(共16张PPT)
第二十二章 函数
第1课 函数的概念(1)
变量与常量
请思考以下两个问题：
(1)如图是加油站的加油显示板，发现金额会随着油量的变化而变化，当加油1升时，金额为 元，当加油2升时，金额为 元．这里共有 个量，不变的量是 ，会变化的量是 ．
8.14
16.28
3
单价
油量，金额
(2)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t
h．填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？
t/h 1 2 3 4 5 …
s/km 60 120 180 240 300 …
这里不变的量是 ，会变化的量是 ．
速度
时间，路程
在一个变化过程中，我们称数值 的量为变
量，如上面问题(1)中的变量是 ，问题(2)中的变量
是 ．数值 的量为常量，如上面问题(1)中
的常量是 ，问题(2)中的常量是 ．
发生变化
油量，金额
时间，路程
始终不变
单价
速度
例1 一支圆珠笔的单价为2元，购买x支圆珠笔，总价为y元，则y
＝ ；在这个式子中，变量是 ，常量是 ．
1. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系是S＝πr2，其中常量
是 ，变量是 ．
2x
x，y
2
π
S，r
函数的相关概念
2. (1)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对
于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么我们
就说x是自变量， 是 的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b
叫作当自变量的值为a时的函数值．
(2)表示函数与自变量之间的关系的关于自变量的数学式子叫作函数
的解析式．
唯一确定
y
x
例2 正方形的周长C与边长a的函数解析式是C＝ ；自变量是 ， 是 的函数；当a＝2时，C＝ ；当C＝12时，a＝ ．
3.水池原本有水1 m3，每分钟向水池注水(0.1 ) ，经过x min后水池内的水量为y m3.这个过程中 是 的函数，函数解析式为 ，当x＝10时，y＝ ．
4a
a
C
a
8
3
y
x
y＝0.1x＋1
2
例3 如图，下列表示y是x的函数的是（ C ）
A. B．
C． D．
C
(1)判断函数的方法：
①一个变化过程；②两个变量；③每一个自变量x对应唯一确定的
函数值y.
(2)求函数值及自变量值的方法：
①将自变量的取值代入函数解析式计算，即可求出对应的函数值；
②将函数值代入函数解析式解方程，即可求出对应的自变量值．
1． 在一定温度范围内，某种金属棒的长度l cm与温度t ℃之间的
关系为l＝0.002t＋200，其中常量是 ，变量是
．
0.002和200
l和t
2． 在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所
晒时间的长短而变化，这个过程中自变量是（ C ）
A． 太阳光强弱 B． 水的温度
C． 所晒时间 D． 热水器的容积
C
3． 下列各式中，y不是x的函数的是（ B ）
A． y＝x B． |y|＝x
C． y＝2x＋1 D． y＝x2
B
4． 3月22日是“世界水日”，设立“世界水日”的宗旨是唤醒公众的节
水意识，保护水资源．生活中，如果水龙头关闭不严会造成滴水浪
费．若拧不紧的水龙头每秒钟滴水约0.1毫升，则从计时开始，拧不紧
的水龙头所滴的水y(单位：毫升)与时间x(单位：秒)之间的关系式
是 ．若没有拧紧水龙头10分钟，则会浪费 毫升水．
y＝0.1x
60
5． 如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长
度为d，截面半径r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，油量
为v(h，w，v为变量)，则下面四个结论中，①w是v的函数；②v是w
的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号
是 ．
①④
6． 已知x，y之间的对应关系如下表：
x 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60
y 0.80 1.60 2.40
(1)y是x的函数吗？为什么？
解：(1)y是x的函数．理由：当x取定一个值时，y都有唯一确定的
值与其对应．
(2)分别求当x＝5，10，30，50时的函数值．
(2)当x＝5时，y＝0.80；
当x＝10时，y＝0.80；
当x＝30时，y＝1.60；
当x＝50时，y＝2.40.(共18张PPT)
第二十二章 函数
第5课 函数章末复习
图像法
描点
一、选择题
1． 水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与
r的解析式为C＝2πr.下列说法正确的是（ C ）
A． 2是变量 B． π是变量
C． r是变量 D． C是常量
C
2． 变量y与x之间的关系是y＝2x＋1，当x＝5时，函数y的值是
（ C ）
A． 2 B． 3 C． 11 D． 12
C
3． 小明的微信钱包原有200元钱，他在新年一周里抢红包，钱包里
的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是（ A ）
A． 时间 B． 小明
C． 200元 D． 钱包里的钱
A
4． 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ D ）
A B C D
D
5． 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速
向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧
测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的时间x(单位：s)之间的函数关
系的大致图象是（ A ）
A B C D
A
二、填空题
6． 函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ．
7． 一根蜡烛的高度是20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则蜡烛燃
烧后的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：h)的关系式是
．
8． 已知点P(－1，3)在函数y＝ax2－3x＋5的图象上，则a＝
．
x＜2
h＝20－5t
－5
9． “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思
后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故
事(x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示
兔子所行的路程)．有下列说法：
①“龟兔再次赛跑”的总路程为1 000米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10分钟；
④兔子在途中750米处追上乌龟．
其中正确的说法是 ．
①③④
三、解答题
10． 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(单
位：m)与旋转时间x(单位：min)之间的关系如图2所示．
(1)根据图2填表：
x/min 0 3 6 8 12 …
y/m …
5
70
5
54
5
(2)变量y是x的函数吗？为什么？
解：是．因为每给一个x的值都有唯一的一个y值与之对应，符合
函数的定义，所以y是x的函数．
11． (1)画出函数y＝x2的图象；
解：(1)列表．
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
描点、连线，画出的函数图象如图．
(2)判断点A(－1.5，3)，B(－4，16)是否在函数y＝x2的图象上．
(2)当x＝－1.5时，y＝(－1.5)2＝2.25.
