(共34张PPT)
专题复习
专题三 几何计算
一、与勾股定理有关的计算
1． 如图，试求出下列各直角三角形的未知边．
解：(1)由勾股定理，得a＝ ＝13.
(2)由勾股定理，得b＝ ＝ .
(3)由勾股定理，得c＝ ＝5.
2． 如图，已知CD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠D＝90°，BD＝
CD，求AC的长．
解：∵∠D＝90°，CD＝6，BD＝CD，
∴由勾股定理，得
BC2＝BD2＋CD2＝72.
∵∠ABC＝90°，AB＝4，
∴由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝2 .
3． 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE
一样长，已知滑梯的高度CE为3米，BC为1米．
(1)求滑道BD的长；
解：(1)设滑道BD的长为x米，
则DE＝x米，AD＝DE－AE＝(x－1)米．
由题意，得∠BAD＝90°，AB＝CE＝3米．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2＝32＋(x－1)2.
解得x＝5.
答：滑道BD的长为5米．
(2)若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，则求出DF的
长．(精确到0.1米，参考数据： ≈1.732)
(2)∵∠BFA＝60°，∴∠ABF＝90°－∠BFA＝30°.∴BF＝
2AF.
设AF＝a米，则BF＝2a米．
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得
AB＝ ＝ ＝ a(米)．
∴ a＝3.解得a＝ .∴AF＝ 米．
由(1)可知，AD＝4米，
∴DF＝AD－AF＝4－ ≈2.3(米)．
答：DF的长约为2.3米．
4． 如图，将长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在边
BC上的点F处，若AB＝3，AD＝5，求CE的长．
解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝
3，BC＝AD＝5.
∵△AFE是由△ADE翻折得到的，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE.
在Rt△ABF中，AF＝5，AB＝3，
∴由勾股定理，得BF＝ ＝ ＝4.
∴CF＝BC－BF＝5－4＝1.
在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF2＝EC2＋CF2.
∴EF2＝(3－EF)2＋1.∴EF＝ .
∴DE＝EF＝ .∴CE＝CD－DE＝3－ ＝ .
5． 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝
6，求△ABD的面积．
解：如图，延长AD到点E，使ED＝AD＝6，连接EC.
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)．∴EC＝AB＝5，∠BAD＝∠E.
∵AE＝2AD＝12，EC＝5，AC＝13，
∴EC2＋AE2＝AC2.∴△AEC是直角三角形．∴∠E＝90°.
∴∠BAD＝90°，即△ABD为直角三角形．
∴△ABD的面积为 AD·AB＝15.
6． 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往点A运动，当运动
到点A时停止，若设点D运动的时间为t 秒，点D运动的速度为每秒2个
单位长度．
(1)当t＝2 时，CD＝ ，AD＝ ；
4
21
(2)当t 为何值时，△CBD 是直角三角形；
解：(2)∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝25.
①当∠CDB＝90°时，
∵S△ABC＝ AC·BD＝ AB·BC，∴BD＝ ＝12.
∴在Rt△BCD中，由勾股定理，得
CD＝ ＝ ＝9.
∴2t＝9.解得t＝ .
②当∠CBD＝90°时，点D和点A重合，
∴2t＝25.解得t＝ .
综上所述，当t＝ 或 时，△CBD是直角三角形．
(3)求当t 为何值时，△CBD 是等腰三角形？并说明理由．
(3)①当CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于点E，则∠1＝
∠2，DE∥AB. ∴∠1＝∠3，∠2＝∠A.
∴∠3＝∠A. ∴BD＝AD.
∴CD＝AD＝ AC＝ .
∴2t＝ .解得t＝ .
②当CD＝BC时，CD＝15.∴2t＝15.解得t＝ .
③当BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于点F.
∴CF＝DF. 同理(2)可得CF＝9.∴CD＝2CF＝18.
∴2t＝18.解得t＝9.
综上所述，当t＝ 或 或9时，
△CBD是等腰三角形．
二、与平行四边形、特殊的平行四边形有关的计算
7． 如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，
BE∥DF，交AD的延长线于点E. 若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD. ∴∠A＋∠ADC＝180°，∠AFD＝∠CDF.
∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°.
∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝ ∠ADC＝70°.
∴∠AFD＝∠CDF＝70°.
∵BE∥DF，∴∠ABE＝∠AFD＝70°.
8． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 点E，
F分别是AO，AD的中点，连接EF，AB＝4 cm，BC＝6 cm，求EF
的长．
解：由题可知，∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC＝ ＝ ＝2 (cm)．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2 cm，BO＝OD.
∴OD＝ BD＝ ×2 ＝ (cm)．
∵点E，F分别是AO，AD的中点，∴EF＝ OD＝ × ＝ (cm)．
9． 如图，已知 ABCD的周长是36 cm，由钝角顶点D向AB，BC
作两条高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，求这个平行四
边形的面积．
解：∵S ABCD＝DF·BC＝DE·AB，
∴5 BC＝4 AB. ∴ ＝ .
设BC＝4x，则AB＝5x.
∵C ABCD＝36 cm，∴2(4x＋5x)＝36.∴x＝2.
∴BC＝8 cm.∴S ABCD＝5 ×8＝40 (cm2)．
10． 如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，
EF⊥AC交AC于点F，若BE＝2，求正方形ABCD的边长．
解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，
∴EF＝BE＝2，∠CFE＝90°.
∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACB＝45°.
∴∠FEC＝45°.∴△EFC是等腰直角三角形．
∴CF＝EF＝2.
在Rt△CEF中，由勾股定理，得EC＝ ＝2 .
∴BC＝BE＋EC＝2＋2 .
∴正方形ABCD的边长为2＋2 .
11． 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
AE∥CD，DE∥AC，AB＝2AC＝2，求四边形ACDE的面积．
解：∵AE∥CD，DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形．
在Rt△ACB中，∵点D为斜边AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝ AB.
∵AB＝2AC＝2，∴AC＝AD＝CD＝1.
∴平行四边形ACDE是菱形，△ACD是等边三角形．
如图，连接CE，交AD于点F．
∴CE⊥AD.
∴AF＝ AD＝ .
在Rt△ACF中，由勾股定理，得CF＝ ＝ .
∴菱形ACDE的对角线CE的长为2CF＝ .
∴菱形ACDE的面积为 AD·CE＝ .
12． 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝18 cm，CD＝15
cm，AD＝10 cm，AB＝12 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出
发，点P以2 cm/s的速度由A向D运动，点Q以3 cm/s的速度由C向B运
动，设运动时间为t秒．
(1)几秒后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP
的周长；
解：(1)∵四边形ABQP为平行四边形，
∴AP＝BQ，即2t＝18－3t.∴t＝ .
此时C四边形ABQP＝12×2＋ ×2×2＝ (cm)．
(2)几秒后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ
的周长．
(2)∵四边形PDCQ为平行四边形，∴PD＝CQ，即10－2t＝
3t.∴t＝2.∴CQ＝3×2＝6(cm)．
此时C四边形PDCQ＝6×2＋15×2＝42(cm)．
13． 如图，边长为3的正方形OABC摆放在平面直角坐标系中，点
A在x轴上，点C在y轴上，点P是BC边上的动点(不与点B，C重合)，
点E是射线CO上的动点，连接AP，射线PE交x轴于点D，∠CPE＝
∠APB，EF∥AP交x轴于点F.
(1)当△APD为等边三角形时，求点P的坐标；
解：(1)∵四边形OABC是边长为3的正方形，
∴OA∥BC，AB＝3，∠B＝90°.∴∠APB＝∠PAD.
∵△APD为等边三角形，∴∠APB＝∠PAD＝60°.
∴∠BAP＝30°.∴AP＝2BP.
在Rt△ABP中，由勾股定理，得AP2－BP2＝AB2，
即4BP2－BP2＝32.∴BP＝ .∴CP＝3－ .
∴当△APD为等边三角形时，点P的坐标为 (3－ ，3)．
(2)当以A，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求直线
PE的解析式．
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，如图所示．
∴易得PM＝CO＝3.
∵以A，P，E，F为顶点的四边形是
平行四边形，EF∥AP，
∴PD＝ED.
在△PDM和△EDO中，
∴△PDM≌△EDO(AAS)．∴DM＝DO，EO＝PM＝3．
∵BC∥OA，∴∠PAD＝∠APB，∠PDA＝∠CPE.
∵∠CPE＝∠APB，∴∠PAD＝∠PDA.
∵PM⊥x轴，∴AM＝DM.
∴DO＝DM＝AM＝ OA＝1.
∴OM＝DO＋DM＝2.
