(共19张PPT)
第二章 相交线与平行线
第5课 平行线的性质(1)
平行线的性质
分类 性质(1) 性质(2) 性质(3)
描述 两直线平行，同位角 两直线平行，内错角 两直线平行，同旁内角
图例
几何语言 因为a∥b，所以 因为a∥b，所以 因为a∥b，所以
相等
相等
互补
∠1＝∠2
∠1＝∠2
∠1＋∠2＝180°
例1 如图，a∥b，∠1＝35°，求∠2的度数．
解：如图，因为∠1与∠3是对顶角，
所以∠3＝∠1＝35°.
因为a∥b，
所以∠2＝∠3＝35°.
1. 如图，AC∥DF，AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上．若∠2
＝50°，求∠1的度数．
解：因为AB∥EF，∠2＝50°，所以∠A＝∠2＝50°.
因为AC∥DF，
所以∠1＝∠A＝50°.
例2 如图，AB∥CD，CE∥GF，若∠1＝60°，求∠2的度数．
解：因为AB∥CD，所以∠1＝∠CEF.
因为CE∥GF，所以∠2＝∠CEF.
所以∠2＝∠1.
因为∠1＝60°，所以∠2＝60°.
2. 如图，∠B＝30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，求∠ACD的
度数．
解：因为AB∥CD，∠B＝30°，
所以∠BCD＝∠B＝30°.
因为CB平分∠ACD，
所以∠ACD＝2∠BCD＝60°.
例3 如图，直线AB∥CD，∠1＝115°，求∠2，∠3的度数．
解：因为∠1＝115°，所以∠3＝∠1＝115°.
因为AB∥CD，所以∠2＋∠3＝180°.
所以∠2＝180°－∠3＝65°.
3. 如图，AB∥CD，∠α＝45°，∠D＝∠C，依次求出∠D，
∠C，∠B的度数．
解：因为AB∥CD，∠α＝45°，
所以∠D＝∠α＝45°.
因为∠D＝∠C，所以∠C＝45°.
因为CD∥AB，所以∠C＋∠B＝180°.
所以∠B＝180°－∠C＝180°－45°＝135°.
1． (2025·河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如
图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝
( C )
A． 70° B． 100°
C． 110° D． 130°
C
2． 如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则
∠2的度数为 ．
109°
3． 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线
上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为( B )
A． 10° B． 15° C． 30° D． 45°
B
4． 如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF
＝ °.
360
5． (2025·深圳)如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经
平面镜后反射入眼，若 CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，
则入射角∠AON的度数为( B )
A． 22°
B． 32°
C． 35°
D． 122°
B
6． 如图，DE∥BC，∠B＝65°，∠C＝80°，求∠1和∠2的
度数．
解：因为DE∥BC，
所以∠1＝∠B，∠2＋∠C＝180°.
因为∠B＝65°，∠C＝80°，
所以∠1＝∠B＝65°，∠2＝180°－∠C＝100°.
7． 跨学科光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从
水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光
线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3＋
∠4＝( C )
A． 165° B． 155°
C． 105° D． 90°
C
8． 如图，AC平分∠MAE，AE交BD于点F.
(1)若AB∥CE，∠BAE＝50°，求∠ACE的度数；
解：(1)因为AC平分∠MAE，所以∠CAM＝ ∠MAE.
因为∠BAE＝50°，所以∠CAM＝ ∠MAE＝ (180°－∠BAE)
＝ ×(180°－50°)＝65°.
因为AB∥CE，所以∠ACE＝∠CAM＝65°.
(2)若∠AFB＝∠CAM，试说明：∠ACE＝∠BDE.
(2)因为AC平分∠MAE，所以∠CAM＝∠EAC.
因为∠AFB＝∠CAM，所以∠AFB＝∠EAC.
所以AC∥BD. 所以∠ACE＝∠BDE.
9． 方程思想 如图，点C在直线GF上，AB∥DE∥GF，
∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠1的度数．
解：设∠1＝2x，则∠D＝3x，∠B＝4x.
因为AB∥GF∥DE，所以∠B＋∠GCB＝180°，∠D＋∠FCD
＝180°.
所以∠GCB＝180°－4x，∠FCD＝180°－3x.
因为∠GCB＋∠1＋∠FCD＝180°.
所以(180°－4x)＋2x＋(180°－3x)＝180°.
