(共19张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第6课 等腰三角形(2)
等腰三角形的判定
(1)观察图1所示的三角形，它们的共同特点是：有两个内
角 ．通过几何直观可猜想这些三角形都是 三角形．
相等
等腰
(2)如图2，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：△ABC是等腰三角
形．
证明：如图2，作∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵∠B＝ ，∠1＝ ，AD＝AD，
∴△ABD≌ ( )．
∴AB＝ ．∴△ABC是等腰三角形．
∠C
∠2
△ACD
AAS
AC
判定：有两个角 的三角形是等腰三角形(简述
为： )．
相等
等角对等边
例1 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°.求证：AB＝
AC.
证明：∵在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－70°＝70°.
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
1. 如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADB＝60°，∠C＝30°.
求证：△ADC是等腰三角形．
证明：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB＝∠C＋∠CAD.
∴∠CAD＝∠ADB－∠C＝60°－30°＝30°.
∴∠CAD＝∠C.
∴AD＝CD.
∴△ADC是等腰三角形．
例2 如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：△EAB是等腰三角形．
证明：∵AD＝BC，BD＝AC，AB＝BA，
∴△ABD≌△BAC(SSS)．∴∠ABD＝∠BAC.
∴AE＝BE.
∴△EAB是等腰三角形．
2. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作
DE∥BC，交AB于点D. 求证：△BDE是等腰三角形．
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE. ∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE.
∴∠ABE＝∠DEB.
∴DE＝DB.
∴△BDE是等腰三角形．
反证法
例3 【北师八下P17例2】用反证法证明：一个三角形中不能有两个
角是直角．
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和
∠B是直角，即∠A＝90°，∠B＝90°.
∴∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，与三角形内角和
定理相矛盾．
∴“∠A和∠B是直角”的假设不成立．
∴一个三角形中不能有两个角是直角．
3. 用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．
已知：在等腰三角形ABC中，∠B，∠C是底角．
求证：∠B，∠C必是锐角．
证明：①假设等腰三角形ABC的底角∠B，∠C都是直角，则∠B
＋∠C＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形内角和定理矛盾．
②假设等腰三角形ABC的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B＋∠C
＞180°.
∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形内角和定理矛盾．
综上所述，①②的假设不成立．
∴∠B，∠C只能为锐角．
∴等腰三角形两底角必为锐角．
1． 在△ABC中，已知∠B＝∠C，则（ B ）
A． AB＝BC B． AB＝AC
C． BC＝AC D． ∠A＝60°
B
2． 如图，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3，
则CD＝ ．
3
3． 如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，图中的等腰
三角形个数是（ A ）
A． 3 B． 2 C． 1 D． 0
A
4． 如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC. 求证：AB
＝AC.
证明：∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠2.
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC.
5． 已知五个正数的和等于5.当用反证法证明这五个数中至少有一
个大于或等于1时，第一步应假设 ．
这五个正数都小于1
6． 几何直观如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折
叠后，EC′交AD于点G，∠AGC′＝48°.
(1)求∠CEF的度数；
(1)解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.
∴∠BEG＝∠AGC′＝48°.
由折叠的性质，得
∠CEF＝∠C′EF.
∴∠CEF＝ ×(180°－48°)＝66°.
(2)求证：△EFG是等腰三角形．
(2)证明：∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF.
∵∠CEF＝∠C′EF，∴∠GFE＝∠C′EF.
∴GF＝GE.
∴△EFG是等腰三角形．(共21张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第3课 三角形内角和定理(3)
多边形的内角和
(1)三角形的内角和是 度，长方形的内角和
是 度；
(2)如图，利用对角线将多边形分割成三角形的方法探究n边形的内
角和规律．
180
360
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
从多边形的一顶点
引出的对角线条数 0 1 2 3 4 … n－3
分割出三角形的个
数 1 2 3 4 5 … n－2
多边形的内角和 180° 2×180° 3×18
0° 4×180
° 5×18
0° … (n－
2)·180°
2
3
4
n－3
3
4
5
n－2
3×180°
4×180°
5×180°
(n－2)·180°
(1)多边形 三角形(转化思想)；
(2)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于 ．
(n－2)·180°
分割
例1 一个六边形的内角和是（ C ）
A． 360° B． 540°
C． 720° D． 900°
C
1. 一个十边形的内角和等于（ C ）
A． 1 800° B． 1 660°
C． 1 440° D． 1 200°
C
例2 如果一个正多边形的内角和是1 800°，它是几边形？它的一
个内角是多少度？
解：设这个正多边形的边数是n.
∴(n－2)·180°＝1 800°.解得n＝12.
∴1 800÷12＝150°.
答：它是正十二边形，它的一个内角是150°.
2. (1)一个多边形的每一个内角都是108°，则它是（ C ）
A． 正八边形 B． 正六边形
C． 正五边形 D． 正方形
C
(2)正八边形每个内角等于（ B ）
A． 145° B． 135°
C． 120° D． 45°
B
例3 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求证：∠B
＋∠D＝180°.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.
总结：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
3. 如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，
DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝
360°，∠A与∠C互补，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠EBF＋∠CDF＝ (∠ABC＋∠ADC)＝90°.
∵BE∥DF，∴∠EBF＝∠CFD.
∴∠CFD＋∠CDF＝90°.∴∠C＝90°.∴△DCF为直角三角形．
1． 一个七边形的内角和等于（ B ）
A． 540° B． 900°
C． 980° D． 1 080°
2． 下列角度可能是一个多边形的内角和的是（ D ）
A． 270° B． 560°
C． 1 900° D． 1 980°
B
D
3． 写出下面图中x的值．
x＝ x＝
65
100
4． 多边形的边数增加一条，内角和就增加 .
5． 如图，如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么
∠1的度数是 ．
180°
18°
6． 情景创设 (2025·湖南)如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右
图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，
BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝ °.
45
7． 【北师八下P8随堂练习T1】小彬求出一个正多边形的一个内角
为145°.他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果
不正确，请说明理由．
解：不正确．理由如下：
设这个正多边形的边数为n.
依题意，得(n－2)·180＝145n.
解得n＝10 .
