(共16张PPT)
第六章 变量之间的关系
第2课 用表格表示变量之间的关系
用表格表示变量之间的关系
例1 【北师七下P151习题T4变式】父亲告诉小明“距离地面越高，温度
越低”，并给小明出示了相关的数据，如表所示：
距离地面的高度h/km 0 1 2 3 4 5
温度t/℃ 20 14 8 2 －4 －10
根据上表，父亲还给小明提出了下面几个问题，请你和小明一起
回答：
(1)表中反映了变量 和 关系之间的关
系，自变量是 ，因变量是 ．
(2)随着距离地面的高度h的增加，温度t .(填“升高”或“降低”)
(3)距离地面5 km的高空温度是 ℃.
温度t
距离地面的高度h
距离地面的高度h
温度t
降低
－10
距离地面的高度h/km 0 1 2 3 4 5
温度t/℃ 20 14 8 2 －4 －10
(4)你能预测距离地面6 km的高空温度是多少吗？
解：由题中表格，可知距离地面的高度每增加1 km，温度降低6 ℃.
所以－10－6＝－16(℃)．
答：距离地面6 km的高空温度是－16 ℃.
距离地面的高度h/km 0 1 2 3 4 5
温度t/℃ 20 14 8 2 －4 －10
1. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，
下表是测得的弹簧长度y(单位：cm)与所挂物体重量x(单位：kg)的几组
对应值．
所挂物体重量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28
(1)上表反映了变量 和 之间的关系，
其中 是自变量， 是因变量．
所挂物体重量
弹簧长度
所挂物体重量
弹簧长度
(2)当所挂物体重量为3 kg时，弹簧的长度为 cm；不挂物体
时，弹簧的长度为 cm.
(3)若所挂物体重量为6 kg时(在弹簧的允许范围内)，你能说出此时弹
簧的长度吗？
解：由表可知，不挂物体时，弹簧的长度为18 cm，所挂物体的重量
每增加1 kg，弹簧的长度增加2 cm.
所以所挂物体重量为6 kg(在弹簧的允许范围内)时，弹簧的长度为18
＋2×6＝30(cm)．
24
18
例2 某兴趣小组上网查询，获取声音在空气中的传播速度与空气温度
关系的如下数据：
温度/℃ －20 －10 0 10 20 30
声速/(m/s) 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是( C )
C
A． 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
B． 在一定范围内，温度越高，声速越快
C． 当空气温度为20 ℃时，声音10 s可以传播342 m
D． 温度每升高10 ℃，声速增加6 m/s
2. 一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时
间，他们得到如下数据：
支撑物高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80
小车下滑时间/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50
下列说法错误的是( C )
C
A． 支撑物高度是自变量，小车下滑时间是因变量
B． 支撑物高度为50 cm时，小车下滑时间是1.89 s
C． 支撑物高度每增加10 cm，小车下滑时间减少1.23 s
D． 随着支撑物高度逐渐升高，小车下滑的时间逐渐变短
1． 下表是丽丽往姥姥家打长途电话的几次收费记录．
通话时间/分 1 2 3 4 5 6 7
电话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
(1)上表反映了 与 之间的变化关系，其
中 是自变量， 是因变量；
(2)如果用x表示通话时间，y表示电话费，那么随着x的增加，y的
变化趋势是 ；(填“增加”或“减少”)
(3)丽丽打了5分钟电话，需付 元电话费．
电话费
通话时间
通话时间
电话费
增加
3.0
2． 为预防传染病，某校定期对教室进行消毒水消毒，测出药物喷洒后每立方米空气中的含药量y(单位：mg)和时间x(单位：min)的数据如下表：
时间x/min 2 4 6 8
含药量y/mg 16 14 12 10
则下列叙述错误的是( D )
D
A． 时间为14 min时，室内每立方米空气中的含药量为4 mg
B． 在一定范围内，时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小
C． 挥发时间每增加2 min，室内每立方米空气中的含药量减少2 mg
D． 室内每立方米空气中的含药量是自变量
3． 已知小明和同学们去郊外爬山的数据如下：
爬坡长度x/m 40 80 120 160 200 240
爬坡时间t/min 2 5 9 14 20 30
(1)当爬到120 m时，所用时间是多少？
解：(1)当爬到120 m时，所用时间是9 min.
