《学霸笔记 同步精讲》6.3.2 二项式系数的性质 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3
文档属性
| 名称 | 《学霸笔记 同步精讲》6.3.2 二项式系数的性质 练习（教师版）数学人教A版选择性必修3 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 46.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
6.3.2 二项式系数的性质
课后训练巩固提升
A组
1.在(1-x)13的展开式中,二项式系数最大的项为( )
A.第六项 B.第七项、第八项
C.第九项 D.第十项
解析:展开式中共有14项,中间两项(第七项、第八项)的二项式系数最大.
答案:B
2.在(2-)8的展开式中,不含x4项的系数的和为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:令x=1,得展开式中各项系数之和为(2-1)8=1,由(2-)8展开式的通项为Tr+1=(-1)r28-r()r,令r=8,得T9=20x4=x4,其系数为1,故展开式中不含x4项的系数的和为1-1=0.
答案:B
3.若(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
解析:令x=-1,则原式化为[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=-2=a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+…+a11(2-1)11,
故a0+a1+a2+…+a11=-2.
答案:A
4.已知(2x-1)n的二项展开式中,奇数次项系数的和比偶数次项系数的和小38,则+…+的值为 ( )
A.28 B.28-1
C.27 D.27-1
解析:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇数次项的系数和为A,偶数次项的系数和为B.
则A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+….
由已知可知,B-A=38.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,故(-3)n=38=(-3)8,得n=8.由二项式系数的性质,可得+…+=2n-=28-1.
答案:B
5.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是( )
A.0 B.256 C.64 D.
解析:由已知得即5因为n∈N*,所以n=6.
令x=1,则原式=.
答案:D
6.(多选题)已知的展开式中共有8项,则下列说法正确的有( )
A.所有项的二项式系数和为128
B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第5项
D.有理项共3项
解析:的展开式中共有8项,则n=7.选项A,所有项的二项式系数和为27=128,故A正确;选项B,令x=1,则=1,所以所有项的系数的和为1,故B正确;选项C,二项式系数最大的项为第4项和第5项,故C不正确;选项D,二项式展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r(-1)r27-r,当r=0,2,4,6时,二项式的展开式中对应的项均为有理项,所以有理项有4项,故D不正确.故选AB.
答案:AB
7.(多选题)若(x2-2x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则下列选项正确的是( )
A.a0=32
B.a2=320
C.a1+a2+…+a10=32
D.|a1|+|a2|+…+|a10|=3 093
解析:令x=0,得a0=25=32,所以A正确;五个相同的因式x2-2x+2相乘,要得到含x2的项,可以是五个因式中,一个因式取x2其他四个因式取2,或两个因式取-2x其他三个因式取2,所以a2=×1×24+×(-2)2×23=400,所以B不正确;令x=1,则a0+a1+a2+…+a10=1,所以a1+a2+…+a10=1-32=-31,所以C不正确;(x2+2x+2)5展开式所有项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|,令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=55=3 125,所以|a1|+|a2|+…+|a10|=3 125-32=3 093,所以D正确.故选AD.
答案:AD
8.已知展开式中的常数项为1 120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是 .
解析:x- 8的展开式的通项为Tr+1=Cx8-r=(-a)r··x8-2r,令8-2r=0得r=4,由条件知,a4=1 120,解得a=±2.
令x=1得展开式各项系数的和为1或38.
答案:1或38
9.若(1+)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是 .
解析:因为8<+…+<32,
即8<2n<32,且n∈N*,所以n=4.所以展开式共有5项,系数最大的项为T3=)2=6x.
答案:6x
10.已知(1-2x)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a7(x-1)7.求:
(1)a0+a1+a2+…+a7;
(2)a0+a2+a4+a6.
解:(1)令x=2,则a0+a1+a2+…+a7=(1-4)7=-37=-2 187.①
(2)令x=0,则a0-a1+a2-…+a6-a7=1.②
,得a0+a2+a4+a6==-1 093.
11.已知(1+2x-x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14.求:
(1)a0+a1+a2+…+a14;
(2)a1+a3+a5+…+a13.
解:(1)令x=1,则a0+a1+a2+…+a14=27=128.①
(2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=(-2)7=-128.②
①-②,得2(a1+a3+…+a13)=256,
故a1+a3+…+a13=128.
