则共要进行多少场比赛
解:第一轮每组6个队进行单循环赛,共有场比赛,4个组共计赛4场.
第二轮每组取2名,共计8个队,本应赛场,由于第一轮分在同一组的两队不再进行比赛,故应减去4场,共赛(-4)场.
综上,两轮比赛总共需比赛4-4=84场.
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