(2)爬坡速度随时间是怎样变化的？
(2)由表可知，40÷2＝20(m/min)，80÷5＝16(m/min)，120÷9＝
(m/min)．
以此类推，爬坡速度随时间的增加而减小．
爬坡长度x/m 40 80 120 160 200 240
爬坡时间t/min 2 5 9 14 20 30
4． 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求
的易拉罐的底面半径与用铝量有如下关系．
底面半径x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是
因变量？
解：(1)易拉罐底面半径与用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变
量，用铝量为因变量．
(2)当易拉罐底面半径为2.4 cm时，易拉罐的用铝量是多少？
(2)当底面半径为2.4 cm时，易拉罐的用铝量为5.6 c ) .
底面半径x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
(3)根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适
宜？说说你的理由．
(3)易拉罐底面半径为2.8 cm时比较合适．
理由：此时用铝量较少，成本低．
底面半径x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
(4)粗略说一说易拉罐底面半径对所需用铝量的影响．
(4)当易拉罐底面半径在1.6～2.8 cm之间变化时，用铝量随半径的增
大而减小；当易拉罐底面半径在2.8～4.0 cm之间变化时，用铝量随半径
的增大而增大．
底面半径x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5(共15张PPT)
第六章 变量之间的关系
第5课 用图象表示变量之间的关系(2)——折线型图象
用折线型图象表示变量之间的关系
例1 李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y(单位：km)与行驶的时间t(单位：h)之间关系的大致图象是( B )
B
1. 下列各情境分别可以用哪幅图来近似刻画？
(1)匀速行驶的火车；(速度与时间的关系)
(2)小明匀速从A地走到B地后逗留一段时间，然后按原速返回．(小
明距A地的距离与时间的关系)
(1)是 的图象；
(2)是 的图象．(填“①”或“②”)
②
①
从图象中获取信息
例2 如图，反映的是王强从家去书店看了一会儿书，再回家的过
程．图中x(单位：分)表示时间，y(单位：米)表示王强离家的距离．请
解答下列问题：
(1)点A表示10分钟时王强离家1 000米，点B表示
，点C表示 ；
30分时王强离家
1 000米
50分时王强回到家
(2)OA表示王强从家去书店的过程，AB表示 ，
BC表示 ；
王强在书店停留
王强从书店回家的过程
(3)书店离王强家 米，王强在书店看书花了 分，回家
花了 分；
(4)王强从家去书店的速度为 米/分，王强从书店回家的速度
为 米/分．
1 000
20
20
100
50
2. 汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽
车的速度随时间变化而变化的情况．
(1)汽车从出发到最后停止共经过了 分钟．它的最高时速
是 ．
(2)汽车在 时间段保持匀速行驶，时速分别
是 和 ．
24
90千米/时
2至6分和18至22分
30千米/时
90千米/时
(3)出发后8分到10分之间可能发生什么样的情况？
解：(3)遇到红灯．(答案不唯一)
(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况．
(4)汽车开始加速行驶2分，从2分到6分以30千米/时的速度匀速行驶，
从6分到8分减速行驶，从8分到10分停止，从10分到18分又加速行驶，
从18分到22分以90千米/时的速度匀速行驶，从22分到24分减速行驶至
停止．(答案不唯一)
1． 小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的
刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是 ．(填序号)
④
2． 如图是某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流
量注水，那么下列哪个图象能大致表示水的最大深度h与时间t之间的
关系( C )
C
3． 【易错题】如图表示小敏从家去超市购物再回家，其中y(单位：米)表示离家距离，x(单位：分)表示时间．下列说法正确的是( D )
A. OA表示小敏上坡
B. AB表示小敏走平路
C. BC表示小敏下坡
D. 小敏购物用了15分
D
4． (2025·广东)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率
运行，其电池剩余的能量y(单位：W·h)与骑行里程x(单位：km)之间的
关系如图．当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警．根据
图象，下列结论正确的是( C )
A. 电池能量最多可充400 W·h
B. 摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h
