《学霸笔记 同步精讲》6.3.1 二项式定理 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3

6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
课后训练巩固提升
A组
1.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是(　　)
A.-297 B.-252
C.297 D.207
解析:(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(x+1)10,展开式中含x5的项的系数为=207.
答案:D
2.在()12的展开式中,含x的正整数次幂的项为 (　　)
A.第1项、第7项与第13项
B.第10项
C.第10项与第13项
D.第12项
解析:()12的展开式的通项为Tr+1=)12-r()r=(0≤r≤12),6-(0≤r≤12)为正整数,有3项,即r=0,r=6,r=12.
答案:A
3.化简(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(　　)
A.(2x+2)5 B.2x5
C.(2x-1)5 D.32x5
解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
答案:D
4.(多选题)已知的展开式中x2的系数是-7,则下列结论正确的是(　　)
A.a=
B.展开式中含x6项的系数是-4
C.展开式中含x-1项
D.展开式中常数项为40
解析:的展开式的通项为Tr+1=x8-r·=(-a)rx8-2r,令8-2r=2,解得r=3,所以展开式中x2的系数为(-a)3=-7,解得a=,故A正确;
即为,展开式的通项为Tr+1=x8-2r,令8-2r=6,解得r=1,所以展开式中含x6项的系数是-=-4,故B正确;
8-2r=-1,解得r=,不为整数,故展开式中不含x-1项,故C错误;
令8-2r=0,解得r=4,所以展开式中常数项为,故D错误,故选AB.
答案:AB
5.在(2x+)5的展开式中,x3的系数是　　　　　.(用数字作答)
解析:设展开式的第k+1项为Tk+1,k∈{0,1,2,3,4,5},
则Tk+1=(2x)5-k()k=25-k.
令5-=3,得k=4,
即展开式中含x3的系数为25-4=10.
答案:10
6.233除以9的余数是　　　　　.
解析:233=811=(9-1)11=×911-×910+×99-…+×9-,
因为除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.
答案:8
7.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为　　　　　.
解析:根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,故根据二项式定理的展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,
又2+a能被11整除,可知a=9.
答案:9
8.已知在(x-)n的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,求含x2的项.
解:(x-)n展开式的第二项与第四项分别为T2=xn-1·(-)=-nxn-1,T4=xn-3·(-)3=-2xn-3.
依题意得,
即n2-3n-4=0,解此方程并舍去不合题意的负值,得n=4.
设(x-)4展开式中含x2的项为第k+1项,则Tk+1=x4-k(-)k,
由4-k=2,得k=2,即(x-)4展开式中含x2的项为T3=x2(-)2=12x2.
9.已知,求:
(1)展开式中第四项的二项式系数;
(2)展开式中第四项的系数;
(3)展开式中的第四项.
解:的展开式的通项是Tk+1=(3)10-k·310-k·.
(1)展开式中第四项的二项式系数为=120.
(2)展开式中第四项的系数为·37=-77 760.
(3)展开式中的第四项为T4=·37·=-77 760.
10.已知在的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.求:
(1)展开式的第四项;
(2)展开式的常数项.
解:展开式的通项为Tr+1=)n-r
=,
由前三项系数的绝对值成等差数列,
得=2×,
解这个方程得n=8或n=1(舍去).
(1)展开式的第四项为T4==-7.
(2)当r=0,
即r=4时,常数项为.
B组
1.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 (　　)
A.-15x4 B.15x4
C.-20ix4 D.20ix4
解析:(x+i)6展开式的通项为Tr+1=x6-rir,则其展开式中含x4的项为x4i2=-15x4.
答案:A
2.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.(1,+∞)
解析:(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=x9-ryr.
依题意有
即
解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞).
答案:D
3.在的展开式中,x6的系数是(　　)
A.180 B.20
C.-20 D.-180
解析:由=(x2+-4)(x2+-4)·(x2+-4),则(x2+-4)5的展开式中,x6的系数是·(-4)2+·41·(-4)0=180.
答案:A
4.(多选题)(1+x2)(2+x)4的展开式中(　　)
A.x3的系数为40 B.x3的系数为32
C.常数项为16 D.常数项为8
解析:(1+x2)(2+x)4=(2+x)4+x2(2+x)4,展开式中x3的系数分为两部分,一部分是(2+x)4中含x3的系数·2=8,另一部分是(2+x)4中含x项的系数·23=32,所以含x3的系数是8+32=40,故A正确;展开式中常数项只有(2+x)4展开式的常数项24=16,故C正确,故选AC.
答案:AC
5.(多选题)对于,以下判断正确的有(　　)
A.存在n∈N*,展开式中有常数项
B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项
解析:设(n∈N*)展开式的通项为Tr+1,则Tr+1=(x3)r=x4r-n,不妨令n=4,则r=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则r=1时,展开式中有x的一次项,故C错误,D正确,故选AD.
答案:AD
6.在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有　　　　　项.
解析:(x+y)20展开式的通项为Tk+1=x20-k(y)k=)kx20-kyk(0≤k≤20).
要使系数为有理数,则k必为4的倍数,故k可为0,4,8,12,16,20,共6项.
答案:6
7.设(a>0)的展开式中,x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a=　　　　　.
解析:(x-)6展开式的通项为Tr+1=x6-r(-a)r=(-a)r,则B=(-a)4,A=(-a)2.
由B=4A,a>0,知a=2.
答案:2
8.若(x+a)2的展开式中的常数项为-1,则a的值为　　　　　.
解析:由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而的展开式的通项为Tk+1=(-1)k·xk-5,其中k=0,1,2,…,5.于是的展开式中x-2的系数为(-1)3=-10,x-1项的系数为(-1)4=5,常数项为-1,因此(x+a)2的展开式中的常数项为1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,解得a=1或a=9.
答案:1或9
9.求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.
证明　因为1+2+22+…+25n-1
==25n-1=32n-1
=(31+1)n-1=·31n+·31n-1+…+·31+-1
=31(·31n-1+·31n-2+…+),显然·31n-1+·31n-2+…+为整数,
所以原式能被31整除.
10.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).
(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项.
(2)令h(x)=f(x)+g(x),如果h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值
解:(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3·(1+2x)4.
(1+x)3展开式的通项为,
(1+2x)4展开式的通项为(2x,
f(x)g(x)的展开式含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12,
所以+2=12,
即m+2n=12,
所以m=12-2n.
x2的系数为+4+4
=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)
=4n2-25n+66=4,n∈N*,
所以当n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值.
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