因为n不是整数，所以他的计算不正确．
8． 【易错题】剪掉一张长方形纸片的一．个．角．后．，这个多边形的内
角和是 度．
180或360或540
9． 整体思想如图，已知在△ABC中，∠A＝80°，若沿图中虚线
剪去∠A，求∠1＋∠2的度数．
解：∵∠A＝80°，
∴∠B＋∠C＝100°.
∵∠1＋∠2＋∠B＋∠C＝360°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠B＋∠C)＝360°－100°＝260°.
10． 如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.
(1)若∠1＝48°，求∠2的度数；
(1)解：∵六边形ABCDEF的每个内角都相等，
∴一个内角的大小为 ＝120°.
∴∠E＝∠F＝∠BAF＝120°.
∵∠1＝48°，
∴∠FAD＝∠BAF－∠1＝120°－48°＝72°.
∵∠2＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，
∴∠2＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝360°－72°－120°－120°＝48°.
(2)求证：AB∥DE.
(2)证明：∵∠1＝120°－∠DAF，∠2＝360°－∠F－∠E－
∠DAF＝120°－∠DAF，
∴∠1＝∠2.
∴AB∥DE.(共30张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第13课 角平分线(2)
三角形中角平分线的性质
1. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离
相等．
例1 如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点P. 过点P作
PD⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为点D，M，N. 求证：
PD＝PM＝PN，且点P在∠A的平分线上．
证明：∵BE平分∠ABC，PD⊥AB，PM⊥BC，
∴PD＝PM.
同理，得PM＝PN. ∴PD＝PM＝PN.
又PD⊥AB，PN⊥AC，
∴点P在∠A的平分线上．
证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D.
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝
PD.
同理，得PN＝PD. ∴PM＝PN.
又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴AP平分∠MAN.
2. 如图，BP，CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点
M，PN⊥AC于点N. 求证：AP平分∠MAN.
例2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.
(1)已知BD＝3 cm，求AC的长；
(1)解：∵∠C＝90°，∠B＝45°，
∴∠CAB＝45°＝∠B. ∴AC＝BC.
∵DE⊥AB，∴∠BDE＝45°.∴DE＝BE.
∵DE2＋BE2＝BD2，∴2DE2＝(3 )2.∴DE＝3 cm.
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝3 cm.∴BC＝CD＋BD＝(3＋3 )cm.∴AC＝(3＋
3 )cm.
(2)求证：AB＝BC＋CD.
(2)证明：由(1)，知DE＝BE，CD＝DE.
∴CD＝BE.
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．∴AC＝AE.
由(1)知，AC＝BC.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD＝BC＋CD.
3. 如图，△ABC的三条角平分线交于点O，OD⊥BC，
OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F. 已知OD＝3，△ABC
的周长是14，求△ABC的面积．
解：∵△ABC的三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，
OF⊥AC，∴OD＝OE＝OF＝3.
由题意，得S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝ AB·OE＋
BC·OD＋ AC·OF＝ OD(AB＋BC＋AC)．
∵△ABC的周长是14，即AB＋BC＋AC＝14，
∴S△ABC＝ ×3×14＝21.
1． 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
下列结论中正确的是（ B ）
A． ∠1＞∠2 B． ∠1＝∠2
C． ∠1＜∠2 D． ∠1＝2∠2
B
2． 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝
40°，则∠BOC＝（ A ）
A． 110° B． 115°
C． 125° D． 130°
A
3． 如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
(1)如果要求油库到两条公路AB，AC的距离相等，那么如何选择
油库的位置？
解：(1)如图所示，油库的位置在射线AD上．
(2)如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
解：(2)如图所示，油库的位置应该在两条角平分线AD与BE的交点O上．
4． 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，连
接AO并延长交BC于点D，OH⊥BC于点H. 若∠BAC＝60°，OH＝
5，则OA＝ ．
10
5． 【北师八下P43随堂练习T1变式】如图，在△ABC中，∠B＝
60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点
F. 求证：FE＝FD.
证明：如图，过点F作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H.
∵∠BAC，∠BCA的平分线AD，CE交于点F，
∴点F在∠ABC的平分线上．
又FG⊥AB，FH⊥BC，
∴∠FGE＝∠FHD＝90°，FG＝FH.
∵∠FDH＝∠B＋∠BAD＝60°＋ ∠BAC，∠FEG＝∠BAC
＋∠ACE＝∠BAC＋ (180°－∠B－∠BAC)＝∠BAC＋ (180°－
60°－∠BAC)＝60°＋ ∠BAC，
∴∠FEG＝∠FDH.
∴△FEG≌△FDH(AAS)．∴FE＝FD.
与角平分线有关的面积问题
(1)如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD
＝AB∶AC.
图1 图2 图3
(2)如图2，当点E在角平分线AD上的任何位置(不与点A重合)，都
有S△ABE∶S△ACE＝AB∶AC.
(3)如图3，在△ABC中，点O是其三条角平分线的交点，连接
OA，OB，OC，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝AB∶AC∶BC.
6． 如图，已知△ABC的周长是30，BO，CO分别平分∠ABC和
∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积为 ．
45
7． 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 ．
3
☆ 问题解决策略：反思
【北师八下P46问题改编】综合与探究：探索等腰三角形中相等的
线段．
【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底
边中点到两腰的距离相等吗？
【问题初探】
(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1.在
△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
分别为点E，F. 经过合作，该小组的同学得出的结论是DE＝DF，并
且展示了他们的证法如下：
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(依据1)．
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(依据2)．∴DE＝DF.
①请写出依据1和依据2的内容：
依据1： ；依据2： ．
②请你应用图2写出一种 希望小组的证法．
(1)证明：如图，连接AD. ∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
等边对等角
AAS
【类比探究】
(2)奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个正确结论：①
在图3中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE＝DF
仍然成立．②在图4中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分
线，那么DE＝DF仍然成立．请
你选择其中一个结论，写出证明
过程．
(3)未来小组的同学经过探究又有新的发现，在(1)的条件下，如果
在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图5，则CG与DE有确
定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为 ．
CG＝2DE
(2)解：选择①.证明如下：
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠DAE＝∠DAF.