∴点P的坐标为(2，3)．
设直线PE的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
将P(2，3)，E(0，－3)代入y＝kx＋b，
∴点E的坐标为(0，－3)．
得 解得 ∴y＝3x－3.
∴当以A，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直线PE的
解析式为y＝3x－3.
14． 【代数、几何综合】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC
的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的
长分别是m，n，且满足(m－6)2＋ ＝0.点D是线段OC上一点，
将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
(1)OA的长为 ，OC的长为 ；
6
8
(2)求直线AD的解析式；
解：(2)设DE＝x.
由翻折的性质，得OA＝AE＝6，OD＝DE＝x.
∴DC＝OC－OD＝8－x.
由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝10．
∴EC＝AC－AE＝10－6＝4.
由翻折，得∠AED＝∠AOD＝90°.
在Rt△DEC中，由勾股定理，得DE2＋EC2＝DC2，
即x2＋42＝(8－x)2.解得x＝3.
∴DE＝OD＝3.∴点D的坐标为(3，0)．
设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
把点A(0，6)，D(3，0)代入解析式，得
解得
∴直线AD的解析式为y＝－2x＋6.
(3)点M在直线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M，
A，N，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的
坐标，若不存在，请说明理由．
(3)存在．点N的坐标为(，0)或(，0).(共18张PPT)
专题复习
专题一 代数计算
一、二次根式的计算
1． 下列计算正确的是（ D ）
A． ÷ ＝4 B． - ＝
C． 2＋ ＝2 D． × ＝
2． 化简二次根式 的结果是 5 ．
D
5
3． 计算：
(1) × ＝ ；
(2) ÷2 ＝ ；
(3) + ＝ 7 ；
(4) －3 ＝ 4 ．
7
4
4． 若直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，则这个直角三
角形的面积为 ．
5． 计算下列各式：
(1) - + ；
解：原式＝3 －4 ＋2 ＝ .
(2) ×4 ÷ ；
解：原式＝ ×8 ÷
＝(×8÷ )×
＝18.
(3)(1－2 )(1＋2 )－(－1)2.
解：原式＝1－12－(3－2 ＋1)
＝－11－4＋2
＝－15＋2 .
6． 已知x＝2＋ ，y＝2－ ，求代数式x2＋3xy＋y2的值．
解：∵x＋y＝2＋ ＋(2－ )＝4，
xy＝(2＋ )(2－ )＝2，
∴x2＋3xy＋y2＝(x＋y)2＋xy＝42＋2＝18.
7． 跨学科 海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发
等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v＝ 计算，其
中v表示海啸的速度(单位：m/s)，d表示海水的深度，g表示重力加速
度9.8 m/s2.若在海洋深度20 m处发生海啸，求海啸行进的速度．
解：∵d＝20 m，g＝9.8 m/s2，v＝ ，
∴v＝ ＝ ＝ ＝14(m/s)．
答：海啸行进的速度是14 m/s.
8． 数形结合已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代
数式：
－|a＋c|＋ －|－b|.
解：由数轴可知，a∴a＋c<0，c－b<0，－b<0.
∴原式＝2＋(a＋c)＋|c－b|－b＝2＋a＋c－c＋b－b＝2＋a.
二、数据分析的相关计算
9． 小明某学期的数学成绩期中考试80分，期末考试85分，若学期
总评成绩将期中、期末按40%、60%的比例计算，则小明数学学期总评
成绩是 分．
83
10． 学校志愿者协会组织图书义卖活动，将所售款项捐赠给山区
贫困学生．在这次义卖活动中，九(2)班共售书50本，具体情况如下表：
售价/(元/本) 3 4 5 6
数目/本 12 11 12 15
在该班所售图书价格组成的一组数据中，中位数是 ．
5
11． 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而
生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小
区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为17，
12，15，20，17，0，7，26，17，9.
(1)这组数据的中位数是 ，众数是 ；
16
17
(2)计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；
解：(2) ×(0＋7＋9＋12＋15＋17×3＋20＋26)＝14(次)．
答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次．
(3)若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车
的总次数．
(3)200×14＝2 800(次)．
答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数约为2 800次．
12． 某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初
赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根
据这10人的决赛成绩(满分为100分)，制作了如下统计图：
(1)根据上图提供的数据填空：
类别 平均数 中位数 众数 方差
初中代表队 * 85 b 70
高中代表队 85 a 100 *
a的值是 ，b的值是 ；
80
85
(2)结合两队的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩好；
解：(2)初中代表队成绩的平均数＝ ×(80＋75＋85＋85＋100)＝
85.
