(共25张PPT)
第二十章 勾股定理
第5课 勾股定理章末复习
a2＋b2＝c2
a2＋b2＝c2
a2＋b2＝c2
一、选择题
1． 若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条
直角边的长是（ C ）
A． 36 B． 9 C． 6 D． 3
C
2． 已知，在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，
c，若∠A＝90°，则（ B ）
A． b2＝a2＋c2 B． c2＋b2＝a2
C． a2＋b2＝c2 D． a＋b＝c
B
3． 将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方
形A的边长为4，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为（ A ）
A. 25
B． 5
C． 16
D． 12
A
4． 下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ D ）
A． 1，2，3 B． 4，5，6
C． ， ， D． 1， ，2
D
5． 已知△ABC的三边分别为a，b，c，当三角形的边，角满足
下列关系，不能判定△ABC是直角三角形的是（ C ）
A． a2－b2＝c2 B. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C． a2∶b2∶c2＝3∶4∶5 D． a＝ b＝ c
C
6． 《醉翁亭记》中写道：“…射者中…”，其中“射”指投壶，是宴
饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶内部底面直径是5 cm，内壁
高12 cm，若箭长18 cm，则箭在投壶外面部分的长度不可能是
（ A ）
A． 4.5 cm B． 5 cm
C． 5.5 cm D． 6 cm
A
7． 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为
（ A ）
A. －1－
B． 1－
C． －
D． －1＋
A
8． 如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的鱼线BC长为
3 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，
此时露在水面上的鱼线B′C′的长为 m，则BB′的长为（ B ）
A． m
B． 2 m
C． m
D． 2 m
B
二、填空题
9． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，若AB
＝13，AD＝12，则BC的长为 ．
10
10． 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后测得桌面的长为3 m，
宽为1.6 m，对角线为3.4 m，则这个桌面 ．(填“合格”或“不合
格”)
合格
11． 如图，学校有一块直角三角形菜地，∠ABC＝90°，BC＝12
m．为方便劳作，学校准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，
∠ADE＝∠AED，BD＝EF＝1 m，CF＝8 m，则AE的长为 m．
4
12． 如图，圆柱的底面半径为 cm，AC是底面圆的直径，点P是
BC上一点，且PC＝4 cm，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到
点P的最短距离是 cm.
2
三、解答题
13． 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)若c＝15，b＝12，求a；
解：(1)由勾股定理，得a2＋b2＝c2.
∴a＝ ＝9.
(2)若a＝11，b＝60，求c.
解：(2)由勾股定理，得a2＋b2＝c2.
∴c＝ ＝61.
14． 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点
叫作格点．在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为
2， ， .
解：∵ ＝ ，
＝ ，
∴如图所示的三角形即为所求．
(三角形位置不唯一)
15． 港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的跨海大桥，总
长55 km，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点B后熄灭发动机，
由在离水面高度为5 m的岸上的工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳
子BC的长为13 m．若工作人员以1.5 m/s的速度收绳.4 s后船移动到
点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？(假设绳子是直的，
结果保留根号)
解：∵此人以1.5 m/s的速度收绳，4 s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13－1.5×4＝7(m)．
在Rt△ACD中，
AD＝ ＝2 (m)．
答：此时游轮距离岸边还有2 m．
16． 如图，将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，
AE交CD于点F.
(1)求证：△ACF是等腰三角形；
(1)证明：由折叠，得∠EAC＝∠BAC.
∵四边形ABCD是长方形，∴DC∥AB.
∴∠DCA＝∠BAC.
∴∠EAC＝∠DCA.
∴AF＝CF. ∴△ACF为等腰三角形．
(2)若CD＝16 cm，AD＝8 cm，求CF的长．
(2)解：设DF＝x cm，
则AF＝CF＝CD－DF＝(16－x)cm.
在Rt△ADF中，根据勾股定理，得
AF2＝AD2＋DF2，
即(16－x)2＝82＋x2.解得x＝6.