∵DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，
∴AE＝ AB，AF＝ AC.
∴AE＝AF. 又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(SAS)．∴DE＝
DF.
选择②.证明如下：
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝
∠C. ∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，∴∠BDE＝
∠ADB＝45°，∠CDF＝ ∠ADC＝45°.∴∠BDE＝∠CDF.
∴△BDE≌△CDF(ASA)．∴DE＝DF.
(①②选其一即可)
勾股定理的证明
【北师八下P27阅读欣赏改编】欧几里得在《几何原本》中证明勾
股定理的大致过程如下：
如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.分
别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG(如图2)，
连接EB，CH，过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N.
∵EA＝CA，∠EAB＝90°＋∠CAB＝∠CAH，AB＝AH.
∴△EAB≌△CAH(SAS)．
又S正方形ACDE＝2S△EAB，S长方形AHNM＝2S△CAH，
∴b2＝S长方形AHNM.
同理，得a2＝S长方形MNIB.
∴c2＝a2＋b2.
请同学们仔细阅读并解答相关问题：
如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、正
方形BCFG、正方形ACHI.
(1)连接BI，CE，求证：△ABI≌△AEC；
证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，
∴AB＝AE，AI＝AC，∠BAE＝∠CAI＝90°.
∴∠BAI＝90°＋∠BAC＝∠EAC.
∴△ABI≌△AEC(SAS)．
(2)过点B作AC的垂线，分别交AC和IH于点M，N. 请利用(1)的
结论，直接写出图中与正方形ABDE的面积相等的四边形，它是四边
形 ；
AMNI
(3)在(2)的条件下，若MN＝4，NH＝3，正方形ABDE的边长
是 ．
2(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第2课 三角形内角和定理(2)
三角形的外角的定义
1. 定义：三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫
作三角形的外角．
如图，∠ACD为△ABC的∠ACB的外角．
2. 下列图中的∠1是△ABC的外角的是（ B ）
B
三角形的外角的性质
3. 如图，∠A＝32°，∠B＝40°，则∠ACB＝ °，
∠ACD＝ °.
发现：∠ACD与∠A，∠B的关系为∠ACD＝ ．
108
72
∠A＋∠B
三角形的外角性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 的和；
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
内角
例1 求下列图中的x.
x＝ ° x＝ ° x＝ °
75
120
40
4. 求下列图中的x.
x＝ ° x＝ ° x＝ °
120
70
60
例2 如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E，求∠C的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠CFA＝∠A＝50°.
∵∠CFA＝∠C＋∠E，∠C＝∠E，
∴∠C＝ ∠CFA＝25°.
5. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：
AD∥BC.
证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和)，∠B＝∠C(已知)，
∴∠EAC＝2∠B(等量代换)．
∵AD平分外角∠EAC(已知)，
∴∠EAC＝2∠EAD(角平分线的定义)．
∴∠B＝∠EAD(等量代换)．
∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．
例3 如图，点D是△ABC的边AC的延长线上的一点，点E是BC
上一点，连接DE. 求证：∠BED＞∠A.
证明：∵∠ECD是△ABC的一个外角(外角的定义)，
∴∠ECD＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个
和它不相邻的内角)．
∵∠BED是△ECD的一个外角(外角的定义)，
∴∠BED＞∠ECD(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的
内角)．∴∠BED＞∠A.
1． 下列各图中，∠1大于∠2的是（ D ）
D
2． 在△ABC中，∠A＝40°，点D在AB的延长线上，若∠CBD
＝120°，则∠C的度数为（ B ）
A． 90° B． 80° C． 60° D． 40°
B
3． 【北师八下P3例1改编】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC
交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠BAC的度数是
（ D ）
A． 50° B． 60° C． 70° D． 80°
D
4． 如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE. 若
∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为 °.
70
5． 跨学科 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折
射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝
155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ C ）
A. 45°
B． 50°
C． 55°
D． 60°
C
6． 如图．
(1)求证：∠ADC＞∠B；
证明：(1)如图，延长AD交BC于点E.
∵∠DEC＝∠A＋∠B，
∴∠ADC＝∠DEC＋∠C＝∠A＋∠B＋∠C.
∴∠ADC＞∠B.
(2)求证：∠ADC＝∠A＋∠B＋∠C.
证明：(2)由(1)知∠ADC＝∠A＋∠B＋∠C.(共16张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第10课 线段的垂直平分线(1)
线段垂直平分线的性质
1. 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离
．
几何语言：
∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴ ．
相等
AC＝BC
2. 如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点D.
(1)AD＝ ，
∠ADC＝ °，
AC＝ ；
(2)若AD＝4，AC＝5，则△ABC的周长为 ．
BD(或 AB)
90
BC
18
例1 如图，AD是线段BC的垂直平分线，点M是AD上一点．求
证：∠ABM＝∠ACM.
证明：∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，MB＝MC.
∴∠ABC＝∠ACB，∠MBC＝∠MCB.
∴∠ABC－∠MBC＝∠ACB－∠MCB.
∴∠ABM＝∠ACM.
3. 如图，AB是线段CD的垂直平分线，点E，F是AB上的两
点．求证：∠ECF＝∠EDF.
证明：∵点E，F是线段CD的垂直平分线AB上两点，
∴EC＝ED，FC＝FD.
∴∠ECD＝∠EDC，∠FCD＝∠FDC.
∴∠ECD＋∠FCD＝∠EDC＋∠FDC.
∴∠ECF＝∠EDF.
例2 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC的
延长线于点E，连接AE，若∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的
度数．
解：∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝EC.
∴∠CAE＝∠ECA.
∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，
∴∠ECA＝∠B＋∠BAC＝71°.
∴∠CAE＝71°.
4. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于
点E，连接CE. 若CE＝CA，∠ACE＝40°，求∠B的度数．
解：∵CE＝AC，∴∠A＝∠AEC.
∵∠A＋∠AEC＋∠ACE＝180°，∠ACE＝40°，
∴∠AEC＝70°.
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE. ∴∠B＝∠BCE.
∵∠AEC＝∠B＋∠BCE＝70°，∴∠B＝ ∠AEC＝35°.