∵初中代表队和高中代表队成绩的平均数相同，初中代表队成绩的
中位数大于高中代表队，
∴初中代表队的决赛成绩更好．(答案不唯一)
(3)根据题(1)中的数据，试通过计算说明，哪个代表队的成绩比较
稳定？
(3)高中代表队成绩的方差 ＝ ×[(70－85)2＋(100－85)2＋
(100－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2]＝160.
∴ < .
∴初中代表队的成绩比较稳定．(共40张PPT)
专题复习
专题四 几何证明
一、与直角三角形有关的证明
1． 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且点A，B，C，D
都在格点上．
(1)求四边形ABCD的周长；
(1)解：∵网格中每个小正方形的边长都是1，由勾股定理，得AB
＝ ＝2 ，BC＝ ＝ ，
AD＝ ＝2 ，
CD＝ ＝ .
∴四边形ABCD的周长为2 + ＋2 + ＝3 ＋2
+ .
(2)求证：∠ABC＝90°.
(2)证明：如图，连接AC.
由勾股定理，得AC＝ ＝5.
∵AB2＋BC2＝(2 )2＋()2＝25＝AC2.
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形．
∴∠ABC＝90°.
2． 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋50
＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC是不是直角三角形，并给出证明．
解：△ABC是直角三角形．证明如下：
由题意，得a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0.
∴(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.
∴a＝3，b＝4，c＝5.∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形．
3． 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史
上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个
全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)求证：a2＋b2＝c2；
(1)证明：∵大正方形的面积为c2，每个直角三角形的面积为 ab，
小正方形的面积为 (b－a)2，
∴c2＝4× ab＋(b－a)2＝2ab＋b2－2ab＋a2，
即a2＋b2＝c2.
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(a＋b)2
的值．
(2)解：由图可知(b－a)2＝3.
由(1)，得4× ab＝13－3＝10.∴2ab＝10.
∴(a＋b)2＝(b－a)2＋4ab＝3＋2×10＝23.
4． 如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝
90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DCE；
(1)证明：∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D.
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE(AAS)．
(2)连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
(2)解：由(1)，得△ABC≌△DCE. ∴CE＝BC＝5.
∵点A，C，D在同一直线上，∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得
AE＝ ＝ ＝13.
5． 如图，△ABC与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝
∠ECD＝90°，点D为AB上一点．
(1)求证：△BCD≌△ACE；
证明：(1)∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠ACE，
即∠BCD＝∠ACE.
∵△ABC与△ECD都是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC.
∴△BCD≌△ACE(SAS)．
(2)求证：AD2＋DB2＝DE2.
(2)由题意知∠B＝∠BAC＝45°.
由(1)，得△BCD≌△ACE.
∴∠CAE＝∠B＝45°，DB＝EA.
∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.
∴AD2＋EA2＝DE2.∴AD2＋DB2＝DE2.
6． 如图，正方形ABCD的面积为16，点E是CD的中点，点F在
BC上，且BF＝3.求证：∠AEF＝90°.
证明：如图，连接AF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AD＝CD＝BC＝AB＝ ＝4.
∵BF＝3，∴CF＝1.
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE＝2.
∴EF2＝22＋12＝5，EA2＝42＋22＝20，AF2＝42＋32＝25.
∴EF2＋EA2＝AF2.
∴△AEF是以AF为斜边的直角三角形．
∴∠AEF＝90°.
二、与平行四边形、特殊的平行四边形有关的证明
7． 如图，在 ABCD中，点E，F是对角线BD上两个点，且满足
BE＝DF. 求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD. ∴AE∥CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
8． 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，
D为圆心，大于 AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线
MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF.
(1)由作图可知，直线MN是线段AD的 ；
垂直平分线
(2)求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，
∴∠AOF＝∠AOE＝90°，AO＝DO，AF＝DF.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAO＝∠EAO.
∵AO＝AO，∴△AOF≌△AOE(ASA)．
∴OF＝OE.
∵AO＝DO，∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形．
9． 如图，已知点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
PE⊥DC，PF⊥BC，点E，F分别为垂足，求证：AP＝EF.
证明：连接PC，如图．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABP＝∠CBP，∠BCD＝90°.
∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴四边形PFCE是矩形．
∴EF＝CP.
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴AP＝CP. ∴AP＝EF.