∴CF＝16－6＝10(cm)．
17． 综合与实践
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它
能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25 m斜
靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离OB＝20 m，∠AOB＝90°.
【独立思考】(1)求这架云梯顶部距离地面OA的长度．
解：(1)在Rt△OAB中，由勾股定理，得
OA＝ ＝ ＝15(m)．
答：这架云梯顶部距离地面OA的长度为15 m.
【深入探究】(2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到
A′位置上(云梯长度不改变)，则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置
上，若AA′＝8 m，求BB′的长度．
(2)∵OA＝15 m，AA′＝8 m，
∴OA′＝OA－AA′＝15－8＝7(m)．
在Rt△A′OB′中，由勾股定理，得OB′＝
＝ ＝24(m)．
∴BB′＝OB′－OB＝24－20＝4(m)．
答：BB′的长度为4 m.
【问题解决】(3)在演练中，墙边距地面24 m的窗口有求救声，
消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，
如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对
安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24 m高的窗口去
救援被困人员？
(3)当云梯的顶端到达24 m高的窗口时，根据勾股定理，得云梯的底端距离墙的距离为 ＝7(m)．
∵25× ＝5(m)，7 m>5 m，∴云梯的顶端能到达24 m高的窗口去救援被困人员．(共14张PPT)
第二十章 勾股定理
第3课 勾股定理及其应用(3)
利用勾股定理列方程
例1 如图，一根竹子高8 m，折断后竹子顶端C落在距离竹子底端
A的4 m处，折断处B离地面的高度AB为多少米？
解：设竹子折断处B离地面的高度AB为x m，则斜边BC的长为(8
－x)m.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋AC2＝BC2，
即x2＋42＝(8－x)2.解得x＝3.
答：折断处B离地面的高度AB为3 m．
1. 如图，小明在测量学校旗杆的高度时发现：旗杆上升旗用的绳子
(一端在旗杆顶部)比旗杆的高度多2米，当把绳子的下端拉开8米后，下
端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态，求旗杆AB的高度．
解：设旗杆AB的高度为 x米，则绳长为(x＋2)米．
由题意，得∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝x，AC＝x＋2.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＋BC2＝AC2.∴x2＋82＝(x＋2)2.解得x＝15.
答：旗杆AB的高度为15米．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将
△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，求BE的长．
解：∵∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC＝ ＝ ＝4.
由折叠知AE＝EC. ∴AE＋BE＝4.
∴AE＝4－BE.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2.
∴(4－BE)2＝32＋BE2.解得BE＝ .
2. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求AC和EB′的长．
解：设EB′＝x.∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝10.
由折叠的性质，可知
BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6.
∴CB′＝AC－AB′＝4，EC＝BC－BE＝8－x.
在Rt△B′EC中，由勾股定理，得EB′2＋CB′2＝EC2.
∴x2＋42＝(8－x)2.解得x＝3.∴EB′＝3.
折叠图形中勾股定理的运用：
(1)由折叠区域全等，得对应边、对应角相等；
(2)在“非折叠区域(一般找直角三角形)”，利用勾股定理，设x列方
程求解．
利用勾股定理在数轴上表示数
例3 在如图所示的数轴上找到表示数 的点．(保留作图痕迹)
解：如图．
3. 如图所示，点B，D在以点O为原点的数轴上，OB＝3，OD＝
BC＝1，∠OBC＝90°，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，与数轴
的正半轴交于点A，则点A表示的实数是 ．
－1
1． 在平面直角坐标系中，点P(x，12)到原点O的距离为13，则x
的值为（ A ）
A． ±5 B． ±1 C． 5 D． 1
A
2． 如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC的长为半径
画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为 .