解得x＝36°.所以∠1＝2×36°＝72°.(共19张PPT)
第二章 相交线与平行线
第2课 两条直线的位置关系(2)——垂直
垂直的概念及符号表示
1． (1)定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是 ，
那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，
它们的交点叫作 ．
(2)表示方法：如图，直线AB与直线CD垂直，记作AB CD.
直角
垂足
⊥
例1 如图，平面内三条直线交于点O.
(1)若∠AOC＝ ，则AB⊥CD；
(2)若AB⊥CD，则∠AOC＝ ；
(3)若∠1＝30°，∠2＝60°，则直线AB与直线CD的关系
是 ．
90°
90°
AB⊥CD
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD＝20°.求
∠COE的度数．
解：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOD＝20°，
所以∠AOC＝∠BOD＝20°.
因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°.
所以∠COE＝∠AOE－∠AOC＝90°－20°＝70°.
垂线的画法
例2 如图，请过点P画出AB的垂线．
解：如图，直线CD即为所求．
总结：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
3. (1)如图1，过点P分别画出OA，OB的垂线；
解：(1)如图1，即为所求．
(2)如图2，过点A画出BC的垂线．
解：(2)如图2，即为所求．
画垂线的步骤：(1)贴：用三角板的一条直角边贴着已知直线；
(2)过：移动三角板，找到需要过的点；(3)画：用笔画垂线；(4)标：标
记直角符号．
垂线段的性质和点到直线的距离
4. 垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短．
垂线段
例3 如图，点P是直线l外一点，点A，B，C，D在直线l上，则
PA，PB，PC，PD四条线段中，最短的线段是 ．
PC
5． 如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做
法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水
管长度，其数学原理是 ．
垂线段最短
6． 如图，过点A作直线l的垂线，垂足为点B，线段AB的
叫作点A到直线l的距离．
长度
例4 如图，∠C＝90°，垂足为点C，BC＝4 cm，AC＝3 cm，AB＝5 cm，那么点A到BC的距离为 ，点B到AC的距离为 ，A，B两点之间的距离为 ．
3 cm
4cm
5 cm
7. 如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，怎样测量他的
成绩呢？请你画一画，其依据是 ．
解：如图，测量垂线段PH的长度即可．
垂线段最短
1． 如图，一根细绳上拴上一个重物，可做成一个“铅锤”，挂铅锤
的线总垂直于地面内的任何直线，当这条线贴近墙壁时，说明墙与地面
垂直，其所蕴含的数学原理是
．
同一平面内，过一点有且只有一条直线
与已知直线垂直
2． 如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝
145°，则∠3的度数为 ．
55°
3． (2025·兰州)如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，
光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若
光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是( C )
A. 26°
B. 30°
C. 36°
D. 54°
C
4． 【北师七下P40习题T7变式】如图，点A表示小董家，点B表示
小董外婆家，若小董先去外婆家拿钓具，再去河边钓鱼，怎样走能使路
线最短？请画出最短的行走路线．
解：如图，连接AB，过点B作BC垂直于河岸，垂足为C，折线
ABC即为最短路线．
5． 推理能力如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，ON为
∠AOD内的一条射线．
(1)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
解：(1)ON⊥CD.
理由如下：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°.
所以∠1＋∠AOC＝90°.
又因为∠1＝∠2，所以∠2＋∠AOC＝90°，即∠CON＝90°.
所以ON⊥CD.
(2)若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度数．
(2)因为OM⊥AB，所以∠BOM＝90°.
因为∠BOC＝4∠1，∠BOC＝∠1＋∠BOM，所以∠BOM＝3∠1.
所以∠1＝ ∠BOM＝ ×90°＝30°.
又因为∠1＋∠MOD＝180°，所以∠MOD＝180°－∠1＝150°.(共21张PPT)
第二章 相交线与平行线
第1课 两条直线的位置关系(1)
——对顶角、余角和补角
相交线与平行线
1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两
种．若两条直线只有 个公共点，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内， 的两条直线叫作平行线．
2． 如图，在同一平面内，经过直线a外一点O的4条直线中有一条直
线与a平行，该直线是 ．
相交
平行
一
不相交
直线OC
对顶角的概念及性质
3. (1)如果两个角有 顶点，它们的两边 ，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角．
(2)对顶角的性质：对顶角 ．
公共
互为反向延长线
相等
4. 下面各图中，∠1和∠2是对顶角的是( B )
B
例1 如图，直线a，b相交于点O.