C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D. 摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警
C
5． 如图是小明散步过程中所走的路程s(单位：m)与时间t(单位：
min)之间的大致图象，下列说法：①小明散步过程中停留了10 min；②
小明散步过程中步行的路程是1 000 m；③小明匀速步行所用的时间是
20 min；④小明匀速步行的速度是50 m/min.其中正确的有( C )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
C
6． 下图分别表示甲步行与乙骑自行车(在同一路上)行走的路程s
甲，s乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：
(1)乙出发时，乙与甲相距 km；
(2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间
为 h；
(3)乙从出发起，经过 h与甲相遇；
10
1
3
(4)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？
解：乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．
理由如下：乙骑自行车出故障前的速度为 ＝15(千米/时)，
修车后的速度为 ＝10(千米/时)．
因为15＞10，
所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．(共19张PPT)
第六章 变量之间的关系
第1课 现实中的变量
变量与常量
1. 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为 ，数值始终
不变的量称为 ．
变量
常量
例1 如图是加油站的加油显示板，发现金额会随着油量的变化而变
化，当加油1升时，金额为 元，当加油2升时，金额
为 元．这里共有 个量，常量是 ，变量是
．
8.14
16.28
3
单价
油量，金额
2. 张三上学时以每小时5 km的速度行走，他所走的路程s(单位：km)
与时间t(单位：h)之间可用公式 s＝5 t来表示，则下列说法正确的是
( C )
A. s，t和5都是变量
B. s是常量，数5和t是变量
C. 5是常量，s和t是变量
D. t是常量，5和s是变量
C
自变量与因变量
3. 如果有两个变量x与y，其中y随x的变化而变化，那么我们就称其
中 为自变量， 为因变量．
x
y
例2 【北师七下P151习题T2改编】婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重
分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1
周岁时的2倍、3倍．
(1)这个情境中有哪些量？哪个是自变量，哪个是因变量？
解：(1)体重和年龄．年龄是自变量，体重是因变量．
(2)某婴儿在出生时的体重是3.5千克，请把他在发育过程中的体重情
况填入下表：
年龄 刚出生 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁
体重/千克
3.5
7.0
10.5
14.0
21.0
31.5
(3)根据表中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随
着年龄的增长而变化的．
(3)儿童从出生到10周岁之间体重随着年龄的增长而增加．
4. 如图，是骆驼的体温随时间变化而变化的关系图，据图回答下列问
题(图中25时表示次日凌晨1时)：
(1)这个情境中有哪些量？哪个是自变量，哪个是因变量？
解：(1)时间和骆驼的体温．时间是自变量，骆驼的体温是因变量．
(2)你能描述骆驼的体温随时间变化而变化的情况吗？
解：(2)由图，可知在4时到16时，骆
驼体温上升；在0时到4时，16时到24
时，骆驼体温下降．
(3)你还有哪些发现？
解：(3)骆驼的最高体温约为39.5 ℃，
最低体温约为34.8 ℃.(答案不唯一)
1． 跨学科小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数
据显示牌，则其中的变量是( B )
A． 单价和金额
B． 重量和金额
C． 重量和单价
D． 重量，单价和金额
B
2． 人的身高h随时间t的变化而变化，则下列说法正确的是( B )
A． h，t都是常量
B． t是自变量，h是因变量
C． h，t都是自变量
D． h是自变量，t是因变量
B
3． 如果汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是( C )
①行驶速度；②行驶时间；
③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
C
4． 声音在空气中传播的速度v(单位：m/s)与温度t(单位：℃)之间
有关系式v＝331＋0.6t.其中的常量为 ，自变量为 ，因变量为 ．
331，0.6
温度t
速度v
5． 把两根木条AB和AC的一端按如图所示的方式固定在一起，木
条AC转动至AC′.在转动过程中，下面的量是常量的为( A )
A． AC的长度 B． BC的长度
C． △ABC的面积 D． ∠BAC的度数
A
6． 如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题：
(1)自变量是 ，因变量是 ；
(2)这位病人的最高体温是 ℃，最低体温是 ℃；
(3)他在第一天12时的体温是 ℃.