(0，6)
3． 如图，为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者在湖边
找到一点C，并分别测得∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，又量得BC＝
100 m，则A，B两点之间距离为 m．
50
4． 【人教八下P29练习T1变式】如图，在数轴上画出表示
的点．
解：如图，点A即为所求．
5． 方程思想如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方
形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向
水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇
的长度分别是多少？
解：设水的深度为x尺，则芦苇长为(x＋1)尺．
由勾股定理，得x2＋ ＝(x＋1)2.
解得x＝12.∴x＋1＝13.
答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺．
6． 如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形ABCD
沿AC折叠，使点D落到点D′处，CD′交AB于点F，则AF的长
为 ．
5(共17张PPT)
第二十章 勾股定理
第2课 勾股定理及其应用(2)
勾股定理的实际运用
例1 【人教八下P30习题T5改编】如图，从电线杆离地面6 m处向地
面拉一条长10 m的缆绳，则这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底
部 m．
8
1. (2025·连云港)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙
脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为 m.
2.4
例2 【人教八下P26例2】一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，
宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：能．理由如下：
如图，连接AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC＝ ＝ ≈2.24(m)．
∵2.2<2.24，即AC大于木板的宽2.2 m，
∴木板能从门框内通过．
2. 小明家买了一台55 in(约139.7 cm)的电视机．小明量了电视机的
屏幕后，发现屏幕只有121.5 cm长和68.5 cm宽，他觉得一定是售货员搞
错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
解：不同意．理由如下：
电视机的尺寸是指屏幕的对角线长，而 121.52＋68.52＝19
454.5≈139.52，139.7－139.5＝0.2(cm).误差仅有0.2 cm，所以可以接受．
所以不同意小明的想法．
例3 如图，一个长5 m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时
AO高为4 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1 m至点C. 求梯子底端B向外
移动的距离BD.
解：在Rt△AOB中，AO⊥OD，AO＝4 m，AB＝5 m，
由勾股定理，得OB＝ ＝ ＝3(m)．
∵OC＝AO－AC＝3(m)，CD＝AB＝5 m，
∴在Rt△COD中，由勾股定理，得
OD＝ ＝ ＝4(m)．
∴BD＝OD－OB＝4－3＝1(m)．
答：梯子底端B向外移动的距离BD为1 m．
3. 如图，一架长2 m的梯子AB，斜立在竖直的墙上，这时梯子的
底端B距墙底端点O1.2 m，如果梯子的底端沿地面远离墙面又滑动了
0.2 m，那么梯子的顶端A沿墙下滑的高度是否也是0.2 m
解：在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO＝ ＝
＝1.6(m)．
∵BO＝1.2 m，BC＝0.2 m，∴CO＝1.4 m．
在Rt△DOC中，由勾股定理，得
DO＝ ＝ ＝ (m)．
∵AO＝1.6 m，∴AD＝AO－DO＝1.6－ ≠0.2(m)．
答：梯子的顶端A沿墙下滑的高度不是0.2 m．
1． 如图，为了求出湖岸A，B两点之间的距离，一个观测者在点
C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长150 m，
BC长120 m，则AB的长为 m.
90
2． 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8
米．一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞
行 米．
10
3． 如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米
处，树折断之前的高度是 米．
16
4． 如图，一个圆锥的高AO＝6，底面半径OB＝4，则AB的长
是 ．
2
5． 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的
长度至少为（ A ）
A． 17 m B． 18 m C． 25 m D． 26 m
A
6． 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙上
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底
端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙上时，顶端距离地面1.5米，则小
巷的宽度为 米．
2.7
7． 如图，一辆小汽车在一条限速70 km/h的公路上沿直线行驶，
某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60 m处的点C，过了5 s
后，测得小汽车所在的点B与车速检测仪A之间的距离为100 m.
(1)求B，C间的距离．
解：(1)在Rt△ABC中，
AC＝60 m，AB＝100 m，
根据勾股定理，得BC＝ ＝80(m)．
∴B，C间的距离为80 m.
