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第八章 实数
第7课 实数及其简单运算(2)—— 实数的运算
实数的相反数与绝对值
1． (1)相反数：数a的相反数是－A． (a表示任意一个实数)
(2)绝对值：指数轴上的点到原点的距离．
①一个正实数的绝对值是 ；②一个负实数的绝对值
是 ；
③0的绝对值是 ；④a的绝对值是|a|，|a|＝
a
它本身
它的相反数
0
0
-a
例1 填空：
(1) 的相反数是 － ；
(2) - 的相反数是 ；
(3)π－3的相反数是 ．
－
3－π
2． 填空：
(1)－ 的相反数是 ；
(2) - 的相反数是 ；
(3) －3的相反数是 3－ ．
3－
例2 填空：
(1)| |＝ ，|－ |＝ ；
(2)| |＝ ；
(3)| - |＝ ；
(4)若|x|＝ ，则x＝ ± ．
4
±
3． 填空：
(1)|－ |＝ ；
(2)| - |＝ ；
(3)|3－π|＝ ．
注：在实数范围内，相反数和绝对值的意义与在有理数范围内的完
全相同．
π－3
实数的运算
例3 计算：
(1)()2＝ ；
(2) × ＝ ；
(3)2 ＋3 ＝ 5 ．
2
3
5
4． 计算：
(1)2× ＝ 2 ；
(2) × ＝ ；
(3)2 －3 ＝ － ．
2
1
－
例4 计算：
(1)3 ＋2 - ； (2) (4- ).
(1)解：原式＝(3＋2－1) ＝4 .
(2)解：原式＝4 - × ＝4 －1.
5． 计算：
(1) (- )； (2)| - |＋9 .
(1)解：原式＝ × －2＝3－2＝1.
(2)解：原式＝ - ＋9
＝ ＋(－1＋9)
＝ ＋8 .
1． 填空：
(1) 的相反数是 － ；
(2) - 的相反数是 ；
(3) 的绝对值是 ；
(4)－|－ |＝ － ．
－
－
2． 填空：
(1)7 + ＝ 8 ，3 －4 ＝ － ；
(2) × ＝ ， ＝ ；
(3) ×2＝ 2 ， × ＝ ．
8
－
2
－11
2
7
3． 若|x|＝ ，则实数x＝ ± ．
±
4． 实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数
中绝对值最小的是( B )
A． a B． b C． c D． d
B
5． 下列说法正确的是( D )
A． 绝对值为 的数是
B． 的相反数是
C． | －π|＝ －π
D． －4是 的相反数
D
6． 计算：
(1) - ；
解：原式＝－2－7＝－9.
(2)3(+ )－2(- )；
解：原式＝3 ＋3 －2 ＋2
＝ ＋5 .
(3)| －2|－ .
解：原式＝ －2－5＝ －7.
7． 计算：(－1)2 027＋ ＋|1－ |－ .
解：原式＝－1＋3＋ －1－ ＝1.
8． 已知实数a，b，c，d，且a，b互为相反数，c的绝对值为
，d的算术平方根是8，求 ＋c2＋ 的值．
解：由题意可知a＋b＝0，|c|＝ ，
d＝82＝64.
所以c2＝(± )2＝2， ＝ ＝4.
所以 ＋c2＋ ＝0＋2＋4＝6.
9． 数形结合 如图，一只蚂蚁从点A出发，沿数轴向右爬2个单位
长度到达点B，点A表示－ ，设点B所表示的数为m.
(1)求m的值；
解：(1)由题意，得－ ＋2＝m，即m＝2－ .
(2)求|m＋1|＋(m＋2 －2)的值．
解：(2)由(1)，得m＝2－ .
所以原式＝|2－ ＋1|＋(2－ ＋2 －2)＝3－ + ＝3.(共20张PPT)
第八章 实数
第2课 平方根(2)——算术平方根
算术平方根的概念
1． (1)算术平方根的概念：正数a有两个平方根，其中 的平
方根 叫作a的算术平方根．规定：0的算术平方根是0.