线段垂直平分线的判定
5. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
上 .
几何语言：
如图，
∵ ，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
垂直
平分线
AP＝BP
6. 如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确
的是（ D ）
A. AO＝BO
B. PO⊥AB
C. PO是线段AB的垂直平分线
D. 点P在线段AB的垂直平分线上
D
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且
OB＝OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴直线AO垂直平分线段BC.
7. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AB垂直平分线段MN.
证明：在△ABM和△ABN中，
∴△ABM≌△ABN(ASA)．
∴AM＝AN，BM＝BN.
∴点A，B都落在线段MN的垂直平分线上．
∴AB垂直平分线段MN.
1． 如图，线段AC的垂直平分线DE交线段AB于点D，∠A＝
50°，则∠BDC＝ ．
100°
2． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分线段AB
交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝（ C ）
A． 25 cm B． 45 cm
C． 50 cm D． 55 cm
C
3． 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点
E，DF⊥AC于点F. 求证：AD垂直平分线段EF.
证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)．
∴AE＝AF，DE＝DF.
∴AD垂直平分线段EF.
4． 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别与边AB，
AC交于D，E两点，边BC的垂直平分线FG分别与边BC，AC交于
F，G两点，连接BE，BG. 若△BEG的周长为20，GE＝2.则AC的长
为（ D ）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
D
5． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)用尺规作出线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E；
(1)解：如图，DE即为所求．
(2)求证：AE＝2CE.
(2)证明：如图，连接BE.
∵DE垂直平分线段AB，∴AE＝BE. ∴∠EBA＝∠A＝30°.
∵∠ABC＝90°－∠A＝60°，∴∠CBE＝30°.
∵∠C＝90°，∴BE＝2CE. ∴AE＝2CE.(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第9课 直角三角形(2)
直角三角形的全等判定
1. 判定： 分别相等的两个直角三角形全等
(HL)．
斜边和一条直角边
几何语言：
如图，在Rt△ABC和
Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF( )．
HL
2. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，需要的条
件是（ C ）
A. AC＝A′C′，BC＝B′C′
B. ∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C. AC＝A′C′，AB＝A′B′
D. ∠B＝∠B′，BC＝B′C′
C
例1 如图，AC⊥BC于点C，BD⊥AD于点D，AC＝BD. 求证：
∠ABC＝∠BAD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3. 如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝
90°，边BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝
CE，AC＝DF. 求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，
∴BF＋FC＝CE＋FC.
∴BC＝EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∴∠ACB＝∠DFE. ∴GF＝GC.
直角三角形全等的性质与判定的应用
例2 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑
梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小
有什么关系？
解：∠ABC＋∠DFE＝90°.理由如下：
依题意，知BC＝EF，AC＝DF，∠BAC＝∠EDF＝90°.
∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL)．
∴∠ACB＝∠DFE.
∵∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠DFE＝90°.
4. 【北师八下P30随堂练习T2】如图，两根长度均为12 m的绳
子，一端系在旗杆上的A点，另一端拉直后分别固定在地面的两个
木桩(用B，C两点表示)上，两个木桩到旗杆底部的距离相等吗？请
说明你的理由．
解：两个木桩到旗杆底部的距离相等．理由如下：
由题意，得∠AOB＝∠AOC＝90°，AB＝AC，AO＝AO.
∴Rt△AOB≌Rt△AOC(HL)．
∴OB＝OC.
1． 如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于
点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是（ A ）
A. HL
B． ASA
C． AAS
D． SAS
A
2． 用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ B ）
A． 已知两条直角边
B． 已知两个锐角
C． 已知一直角边和该直角边所对的一锐角
D． 已知斜边和一直角边
B
3． 如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2
＝ ．
50°
4． 一题多问如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝
90°.
(1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据
是 ；
(2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据
是 ；
AAS
ASA
(3)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据
是 ；
(4)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据
是 ．
SAS
HL
5． 用三角尺可按下面的方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边
上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为
P，画射线OP，则OP平分∠AOB. 为什么？
解：理由如下：由题意，得PM⊥OA，PN⊥OB.
∴∠OMP＝∠ONP＝90°.
又OM＝ON，OP＝OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)．
∴∠MOP＝∠NOP. ∴OP平分∠AOB.
6． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段
PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运
动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
5或10
7． 【北师八下P51复习题T16变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，
垂足分别为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是
点E，F. 求证：CE＝DF.
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
∵BC＝AD，AB＝BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠CBE＝∠DAF.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEB＝∠DFA＝90°.
在△BCE和△ADF中，
∴△BCE≌△ADF(AAS)．
∴CE＝DF.(共19张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第7课 等腰三角形(3)
等边三角形的判定
1. 判定：(1)三条边都 的三角形是等边三角形；(2)三个角
都 的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于 的等腰
三角形是等边三角形．
相等
相等
60°
例1 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE与边AB，AC
分别交于点D，E，求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED. ∴△ADE是等边三角形．
2. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB∥DE，CE＝DE.
求证：△CDE是等边三角形．
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC.
又∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C.
∴DE＝DC.
又CE＝DE，∴CE＝DE＝DC.
∴△CDE是等边三角形．
例2 如图，△ABC是等边三角形，∠ACE＝60°，BD＝CE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°.
又∠ACE＝60°，
∴∠ABD＝∠ACE.
又BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)求证：△ADE是等边三角形．
(2)由(1)知△ABD≌△ACE.
∴AD＝AE，∠DAB＝∠EAC.
∴∠DAB－∠DAC＝∠EAC－∠DAC.
∴∠DAE＝∠BAC＝60°.
又AD＝AE，∴△ADE是等边三角形．
3. 如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，点E，F分别是边
AD，CD上的点，且DE＝CF，连接BE，EF，FB.
(1)求证：△BDE≌△BCF；
证明：(1)∵△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴BD＝BC，∠BDE＝∠BCF＝60°.
在△BDE和△BCF中，
∴△BDE≌△BCF(SAS)．
(2)求证：△BEF是等边三角形．
(2)由(1)知△BDE≌△BCF. ∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF.
∴∠DBE＋∠DBF＝∠CBF＋∠DBF.