当x＝－4时，y＝(－4)2＝16.
故点A不在函数y＝x2的图象上，点B在函数y＝x2的图象上．
12． 一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度
和温度之间有如下关系：
温度/℃ … －5 0 5 10 15 …
长度/cm … 9.995 10 10.005 10.01 10.015 …
(1)上表反映了温度和长度两个变量之间的关系，其中 是
自变量；
(2)当温度是10 ℃时，合金棒的长度是 cm；当温度是0 ℃
时，合金棒的长度是 cm；
温度
10.01
10
(3)如果合金棒的长度大于10.05 cm小于10.15 cm，根据表中的数据
推测，此时的温度应在 范围内；
50 ℃～150 ℃
(4)假设温度为x ℃时，合金棒的长度为y cm，根据表中数据推测y
与x之间的关系式；
解：(4)由表格，结合(1)～(3)分析数据可得x每增加5，y增加0.005.
当x＝0时，y＝10.易得出y＝0.001x＋10.
(5)当温度为－20 ℃和100 ℃时，分别推测合金棒的长度．
(5)当x＝－20时，
y＝0.001×(－20)＋10＝9.98(cm)；
当x＝100时，y＝0.001×100＋10＝10.1(cm)．(共21张PPT)
第二十二章 函数
第3课 函数的表示(1)—— 画函数图象
画函数图象
1. 函数有三种表示方法：①解析式法；②列表法；③图象法．
2． 描点法画函数图象的一般步骤：①列表；②描点；③连线．
例1 画出函数y＝x－1的图象．
解：列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … …
描点、连线，图象如下：
－3
－2
－1
0
1
从函数图象可以看出，直线从左向右 ，即当x从小变大
时，y＝x－1随之 ．
上升
增大
3. 画出函数y＝ 的图象．
解：列表：
x … －4 －2 －1 1 2 4 …
y … …
描点、连线，图象如下：
－1
－2
－4
4
2
1
从函数图象可以看出，当x＜0时，曲线从左向右 ，即y随
着x的增大而 ；当x＞0时，曲线从左向右 ，即y随
着x的增大而 ．
下降
减小
下降
减小
例2 对于函数y＝－2x－1.
(1)画出函数的图象；
解：(1)列表．
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 3 1 －1 －3 －5 …
描点、连线如图所示．
(2)判断点A(2.5，－6)，B(1，－2)是否在函数y＝－2x－1的图
象上．
(2)当x＝2.5时，y＝－2×2.5－1＝－6.
当x＝1时，y＝－2×1－1＝－3.
故点A在函数y＝－2x－1的图象上，点B不在函数y＝－2x－1的
图象上．
描点法画函数图象的一般步骤：(1)列表：表中给出一些自变
量的值及其对应的函数值；(2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量的
值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；(3)
连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起
来．
1． 【人教八下P102练习T1改编】下列各点在函数y＝2x－1的图象
上的是（ C ）
A． (1，3) B． (－1，3)
C． (2.5，4) D． (－2.5，－4)
C
2． 把下面画函数y＝－x＋2的图象的过程补充完整．
解：(1)列表．
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … . …
4
3
2
1
0
-1
(2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
解：如图，即为所求．
(3)由(2)中的图象可以看出，函数值y随自变量x的增大而
．
减小
3． 已知长方形的长是宽的2倍，设长为y，宽为x.