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
(2)这辆小汽车没有超速．理由如下：
∵80÷5＝16(m/s)，而16 m/s＝57.6 km/h，
57．6<70，
∴这辆小汽车没有超速．
8． 真实情境创设一辆卡车装满货物后，高为2.88 m，宽为1.6
m，请判断该卡车能否通过如图所示的工厂厂门(上方为半圆)？说明
你的理由．
解：能通过．理由如下：
由题意，得AB＝1 m，AC＝0.8 m，∠ACB＝90°.
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC＝ ＝0.6(m)．
∵BB′＝BC＋CB′＝0.6＋2.3＝2.9(m)，2．9＞2.88，
∴该卡车能通过如图所示的工厂厂门．(共36张PPT)
第二十章 勾股定理
第4课 勾股定理的逆定理及其应用
勾股定理的逆定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为
c，那么a2＋b2＝c2.反过来，如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2
＝c2，那么这个三角形是直角三角形吗？请补充下面的证明过程．
如图1，在△ABC中，已知a2＋b2＝c2，求证：∠C＝90°.
证明：如图2，作∠C′＝90°.截取B′C′＝a，A′C′＝b，
则A′B′＝ ＝ ．
由“SSS”可证△ABC≌△A′B′C′，则∠C＝∠C′＝ °.
c
90
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三
角形是直角三角形．
几何语言：∵如图，在△ABC中，a2＋b2＝c2，∴
．其中，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为
勾股数．
a2＋b2＝c2
△ABC是直角
三角形
例1 如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，AB＝5，求证：
△ABC是直角三角形．
证明：∵AC2＋BC2＝42＋32＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形．
1. 判断以如下的a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，是
的在括号里打“√”；并判断a，b，c是不是勾股数，是的在横线上写
“是”．
(1)a＝ ，b＝2 ，c＝ ；( √ )
(2)a＝5，b＝7，c＝9; ( )
(3)a＝ ，b＝2，c＝ ; ( √ )
(4)a＝5，b＝12，c＝13. ( √ )
√
√
√
是
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离
开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行24海里和
32海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距40海里，如果知道
甲船沿北偏西40°方向航行，那么你知道乙船沿哪个方向航行吗？
解：由题意，得AP＝24海里，BP＝32海里，AB＝40海里．
∵242＋322＝402，即AP2＋BP2＝AB2，
∴△APB是直角三角形，且∠APB＝90°.
由题意知∠APN＝40°.
∴∠BPN＝90°－∠APN＝90°－40°＝50°.
答：乙船沿北偏东50°方向航行．
2. 如图，甲、乙两船同时从A码头开出，30 min后，甲船到达B码
头，乙船到达C码头，这时两船相距15 n mile.已知甲船航行的速度是18
n mile/h，乙船航行的速度是24 n mile/h，甲船航行的方向是北偏东
40°，求乙船航行的方向．
解：由题意，得AB＝18× ＝9(n mile)，
AC＝24× ＝12(n mile)．
∵92＋122＝152，即AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°.
∵B码头在A北偏东40°方向，∴C码头在A南偏东50°方向，
答：乙船航行的方向是南偏东50°方向．
勾股定理及其逆定理的综合运用
例3 如图，在边长为1的正方形网格上有一个△ABC，它的各个顶
点都在格点上．
(1)求△ABC的各边长；
解：(1)由勾股定理，得
AB＝ ＝2 ，
BC＝ ＝2 ，
AC＝ ＝4 .
(2)△ABC是直角三角形吗？为什么？
(2)△ABC是直角三角形．理由如下：
∵(2 )2＋(4 )2＝8＋32＝40，(2 )2＝40，∴(2 )2＋(4 )2＝(2 )2，即AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形．
3. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1.
(1)求AB，BC，AC的长；
(1)解：由勾股定理，得AB＝ ＝ ，
AC＝ ＝ ，
BC＝ ＝2 .
(2)求证：∠A＝90°.