10． 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分
∠BAD，DP∥AC，CP∥BD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DAC＝∠ACB. ∴∠BAC＝∠ACB.
∴AB＝BC. ∴四边形ABCD是菱形．
(2)若AC＝4，BD＝6，求OP的长．
(2)解：由(1)，得四边形ABCD是菱形．
∴OC＝ AC＝2，OD＝ BD＝3，AC⊥BD. ∴∠COD＝90°.
∴由勾股定理，得CD＝ ＝ .
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形．
∵∠COD＝90°，∴四边形OCPD是矩形．
∴OP＝CD＝ .
11． 如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC
上，AE＝CF.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.
又BO＝DO，∴四边形EBFD是平行四边形．
(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD. ∴∠DCA＝∠BAC.
∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC.
∴DA＝DC. ∴四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，即EF⊥BD.
由(1)知四边形EBFD是平行四边形．
∴四边形EBFD是菱形．
12． 如图，点E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且
BE＝DF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∠ABE＝∠CDF＝45°.
∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积．
(2)解：如图，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝3 ，
∴AC＝BD＝ ＝6，AC⊥BD.
∵DF＝BE＝2，∴EF＝6－2－2＝2.
∴S四边形AECF＝S△AEF＋S△CEF＝ EF·AC＝ ×2×6＝6.
13． 【动点问题】如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4
cm，点E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向
而行，速度均为1 cm/s，运动时间为t s，当其中一个动点到达后就停止
运动．
(1)若点G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH始终
是平行四边形；
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠B
＝90°.∴AC＝ ＝5(cm)，∠GAF＝∠HCE.
∵点G，H分别是AB，DC的中点，∴AG＝BG＝CH＝DH.
根据题意，得AE＝CF. ∴AF＝CE.
在△AFG和△CEH中，
∴△AFG≌△CEH(SAS)．∴GF＝HE.
同理，易得GE＝HF.
∴四边形EGFH始终是平行四边形．
(2)在(1)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形；
(2)解：连接GH，如图1.
由(1)，得BG＝CH. 又BG∥CH，
∴四边形BCHG是平行四边形．
∴GH＝BC＝4 cm.
当EF＝GH＝4时，平行四边形EGFH是矩形．
∴分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5－2t＝4.解得t＝0.5.
②AE＝CF＝t，EF＝5－2(5－t)＝4.解得t＝4.5.
综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．
图1
(3)若点G，H分别沿折线A－B－C，C－D－A运动，与点E，
F以相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形EGFH为菱形．
(3)解：连接GH，AG，CH，GH与AC交于点O，如图2.
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF.
由题意知AE＝CF. ∴OA＝OC.
∴四边形AGCH是平行四边形．
又AC⊥GH，∴四边形AGCH是菱形．
设AG＝CG＝x，则BG＝4－x.
由勾股定理，得AB2＋BG2＝AG2，即32＋(4－x)2＝x2.解得x＝ .
图2
∴BG＝4－ ＝ (cm)．
∴AB＋BG＝3＋ ＝ (cm)．
∵点G的运动速度为1 cm/s，∴ ÷1＝ (s)．
∴当t为 时，四边形EGFH为菱形．
图2
14． 【学习探究】下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，
四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF
交正方形外角的平分线CF于点F. 求证：AE＝EF. (提示：取AB的中
点G，连接EG)
(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条
件： ；
AG＝EC
(2)如图，若点E是BC边上任意一点(不与B，C重合)，其他条件不
变．求证：AE＝EF；
(2)证明：如图1，在AB边上取一点G，使AG＝EC，连接EG.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°.∵AG＝EC，
∴BG＝BE. ∴△BGE是等腰直角三角形．
∴∠BGE＝∠BEG＝45°.∴∠AGE＝135°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°.
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝90°＋45°＝135°.
∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.
∵∠EAG＋∠AEB＝90°，∴∠EAG＝∠FEC.
∴△GAE≌△CEF(ASA)．∴AE＝EF.
(3)在(2)的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为点P. 设
＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
(3)解：当k＝ 时，四边形ECFP是平行四边形．
证明如下：
如图2，由(2)，得△GAE≌△CEF. ∴CF＝GE.
设BC＝x，则BE＝kx.
∴GE＝ kx，EC＝(1－k)x.∴CF＝GE＝ kx.
∵EP⊥AC，∴△PEC是等腰直角三角形．∴∠PEC＝45°.