时间
体温
39.8
36.8
38
7． 自行车的链条是由每节链条连接在一起的，组合成的链条总长
度y(单位：cm)随着链条的节数x(单位：节)的变化而变化，当链条的节
数大于1节时，y与x之间的关系式可以用如图的关系式来表示．
(1)在这个关系式中，因变量、常量分别是什么？
解：(1)总长度y是因变量，1.7和0.8是常量．
(2)当x的值分别为5，8，20时，计算相应的y值．
(2)当x＝5时，y＝1.7×5＋0.8＝9.3(cm)．
当x＝8时，y＝1.7×8＋0.8＝14.4(cm)．
当x＝20时，y＝1.7×20＋0.8＝34.8(cm)．(共10张PPT)
第六章 变量之间的关系
综合与实践 制作万花筒
例 【问题背景】1816年，苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特爵士发明了万花筒．布鲁斯特主要从事光学和光谱研究，他在童年时代就十分喜欢光学实验，一生中的大部分时间都用在了他所喜爱的光学上．一次，他在用多面镜子研究光的性质时，看到了几面相对放置的镜子里经过多次反射呈现出来的景象，便放了一些花纸在镜子组成的空腔里，结果，他看到了一些对称的图案，而且每变动一下花纸的位置，图案就会变换一次．为了能使图案不断地变换，他将三面成角度的镜子放在一个圆筒里，再将花纸放在筒端的两层玻璃间．随着三角镜中镜子的角度变化，影像的数目也随之变化；影像重叠后形成各种图案，不停地转动万花筒就可以看到不断变换的图案．就这样他制作出了只要轻轻转动就能看到不同图案的万花筒．
为了探究万花筒中图案的成像规律和成像个数，数学组为同学们提
供了一种思路：平面镜成像就是一种轴对称现象，即像与物体关于镜面
成轴对称．同学们以此为依据进行探究实践．
【观察探究】(1)图1为当两镜面夹角成90°时正方形的成像情况，
若将正方形看成点A，则其平面图如图2所示，同学们画出了此时物体
A的成像情况，通过观察发现，在两镜面夹角为90°时，共有 个
像；(物体始终在两镜面夹角的平分线上，下同)
3
(2)图3为当两镜面夹角为60°时的物体成像情况，此时物体A共
有 个像；
5
【结论归纳】(3)通过实践，同学们发现：随着两镜面夹角的减小，
物体成像的个数逐渐 (填“增加”或“减少”)，且当镜面夹角n是
360°的因数时，像的个数为 (用含n的代数式表示)；
增加
－1
【拓展迁移】(4)当两镜面夹角为45°时，你能算出此时物体在镜中
共成多少个像吗？若镜中共有11个像，此时两镜面夹角为多少度？
解：当镜面夹角为45°时，像的个数为 －1＝7(个)．
当有11个像时，镜面夹角为 ＝30°.
练习 综合与实践
【问题背景】小明在阅读教材中“制作万花筒”的课题后，准备制作
一个万花筒．在制作万花筒时，小明发现了一个很奇怪的现象：如果按
不同的角度去组装平面镜，那么万花筒中看到的像有时就会不完整，而
且看到的像的个数也会不一样．
【试验探究】小明为解决上述问题，先将两面镜子的背面用胶带粘
贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，把一个正方形图片放在“镜子
门”中间(如图1)，转动“镜子门”，改变其张角的大小，观察“镜子门”的
成像情况．
【试验发现】当“镜子门”的张角为90°时，正方形图片和它在镜子
中的像共同组成了如图2所示的图形，此时镜子中有3个完整的像；当
“镜子门”的张角为60°时，正方形图片和它在镜子中的像共同组成了如
图3所示的图形，此时镜子中有5个完整的像；当“镜子门”的张角为45°
时，正方形图片和它在镜子中的像共同组成了如图4所示的图形，此时
镜子中有7个完整的像．
【试验推理】请你根据小明的探究完成下面问题：
(1)把一个正方形图片放在“镜子门”中间，当“镜子门”的张角为72°
时，镜子中可以看到 个完整的像；
(2)把一个正方形图片放在“镜子门”中间，当镜子中有2个完整的像
时，“镜子门”的张角为 °.