(2)证明：∵AB2＝10，AC2＝10，BC2＝20，10＋10＝20，
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°.
例4 如图，AB＝4，BD＝12，CD＝13，AC＝3，AB⊥AC于点
A.
(1)求证：BC⊥BD；
(1)证明：在△ABC中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，
∴由勾股定理，得BC2＝AB2＋AC2＝42＋32＝25.
∵BD2＝122＝144，CD2＝132＝169，
169＝25＋144，∴CD2＝BC2＋BD2.
∴△BCD为直角三角形，∠CBD＝90°.
∴BC⊥BD.
(2)求四边形ABDC的面积．
(2)解：S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝ AB·AC＋ BC·BD＝
×4×3＋ ×5×12＝6＋30＝36.
4. 如图，有一块地，已知AD＝20米，CD＝10米，∠ADC＝
90°，AB＝30米，BC＝20米，求这块地的面积．
解：如图，连接AC.
在△ACD中，AD＝20米，CD＝10米，∠ADC＝90°，
∴在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AC＝ ＝ ＝10 (米)．
∵AC2＋BC2＝(10 )2＋202＝302＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
∴这块地的面积为S△ABC－S△ACD＝ ×10 ×20－ ×10×20＝
(100 －100)平方米．
1． 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边
关系为a2＋c2＝b2，则 是直角．
∠B
2． 下列各组数据中，不是勾股数的是（ A ）
A． 5，6，7 B． 9，40，41
C． 7，24，25 D． 6，8，10
A
3． 【人教八下P35例1变式】下列各组数中，不能作为直角三角形
三边长的是（ A ）
A． 7，9，12 B． 9，12，15
C． 1， ， D． 3，4，5
A
4． 如图，小圆家(点C)和小方家(点B)相距2.6 km，他们同时从学
校(点A)放学回家，5 min后同时到家．已知小方沿北偏东50°方向每分
钟骑车480 m，小圆每分钟步行200 m，请求出小圆家在学校
方向上．
北偏西
40°
5． 【人教八下P43复习题T5变式】如图是由边长为1的小正方形组
成的网格，点A，B，C，D均在格点上．
(1)求四边形ABCD的面积；
解：(1)如图，连接AC.
S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ACB＝ ×5×2＋ ×5×3＝ .
(2)AD与CD垂直吗？请说出你的理由．
(2)AD⊥CD. 理由如下：
由勾股定理，得AD2＝12＋22＝5，
CD2＝22＋42＝20.
∵AC2＝52＝25，∴AD2＋CD2＝AC2.
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°.
∴AD⊥CD.
6． 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足|a－3|＋ ＋(c－
5)2＝0，则此三角形是 三角形．
直角
7． 如图，有一台风中心以20 km/h的速度沿东西方向由点A移动
到点B，且台风中心周围260 km以内为受影响区域．已知点C为一海
港，且AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km.
(1)∠ACB＝ °.
90
(2)海港C会受台风影响吗？若会受到影响，请计算海港C受台风影
响的时长．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
由(1)可知，△ABC是直角三角形，
∴ AC·BC＝ AB·CD，
即 ×300×400＝ ×500·CD.
∴CD＝240 km.
∵260＞240，∴海港C会受台风影响．
如图，EC＝FC＝260 km，当台风从E移动到F
时，正好影响海港C.