(1)写出y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
解：(1)y＝2x(x＞0)．
(2)画出该函数的图象．
(2)列表：
x … 1 2 3 …
y … 2 4 6 …
描点、连线，图象如图．
x
…
1
2
3
…
y
…
2
4
6
…
4． 跨学科 物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：厘
米)是所挂物体质量x(单位：千克)的函数．某兴趣小组为探究一弹簧的
长度y(单位：厘米)与所挂物体质量x(单位：千克)之间的关系，进行了
6次测量．如表为测量时所记录的一些数据．
x/千克 0 10 20 30 40 50
y/厘米 6 9 12 15 18 21
(1)在给定的平面直角坐标系中，描出以表格中x的值为横坐标、y
的值为纵坐标的各点；
解：(1)如图，即为所求．
(2)观察(1)所描各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线
上．若在一条直线上，直接写出y关于x的函数解析式；
(2)由各点的分布规律可知它们在同一条直线上．
y＝0.3x＋6.
(3)当弹簧长度为30厘米时，求所挂物体的质量．
(3)当y＝30时，0.3x＋6＝30.解得x＝80.
∴当弹簧长度为30厘米时，所挂物体的质量为80千克．(共19张PPT)
第二十二章 函数
第2课 函数的概念(2)
求函数自变量的取值范围
1. 使函数有意义的自变量取值的全体叫作自变量的取值范围．
例1 写出下列函数自变量x的取值范围．
(1)y＝ ： ；
(2)y＝ ： ；
(3)y＝x＋1： ．
x≠－1
x≥－1
全体实数
2. 写出下列函数自变量x的取值范围．
(1)y＝ ： ；
(2)y＝ ： x≤ ；
(3)y＝(2x－1)0： ．
x≠－3
x≤
x≠
例2 求下列函数中自变量x的取值范围．
(1)y＝ ； (2)y＝ .
(1)解：∵x≥0，且x－2≠0，∴x≥0且x≠2.
(2)解：∵2x－1＞0，∴x＞ .
3. 求下列函数中自变量x的取值范围．
(1)y＝ ； (2)y＝ + .
(1)解：∵x－3＞0，∴x＞3.
(2)解：∵x＋1≥0，且1－x≠0，
∴x≥－1且x≠1.
求实际问题中自变量的取值范围
例3 游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，
换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时312立方米的速度将水放
出．设放水时间为t小时，游泳池的存水量为Q立方米．
(1)写出Q关于t的函数解析式；
解：(1)Q关于t的函数解析式为Q＝936－312t.
(2)指出自变量t的取值范围；
(2)根据题意，得 解得0≤t≤3.
∴自变量t的取值范围为0≤t≤3.
(3)放水2小时30分钟后，游泳池还有存水多少立方米？
(3)2小时30分钟＝2.5小时，
当t＝2.5时，Q＝936－312×2.5＝156.
所以放水2小时30分钟后，游泳池还有存水156立方米．
(4)放完游泳池内全部水需要多长时间？
(4)当放完游泳池内全部水时，Q＝0，
即936－312t＝0.解得t＝3.
所以放完游泳池内全部水需要3小时．
4. 汽车由南京驶往相距300 km的上海，它的平均速度为100 km/h.
(1)写出汽车距上海的路程s(单位：km)关于行驶的时间t(单位：h)
的函数解析式；
解：(1)由题意，得s＝300－100t.
(2)写出自变量的取值范围；
(2)根据题意，得 解得0≤t≤3.
∴自变量的取值范围为0≤t≤3.
(3)行驶几小时后，汽车距上海50 km
(3)当s＝50时，50＝300－100t.解得t＝2.5.
答：行驶2.5 h后，汽车距上海50 km.
求函数自变量的取值范围所要考虑的几个方面
自变
量的 取值
范围 整式 零次
幂 分式 二次根
式 分式＋二次
根式 实际问题
全体
实数 底数
≠0 分母
≠0 被开方
数≥0 分母≠0，被
开方数≥0 解析式和实际问
题要同时有意义
示例 y＝
2x＋
3 y＝(x
－1)0 y＝
y＝
y＝
1． (2025·无锡)函数y＝ 中的自变量x的取值范围是 .
2． 在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
x≠4
x≥3
3． 某商店进一批货，每件5元，售出时，每件加利润0.8元，如售
出x件，应收货款y元．
(1)y与x的函数解析式是 ；
(2)自变量x的取值范围是 ．
y＝5.8x
非负整数
4． 为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老
师购买了一些奖品来表彰表现优秀的学生．如果数学老师用50元钱去买
单价为5元的笔记本，那么他剩余的钱Q(单位：元)与他买这种笔记本的
数量x(单位：本)的函数解析式是
．
Q＝50－5x(0≤x≤10，且x为整
数)
5． 火车由甲地驶往相距360 km的乙地，它的平均速度是90
km/h，则火车距乙地的路程s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的函数
关系式及自变量t的取值范围是（ A ）
A． s＝360－90t(0≤t≤4)
B． s＝360－90t(t≥0)
C． s＝90t(0≤t≤40)
D． s＝90t(t≤4)
A
6． 【人教八下P94例2改编】汽车油箱中有汽油30 L，如果不再加
油，那么油箱中的余油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而
减少，平均耗油量为0.1 L/km.