(2)算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为 ，0的算
术平方根也记为 ．
正
例 1 填空：
(1)36的算术平方根是 ；
(2) 的算术平方根是 ；
(3)0.04的算术平方根是 ；
(4)3的算术平方根是 ；
(5)－5 算术平方根(填“有”或“没有”)．
归纳：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
6
0.2
没有
2． 填表：
类别 平方根 算术平方根
64 ±8 8
2 ±
0 0 0
0.16 ±0.4 0.4
(－2)2 ±2 2
±8
8
±
0
0
±0.4
0.4
±2
2
例 2 求下列各式的值：
(1) ＝ ；
(2)－ ＝ ；
(3)± ＝ ± ；
(4)± ＝ ．
3
－0.7
±
±5
3． 求下列各式的值：
(1)－ ＝ ；
(2)± ＝ ；
(3) ＝ ；
(4) × ＝ ．
－10
±0.5
1.6
算术平方根与平方根的区别与联系
类别 算术平方根 平方根
表示方法 ±
个数 只有一个 当a＞0时，有两个；当a＝0时，只有一个
性质 非负数(当a＞0时是正数，当a＝0时是0) 当a＞0时，有两个，一正一负，且互为相反数；
当a＝0时，是0
联系 ①正数的两个平方根中正的平方根就是它的算术平方根； ②0的算术平方根和平方根都是0； ③只有非负数才有平方根和算术平方根
算术平方根的双重非负性
4． 若a的算术平方根是 ，则(1)被开方数是非负数，即a≥0；(2)
算术平方根 本身是非负数，即 0.
例3 给出下列各式： ，－ ， ， ，其中有意义
的有 ，－ ，无意义的有 ．
总结：只有当a≥0时， 才有意义；而当a＜0时， 没有意义．
≥
，－
5． 当式子 的值取最小值时，x的值为( B )
A． 0 B． C． －1 D． 1
B
6． 已知 ＋|b－1|＝0，则a＋1＝ ．
2
1． 下列各式中，无意义的是( D )
A． B．
C． D．
D
2． 填空：
(1)0.01的算术平方根是 ；
(2)1 的算术平方根是 ；
(3)52的算术平方根是 ．
0.1
5
3． 求下列各式的值：
(1)± ＝ ；
(2)－ ＝ － ；
(3) ＝ ；
(4) + ＝ ．
±6
－
8
4． (2025·济南)已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ．
5． 【易错题】 的算术平方根为( C )
A． 11 B． ±11 C． D． ±
C
6． (1)3＋a的算术平方根是5，求a的值；
(1)解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，
即3＋a＝25.所以a＝22.
(2)3x－4为36的算术平方根，求x的值．
(2)解：因为62＝36，所以36的算术平方根是6，即3x－4＝6.
所以x＝ .
7． 已知(m＋4)2＋ ＝0，则(m＋n)2的值为 ．
1
8． 某农场有一块长50米、宽30米的场地，现要用场地面积的 建
一个观鱼池．若要修建的是一个长方形鱼池，且长方形的长和宽之比为
5∶4，则鱼池的长和宽分别约为多少？(参考数据： ≈2.24，
≈3.16， ≈7.07，结果精确到0.1米)
解：设鱼池的长为5x米，宽为4x米，且x>0.
根据题意，得5x·4x＝ ×50×30.
所以20x2＝1 000.
因为x>0，所以x＝ .