∵CD⊥AB，EC＝FC，
∴FD＝ED＝ ＝ ＝100(km)．
∴(100＋100)÷20＝10(h)．
答：海港C会受台风影响，受影响的时长为10 h．
勾股定理的证明与应用
例 勾股定理是人类重大科学发现之一．请你运用学到的知识、方
法和思想探究以下问题．
【探究一】我国古代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切
割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾
股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张
一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾
股定理(如图1)．请你写出这一证明过程(图中所有的
四边形都是正方形，三角形都是直角三角形)．
【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经
验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形(如图2)，它们的面
积S1，S2，S3之间满足的等量关系是 ．
S1＋S2＝S3
迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直
角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方
形E的面积是 ．
47
【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半
圆，则它们的面积S1，S2，S3之间满足的等量关系是 ．
S1＋S2＝S3
迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边
长为c，分别以三边为直径作半圆．若a＝5，c＝13，则图中阴影部分
的面积等于 ．
30
【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其
末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有
一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂
后，堆在地面的部分尚有3尺(如图6)．牵着绳索(绳索与地面接触)退
行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽(如图7)．则绳索长 尺．
解：如图1中①图，空白部分面积：a2＋b2＋2× a×b＝a2＋b2＋
ab，
②图中空白部分面积：c2＋2× ×a×b＝c2＋ab，
两部分面积相等：a2＋b2＋ab＝c2＋ab，即a2＋b2＝c2.(共21张PPT)
第二十章 勾股定理
第1课 勾股定理及其应用(1)
勾股定理及其证明
设直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，以直
角三角形的三边为边长向外作三个正方形，如图1，图2，每个方格的面
积均为1，请填表．
项目 SA SB SC 结论
图1 4 4 SA＋SB＝ ，即
图2 9 16 8
SC
a2＋b2＝c2
25
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
斜边长为c，那么 ．
几何语言：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴ ．
a2＋b2＝c2
a2＋b2＝c2
例1 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，人们称
为“赵爽弦图”，观察图形，试说明：a2＋b2＝c2.
提示：大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为
．
解：c2＝ ab×4＋(b－a)2＝2ab＋a2－2ab＋b2＝a2＋b2.
c2
ab×4＋(b－a)2
1. 据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的图形验证了勾股定理，你能
说说其中的道理吗？
解：c2＝(a＋b)2－ ab×4＝a2＋2ab＋b2－2ab＝a2＋b2.
利用勾股定理进行计算
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，求AB
的长．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝5.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，求AB
的长．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝10.
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求
BC的长及△ABC的面积．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝BC2＋AC2.
∴BC＝ ＝ ＝5.
∴S△ABC＝ AC·BC＝ ×12×5＝30.
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，求AC的
长及△ABC的面积．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2.
∴AC＝ ＝ ＝4 .
∴S△ABC＝ BC·AC＝ ×4×4 ＝8 .
利用勾股定理进行计算：
(1)勾股定理只适用于直角三角形；
(2)已知直角三角形的两边，用勾股定理可求出第三边．
1． 【人教八下P26练习T2改编】如图，数字代表所在正方形的面
积，则A所代表的正方形的面积为 ．
64
2． 已知等腰直角三角形的直角边长为2，则斜边的长为（ B ）
A． B． 2 C． 1 D． 2
B
3． 【人教八下P26练习T3变式】在平面直角坐标系中，两点A(4，
0)和B(0，4)之间的距离AB＝ ．
4
4． 历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其
中两个全等直角三角形的两边AE，EB在一条直线上．验证过程中用到
的面积相等的关系式是（ D ）
A. S△EDA＝S△CEB
B． S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C． S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D． S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
D
5． 已知直角三角形的一条直角边长为8，斜边长为10，则另一条
直角边长为 ，斜边上的高为 ．
6
4.8
6． 分类讨论一个直角三角形两边的长分别为3和4，则第三边的长
是（ D ）
A. 5 B． 6 C． D． 5或
D
7． 如图，已知等边三角形ABC的边长是6 cm，AD⊥BC于点D.
(1)求AD的长；
解：(1)∵AD⊥BC，△ABC是等边三角形，
∴CD＝ BC＝ ×6＝3(cm)．
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
AD＝ ＝ ＝3 (cm)．
(2)求△ABC的面积．
(2)S△ABC＝ BC·AD＝ ×6×3 ＝9 (cm2)．
8． 【拓展题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，
连接BD，∠ABD＝∠A. 若BC＝4，AB＝4 ，则BD＝ ．
5