(1)写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)由题意，得y＝30－0.1x.
由题意，得 解得0≤x≤300.
∴y与x的函数解析式是y＝30－0.1x(0≤x≤300)．
(2)当油箱中还剩汽油15 L时，汽车行驶了多少千米？
(2)当y＝15时，则15＝30－0.1x.
解得x＝150.
答：当油箱中还剩汽油15 L时，汽车行驶了150 km.
7． 【易错题】等腰三角形的周长为80，底边长为y，腰长为x，
求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．(提示：涉及三角形边
的取值常用到三边关系)
解：由三角形的周长为80，得y＋2x＝80.
∴y＝80－2x.
由题意，得 解得20＜x＜40.
∴自变量x的取值范围为20＜x＜40.(共17张PPT)
第二十二章 函数
第4课 函数的表示(2)—— 图象的识别与理解
从函数图象中获取信息
例1 如图反映的是小明从家去书店看了一会儿书再回家．图中x表
示时间，y表示小明离家的距离．请回答下列问题：
(1)点A的坐标为(10，1 000)，表示10 min时小明离家1 000 m；点B
的坐标为 ，表示 ；点C
的坐标为 ，表示 ．
(30，1 000)
30 min时小明离家1 000 m
(50，0)
50 min时小明离家0 m
(2)OA表示小明从家去书店，AB表示 ，
BC表示 ．
小明停留在书店看书
小明从书店回家
(3)书店离小明家 m，小明在书店看书花了 min，
回家花了 min.
(4)小明从家去书店的速度为 m/min，小明从书店回家的速
度为 m/min.
1 000
20
20
100
50
1. 【人教八下P108习题T4变式】小明从家出发骑自行车去上学，当
他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买某本书，于是又折回到刚
经过的某书店，买到书后继续骑车去学校．如图是他本次上学所用的时
间与离家的距离之间的关系图．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)小明家到学校的距离是 m，书店到学校的距离
是 m；
(2)小明在书店停留了 min，本次上学途中，小明一共骑行
了 m；
1 500
900
4
2 700
(3)在整个上学途中， 时间段小明骑车速度最
快，最快的速度是 m/min；
(4)如果小明不买书，以往常的速度去学校，需要花
费 min，本次上学比往常多用了 min.
第12～14 min
450
7.5
6.5
根据变化过程选择函数图象
例2 某工作队步行前往工作地点．队员们先匀速步行一段时间，途
中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地．设行
进时间为t(单位：min)，行进的路程为s(单位：m)，则能近似刻画s与t
之间的函数关系的图象是（ A ）
A B C D
A
2. 匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程
中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（ C ）
A B
C D
C
识别函数图象时的注意事项：(1)横坐标、纵坐标分别表示的
意义；(2)图象由点组成，特别要弄明白转折点的意义；(3)每条线段所
表示的意义；(4)一般地，图象并不代表行走的路径．
1． 如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市某天气温
(单位：℃)随时间(单位：时)变化而变化的关系，观察图象得到下列信
息，其中错误的是（ C ）
A． 凌晨3时气温最低为16 ℃
B． 14时气温最高为28 ℃
C． 从0时至14时，气温随时间的推移而上升
D． 从14时至24时，气温随时间的推移而下降
C
2． 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过
了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一
段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这
段时间内的速度变化情况（ B ）
A B C D
B
3． 跨学科 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的
重要原因．运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在40 mg/L以下；如
果血乳酸浓度降到50 mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研
工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运
动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化．
下列叙述错误的是（ C ）
C
A． 体内血乳酸浓度和时间t均是变量
B. 当t＝20 min时，两种方式下的血乳
酸浓度均超过150 mg/L
C． 采用静坐方式放松时，运动员大约40 min就能基本消除疲劳
D． 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用
慢跑活动方式来放松
4． 清明节期间，小海家自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的
路程y(单位：千米)与汽车行驶时间x(单位：时)之间的函数图象．汽车
行驶2小时到达目的地，这时汽车行驶了（ C ）
A. 120千米
B． 130千米
C． 140千米
D． 150千米
C
5． 一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间
的图象如图所示，请回答下列问题．
(1) 车提前出发，提前 小时；
(2) 车先到达B地，比慢车早到 小时；
(3)快车出发 小时后追上慢车；
慢
2
快
4
4
(4)快车速度为 千米/时．
75
6． 如图，正方形ABCD的边长为4，点P为正方形边上一动点，沿
A→D→C→B→A的路径匀速移动，设点P经过的路径长为x，
△APD的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是
（ B ）
A． B．
C． D．
B