所以长方形的长为5× ≈35.4(米)，宽为4× ≈28.3(米)．
因为35.4<50，28.3<30，
所以长方形鱼池的长约为35.4米，宽约为28.3米．
9． 【人教七下P47习题T10变式】我们来探究 的值，请同学们
先计算下面的两组式子，然后归纳结论．
(1) ＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ．
(2) ＝ ， ＝ ，
＝ ．
3
0.7
0
3
0.7
(3)由此可知：当a≥0时， ＝ ．
当a<0时， ＝ ．
归纳：无论a≥0或a<0，都有 ＝ ．
(4)利用你得到的规律，计算：
①若x＜2，则 ＝ ；
② ＝ ．
a
－a
|a|
2－x
π－3.14(共19张PPT)
第八章 实数
第1课 平方根(1)
平方根的定义及计算
1． (1)平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2
＝a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根．
(2)求一个数的平方根的运算，叫作 ．
(3)平方根的表示方法：正数a的平方根记为 ，读作“
”，a叫作 ．
开平方
正、负根号a
被开方数
±
例 1 填空：
(1)因为22＝ ，(－2)2＝ ，所以 的平方根是±2，即
± ＝ ；
(2)因为( )2＝36，所以36的平方根是 ，即±
＝ ．
注意：平方与开平方互为逆运算．
4
4
4
±2
±6
±6
±6
2． 填空：
(1)100的平方根是 ；
(2)0.49的平方根是 ；
(3) 的平方根是 ± ；
(4)72的平方根是 ．
±10
±0.7
±
±7
平方根的性质
3． 正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是
0；负数没有平方根．
两
相反数
例 2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没
有，请说明理由．
(1)0.81； (2)－7； (3)(－2)2.
解：(1)因为0.81是正数，
所以0.81有两个平方根，± ＝±0.9.
(2)因为－7是负数，所以－7没有平方根．
(3)因为(－2)2＝4是正数，所以(－2)2有两个平方根，± ＝
± ＝±2.
4． 给出下列各数：0， ，－32，－|－5|，(－4)2，其中有平方根的
数有( C )
A. 1个 B． 2个
C. 3个 D． 4个
C
例 3 已知一个数x的两个平方根分别是3a＋2和a＋14，求a和x
的值．
解：因为x的两个平方根分别是3a＋2和a＋14，
所以3a＋2＋(a＋14)＝0.解得a＝－4.
所以3a＋2＝3×(－4)＋2＝－10.
所以x＝(－10)2＝100.
5． 一个正数x的两个平方根分别是2a－1和－a＋2，求3x＋2a的
平方根．
解：因为x的两个平方根分别是2a－1和－a＋2，
所以2a－1＋(－a＋2)＝0.解得a＝－1.
所以x＝(2a－1)2＝(－3)2＝9.
所以3x＋2a＝3×9－2＝25.
所以3x＋2a的平方根为± ＝±5.
开平方及相关计算
例 4 求下列各式中x的值：
(1)x2＝225； (2)(x－1)2＝9.
(1)解：因为x2＝225，
所以开平方，得x＝± ＝±15.
(2)解：因为(x－1)2＝9，所以x－1＝±3.
当x－1＝3时，x＝4；
当x－1＝－3时，x＝－2.
所以x＝4或－2.
6． 求下列各式中x的值：
(1)81x2－49＝0；
(1)解：整理81x2－49＝0，得x2＝ .
所以开平方，得x＝± ＝± .
(2)解：因为(3x－1)2＝(－5)2，
所以开平方，得3x－1＝±5.
当3x－1＝5时，x＝2；
当3x－1＝－5时，x＝－ .
所以x＝2或－ .
(2)(3x－1)2＝(－5)2.
1． (内江中考)16的平方根是( D )
A． －4 B． 4 C． 2 D． ±4
D
2． 下列各数中，没有平方根的是( C )
A． 0 B． (－3)2
C． －32 D． －(－3)
C
3． 【人教七下P41练习T1变式】下列说法正确的是( C )
A． 7是 的平方根
B． 40的平方根是－
C． 是6的一个平方根
D． －16的一个平方根是－4
C
4． 填空：
(1)0.36的平方根是 ；
(2)2 的平方根是 ± ；
(3)(－7)2的平方根是 ；
(4)104的平方根是 ．
±0.6
±
±7
±100(或±102)
5． 若一个正数的平方根分别是2m－3与m－6，则m的值为
( B )
A． －3 B． 3
C． 2 D． －3或3
B
6． 已知49(x2＋1)＝50，求x的值．
解：整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ .
所以开平方，得x＝± ＝± .
7． 分类讨论已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值．
解：根据题意，分以下两种情况：
①当a－1与5－2a是同一个平方根时，
a－1＝5－2A． 解得a＝2.
此时m＝(2－1)2＝1.
②当a－1与5－2a是两个不相等的平方根时，a－1＋5－2a＝0.
解得a＝4.
此时m＝(4－1)2＝9.
综上所述，a＝2，m＝1或a＝4，m＝9.(共2张PPT)
第八章 实数
为什么根号2不是有理数
例 【人教七下P58阅读与思考变式】公元前6世纪古希腊的毕达哥
拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比(分
数)表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线
的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机．这里
“不能用整数或整数的比表示的数”是指( B )
B
A． 有理数 B． 无理数
C． 质数 D． 实数
化
毕达哥拉斯（约公元前
1
X
580一约前500)，古希
1
x2=2
腊数学家(共21张PPT)
第八章 实数
第3课 平方根(3)——算术平方根的应用
估算算术平方根的大致范围
例1 根据 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ，估计 的值在( B )
A.1和2之间
B． 2和3之间
C. 3和4之间
D． 4和5之间
B
1． 估算 －2的值( B )
A.在1和2之间 B． 在2和3之间
C. 在3和4之间 D． 在4和5之间
B
估计一个有理数的算术平方根的近似值的方法：一般常用三
步夹逼法(以 为例)
(1)作平方：对需估值的算术平方根作平方运算，如()2＝6；
(2)找两数：找出与第一步中所得数相邻的两个算术平方根是整数的
数，如4＜6＜9；
(3)定范围：用第二步中两数算术平方根确定的范围，即是估值所在
的范围，如2＜ ＜3.
比较大小
例2 先将下列各数平方，再比较大小： 与1.9.
解：()2＝5，1.92＝3.61.
因为5>3.61，所以 > .
所以 >1.9.
2． 比较大小：
(1) 与6; (2) 与1.
(1)解：()2＝37，62＝36.
因为37>36，所以 >6.
(2)解：因为3＜ ＜4，所以2＜ －1＜3.
所以 >1.
用计算器求一个正数的算术平方根
例3 用计算器计算：
(1) ； (2) (精确到0.001)．
(1)解：依次按键 ，显示：35.所以 ＝35.
(2)解：依次按键 ，
显示：3.605 551 275.所以 ≈3.606.
3． 用计算器计算： .(精确到0.001)
解：依次按键 ，显示：6.034 898 508.
所以 ≈6.035.
算术平方根的实际应用
例4 【人教七下P45例5变式】国际比赛的足球场长在100 m到110
m之间，宽在64 m到75 m之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个
长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，请你判断这个足
球场能用作国际比赛吗？并说明理由．
解：这个足球场能用作国际比赛．理由如下．
设足球场的宽为x m，则足球场的长为1.5x m．
由题意，得1.5x2＝7 560.所以x2＝5 040.
因为x＞0，所以x＝ .
因为702＝4 900，712＝5 041，所以70＜ ＜71.
所以70＜x＜71.
所以105＜1.5x＜106.5.所以符合要求．
所以这个足球场能用作国际比赛．
4． 一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少
倍？面积变为原来的9倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来
的100倍呢？面积变为原来的n倍呢？
解：正方形的面积变为原来的4倍，则它的边长变为原来的 ＝2
倍；面积变为原来的9倍，则它的边长变为原来的 ＝3倍；面积变为
原来的100倍，则它的边长变为原来的 ＝10倍；面积变为原来的n
倍，则它的边长变为原来的 倍．
1． 估算 的大小应是( C )
A． 在5和6之间 B． 在6和7之间
C． 在7和8之间 D． 在8和9之间
C
2． 一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为( C )
A． 5厘米 B． 6厘米
C． 7厘米 D． 8厘米
C
3． 用“<”“>”或数字填空：
(1)因为1.732 3 1.742，
所以1.73 1.74.