B组
1.若的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是( )
A.7 B.-7 C.21 D.-21
解析:令x=1,则(3-1)n=128=2n,解得n=7,故展开式的通项为Tr+1=·(3x)7-r·()r·(-1)r=·37-r··(-1)r.
令7-=-3,得r=6,故的系数为·3=21.
答案:C
2.已知(1-2x)3 021=a0+a1x+…+a3 021x3 021,则+…+=( )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
解析:根据题意,令x=0,得a0=(1-0)3 021=1,令x=,得(1-1)3 021=a0++…+,因此+…+=-a0=-1,故选B.
答案:B
3.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等,则a0-a1+…+(-1)nan=( )
A.32 B.64
C.128 D.256
解析:由题意可得,故n=4.
令x=-1,则(3-x)n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256,故a0-a1+…+(-1)nan=256.
答案:D
4.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是( )
A.6 B.7 C.8 D.5
解析:由二项式定理,知ak=(k=1,2,3,…,11).
又(1+x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项,故k的最大值为6.
答案:A
5.(多选题)在(1-4x)8的展开式中,下列结论正确的是 ( )
A.第5项的二项式系数最大
B.所有项的系数和为38
C.所有奇数项的二项式系数和为-27
D.所有偶数项的二项式系数和为27
解析:选项A,(1-4x)8的展开式共有9项,由二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大,故A正确;选项B,令x=1,可得所有项的系数和为(1-4)8=38,可知B正确;选项C,所有奇数项的二项式系数和为28-1=27,C错误;选项D,所有偶数项的二项式系数和为28-1=27,D正确.故选ABD.
答案:ABD
6.若(-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2= .
解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(-1)10,
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=(+1)10,
故(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)=(-1)10(+1)10=1.
答案:1
7.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .
解析:(3x)2=54x2,即=6,解得n=4(负值舍去).
答案:4
8.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:
(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;
(3)a1+a3+a5.
解:(1)令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,故a0+a1+a2+a3+a4+a5=1. ①
(2)因为(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,
所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.
令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,
即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35. ②
则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.
(3)由①②两式联立,得
则a1+a3+a5=×(1-243)=-121.
9.已知=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a7(x+1)7,求a1+2a2+3a3+…+7a7.
解:对=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a7(x+1)7两边求导,得-(1-x)6=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+7a7(x+1)6.
令x=0,得a1+2a2+3a3+…+7a7=-.
1
课后训练巩固提升
A组
1.在(1-x)13的展开式中,二项式系数最大的项为( )
A.第六项 B.第七项、第八项
C.第九项 D.第十项
解析:展开式中共有14项,中间两项(第七项、第八项)的二项式系数最大.
答案:B
2.在(2-)8的展开式中,不含x4项的系数的和为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:令x=1,得展开式中各项系数之和为(2-1)8=1,由(2-)8展开式的通项为Tr+1=(-1)r28-r()r,令r=8,得T9=20x4=x4,其系数为1,故展开式中不含x4项的系数的和为1-1=0.
答案:B
3.若(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
解析:令x=-1,则原式化为[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=-2=a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+…+a11(2-1)11,
故a0+a1+a2+…+a11=-2.
答案:A
4.已知(2x-1)n的二项展开式中,奇数次项系数的和比偶数次项系数的和小38,则+…+的值为 ( )
A.28 B.28-1
C.27 D.27-1
解析:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇数次项的系数和为A,偶数次项的系数和为B.
则A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+….
由已知可知,B-A=38.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,故(-3)n=38=(-3)8,得n=8.由二项式系数的性质,可得+…+=2n-=28-1.
答案:B
5.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是( )
A.0 B.256 C.64 D.
解析:由已知得即5
令x=1,则原式=.
答案:D
6.(多选题)已知的展开式中共有8项,则下列说法正确的有( )
A.所有项的二项式系数和为128
B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第5项
D.有理项共3项
解析:的展开式中共有8项,则n=7.选项A,所有项的二项式系数和为27=128,故A正确;选项B,令x=1,则=1,所以所有项的系数的和为1,故B正确;选项C,二项式系数最大的项为第4项和第5项,故C不正确;选项D,二项式展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r(-1)r27-r,当r=0,2,4,6时,二项式的展开式中对应的项均为有理项,所以有理项有4项,故D不正确.故选AB.