(1)图中有 对对顶角，分别是 ；
(2)若∠1＝55°，∠2＝125°，则∠3＝ °，∠4＝ °.
2
∠1和∠3，∠2和∠4
55
125
5. 如图，直线a，b相交于点O，若∠1＋∠2＝220°，则∠2的度数
是( C )
A. 70° B． 90° C． 110° D． 130°
C
补角、余角的概念及性质
6. (1)补角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为
补角．
求法：∠α的补角＝ ．
(2)余角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为余角．
求法：∠α的余角＝ ．
180°
180°－∠α
90°
90°－∠α
7. 填空：(1)如果∠1＝70°，∠2＝110°，那么∠1与∠2 ，
∠1的余角为 °.
(2)如图，OC⊥AB于点O，则∠AOD的余角是 ，
∠AOD的补角是 ．
互补
20
∠COD
∠BOD
8. (1)补角的性质：同角或等角的补角 ．
几何语言：因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，所以
．
(2)余角的性质：同角或等角的余角 ．
几何语言：因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，所以
．
相等
∠2＝
∠3
相等
∠2＝
∠3
例2 【北师七下P35思考交流改编】如图，∠EDC＝∠CDF＝90°，
∠1＝∠2.
(1)图中哪些角互为补角，哪些角互为余角？
解：(1)互为补角的为∠1和∠ADF，∠2和∠ADF，∠EDC和
∠CDF，∠2和∠EDB，∠1和∠EDB. 互为余角的为∠1和∠3，∠1和
∠4，∠2和∠3，∠2和∠4.
(2)∠3与∠4有什么关系？为什么？
(2)∠3＝∠4.
理由如下：因为∠EDC＝∠CDF＝90°，
所以∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.
因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4(等角的余角相等)．
(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？
(3)∠ADF＝∠BDE. 理由如下：
因为∠1＝∠2，∠1＋∠ADF＝180°，∠2＋∠BDE＝180°，
所以∠ADF＝∠BDE(等角的补角相等)．
9. 如图，点A，O，B在同一条直线上，且∠DOE＝90°，∠1＝
∠2.
(1)图中哪些角互为补角，哪些角互为余角？
解：(1)互为补角的为∠1和∠EOB，∠2和∠EOB，∠AOC和
∠COB，∠AOD和∠4，∠AOD和∠3.
互为余角的为∠2和∠3，∠1和∠4，∠1和∠3，∠2和∠4.
(2)∠3和∠4有什么关系？为什么？
(2)∠3＝∠4.
理由如下：因为∠DOE＝90°，所以∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝
180－∠DOE＝90°.
因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4(等角的余角相等)．
1． 如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝( B )
A． 40° B． 50° C． 55° D． 60°
B
2． 如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOB＝90°，则图中∠1
与∠2的关系是 ．
互余
3． 已知∠A的补角为60°，则∠A＝ ．
120°
4． 如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°.若∠BOD＝30°，
则∠AOC＝ ．
5． 一个角的补角加上10°，等于这个角的余角的3倍，求这个角及
它的余角和补角的度数．
解：设这个角为x°.依题意，得180－x＋10＝3(90－x)，
解得x＝40，即这个角的度数是40°.
所以这个角的余角是90°－40°＝50°，补角是180°－40°＝140°.
120°
6． 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝40°，
∠BOC＝2∠AOC，求∠DOF的度数．
解：因为∠BOC与∠AOC互为补角，
所以∠BOC＋∠AOC＝180°.
因为∠BOC＝2∠AOC，
所以2∠AOC＋∠AOC＝180°.
所以∠AOC＝60°.所以∠BOD＝∠AOC＝60°.
又∠BOF＝∠AOE＝40°，
所以∠DOF＝∠BOD－∠BOF＝60°－40°＝20°.
7． 【易错题】两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是
(2x－10)°和(110－x)°，求x的值．
解：若这两个角不相邻，则这两个角为对顶角．
所以2x－10＝110－x.解得x＝40.
若这两个角相邻，则这两个角互补．
所以(2x－10)＋(110－x)＝180.解得x＝80.