4
120(共13张PPT)
第六章 变量之间的关系
综合与实践 设计自己的运算程序
例 【知识引入】斯蒂芬·威廉·霍金，英国剑桥大学应用数学与理论
物理学系物理学家，1979—2009年任卢卡斯数学教授，牛顿曾任此教
席，是人类历史上最崇高的教授职位之一．霍金是爱因斯坦之后最杰出
的物理学家之一，被誉为“宇宙之王”．他对黑洞这一宇宙现象有很多的
重要的见解，大家知道什么是黑洞吗？
【知识延伸】简单地说，宇宙中的黑洞就是这样一种天体：它的引
力场是如此之强，就连光也不能逃脱出来，是一种可以将任何物质牢牢
吸住，不使它们逃脱．其实数学中也有一种黑洞叫作“数字黑洞”．也许
你会认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也
蕴藏着许多不为人知的奥秘，你相信吗？我们共同来探究吧！
【活动探究】活动1：任意写下一个四位数(四位数字不相同)，重新
排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的
数减去最小的数，得到差．重复这个过程……根据描述的运算程序用流
程图表达如下：
活动2：任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一
个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，
十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字，在上面每次相乘的
过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于
9，则继续相加直到得出一个数．重复这个过程．
【深入思考】问题1：请你任意写下一个四位数(四位数字不相同)，
重复活动1中的过程，你得到了什么结论？
解：例如选1，2，3，0，就用3 210－1 023＝2 187，8 721－1 278＝
7 443，7 443－3 447＝3 996，9 963－3 699＝6 264，6 642－2 466＝
4 176，7 641－1 467＝6 174.
例如选7，6，5，1，就用7 651－1 567＝6 084，8 640－4 068＝
4 572，7 542－2 457＝5 085，8 550－5 058＝3 492，9 432－2 349＝
7 083，8 730－3 078＝5 652，6 552－2 556＝3 996，9 963－3 699＝
6 264，6 642－2 466＝4 176，7 641－1 467＝6 174.
结论：任意一个四位数(四位数字不相同)，通过活动1中的规则，最
后必得6 174.
问题2：请你任意写下几个三位数，重复活动2中的过程，能得出什
么结论．
解：例如，以832开始，运用活动2中的规则依次可以得到：766，
669，999，999…
以123开始，运用活动2中的规则依次可以得到：326，963，999，
999…
结论：任意一个三位数，通过活动2中的规则，最后都能得到999.
【应用】小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课
后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为－2，则最后输
出的结果y是 ．
8
练习 综合与实践
一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否
则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过
程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束
操作．
(1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部
分，请把这个流程图补充完整．
① ，② ，
③ ．(在每空中填
入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整)
是 3 的倍数
把它除以 3 的商作为下一个数
把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数
(2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数
是多少？请你写出过程．
解：(2)第1次：123是3的倍数，123÷3＝41.
第2次：41不是3的倍数，(4＋1)2＝25.
第 3 次：25不是3的倍数，(2＋5)2＝49.
所以操作第3次后得到的数是49.
(3)继续第(2)问的运算，操作多少次能够结束循环？最后输出的结
果是多少？
(3)第4次：49不是3的倍数，(4＋9)2＝169.
第5次：169不是3的倍数，(1＋6＋9)2＝256.
第6次：256不是3的倍数，(2＋5＋6)2＝169.
所以169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169.
(4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ．
1
169(共18张PPT)
第六章 变量之间的关系
第3课 用关系式表示变量之间的关系
用关系式表示变量之间的关系
例1 某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥
有绿地y平方米，则y与x之间的关系式为( C )
A. y＝x＋50 B． y＝50x
C. y＝ D． y＝
C
1. 一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生
票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x之间的关系式为( D )
A. y＝10x B． y＝30x
C. y＝30x＋10 D． y＝10x＋30
D
根据关系式求值
例2 在关系式y＝2x＋5中，当自变量x＝6时，因变量y的值为
( C )
A. 7 B． 14 C． 17 D． 21
C
2. 若一个长方体的底面积是20 cm2，高为h cm，则体积V与h之间的
关系式为 ；当h＝5时，V＝ ．
V＝20h
100
例3 如图，△ABC的底边AB＝6 cm，当AB边上的高由小到大变化
时，△ABC的面积也随之发生了变化．
(1)设AB边上的高为h(单位：cm)，写出△ABC的面积S与高h之间
的关系式；
解：(1)S＝ ×6h＝3h，即S与h之间的关系式是 S＝3h.
(2)用表格表示当h由2 cm变化到6 cm时(每次增加1 cm)，S的相应
值，并说明△ABC的面积是如何变化的．
(2)列表格如下：
h/cm 2 3 4 5 6
S/cm2 6 9 12 15 18
由表可看出，当h每增加1 cm时，△ABC的面积S增加3 cm2.
h/cm
2
3
4
5
6
S/cm2
6
9
12
15
18
3. 如图，圆柱的高是3 cm，当圆柱的底面半径r(单位：cm)由小到大
变化时，圆柱的体积V(单位：cm3)也随之发生了变化．
(1)在这个变化中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)写出体积V与半径r之间的关系式；
解：根据圆柱的体积计算公式，得V＝3πr2.
r
V
(3)当底面半径由1 cm变化到10 cm时，通过计算说明圆柱的体积增加
了多少．
(3)当r＝1时，V＝3π；当r＝10时，V＝300π.