所以 ≈ (精确到0.1)．
(2)因为2.4492 6 2.4502，
所以2.449 2.450.
所以 ≈ (精确到0.01)．
<
<
<
<
1.7
<
<
<
<
2.45
4． 用计算器求下列各式的值：(精确到0.001)
(1) ≈ ；
(2) ≈ ；
(3) ＝ ．
28.284
0.762
49.000
5． 比较下列各组数的大小：
(1)4与 ； (2) 与1.5.
(1)解：因为16＜17，
所以 ＜ ，即4＜ .
(2)解：因为 －1＞ －1＝3，
所以 ＞ ＝1.5.所以 ＞1.5.
6． 若 ＝2，求2x＋5的算术平方根．
解：因为 ＝2，所以x＋2＝4.
解得x＝2.
所以2x＋5＝2×2＋5＝9.
因为9的算术平方根是3，
所以2x＋5的算术平方根是3.
7． 若 的小数部分为a， 的整数部分为b，则a＋b的值
为 ．
＋1
8． 跨学科电流通过导线时会产生热量，且满足公式Q＝I2Rt，其
中Q为产生的热量(单位：J)，I为电流(单位：A)，R为导线电阻(单
位：Ω)，t为通电时间(单位：s)．若导线电阻为5 Ω，通电2 s内导线产
生90 J的热量，求通过导线的电流大小．
解：由题意，得R＝5 Ω，t＝2 s，Q＝90 J.
代入公式Q＝I2Rt，得I2·5×2＝90，
即I2＝9.
所以I＝ ＝3.所以通过导线的电流为3 A．
9． 规律探究我们知道122＝144.
(1)计算下列各式的值：
＝ ； ＝ ；
＝ ； ＝ ．
(2)通过以上计算可以发现规律：把一个数的小数点向左移动两位，
这个数的算术平方根的小数点就( C )
A． 向左移动两位 B． 向右移动两位
C． 向左移动一位 D． 向右移动一位
12
120
1.2
0.12
C
(3)用含有字母的式子表示上面各式中的规律：若 ＝b，则
＝ ．
10b(共17张PPT)
第八章 实数
第8课 实数章末复习
0
≥
负
0
一一
一、选择题
1． 下列说法正确的是( C )
A． 4的算术平方根是±2
B． －16的算术平方根是4
C． －1是1的一个平方根
D． 27的立方根是±3
C
2． 有理数a2＝(－6)2，则a等于( D )
A． －6 B． 6 C． 36 D． ±6
D
3． 故宫旧称紫禁城，是世界现存最大、最完整的古建筑群，被誉
为世界五大宫之首．故宫太和门庭院的长宽比满足黄金分割比 ，所
以看起来赏心悦目，请你估算 的值在( C )
A． －1到0之间 B． 0到0.5之间
C． 0.5到1之间 D． 1到2之间
C
4． 一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是( A )
A． 0或1 B． 0，－1和1
C． 0或－1 D． －1和1
A
5． 若2x－4与1－3x是同一个正数的平方根，则x的值为( C )
A． 1 B． －3 C． 1或－3 D． ±1
C
6． 若y＝ + ＋3，则xy＝( D )
A． －15 B． －9 C． 9 D． 15
D
二、填空题
7．1 的平方根是 ± ．
8． 写出两个介于4和5之间的无理数： ．
9． 定义新运算：对于实数a，b，有a☆b＝ - .如4☆(－27)
＝ - ＝2＋3＝5，则9☆(－125)＝ ．
±
(答案不唯一)
8
10． 如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示－1的点为圆
心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于A，B两点，则点A表示的
数为 ．
－1
三、解答题
11． 把下列各数分别填在相应的横线上．
－2，－π， ，0， ，＋3.14.
整数：{ …}；
无理数：{ …}；
负实数：{ …}；
正分数：{ …}．
－2，0
－π，
－2，－π
，3.14
12． 计算：
(1) + ＋(－1)2 026；
解：原式＝5＋(－2)＋1＝4.