综上，x的值为40或80.(共17张PPT)
第二章 相交线与平行线
第3课 探索直线平行的条件(1)
同位角的概念
1． 如图，∠1和∠2分别位于直线a，b的同一方，直线c的同一侧，
这样位置的角简称为 ．通常为“F”字形．请找出图中其他三
对同位角：
① ；② ；③ ．
同位角
∠3和∠4
∠5和∠6
∠7和∠8
例1 如图，下列四个角中，与∠1构成一对同位角的是( B )
A. ∠2 B． ∠3
C. ∠4 D． ∠5
B
2. 下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是( B )
B
用“同位角”判定平行
如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b，c，转动木条
a.
若∠1≠∠2，则a与b不 ．若∠1＝∠2，则a与b
，记作 ．
平行
平行
a∥b
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条
直线平行．简述为：同位角相等，两直线 ．
几何语言：因为 ，所以a∥b.
平行
∠1＝∠2
例2 如图，∠1＝64°，∠2＝64°，AB与CD平行吗？请说明理
由．
解：AB∥CD. 理由如下：
因为∠1＝64°，∠2＝64°(已知)，
所以∠1＝∠2(等角的定义)．
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
3. 如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，∠1＋∠2＝180°，AB
与CD平行吗？请说明理由．
解：AB∥CD. 理由如下：
因为∠1＋∠2＝180°(已知)，∠2＋∠3＝180°(补角的定义)，
所以∠1＝∠3(同角的补角相等)．
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
平行线的基本事实和推理
4. (1)如图，过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行；
(2)平行于同一条直线的两条直线 ．
几何语言：因为b∥a，c∥a，所以 ．
一
平行
b∥c
例3 【北师七下P43操作思考改编】如图．
(1)经过点C能画出 条直线；
(2)与直线AB平行的直线有 条；
(3)过点C画直线AB的平行线，能画出 条，在图中画出；
(4)过点D画直线AB的平行线，它与(3)中所画的直线 ．(填
“平行”或“不平行”)
解：(3)如图，直线a即为所求．
(4)如图，直线b即为所求．
无数
无数
1
平行
1． 如图，∠1的同位角是( C )
A. ∠1 B． ∠2 C． ∠3 D． ∠4
C
2． 如图，如果∠D＝∠EFC，那么( D )
A. AD∥BC B． EF∥BC
C. AB∥DC D． AD∥EF
D
3． 如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件
中，正确的是( C )
A. ∠2＝90°
B. ∠3＝90°
C. ∠4＝90°
D. ∠5＝90°
C
4． 如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，试说明：AE∥BF.
解：因为AC⊥AE，BD⊥BF，所以∠EAC＝∠FBD＝90°.
又因为∠1＝∠2，所以∠EAC＋∠1＝∠FBD＋∠2.
所以∠EAB＝∠FBQ.
所以AE∥BF.
5． 完成推理，并在括号内填上理由．
解：(1)如图1，因为AB∥CD，EF∥CD，
所以AB EF( )．
(2)如图2，过点F可画EF∥AB(
)．
因为AB∥CD，所以EF CD(
)．
∥
平行于同一条直线的两条直线平行
过直线外一点有且只有一条直线
与这条直线平行
∥
平行于同一条直线的两条直
线平行
6． 【拓展题】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．
(1)试说明：∠1＋∠2＝90°；
解：(1)因为BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
所以∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ADC.
因为∠A＝∠C＝90°，所以∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－
∠C＝180°.
所以2(∠1＋∠2)＝180°.所以∠1＋∠2＝90°.
(2)试说明：BE∥DF.
(2)在△FCD中，因为∠C＝90°，
所以∠DFC＋∠2＝180°－∠C＝90°.
因为∠1＋∠2＝90°，所以∠1＝∠DFC.
所以BE∥DF.(共19张PPT)
第二章 相交线与平行线
第4课 探索直线平行的条件(2)
内错角、同旁内角的概念
图形 名称 定义 举例 形状
内错角 位于直线a，b之间，被截线c错开的两个角 ∠1和 ； ∠2和 “Z”字形
同旁内角 位于直线a，b之间，在截线c同一旁的两个角 ∠1和 ； ∠3和 “U”字形
∠4
∠3
∠2
∠4
例1 如图，下列说法错误的是( C )
A． ∠1与∠3是对顶角
B． ∠3与∠4是内错角
C． ∠2与∠6是同位角
D． ∠3与∠5是同旁内角
C
1. 【北师七下P46随堂练习T1变式】观察图形并填空．
(1)∠1与 是同位角；
(2)∠3与 是内错角；
(3)∠2与 是同旁内角．
∠4
∠1
∠1
用“内错角、同旁内角”判定平行
例2 【探究】利用“同位角相等，两直线平行”得到“内错角相等，两
直线平行”．
如图，由∠2＝∠3，尝试推出：a∥b.