∴∠EBF＝∠DBC＝60°.
∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形．
含30°角的直角三角形的性质
4. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边
等于斜边的 ．
几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝
30°，∴ 或AB＝2BC.
一半
BC＝ AB
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)若∠A＝30°，AB＝6，则BC＝ ；
(2)若∠B＝60°，BC＝2，则AB＝ ．
3
4
例3 【北师八下P20随堂练习T2改编】如图，在△ABC中，∠BCA
＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DB＝2，求BC，AD的长．
解：∵∠BCA＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.
∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°.
∴∠BCD＝90°－60°＝30°.∴BC＝2DB＝2×2＝4.
∵∠A＝30°，∠BCA＝90°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8.∴AD＝AB－DB＝8－2＝6.
1． 下面条件不能判定△ABC为等边三角形的是（ D ）
A． AB＝BC＝CA
B． ∠A＝∠B＝∠C
C． AB＝BC，∠A＝60°
D． △ABC满足三线合一
D
2． (2025·南通)南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的
结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，
EF垂直于横梁BC. 若AC＝4.8 m，∠C＝30°，则EF的长
为 m.
1.2
3． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∠BAC
的平分线为AM，且AM的长为15 cm，则BC＝ cm.
22.5
4． (2025·资阳改编)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E
在线段AB上，CE∥DA. 若要使△BCE成为等边三角形，可增加的一
个条件是 ，请说明理由．
∠B＝60°(答案不唯一)
解：理由如下：
∵CE∥DA，∴∠A＝∠BEC. 又∵∠B＝∠A，
∴∠B＝∠BEC＝60°.
∴∠BCE＝180°－∠B－∠BEC＝180°－60°－60°＝60°.
∴△BCE是等边三角形．
5． 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的
点E处．已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是（ B ）
A. 1
B． 2
C．
D． 2
B
6． 如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角
形，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，连接EF.
(1)求证：AN＝BM；
证明：(1)∵△ACM，△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，
即∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.
(2)求证：△CEF是等边三角形．
(2)由(1)，得△ACN≌△MCB.
∴∠ENC＝∠FBC.
∵∠ECN＝180°－∠ACM－∠BCN＝60°，
∴∠ECN＝∠FCB.
又CN＝CB，∴△ECN≌△FCB(ASA)．
∴CE＝CF.
又∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形．(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第12课 角平分线(1)
角平分线的性质
1． 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离 ．
几何语言：
∵ ， ， ，
∴ ．
相等
AP平分∠BAC
PB⊥AB
PC⊥AC
PB＝PC
2． 如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于
点F，DE＝6，则DF的长度是（ D ）
A. 2 B． 3 C． 4 D． 6
D
例1 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. 求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．∴EB＝FC.
3. 如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点
O，连接AO，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.
证明：∵∠1＝∠2，∴AO是∠BAC的平分线．
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴DO＝EO，∠BDO＝∠CEO＝90°.
在△BDO和△CEO中，
∴△BDO≌△CEO(ASA)．∴OB＝OC.
角平分线的判定
4. 判定：在一个角的内部，到角的两边距离 的点在这个
角的平分线上．
几何语言：
∵PB⊥AB， ， ，
∴AP平分∠BAC，即∠BAP＝∠CAP.
相等
PC⊥AC
PB＝PC
5. 如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E. 若AD＝5，DE＝5，
∠ACD＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
A
例2 如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 若BD＝CD，BE
＝CF. 求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴DE＝DF.
又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
6. 如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，CE和BF相交于点
D，BD＝CD，连接AD. 求证：点D在∠BAC的平分线上．
证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.
又DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．
1． 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为点
A，B. 下列结论中不一定成立的是（ D ）
A. PA＝PB B． PO平分∠APB
C. OA＝OB D． AB垂直平分OP
D
2． 如图，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC＝30°)，
OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N. 若OM＝ON，则∠ABO
＝ ．
15°
3． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于
点D，CD＝2，点Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ A ）
A． 2 B． 2 C. D.
A
4． 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是点E，F，BE＝CF. 求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
又BE＝CF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．
∴DE＝DF.
又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
5． 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分
∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E. 若DE＝1，则BC＝
．
2＋
6． 如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射
线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平
分线．”这样说的依据是
．
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点
在这个角的平分线上
7． 如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点，DE平分
∠ADC，若∠ADC＝120°，连接AE，则∠BAE＝ ．
30°
8． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F，AB＝8 cm，AC＝6 cm，△ABC的面积为21 cm2，
求DE的长度.
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝ AB·DE＋ AC·DF＝21，AB＝8 cm，AC＝6 cm，
∴ ×(8＋6)·DE＝21.∴DE＝3 cm.(共18张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第11课 线段的垂直平分线(2)
尺规作图
例1 如图，已知线段a，求作以a为底，以 a 为高的等腰三角形，
这个等腰三角形有什么特征？(尺规作图，保留作图痕迹)
解：如图，△ABC即为所求．△ABC是等腰直角三角形．
1. 如图，已知线段a，求作等腰三角形ABC，使AB＝AC，BC＝
a，BC边上的高为2a.并回答下列问题．
得到△ABC是等腰三角形的依据是：
(1) ；
(2) ．
解：如图，△ABC即为所求．
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
有两条边相等的三角形是等腰三角形
例2 如图，已知直线l和l上一点P. 过点P作直线l的垂线．(尺规
作图，保留作图痕迹)
解：如图，直线CD即为所求．
2. 如图，已知直线l与直线l外一点P，过点P作出直线l的垂线．
解：如图，直线PQ即为所求．
三角形三边垂直平分线的性质
例3 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.
(1)求证：PA＝PB＝PC；
(1)证明：∵点P是AB，BC的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB，PB＝PC.
∴PA＝PB＝PC.