∴∠PEC＋∠ECF＝180°，PE＝ (1－k)x.
∴PE∥CF.
当PE＝CF时，四边形ECFP是平行四边形，
∴ (1－k)x＝ kx.解得k＝ .(共42张PPT)
专题复习
专题二 一次函数
一、一次函数的图象与性质
1． 一次函数y＝x－2的图象不经过（ B ）
A． 第一象限 B． 第二象限
C． 第三象限 D． 第四象限
B
2． 函数y＝2x＋1的图象过点（ C ）
A． (－1，1) B． (－1，2)
C． (0，1) D． (1，1)
C
3． 已知一次函数y＝(k－3)x＋1，若y随x的增大而减小，则k的
取值范围是 ．
k＜3
4． 直线y＝－2x＋2向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是
（ D ）
A． y＝－2x＋3 B． y＝－3x＋2
C． y＝－x＋2 D． y＝－2x＋1
D
5． 直线y＝3x＋2与y轴的交点坐标为（ D ）
A． (0，3) B． (- ，0)
C． (0，－2) D． (0，2)
D
6． 已知(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)是一次函数y＝－2x－5的
图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是 ．(用“＜”号
连接)
y37． 直线y＝－3x与y＝－3x＋15的位置关系是（ B ）
A． 重合 B． 平行
C． 相交 D． 无法判断
B
8． 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x－k的图象可能
是（ B ）
A． B．
C． D．
B
9． 当1≤x≤10时，一次函数y＝3x＋b的最小值为18，则b＝
（ B ）
A． 10 B． 15 C． 20 D． 25
B
10． 已知函数y＝－2x＋3.
(1)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
解：(1)当x＝0时，y＝3.
当y＝0时，x＝ .
∴函数y＝－2x＋3的图象与坐标轴
交于点(，0)，(0，3)．
∴函数y＝－2x＋3的图象如图所示．
(2)求出这个函数图象与坐标轴所围成的图形的面积；
(2)由(1)知，函数图象与坐标轴交于点(，0)，(0，3)．∴这个函数
图象与两条坐标轴所围成的三角形的面积为 ×3× ＝ .
(3)观察图象，当y＜0时，直接写出x的取值范围．
(3)由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＞ ．
二、一次函数与方程、不等式的关系
11． 若一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元一次
方程kx＋b＝0的解是 ．
x＝2
12． 数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线y＝x
＋5和直线y＝ax＋b相交于点P(20，25)，根据图象可知，方程组
的解是 ．
13． 画出函数y＝2x＋6的图象，并利用图象解答下列问题：
(1)求方程2x＋6＝0的解；
解：函数y＝2x＋6的图象如图所示．
(1)观察图象知，该函数的图象经过点(－3，0)，
∴方程2x＋6＝0的解为x＝－3.
(2)求不等式2x＋6＞0的解集；
(2)观察图象知，当x＞－3时，y＞0.
∴不等式2x＋6＞0的解集为x＞－3.
(3)若－2≤y≤2，求x的取值范围．
(3)当－2≤y≤2时，－4≤x≤－2.
14． 如图，一次函数y＝3x－3的图象l1与x轴交于点D，一次函
数y＝kx＋b的图象l2与x轴交于点A，且经过点B(3，1)，两函数的图
象交于点C(m，3)．
(1)求直线l2的函数解析式；
解：(1)∵两函数的图象交于点C(m，3)，
∴把点C的坐标代入 y＝3x－3，得3＝3m－3.
解得m＝2.∴C(2，3)．
∵函数y＝kx＋b的图象经过点B(3，1)，点C(2，3)，
∴ 解得 ∴y＝－2x＋7.
∴直线l2的函数解析式是y＝－2x＋7.
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式kx＋b<3x－3的解集．
(2)由图象可知，不等式kx＋b＜3x－3的解集是x＞2.
三、一次函数的实际应用
15． 某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方
米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(单位：元)是
用水量x(单位：立方米)的函数，其图象如图．
(1)当x>18时，求y关于x的函数表达式；
解：(1)设该函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
将(18，45)，(28，75)代入，得
解得
∴当x>18时，y关于x的函数表达式为y＝3x－9．
(2)若小敏家某月交水费81元，则这个月她家用水量为多少立方米？
(2)当y＝81时，x>18，故81＝3x－9.
解得x＝30.