解：因为∠2＝∠3(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，
所以∠1＝∠2(等量代换)．
所以a∥b(同位角相等，两直线平行)．
【结论】两条直线被第三条直线所截，如果内错角 ，那么
这两条直线平行．
简述为：内错角相等，两直线平行．
几何语言：
如图，因为 (已知)，
所以a∥b(内错角相等，两直线平行)．
相等
∠1＝∠2
2. 【探究】利用“同位角(内错角)相等，两直线平行”得到“同旁内角
互补，两直线平行”．
如图，由∠1＋∠2＝180°，尝试推出：a∥b.
解：因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝∠3(同角
的补角相等)．
所以a∥b(同位角相等，两直线平行)．
【结论】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 ，那
么这两条直线平行．
简述为：同旁内角互补，两直线平行．
几何语言：
如图，因为 (已知)，
所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
互补
∠1＋∠2＝180°
例3 如图，填空：
(1)因为∠B＝∠DCG，所以 ∥ ，依据是
；
(2)因为∠D＝∠DCG，所以 ∥ ，依据是
；
AB
DC
同位角相
等，两直线平行
AD
BC
内错角相
等，两直线平行
(3)因为∠D＋∠DFE＝180°，所以 ∥ ，依据
是 ．
AD
EF
同旁内角互补，两直线平行
3. 如图，完成下列推理：
(1)因为∠1＝∠C，所以 ∥ (
)；
(2)因为∠2＝∠BED，所以 ∥ (
)；
ED
AC
同位角相等，两直线
平行
AB
FD
内错角相等，两直
线平行
(3)因为∠A＋∠ ＝180°，所以AF∥DE(
)．
AED
同旁内角互
补，两直线平行
证明平行线的5种方法：(1)同一平面内，不相交的两条直线互
相平行；(2)平行于同一条直线的两条直线平行；(3)同位角相等，两直
线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平
行．
过直线外一点做直线的平行线
例4 已知直线l和l外一点P，过点P作l的平行线．要求：尺规作
图，保留作图痕迹．
解：如图，直线PM即为所求．
4. 如图，点E为∠ABC边BC上一点，过点E作直线MN，使
MN∥AB. (不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，直线MN即为所求．
1． 观察下图并填空：
(1)∠1与∠2是 角；
(2)∠3和∠4是 角；
(3)∠5和∠6是 角．
同位
同旁内
内错
2． 如图，下列能判断AB∥CD的是( B )
A. ∠2＝∠3 B． ∠1＝∠4
C. ∠A＝∠C D． ∠A＋∠ABC＝180°
B
3． 如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，
CE.
(1)尺规作图：过点E作直线MN∥AB；(保留作图痕迹，不写作法)
解：(1)如图，直线MN即为所求．
(2)若∠A＝30°，∠C＝32°，求∠AEC的度数．
(2)因为MN∥AB，AB∥CD，
所以MN∥AB∥CD.
所以∠AEM＝∠A＝30°，∠CEM＝∠C＝32°.
所以∠AEC＝∠AEM＋∠CEM＝62°.(共25张PPT)
第二章 相交线与平行线
第7课 相交线与平行线章末复行
相等
相等
等角
一
垂线段
相等
相等
互补
一、选择题
1． 已知∠A与∠B互补，若∠A＝50°，则∠B的度数是( C )
A. 40° B． 50° C． 130° D． 140°
C
2． 如图，将一副三角板按下列位置摆放，使∠α和∠β互补的摆放
方式是( D )
D
3． 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处
分别施加推力F1，F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB. 这一判断过
程体现的数学依据是( A )
A． 垂线段最短
B． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C． 两点确定一条直线
D． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
A
4． 如图，下列说法错误的是( B )
A． ∠2和∠B是同旁内角
B． ∠A和∠3是内错角
C． ∠1和∠3是内错角
D． ∠C和∠3是同位角
B
5． 一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1
＝20°，则∠2＝( B )
A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°
B
6． 如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：①∠1＝
∠3；②∠2＋∠5＝180°；③∠4＝∠B；④∠D＋∠BCD＝180°.其
中能判断AD∥BC的是( B )
A． ①② B． ①④
C． ①③ D． ②④
B
二、填空题
7． 如图，用吸管吸易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐的上、下底
面所形成的角分别是∠1和∠2，若∠1＝110°，则∠2＝ °.