所以圆柱的体积增加了300π－3π＝297π(cm3)．
1． 小红到文具店买彩笔，每盒彩笔是12支，售价18元，则买彩笔
所需的钱数y(单位：元)与购买彩笔的支数x(单位：支)之间的关系式为
( B )
A． y＝ x B． y＝ x
C． y＝12x D． y＝18x
B
2． 某汽车油箱内有汽油40 L，若这辆汽车每行驶100 km的耗油量
为10 L，则油箱中剩余油量y(单位：L)与汽车行驶的路程x(单位：km)
之间的关系式为 ．
y＝40－0.1x
3． 在关系式y＝3x＋4中，当自变量x＝7时，因变量y的值是
( C )
A． 1 B． 7 C． 25 D． 31
C
4． 一种树苗栽种时的高度为80 cm，为研究它们的生长情况，测
得数据如下表：
栽后年数n/年 1 2 3 4 …
高度h/cm 105 130 155 180 …
按照表中呈现的规律，树苗的高度h与栽后年数n的关系式为
，栽后 年，树苗能长到280 cm.
h＝25n＋80
8
5． 新考法 如图所示是关于变量x，y的计算程序，若开始输入的
x值为4，则最后输出因变量y的值为 ．
20
6． 某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果不超过20吨，按每吨3元收费；如果超过20吨，未超过的部分按每吨3元收费，超过的部分按每吨4.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
(1)若每月用水量不超过20吨，则y与x之间的关系式为 ；
(2)若该户四月份平均水费为每吨3.7元，则该户四月份的用水量为 吨．
y＝3x
37.5
7． 如图，在一个半径为10 cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去的小圆的半径由小变大时，剩下的圆环面积(图中阴影部分面积)也随之发生变化．若设挖去的小圆半径为x(单位：cm)，则圆环的面积y(单位：cm2)与x(单位：cm)之间的关系式为 ；当挖去小圆的半径由1 cm变化到8 cm时，y由 cm2变化到 cm2.(结果保留π)
y＝－πx2＋100π
99π
36π
8． 【易错题】将长为20 cm、宽为8 cm的长方形白纸若干张，按
如图所示的方式黏合起来，黏合部分的宽为3 cm.
(1)根据题意，将下面的表格补充完整．
白纸张数x 1 2 3 4 5 …
纸条总长度/cm 20 54 71 …
(2)y与x之间的关系式： ．
37
88
y＝17x＋3
(3)要使黏合后的长方形面积为1 656 cm2，则需用多少张这样的
白纸？
解：由题意，得8(17x＋3)＝1 656.
解得x＝12.
答：需用12张这样的白纸．(共16张PPT)
第六章 变量之间的关系
第6课 变量之间的关系章末复习
不变
表格法
图象法
自变量
一、选择题
1． 某校七年级(4)班用150元购买了某品牌乒乓球y个，该品牌乒乓球的单价是x元，其函数关系式为y＝ ，在这个问题中，变量是( C )
A． 150，x B． 150，y
C． x，y D． ，y
C
2． 一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一
座城市的梦，唤醒一个国家的清晨．当升旗手匀速升旗时，旗子的高度
h(单位：米)与时间t(单位：分)这两个变量之间的关系用图象可以表示
为( B )
B
3． 水库的水位高度y(单位：米)与时间x(单位：时)满足关系式：
y＝0.3x＋6(0≤x≤5)，则下列说法错误的是( C )
A． 时间是自变量，水位高度是因变量
B． y是变量，它的值与x有关
C． 当y＝7.2时，x＝4.5
D． 当x＝1时，y＝6.3
C
4． 社会在发展，时代在前进．快递上门送件，取件已成为人们购
物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行
驶路程(单位：m)与时间(单位：min)的图象，观察图象得到下列信息，
其中正确的是( D )
A． 小王实际骑行时间为6 min
B． 3 min内，小王派送快递的平均速度是375 m/min
C. 3～6 min小王骑行的平均速度比0～2 min慢
D． 点P表示小王出发6 min，共骑行2 000 m
D
二、填空题
5． 若x个直三棱柱的面的个数为y个，则y与x之间的表达式
为 ．
6． 声音在空气中传播的速度(声速)y(单位：m/s)与温度x(单位：
℃)之间的关系如下：
y＝5x
温度/℃ 0 5 10 15 20
声速/(m/s) 331 334 337 340 343
在温度为20 ℃的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.1 s后，听
到了枪声，则他距离发令枪 m.