(2)点P在边AC的垂直平分线上吗？请说明理由．
(2)解：点P在边AC的垂直平分线上．理由如下：
∵PA＝PC，∴点P在边AC的垂直平分线上．
3. (1)锐角三角形ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P一定是
△ABC（ D ）
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
D
(2)如图，已知Rt△ABC. 求作点P，使得点P在△ABC三边的垂直
平分线上．
解：如图，点P即为所求．
三角形三边垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线
相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
1． 如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（ A ）
A．尺规作线段的垂直平分线
B． 尺规作一条线段等于已知线段
C． 尺规作一个角等于已知角
D． 尺规作角的平分线
A
2． 如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且
BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作
线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截
取线段h；④连接AB，AC，则△ABC为所求作的等腰三角形．上述
作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（ C ）
A．① B． ②
C． ③ D． ④
C
3． 根据下列各图中的作图痕迹，能作出到三角形三个顶点距离相
等的点的是（ B ）
B
4． 按下列要求作图．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(1)如图1，已知△ABC(∠A＞90°)．求作：BC边上的高AD与
AC边上的高BE.
解：(1)如图1，线段AD，BE即为所求．
(2)如图2，已知△MNP. 求作：MN边上的中线PQ.
解：(2)如图2，线段PQ即为所求．
5． 如图，△ABC三条边的垂直平分线交于点P，连接PA，PB，
PC.
(1)若∠BAC＝50°，求∠BPC的度数；
解：(1)∵点P为△ABC三条边的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC.
∴∠PBA＝∠PAB，∠PCA＝∠PAC.
∴∠PBA＋∠PCA＝∠PAB＋∠PAC＝∠BAC＝50°.
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝130°，
∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠PBA＋∠PCA)＝80°.
∴∠BPC＝180°－80°＝100°.
(2)试判断∠BAC和∠BPC之间的数量关系，并说明理由．
(2)∠BPC＝2∠BAC. 理由如下：
由(1)，得∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA.
∴2(∠PAB＋∠PAC)＝180°－∠PBC－∠PCB，
即2∠BAC＝180°－∠PBC－∠PCB.
∵∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB，
∴∠BPC＝2∠BAC.
6． 应用意识 如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上
的扬水站A引水，这就需要在A，B，C之间铺设地下输水管道，有人
设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图
②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC. 为减少渗漏，
节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰
好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方
案是方案 ．
③(共20张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第8课 直角三角形(1)
第8课 直角三角形(1)
直角三角形中角的性质及判定
1. 性质：直角三角形的两个锐角 ；
判定：有两个角 的三角形是直角三角形．
互余
互余
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝34°，则∠A的度数
是 ．
例1 如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为
什么？
56°
解：△ADE是直角三角形．
理由如下：∵∠C＝90°，∴∠A＋∠2＝90°.
∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°.
∴∠ADE＝90°.∴△ADE是直角三角形．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD交AB于点D，∠1＝
∠A. 求证：CD⊥AB.
证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∵∠1＝∠A，∴∠1＋∠B＝90°.
在△BCD中，∠1＋∠B＋∠CDB＝180°，
∴∠CDB＝180°－(∠1＋∠B)＝90°.∴CD⊥AB.
直角三角形中边的性质及判定
4. 性质(勾股定理)：直角三角形两条直角边的平方和等于
．
判定：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角
形是 三角形．
斜边的
平方
直角
5. 一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ D ）
A． 5 B．
C. D． 5或
D
6. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是
（ C ）
A． 2，4，5 B． 6，8，11
C. 5，12，13 D． 1，1，
C
例2 【北师八下P27随堂练习T2改编】如图，AD是△ABC的中
线，AD＝12，AB＝13，BC＝10，求AC的长．
解：∵AD是△ABC的中线，BC＝10，
∴BD＝CD＝ BC＝5.
∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，∴AB2＝BD2＋AD2.
∴△ABD是直角三角形．
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC＝ ＝13.
7. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，
DB＝9.
(1)求AD的长；
解：(1)∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°.
在Rt△BCD中，BC＝15，DB＝9，
∴CD＝ ＝ ＝12.
在Rt△ACD中，AC＝20，
∴AD＝ ＝ ＝16.
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)△ABC是直角三角形．理由如下：
在△ABC中，AB＝AD＋DB＝25，AC＝20，BC＝15，
∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．
逆命题、逆定理
例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．
(1)如果x＝y，那么x2＝y2；
解：(1)如果x2＝y2，那么x＝y.不成立．
(2)等腰三角形有两个相等的角．
解：(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．成立．
8. 写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假．
(1)如果ab＝0，那么a＝0；
解：(1)逆命题：如果a＝0，那么ab＝0.
原命题是假命题，逆命题是真命题．
(2)不是对顶角的两个角不相等．
解：(2)逆命题：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．
原命题是假命题，逆命题是真命题．
1． 在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，BC＝3，则AB的长
为 ．
2． 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的
是 ．(填序号)
①3，4，5；②5，6，7；③6，8，10；④1，1， .
3
①③④
3． 命题“等边三角形的三个角都相等”的逆命题是
，这个逆命题是 命题(填“真”或“假”)．
三个角都相等
的三角形是等边三角形
真
4． 如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB
交BD于点D，已知∠1＝32°，则∠D＝ ．
29°
5． 如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，
AB＝3，AD＝10，CD＝8.求证：△ACD是直角三角形．
证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6.
在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10.
∵62＋82＝102，即AC2＋CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形．
6． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△ABC，使
点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE
＝ ．
46°
7． 【拓展题】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上一点，连接AE.
(1)求证：△ACE≌△BCD；
证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD.
∵∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD.
∴∠ACE＝∠BCD. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.
(2)∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45°.
由(1)，得△ACE≌△BCD.
∴∠CAE＝∠B＝45°，AE＝DB.
∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.
∴AD2＋AE2＝DE2.
∴AD2＋DB2＝DE2＝CD2＋CE2＝2CD2.
∴2CD2＝AD2＋DB2.(共18张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第14课 三角形的证明及其应用章末复习
180°
不相邻
大于
（n-2）·180°
360°
60°
等腰
互余
互余
相等
相等
一、选择题
1． 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD
的长为（ B ）
A． 10 B． 5 C． 4 D． 3
B
2． 如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝
25°，则∠1的度数为（ B ）
A． 70° B． 65° C． 60° D． 55°
B
3． 如图，BC∥DF，∠B＝50°，∠A＝25°，则∠D的度数为
（ D ）
A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°
D
4． 如图，BE是等边三角形ABD的中线，作BC⊥AB，交AD的
延长线于点C. 若CE＝6，则AB的长为（ A ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
A
5． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆
心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，
N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长
交BC于点D. 若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（ B ）
A. 8
B． 16
C． 12
D． 24
B
二、填空题
6． 如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠CDB＝90°，根据
“HL”，则添加条件 可得△ABD≌△CDB.