答案:AB
7.(多选题)若(x2-2x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则下列选项正确的是( )
A.a0=32
B.a2=320
C.a1+a2+…+a10=32
D.|a1|+|a2|+…+|a10|=3 093
解析:令x=0,得a0=25=32,所以A正确;五个相同的因式x2-2x+2相乘,要得到含x2的项,可以是五个因式中,一个因式取x2其他四个因式取2,或两个因式取-2x其他三个因式取2,所以a2=×1×24+×(-2)2×23=400,所以B不正确;令x=1,则a0+a1+a2+…+a10=1,所以a1+a2+…+a10=1-32=-31,所以C不正确;(x2+2x+2)5展开式所有项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|,令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=55=3 125,所以|a1|+|a2|+…+|a10|=3 125-32=3 093,所以D正确.故选AD.
答案:AD
8.已知展开式中的常数项为1 120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是 .
解析:x- 8的展开式的通项为Tr+1=Cx8-r=(-a)r··x8-2r,令8-2r=0得r=4,由条件知,a4=1 120,解得a=±2.
令x=1得展开式各项系数的和为1或38.
答案:1或38
9.若(1+)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是 .
解析:因为8<+…+<32,
即8<2n<32,且n∈N*,所以n=4.所以展开式共有5项,系数最大的项为T3=)2=6x.
答案:6x
10.已知(1-2x)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a7(x-1)7.求:
(1)a0+a1+a2+…+a7;
(2)a0+a2+a4+a6.
解:(1)令x=2,则a0+a1+a2+…+a7=(1-4)7=-37=-2 187.①
(2)令x=0,则a0-a1+a2-…+a6-a7=1.②
,得a0+a2+a4+a6==-1 093.
11.已知(1+2x-x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14.求:
(1)a0+a1+a2+…+a14;
(2)a1+a3+a5+…+a13.
解:(1)令x=1,则a0+a1+a2+…+a14=27=128.①
(2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=(-2)7=-128.②
①-②,得2(a1+a3+…+a13)=256,
故a1+a3+…+a13=128.
B组
1.若的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是( )
A.7 B.-7 C.21 D.-21
解析:令x=1,则(3-1)n=128=2n,解得n=7,故展开式的通项为Tr+1=·(3x)7-r·()r·(-1)r=·37-r··(-1)r.
令7-=-3,得r=6,故的系数为·3=21.
答案:C
2.已知(1-2x)3 021=a0+a1x+…+a3 021x3 021,则+…+=( )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
解析:根据题意,令x=0,得a0=(1-0)3 021=1,令x=,得(1-1)3 021=a0++…+,因此+…+=-a0=-1,故选B.
答案:B
3.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等,则a0-a1+…+(-1)nan=( )
A.32 B.64
C.128 D.256
解析:由题意可得,故n=4.
令x=-1,则(3-x)n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256,故a0-a1+…+(-1)nan=256.
答案:D
4.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是( )
A.6 B.7 C.8 D.5
解析:由二项式定理,知ak=(k=1,2,3,…,11).
又(1+x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项,故k的最大值为6.
答案:A
5.(多选题)在(1-4x)8的展开式中,下列结论正确的是 ( )
A.第5项的二项式系数最大
B.所有项的系数和为38
C.所有奇数项的二项式系数和为-27
D.所有偶数项的二项式系数和为27
解析:选项A,(1-4x)8的展开式共有9项,由二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大,故A正确;选项B,令x=1,可得所有项的系数和为(1-4)8=38,可知B正确;选项C,所有奇数项的二项式系数和为28-1=27,C错误;选项D,所有偶数项的二项式系数和为28-1=27,D正确.故选ABD.
答案:ABD
6.若(-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2= .
解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(-1)10,
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=(+1)10,
故(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)=(-1)10(+1)10=1.
答案:1
7.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .
解析:(3x)2=54x2,即=6,解得n=4(负值舍去).
答案:4
8.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:
(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;
(3)a1+a3+a5.
解:(1)令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,故a0+a1+a2+a3+a4+a5=1. ①
(2)因为(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,
所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.
令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,
即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35. ②
则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.
(3)由①②两式联立,得
则a1+a3+a5=×(1-243)=-121.
9.已知=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a7(x+1)7,求a1+2a2+3a3+…+7a7.
解:对=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a7(x+1)7两边求导,得-(1-x)6=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+7a7(x+1)6.
令x=0,得a1+2a2+3a3+…+7a7=-.
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