70
8． 如图，运动会上，小明以直线AB为起跳线，两脚落在点P处，
甲、乙、丙三名同学测得小明的跳远成绩分别为PA＝2.5米，PB＝2.1
米，PC＝2.3米，则小明的真实成绩为 米．
2.1
9． 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若
∠AOC＝42°，则∠AOM＝ .
159°
10． 如图，①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F. 从三个条
件中选出两个作为已知条件，剩余一个作为结论，其中结论成立的
有 个．
3
三、解答题
11． 如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3.BE与DF平行
吗？为什么？
解：BE∥DF.
理由如下：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝ °，
即∠3＋∠4＝ °.
又因为∠1＋∠2＝90°，且∠2＝∠3，
所以 ＝ ．理由是： ．
所以BE∥DF. 理由是： ．
90
90
∠1
∠4
等角的余角相等
同位角相等，两直线平行
12． 如图，直线AB与CD相交于点O，点P为直线AB上一点(不
与点O重合)．
(1)用直尺和圆规过点P作直线EF∥CD，使∠APF成为∠POD的
同位角；(不写作法，保留作图痕迹)
解：(1)如图，EF即为所求．
(2)当∠COP＋∠BOD＝258°时，求∠APF的度数．
(2)因为∠COP＋∠BOD＝258°，∠COP＝∠BOD，
所以∠COP＝∠BOD＝129°.
所以∠AOD＝51°.
因为EF∥CD，
所以∠APF＝∠AOD＝51°.
13. 如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.
(1)试说明：EA平分∠BEF；
解：(1)因为AE⊥CE，所以∠AEC＝90°.
所以∠2＋∠3＝90°.
所以∠1＋∠4＝180°－90°＝90°.
又因为EC平分∠DEF，所以∠3＝∠4.
所以∠1＝∠2，即EA平分∠BEF.
(2)若∠1＝∠A，∠4＝∠C，试说明：AB∥CD.
(2)由(1)，得∠1＝∠2，∠3＝∠4.
因为∠1＝∠A，∠4＝∠C，
所以∠2＝∠A，∠3＝∠C.
所以AB∥FE，FE∥CD.
所以AB∥CD.
14． 如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东
80°方向．
(1)求∠ABC的度数；
解：(1)如图，由题意，得∠FAB＝45°，∠EBC＝80°.
因为AF∥EB，所以∠ABE＝∠FAB＝45°.
因为∠EBC＝80°，所以∠ABC＝∠EBC－∠ABE＝35°.
(2)要使CD∥AB，D处在C处的什么方向？
(2)D处在C处的南偏西45°方向．理由如下：
因为CG∥EB，所以∠GCB＝∠EBC＝80°.
因为CD∥AB，∠ABC＝35°，
所以∠BCD＝∠ABC＝35°.
所以∠GCD＝∠GCB－∠BCD＝80°－35°＝45°.
所以D处应在C处的南偏西45°方向．
15． 已知AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，
∠PCD的关系．
(1)请说明图1，图2中三个角的关系，并任选一个说明理由；
解：(1)图1中：∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°.
图2中：∠PAB＋∠PCD＝∠APC.
图1中的关系，理由如下：
如答图1，过点P作PE∥AB.
所以∠PAB＋∠APE＝180°.
因为AB∥CD，所以CD∥PE.
所以∠PCD＋∠CPE＝180°.
所以∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝∠APE＋∠CPE＋∠PAB＋
∠PCD＝360°.
(如答图2，过点P作AB的平行线，利用平行线的性质进行推理即可，证法略)
(2)猜想图3，图4中三个角的关系，不必说明理由．
(2)图3中：∠PCD＝∠PAB＋∠APC.
图4中：∠PAB＝∠PCD＋∠APC.(共17张PPT)
第二章 相交线与平行线
第6课 平行线的性质(2)
运用平行线的性质与判定进行计算或推理
例1 如图，∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．
解：因为∠1＝∠2，所以AB∥CD.