34.3
7． 园林队在公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积
S与时间t的关系图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积
为 平方米．
50
8． 如图，当x＝6时，相应的y值是 ．
14
三、解答题
9． 受暴雨袭击，某河当天的水位记录如表：
时间/时 0 4 8 12 16 20 24
水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？自变量和因变量各是什么？
解：(1)反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量
是水位．
(2)在12时，河的水位是多少米？
解：(2)在12时，河的水位是4米．
(3)在什么时间，河的水位是6米？
解：(3)在20时，河的水位是6米．
(4)哪一时段水位上升最快？
解：(4)在相等的时间间隔内，20～24时水位上升最快．
时间/时 0 4 8 12 16 20 24
水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8
10． 某药业集团研究开发了一种新药，在实验药效时发现，如果
儿童按规定剂量服用，那么2 h的时候血液中含药量最高，接着逐步衰
减，每毫升血液中含药量y(单位：微克)随时间 x(单位：h)的变化如图
所示，当儿童按规定剂量服药后，
(1)何时血液中含药量最高，是多少微克？
解：(1)由图，可知服药后2 h血液中含药量最高，是4微克．
(2)点A表示什么意义？
解：(2)点A表示服药10 h后，血液中含药量为0微克．
(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那
么这个有效期是多长？
解：(3)由图知，这个有效期为6－1＝5(h)．
11． 小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小
明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点
200米．他们距起点的距离s(单位：米)与小明出发的时间t(单位：秒)之
间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
(1)小明出发之后，前70秒的速度是 米/秒；妈妈的速度
是 米/秒．
(2)a表示的意义是 ．
6
2
小明和妈妈相遇时距起点的距离
(3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米．
解：小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米．(共5张PPT)
第六章 变量之间的关系
电热水器的工作过程
【背景资料】某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，
从初始温度20 ℃开始加热，当水温达到设定温度60 ℃时，加热停止；
此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30 ℃时，再次自
动加热水箱中的水至60 ℃，加热停止，之后继续降温，…，按照以上
方式不断循环．
【问题驱动】小宇根据本章学习经验，对该型号电热水器水箱中水的
温度随时间变化的规律进行了探究，其中y(单位：℃)表示水箱中水的
温度，x(单位：min)表示接通电源后的时间．
【收集数据】小宇记录了从初始温度20 ℃第一次加热至设定温度60
℃，之后水温冷却至保温温度30 ℃的过程中，y随x的变化情况如下表
所示：
接通电源后的时间x/min 0 2 4 8 10 12 14 16 18 20 …
水箱中水的温度y/℃ 20 30 40 60 51 45 40 36 33 30 …
【建立模型】(1)请写出加热阶段y与x之间的关系式为
(0≤x≤8)；
(2)根据上述表格，小宇画出了0≤x≤20时的图象，请根据该电热水器
的工作特点，帮他画出20≤x≤40时的图象；
解：(2)如图，即为所求．
y＝5x＋20
【解决问题】(3)已知适宜人体沐浴的水温约为35～50 ℃，小宇在上
午8点整接通电源，此时水箱中的水温为20 ℃，电热水器开始按上述模
式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的
水温是否适合他沐浴，并说明理由．
(3)不合适．理由如下：从上午8点至上午9点30分，共用时90分钟，
且第一次从加热到下降至保温温度30℃需要20分钟，之后每18分钟循环
一次．
因为90＋2＝20＋18×4，即92分钟对应20分钟的水温，
所以90分钟对应第18分钟的温度33℃.