AD＝CB
7． 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1 260°，则这个多边
形的边数是 ．
8． 如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以
点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点E，连接BE，则∠ABE
＝ °.
11
30
9． 如图，AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC，垂足分别为点
B，C，PB＝3，AC＝8，则四边形ABPC的面积为 ．
24
10． 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在
BC上，连接AE，CD，DE，若AE＝AC＝CD，CE＝6 ，则BD
的长为 ．
3
三、解答题
11． 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E，F分别是边
AB，AC上的点，且BE＝DE，CF＝DF.
(1)求证：EF垂直平分线段AD；
(1)证明：∵BE＝DE，∴∠B＝∠BDE.
∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°.
∴∠B＋∠BAD＝90°，∠BDE＋∠ADE＝90°.
∴∠BAD＝∠ADE. ∴AE＝DE.
同理，得AF＝DF.
∴点E，F在线段AD的垂直平分线上．
∴EF垂直平分线段AD.
(2)试判断∠B与∠AEF的数量关系，并说明理由．
(2)解：∠AEF＝∠B. 理由如下：
∵EF垂直平分AD，∴EF⊥AD.
∵AD⊥BC，∴EF∥BC. ∴∠AEF＝∠B.
12． 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重
合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8.
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(1)证明：由折叠的性质，得∠AEF＝∠CEF.
由长方形的性质，得
AD∥BC. ∴∠AFE＝∠CEF.
∴∠AEF＝∠AFE. ∴AE＝AF.
∴△AEF是等腰三角形．
(2)求线段FD的长．
(2)解：由折叠的性质，得AE＝CE.
设CE＝x，则AE＝x，BE＝BC－CE＝8－x.
∵∠B＝90°，
∴在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即42＋(8－x)2＝x2.
解得x＝5.∴AE＝5.
由(1)，得AE＝AF. ∴AF＝5.
∴FD＝AD－AF＝BC－AF＝8－5＝3.(共21张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第5课 等腰三角形(1)
等腰三角形的“等边对等角”
补充完成下面的证明过程．
已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C.
证明：如图1，作∠BAC的平分线AD，交BC于点D，则∠BAD
＝∠ ．
∵AB＝ ，∠BAD＝ ，AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD( )．∴∠B＝ ．
CAD
AC
∠CAD
SAS
∠C
性质：等腰三角形的两底角 (简述为：
)．
几何语言：如图2，∵AB＝AC，∴ ．
相等
等边对
等角
∠B＝∠C
例1 下列各图中，AB＝AC，写出对应x的值．
x＝ x＝ x＝
70°
30°
35°
1. 如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，若AB＝AD＝DC，
∠BAD＝44°，则∠C＝ °.
34
等腰三角形的“三线合一”
2. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的 、底边上
的 重合．(简称“三线合一”)
中线
高
例2 如图，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，点E在AD上，连
接BE，CE. 请找出图中相等的线段(AB＝AC除外)，并说明理由．
解：BD＝CD，BE＝CE.
理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.
在△BAE和△CAE中，
∴△BAE≌△CAE(SAS)．
∴BE＝CE.
3. 一题多解如图，已知AB＝AC，AD＝AE. 求证：BE＝CD.
法1：证明：∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
即∠ADC＝∠AEB.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(AAS)．∴BE＝CD.
法2：证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，∴BF＝CF.
∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF.
∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.
∴BD＋DE＝CE＋DE，即BE＝CD.
等边三角形的性质
4. 定理：等边三角形的三个内角都 ，并且每个角都等
于 ．
相等
60°
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC. 求证：∠A＝∠B＝
∠C＝60°.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.
∴∠A＝∠B＝∠C.
在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
5. (1)如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝
35°，则∠ADB的度数为（ C ）
A. 105° B． 100° C． 95° D． 85°
第(1)题图 第(2)题图
(2)如图，AD是等边三角形ABC的高，AB＝6，则BD＝ ，
∠CAD＝ °.
C
3
30
1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∠BAC＝
80°，BC＝20，则∠BAD＝ °，BD＝ ．
40
10
2． (1)(2025·淮安)若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的
度数是 ．
(2)【易错题】等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的
度数分别是 ．
80°
70°，40°(或55°，55°)
3． 如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，且AE＝
AD，则∠CDE＝ °.
15
4． 方程思想 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且
BD＝BC＝AD，则∠A＝ ．
36°
5． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，点B在y
轴正半轴上，以点B为圆心，BA的长为半径作弧，交x轴正半轴于点
C，则点C的坐标为 ．
(2，0)
6． 推理能力如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，
交AC于点E，AD⊥BC于点D，交BE于点H，且AD＝BD.
(1)求证：∠ABE＝∠CAD；
(1)证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
BE⊥AC. ∴∠BEC＝90°.∴∠C＋∠CBE＝90°.
又AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°.
∴∠C＋∠CAD＝90°.∴∠CBE＝∠CAD.
∴∠ABE＝∠CAD.
(2)判断线段AB与BD，DH之间的数量关系，并说明理由．
(2)解：AB＝BD＋DH. 理由如下：
在△ADC和△BDH中，
∴△ADC≌△BDH(ASA)．∴DC＝DH.
∴BC＝BD＋DC＝BD＋DH.
∵AB＝BC，∴AB＝BD＋DH.(共18张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第1课 三角形内角和定理(1)
三角形内角和定理的证明及应用
1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 ．
180°
2. 证明三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
如图，已知△ABC. 求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过点A作直线DE∥BC.
∴∠B＝∠2，∠C＝ .
∵∠1＋∠2＋∠3＝ °，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ °.
∠1
180
180
3. 求下列图中的x.
(1) x＝ °；
(2) x＝ °；
(3) x＝ °.
30
45
60
例1 方程思想 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠A
－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B的度数．
解：设∠A＝x°，∠B＝y°.
