《学霸笔记 同步精讲》复习课 第2课时 随机变量及其分布 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3

第2课时　随机变量及其分布
课后训练巩固提升
1.甲击中目标的概率是,如果击中赢10分,否则输11分,用X表示他的得分,那么计算X的均值为(　　)
A.0.5分 B.-0.5分
C.1分 D.5分
解析:E(X)=10×+(-11)×=-.
答案:B
2.已知随机变量X~B,则D(2X+1)等于(　　)
A.6 B.4
C.3 D.9
解析:D(2X+1)=4D(X),D(X)=6×,则D(2X+1)=4×=6.
答案:A
3.将两枚质地均匀的骰子各抛掷一次,设事件A=“两个点数互不相同”,B=“出现一个5点”,则P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
解析:出现两个点数互不相同的情形共有6×5=30种,即n(A)=30;
两个点数互不相同,且出现一个5点的情形共有5×2=10种,即n(AB)=10.
因此P(B|A)=.
答案:A
4.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≤c)=P(X≥c),则c=(　　)
A.σ2 B.σ C.μ D.-μ
解析:正态曲线关于直线x=μ对称,
由题意知c=μ.
答案:C
5.已知正态密度函数的解析式为f(x)=,x∈R,则随机变量的标准差为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:由f(x)=,知σ=2.
故随机变量的标准差为2.
答案:B
6.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(x≤1)=0.1,则P(3A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
解析:∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),
∴μ=3.
又P(x≤1)=0.1,
∴P(x>5)=0.1.
∴P(33)-P(x>5)=0.5-0.1=0.4.
答案:D
7.节日期间,某种鲜花进货价是2.5元/束,销售价为5元/束;节日卖不出去的鲜花以1.6元/束的价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X服从的分布列,如表所示.
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若购进这种鲜花500束,则利润的均值为(　　)
A.706元 B.690元
C.754元 D.720元
解析:∵E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340,
∴利润的均值为340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706(元).
答案:A
8.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.记X表示走出迷宫所需的时间,则X的均值为(　　)
A. B. C. D.5
解析:因为随机打开一个通道,所以第一次打开每个通道的概率都为,第二次为,第三次为1.
X的可能取值为1,3,4,6.
P(X=1)=,P(X=3)=,
P(X=4)=,
P(X=6)=1-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=.
所以X的分布列为
X 1 3 4 6
P
E(X)=1×+3×+4×+6×.
故选B.
答案:B
9.某人参加某资格考试,共考6个科目,假设他通过各科目考试的事件是相互独立的,并且概率都是p.若此人未能通过的科目数X的均值是2,则p=　　　　　.
解析:因为通过各科考试的概率为p,所以不能通过考试的概率为1-p,易知X~B(6,1-p),
所以E(X)=6(1-p)=2,解得p=.
答案:
10. 一个不透明的袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球,给出下列结论:
①从中任取3球,恰有1个白球的概率是;
②从中有放回取球6次,每次任取1球,则取到红球次数的方差为;
③现从中不放回取球2次,每次任取1球,则在第1次取到红球的条件下,第2次再次取到红球的概率为;
④从中有放回取球3次,每次任取1球,则至少有一次取到红球的概率为.
其中正确结论的序号是　　　　　.
解析:恰有1个白球的概率P=,故①正确;
每次任取1球,取到红球次数X~B,则方差为6×,故②正确;
设A=“第1次取到红球”,B=“第2次取到红球”,
则P(A)=,P(AB)=,
从而P(B|A)=,故③错;
每次取到红球的概率为,
则至少有一次取到红球的概率为
1-,故④正确.
答案:①②④
11.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和均值.
解:(1)由已知得P(A)=,
即事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为1,2,3,4,且X服从超几何分布.
P(X=k)=(k=1,2,3,4).
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
均值E(X)=1×+2×+3×+4×.
12.某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛,需要从两名选手中选出一人参加.为此,设计了一个挑选方案:选手从6道备选题中一次性随机抽取3题.通过考查得知:6道备选题中选手甲有4道题能够答对,2道题答错;选手乙答对每题的概率都是,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对的题数分别为X,Y.
(1)写出X的概率分布列(不要求计算过程),并求出E(X),E(Y);
(2)求D(X),D(Y).请你根据得到的数据,建议该单位派哪个选手参加竞赛
解:(1)甲选手答对的题数X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1×+2×+3×=2.
由题意知Y~B,E(Y)=3×=2.
(2)由(1)得E(X)=E(Y).
D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×,D(Y)=3×,
所以D(X)因此,建议该单位派甲参加竞赛.
13.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列和均值E(X);
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少
解:(1)X的可能取值为10,20,100,-200.
由题意得P(X=10)=,
P(X=20)=,
P(X=100)=,
P(X=-200)=.
所以X的分布列为
X 10 20 100 -200
P
X的均值E(X)=10×+20×+100×-200×=-.
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),
则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1-P(A1A2A3)=1-=1-.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
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