答：这个月小敏家用水量为30立方米．
16． 甲、乙两车从A地出发前往B地．两车离开A地的距离y(单
位：km)与时间t(单位：h)的关系如图所示．
(1)A，B两地之间的距离为 km，乙车的平均速度
是 km/h；
(2)图中a的值为 ；
350
100
(3)求甲车出发多长时间，两车相距20 km.
解：由题意，得分四种情况．
①当乙还没出发时，70t＝20.
解得t＝ .
②当甲在乙前时，y甲－y乙＝20，
即70t－(100t－100)＝20.解得t＝ .
③当乙未到B地且在甲前时，y乙－y甲＝20，即(100t－100)－70t＝
20.解得t＝4.
④当乙到达B地后，350－70t＝20.解得t＝ .
答：甲出发 h， h，4 h， h时两车相距20 km.
17． 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光
伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，
修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
解：(1)设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏
车棚需投资y万元．
根据题意，得 解得
答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需
投资2万元．
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的
数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚
时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
(2)设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚(20－m)个，修
建A种和B种光伏车棚共投资W万元．
根据题意，得m≥2(20－m)．解得m≥ .
W＝3m＋2(20－m)＝m＋40.∵1>0，∴W随m的增大而增大．
又m≥ ，m为正整数，∴当m＝14时，W取得最小值，此时W＝
14＋40＝54(万元)．
答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54
万元．
四、一次函数与几何综合
18． 已知一次函数y＝kx＋b的图象过P(1，4)，Q(4，1)两点，且
与x轴交于点A.
(1)求此一次函数的解析式；
解：(1)把P(1，4)，Q(4，1)代入一次函数的解析式，得
解得
∴此一次函数的解析式为 y＝－x＋5.
(2)求△POQ的面积；
(2)对于一次函数y＝－x＋5，令y＝0，得x＝5.
∴A(5，0)．
∴S△POQ＝S△POA－S△AOQ
＝ ×5×4－ ×5×1＝7.5.
(3)已知点M在x轴上，若使MP＋MQ的值最小，求点M的坐标及
MP＋MQ的最小值．
解：
如图，作点Q关于x轴的对称点Q′，连接PQ′交x轴于点M，则MP＋MQ的值最小．
∵Q(4，1)，∴Q′(4，－1)．
设直线PQ′的解析式为y＝mx＋n(m≠0)．
把点P(1，4)，Q′(4，－1)代入，
得 解得
∴直线PQ′的解析式为y＝－ x＋ .
∴当y＝0时，－ x＋ ＝0.解得x＝ .
∴点M的坐标为(，0)，MP＋MQ的最小值为 PQ′＝
＝ .
19． 已知直线y＝ x＋4与x轴，y轴相交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标；
解：(1)当x＝0时，y＝4.∴点B的坐标为(0，4)．
当y＝0时，x＝－3.
∴点A的坐标为(－3，0)．
(2)将直线AB进行平移，平移后的函数解析式为y＝kx＋b，并与
x轴，y轴相交于C，D两点．当S△OCD＝24时，求直线CD的解析式；
(2)由题意，得直线CD的解析式为y＝ x＋b.
∴当x＝0时，y＝b.∴点D的坐标为(0，b)．
当y＝0时，x＝－ b.∴点C的坐标为(- b，0).
∵S△OCD＝24，
∴S△OCD＝ OC·OD＝ ×|- b|×|b|＝24.
∴b2＝64.解得b＝8或－8.
∴直线CD的解析式为y＝ x＋8或y＝ x－8.
(3)在x轴上有一点P，使得△ABP是等腰三角形．请你写出所有满
足条件的点P的坐标．
(3)①当PA＝PB时，如图1.
设点P的坐标为(x，0)．
∵A(－3，0)，B(0，4)，
∴PA2＝(x＋3)2，PB2＝x2＋42.
∴(x＋3)2＝x2＋42.解得x＝ .∴P(，0).
②当AP＝AB时，如图2.
∵A(－3，0)，B(0，4)，∴AB＝ ＝ ＝5.
∴AP＝AB＝5.∴OP1＝3＋5＝8，OP2＝5－3＝2.
∴P1(－8，0)，P2(2，0)．
③当BP＝BA时，点B在线段AP的垂直平分线上，如图3.
∵A(－3，0)，∴OA＝3.∴OP＝OA＝3.∴P(3，0)．
综上所述，满足条件的点P的坐标为(，0)或(－8，0)或(2，0)或
(3，0)．