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝54°.
∴ 解得
∴∠A＝71°，∠B＝55°.
4. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，CD平分
∠ACB，求∠ACD的度数．
解：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定
理)．
∵∠A＝70°，∠B＝50°(已知)，
∴∠ACB＝180°－70°－50°＝60°(等式的性质)．
∵CD平分∠ACB(已知)，
∴∠ACD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°(角平分线的定义)．
例2 【北师八下P12习题T16改编】如图，在△ABC中，∠B＝
70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠DAE的
度数．
解：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°－70°－40°＝70°.
∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝ ∠BAC＝35°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
在△ADC中，∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°.∵∠C＝40°，
∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°－90°－40°＝50°.∴∠DAE＝∠DAC－
∠EAC＝15°.
全等三角形的判定与性质
5. (1)三角形全等的判定方
法： ， ， ， ；
(2)全等三角形的性质：对应边 ，对应角 ．
SSS
ASA
AAS
SAS
相等
相等
6. 如图，AC＝DF，∠1＝∠2，能直接用“AAS”判定
△ABC≌△DEF的条件是（ D ）
A. ∠A＝∠D B． AB＝DE
C. BF＝CE D． ∠B＝∠E
D
1． 如图．
(1)若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝ °；
(2)若∠A＝∠C＝70°，则∠B＝ °；
(3)若∠A＝50°，则∠B＋∠C＝ °.
70
40
130
2． 若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形
是（ D ）
A． 锐角三角形 B． 等边三角形
C． 钝角三角形 D． 直角三角形
D
3． 如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3
＝ ．
35°
4． 如图，在△ABC中，BC＝4，延长AC 到点D，使得CD＝
AC，延长BC到点E，连接DE. 若∠CED＝∠B ，则CE 的长为 .
4
5． (1)将一副三角板按如图1的方式叠放，则∠α＝ °；
图1 图2
(2)将一副三角板按如图2的方式叠放，则∠α＝ °.
75
75
6． 如图，在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC，点P为
线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度数；
(1)解：∵∠B＝35°，∠ACB＝75°，
∴在△ABC中，∠BAC＝180°－35°－75°＝70°.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝ ∠BAC＝35°.
∴在△ADC中，∠ADC＝180°－75°－35°＝70°.
∵EP⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴在△DPE中，∠E＝180°－90°－70°＝20°.
(2)求证：∠E＝ (∠ACB－∠B)．
(2)证明：在△ABC中，∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝90°－ (∠B＋∠ACB)．
在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD.
∴∠ADC＝180°－∠ADB＝∠B＋∠BAD
＝90°－ (∠ACB－∠B)．
∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠E＝180°－90°－∠ADC＝90°－[90°－ (∠ACB－∠B)]
＝ (∠ACB－∠B)．(共19张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第4课 三角形内角和定理(4)
多边形的外角和
(1)外角的概念：
多边形的外角 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的外角．如图中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5.
(2)利用多边形1个外角＋相邻内角＝ 度，结合多边形内角
和公式，探究多边形外角和：
多边形 三角形 四边形
图形
多边形的外角和 3×180°－(3－2)×180°＝360° 4×180°－(4－2)×180°＝360°
180
五边形 六边形 … n边形
…
…
5×180°－(5－
2)×180°＝360°
6×180°－(6－
2)×180°＝360°
n×180°－(n－
2)×180°＝360°
多边形外角和定理：多边形的外角和都等于 ．
注意：多边形的外角和与多边形的边数无关．
360°
例1 (1)三角形的外角和是 度，正三角形每个外角等
于 度；
(2)四边形的外角和是 度，正四边形每个外角等于
度．
总结：正n边形每个外角的度数为()°．
360
120
360
90
1. (1)正八边形每个外角是 度，每个内角等于 度；
(2)正m边形每个外角是 度，每个内角等于
度．
45
135
(180- )
多边形的内角和与外角和
例2 已知一个正多边形的一个外角等于一个内角的 ，求这个正多
边形的边数．
解：设这个正多边形为正n边形．
∵正多边形的一个外角等于一个内角的 ，
∴此正多边形的外角和等于其内角和的 .
∴360°＝(n－2)·180°× .解得n＝5.
答：这个正多边形的边数为5.
2. (1)一个多边形的每个外角都为18°，它的边数是 ，内角
和等于 ；
(2)一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的
边数．
解：设这个多边形的边数为n.
由题意，得(n－2)·180°＝5×360°.解得n＝12.
答：这个多边形的边数为12.
20
3 240°
1． 正十边形的一个外角的度数是 ．
36°
2． 若一个正多边形的一个外角等于72°，则这个正多边形的外角
和是 ．
360°
3． 传统文化 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个
正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α
的大小为（ D ）
A． 54° B． 60° C． 70° D． 72°
D
4． 传统文化 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个
内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为
（ C ）
A． 36° B． 40° C． 45° D． 60°
C
5． 如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面
内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN. 若∠ABN＝
120°，则n的值为（ A ）
A． 12 B． 10 C． 8 D． 6
A
6． 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若
∠A＝120°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．
解：如图，
延长BA，得外角∠5.
由题意，得∠5＝180°－∠EAB＝60°.
∵多边形的外角和为360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－∠5＝300°.
7． (2025·凉山州)已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则
从这个多边形的一个顶点处可以引出的对角线条数是（ B ）
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
B
8． 将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如
果∠1＝41°，∠2＝35°，那么∠3的度数等于 ．
26°
9． 情景创设 如图，小亮从点O处出发，前进5米后向右转15°，
再前进5米后又向右转15°，这样走几次后恰好回到出发点O处．
(1)小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度？这个n边形的内角
和是多少度？
解：(1)这个n边形每个内角的度数为180°－15°＝165°.
∵多边形外角和为360°，
∴15°·n＝360°.解得n＝24.
∴这个n边形的内角和是(24－2)×180°＝3 960°.
(2)小亮走出的这个n边形的周长是多少米？
(2)小亮走出的这个n边形的边长为5米，有24条边，
∴周长为5×24＝120(米)．
∴小亮走出的这个n边形的周长是120米．