所以∠3＋∠4＝180°.
因为∠3＝75°，所以∠4＝180°－∠3＝105°.
1. 如图，点D是AB上一点，点E是AC上一点，∠ADE＝60°，
∠B＝60°，∠C＝40°.
(1)试说明：DE∥BC；
解：(1)因为∠ADE＝60°，∠B＝60°，
所以∠ADE＝∠B. 所以DE∥BC.
(2)求∠DEC的度数．
(2)因为DE∥BC，所以∠DEC＋∠C＝180°.
因为∠C＝40°，所以∠DEC＝180°－∠C＝140°.
例2 如图，AD∥EF，∠BAC＋∠AGD＝180°，试探究∠1和∠2
之间的数量关系，并说明理由．
解：∠1＝∠2.
理由如下：因为AD∥EF，
所以∠1＝∠BAD.
因为∠BAC＋∠AGD＝180°，所以AB∥DG.
所以∠2＝∠BAD.
所以∠1＝∠2.
2. 如图，AB∥CD，AC和BD相交于点O，点E是CD上一点，点F
是OD上一点，∠1＝∠A.
(1)试说明：FE∥OC；
解：(1)因为AB∥CD，所以∠A＝∠C.
因为∠1＝∠A，所以∠1＝∠C.
所以FE∥OC.
(2)若∠BFE＝110°，∠A＝60°，求∠B的度数．
(2)因为FE∥OC，所以∠BFE＋∠DOC＝180°.
因为∠BFE＝110°，
所以∠DOC＝180°－∠BFE＝70°.
所以∠AOB＝∠DOC＝70°.
所以∠B＝180°－∠A－∠AOB＝50°.
运用平行线的性质与判定解决实际问题
例3 如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵
向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是( B )
A. 50° B． 60° C． 70° D． 80°
B
3． 如图，在A，B两地挖一条笔直的水渠，从A地测得水渠的走向
是北偏西45°，A，B两地同时开工，B地所挖水渠走向应为南偏
东 .
45°
平行线的性质与判定的关系：平行线的性质与判定中的条件和
结论恰好相反．由“角的关系”确定“线的关系”即为平行线的判定，由
“线的关系”确定“角的关系”即为平行线的性质．
1． 如图，这是某次考古发掘出的一块四边形残缺玉片，工作人员
从玉片上已经量得∠A＝82°.已知∠B＋∠C＝180°，则此玉片残缺
角∠D的度数为( C )
A. 60° B． 82° C． 98° D． 120°
C
2． 历史文化一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝
102°，则∠2的度数为 .
78°
3． 如图，下列结论不正确的是( B )
A. 若∠2＝∠C，则AE∥CD
B. 若AD∥BC，则∠1＝∠B
C. 若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180°
D. 若∠1＝∠2，则AD∥BC
B
4． (2025·达州)如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其
折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F. 若∠1＋∠2＝35°，则
∠AFB的度数为( A )
A. 35° B． 55° C． 70° D． 145°
A
5． 如图，直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠B＋∠1＝
180°，∠2＝∠3.试说明：∠B＋∠F＝180°.
解：因为∠B＋∠1＝180°，所以AB∥CD.
因为∠2＝∠3，所以CD∥EF.
所以AB∥EF.
所以∠B＋∠F＝180°.
6． 如图，CD∥AB，∠DCB＝75°，∠CBF＝25°，∠EFB＝
130°，则EF与AB有怎样的位置关系？请说明理由．
解：EF∥AB.
理由如下：因为CD∥AB，∠DCB＝75°，
所以∠CBA＝∠DCB＝75°.
因为∠CBF＝25°，
所以∠FBA＝∠CBA－∠CBF＝75°－25°＝50°.
因为∠EFB＝130°，
所以∠FBA＋∠EFB＝180°.
所以EF∥AB.
7． 如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，
EF与上拉杆CF形成的 ∠F＝145°，主柱AD垂直于地面，通过调整
CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝25°时，点
H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．
解：如图，过点D作DI∥EF.
因为∠F＝145°，所以∠FDI＝35°.
所以∠ADB＝180°－90－35°－25°＝30°.
所以∠ABH＝90°－30°＝60°.
因为GH∥AB，所以∠H＝180°－60°＝120°.