所以在上午9点30分时，热水器的水温不适合他沐浴．(共16张PPT)
第六章 变量之间的关系
第4课 用图象表示变量之间的关系(1)——曲线型图象
用曲线型图象表示变量之间的关系
1. 在用图象表示变量之间的关系时，通常用 的数轴(称
为横轴)上的点表示自变量，用 的数轴(称为纵轴)上的点表
示因变量．
水平方向
竖直方向
例1 水滴进玻璃容器(滴水速度相同)实验中，水的高度随滴水时间变
化的情况如图所示，下面符合条件的示意图是( D )
D
2． 数学文化 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结
晶，它与白昼时长密切相关，当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当
夏至时，白昼时长最长．根据上图，在下列选项中指出白昼时长低于11
h的节气( D )
A. 惊蛰 B． 小满 C． 立秋 D． 大寒
D
例2 某天的气温随时间变化而变化的情况如图．
(1)上午9时的温度是 ，上午12时的温度是 ．
(2)这一天的最高温度是 ，是 时达到的，最低温度
是 ，是 时达到的．
(3)这一天的温差是 ，过 小时．
27℃
31℃
37℃
15
23℃
3
14℃
12
(4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？
(5)图中的A点表示的是什么？B点呢？
(6)你能预测次日凌晨1时的温度吗？
解：(4)3时到15时温度在上升.0时到3时、
15到24时温度在下降．
(5)A点表示的是21时的温度是31℃.
B点表示的是0时的温度是26℃.
(6)次日凌晨1时的温度大约是24℃.
3. 【北师七下P157随堂练习T1改编】海水受日月的引力而产生潮汐现
象，早晨海水上涨叫潮，黄昏海水上涨叫汐，合称潮汐，潮汐与人类的
生活有着密切的联系．如图是某港口从0时到12时的水深情况．
(1)点A表示2时港口的水深为7米，则点B表示 ；
(2)大约 时港口的水最深，深度约是 米；
(3)大约 时港口的水最浅，深度约是 米；
(4)从 时到 时，港口的水深呈下降趋势；
11时港口的水深为4米
3
8
9
2
3
9
(5)什么时间范围港口的水深呈上升趋势？
解：0时至3时，9时至12时，港口的水深呈上升趋势．
1． 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(单位：m)随飞行时间t(单位：s)的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为( D )
A． 5 m B． 7 m C． 10 m D． 13 m
D
2． 【北师七下P162习题T4改编】人的大脑所能记忆的内容是有限
的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩
斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条
曲线(如图所示)，这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，其中纵轴表示
学习中的记忆保持量，横轴表示时间．图中A点表示的意义是
．
2 h的记
忆保持量约为40%
3． 跨学科人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供．如
图，这是小南早餐后一段时间内血糖浓度变化曲线图．下列描述正确的
是( A )
A． 从9时至10时血糖浓度呈下降状态
B． 10时血糖浓度最高
C． 从11时至12时血糖浓度呈上升状态
D． 这段时间有3个时刻血糖浓度达到(7.0 mmol· )
A
4． 情境创设姐姐帮小丽荡秋千(如图1)，秋千离地面的高度
h(单位：m)与摆动时间t(单位：s)之间的关系如图2所示，结合图象
回答问题．
(1)变量h，t中，自变量是 ，因变量是 ，h最大值和最
小值相差 m；
t
h
1
(2)当t＝5.4 s时，h的值是 m，除此之外，还有 次与之
高度相同；
(3)秋千摆动第一个来回需要 s.
1
7
2.8
5． 【创新题】用一水管向某容器内持续注水，设单位时间内
注入的水量保持不变．在注水过程中，表示容器内水深h与注水时间
t的关系有如图所示的A，B，C，D四个图象，它们分别与E，F，
G，H四种容器中的其中一种相对应，请你把相对应容器的字母填在
下面的横线上．
A→ ； B→ ；
C→ ； D→ ．
G
E
H
F
6． 【拓展题】小明在游乐场坐过山车，某一分钟内过山车高度
h(单位：米)随时间t(单位：秒)变化而变化的情况如图所示．请结合图
象回答：
(1)①当t＝41时，h的值是 ，它的实际意义为
．
②过山车所达到的最大高度是 米．
15
当时间为41
秒时，过山车高度为15米
98
(2)请描述30秒后，高度h(单位：米)随时间t(单位：秒)的变化情
况．
解：30秒到41秒，高度h(米)随时间t(秒)的增大而减小.41秒到53
秒，高度h(米)随时间t(秒)的增大而增大.53秒到60秒，高度h(米)随时
间t(秒)的增大而减小．
