江西省赣州市2026年高三高考一模数学试卷（含答案）

赣州市 2026 年高三年级摸底考试 数学试卷
2026 年 3 月
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 第 I 卷(选择题共 58 分)
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的, 答案填写在答题卷上.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 复数 满足 ( 为虚数单位),则 的共轭复数的虚部是
A. -3 B. -3i C. 1 D. i
3. 若函数 为偶函数，则
A. 2 B. 3
C. D. 9
4. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ,点 在椭圆 上,若 的面积为 1,则
A. B. C. D.
5. 已知函数 的图象如图所示,则
A. -1 B. 1
C. D.
6. 已知数列 的前 项和为 ,满足 ,在数列 中, ,且 ,设 为数列 的前 项和,则
A. B. C. 2 D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,若过点 的直线 与圆 相切于点 与双曲线 的右支交于点 ,且 ,则双曲线 的离心率为
A. 2
B. C. D.
8. 在长方体 中, ,点 在四边形 内 (含边界)移动，且满足 ，则点 到直线 距离的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 已知圆 ，过直线 上任意一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ,则
A. 圆 上的点到直线 的最大距离为
B. 四边形 面积的最小值为 4
C. 的最小值为 8
D. 当点 坐标为 时,直线 的方程为
10. 设 是一个试验中的两个事件,且 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
11. 我们把方程 的实数解称为欧米加常数,记为 . 和 一样,都是无理数, 还被称为在指数函数中的 “黄金比例”. 下列有关 的结论正确的是
A.
B.
C. ,其中
D. 函数 的最小值为
第 II 卷 (非选择题共 92 分)
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分, 答案填写在答题卷上.
12. 若 ，则 _____.
13. 若函数 有 3 个零点，则实数 的取值范围是_____.
14. 一自动运动的小车连续运行 次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现 2 次向后运动的概率为 ，则 的值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤
15. (本小题 13 分)
在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)若 ，求 的值.
(2)若 ， 的内切圆的面积为 ，求 的面积.
16. (本小题 15 分)
已知抛物线 ，过点 作直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 为坐标原点.
(1)证明: ；
(2)若存在异于点 的定点 ，使得 恒成立，请求出点 的坐标,并求出 面积的最小值.
17. (本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，且 为 的中点.
(1)求二面角 的余弦值;
(2)若 ，在线段 上各取一点 ，设 ,若平面 平面 ,求 的值.
18. (本小题 17 分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性.
(2)设函数 ，若存在唯一实数 使函数 的最小值为 0 , 求实数 的取值范围.
19. (本小题 17 分)
现有一种不断分裂的 细胞，在每个分裂周期中，一个 细胞以 的概率分化成一个新的 细胞，以 的概率分裂成两个新的 细胞，分裂后原来的 细胞消失，新的 细胞在下一个分裂周期里会继续分裂. 设初始状态下有1个 细胞， 个分裂周期后， 细胞的数目为 .
(1)求 的分布列和数学期望.
(2)求概率 .
(3)证明: .
赣州市 2026 年高三年级摸底考试 数学试题参考答案
一、单选题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.)
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B D A B D D
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分. )
9 10 11
ABD AC ABC
二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. -9
13.
三、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤)
15. 解: (1) 因为 ,由正弦定理得
.2 分
即
即
即
即 ,所以 .4 分
因为 ,所以 ,即 .5 分
因为 ，所以
.7 分
(2)由内切圆性质 ，所以 10 分
根据余弦定理
即 ,解得
所以 .13 分
另解: 由内切圆性质 ,所以
.13 分
16 解: (1) 设直线 的直线方程
联立 消 得
设 ,所以 .3 分
则
,所以 . .7 分
(2)当 时，由对称性可知点 在 轴上，设
由 ,得 .9 分
所以 为 的角平分线,所以 .10 分
即 ,即
即 ,即 ,
解得 ,所以存在 .13 分
所以
当且仅当 时, 的面积最小为 8 .15 分
17. 解: (1) 因为 平面 ,所以 ,
所以 为二面角 的平面角 .4 分
因为
所以 .7 分
(2)因为 平面 ，所以
因为 ，所以 为等边三角形，
所以 ，所以
因为 ,所以 ，且
因为三棱锥 为正三棱锥,
所以点 在平面 的投影 必是 的重心
因为平面 平面 ,所以 是 的中点
根据中线性质,所以 .15 分
法二: 因为 平面 ,所以
因为 ，所以 为等边三角形，
所以 ，所以
以 分别作为 轴建立空间直角坐标系 ,
则 ,
因为 ,所以
设平面 的法向量为
因为 ,
且
所以 令 ,则
所以
同理可以求出平面 的法向量为
因为平面 平面
所以
所以 .15 分
18. 解: (1) 因为 所以 1 分
(i) 当 时, 恒成立,所以函数 在 上单调递减 3 分
(ii) 当 时,令 ,得
又令 ,得
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增. .6 分综述: (i) 当 时,函数 在 上单调递减.
(ii) 当 时,函数 在 上单调递减,
在 上单调递增. .7 分
( 2 )解法一:由 ，
得 ,由 (1) 可知
(*)
即关于 的方程 只有 1 个根 .9 分
当 时,方程 恒成立,即当 且 时,方程 无解
所以
由 ,所以 ,即 ,即 且
对 式同时取对
即 ,令 ,则
即关于 的方程 在 无解 .13 分
又令 ,则
令 ,则 ,
由 ,所以 在 单调递增,在 单调递减
所以 ,所以 ,所以 在 单调递减
当 时, ,当 时, ,
要使 式成立,只需 或 ,即 或
综述,实数 的取值范围 或 .17 分
解法二: (2) 令 ,
由(1)可知, 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,
依题,存在唯一实数 使函数 的最小值为 0, .9 分
所以存在唯一实数 使 ,即存在唯一实数 使 ,
令 ,则 , .12 分
(i) 当 时, 恒成立,故函数 在 单调递增,
又因为 ,所以存在唯一实数 使得 ,符合题意; .13 分
(ii) 当 时,令 ,得 ,令 ,得 , 故函数 在 单调递增,在 单调递减, 所以 ,解得 , .16 分
综上,实数 的取值范围是 或 .17 分
19. 解: 由题知:
(1) 表示分裂两个周期细胞的个数，则 的可能取值为1,2,3,4.
.5 分
所以 的分布列为
1 2 3 4
4 9
数学期望为 .7 分
(2) 表示在 个分裂周期， 细胞有一次一分为二，则
.11 分
(3)由全概率公式知
化简得
代入
即
即
即
由 ,所以
所以 ,即证. .17 分