(2)2(－1)＋| －2|－ － .
解：原式＝2 －2＋2－ －4－3
＝ －7.
13． 求式子(2x＋1)2－1＝8中x的值．
解：因为(2x＋1)2－1＝8，
所以(2x＋1)2＝9.
所以2x＋1＝±3.所以x＝－2或x＝1.
14． 已知3a＋2的立方根是－1，2a＋b－3的算术平方根是2，c
是 的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
解：(1)因为3a＋2的立方根是－1，所以3a＋2＝(－1)3.
所以a＝－1.
因为2a＋b－3的算术平方根是2，所以2a＋b－3＝22.
所以－2＋b－3＝4.所以b＝9.
因为4<6<9，所以2< <3.
又c是 的整数部分，所以c＝2.
综上所述，a＝－1，b＝9，c＝2.
(2)求 的平方根．
(2)因为a＝－1，b＝9，c＝2，
所以b＋3c－a＝9＋6－(－1)＝16.
所以 ＝4.
所以 的平方根是±2.
15． 如图，两个正方体摞在一起(大正方体放在地上)，大正方体的
体积为125 cm3，小正方体的表面积为24 cm2(包括与大正方体重叠的部
分)，那么这个物体的最高点A离地面C的距离是多少厘米？
解：设大正方体的边长为 a cm，则a3＝125.所以a＝5.
设小正方体的边长为b cm，
则6b2＝24.
所以b＝2(负值已舍去)．
所以AC＝AB＋BC＝b＋a＝2＋5＝7(cm)．
答：这个物体的最高点A离地面C的距离是7 cm.(共18张PPT)
第八章 实数
第5课 立方根(2)
开立方
例1 求下列各式的值：
(1) ＝ ；
(2)－ ＝ ；
(3) ＝ ；
(4) ≈ (用计算器计算，精确到0.001)．
归纳： ＝－ .
－10
4
8.921
1． 求下列各式的值：
(1)－ ＝ ；
(2)－ ＝ ；
(3)－ + ＝ ；
(4) ≈ (用计算器计算，精确到0.001)．
－3
－5
－0.753
估算立方根的取值范围
例2 下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？
(1) ; (2) .
(1)解：因为13＝1，23＝8，1＜7＜8，
所以1＜ ＜2.
(2)解：因为(－3)3＝－27，(－4)3＝－64，－64＜－28＜－27，所以
－4＜ ＜－3.
2． 下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？
(1) ； (2)－ .
(1)解：因为43＝64，53＝125，64＜99＜125，所以4＜ ＜5.
(2)解：因为63＝216，73＝343，216＜340＜343，所以6＜
＜7.
所以－7＜－ ＜－6.
比较大小
例3 比较下列各组数的大小：
(1) 和2； (2) 和 .
(1)解：()3＝7，23＝8.
因为7＜8，所以 ＜ ，即 ＜2.
(2)解：()3＝3， ＝ .
因为3＝ ＜ ，所以 ＜ ，即 ＜ .
3． 比较下列各组数的大小：
(1) 和2.5; (2) 和－3.
(1)解：()3＝9，2.53＝15.625.
因为9＜15.625，
所以 ＜ ，即 ＜2.5.
(2)解：()3＝－26，(－3)3＝－27.
因为－26>－27，
所以 > ，即 >－3.
1． 估算 的值在( D )
A． 1和2之间 B． 2和3之间
C． 3和4之间 D． 4和5之间
D
2． 下列计算正确的是( C )
A． ＝－2
B． (－ )2＝－2
C． ＝－2
D． ＝±2
C
3． 用计算器计算 的值约为( B )
A． 3.049 B． 3.050
C． 3.051 D． 3.052
B
4． 求下列各式的值：
(1) ＝ ；
(2)－ ＝ ；
(3) ＝ ；
(4)－ ＝ － ．
10
1
－0.1
－
5． 估算 介于哪两个相邻的整数之间？
解：因为83＝512，93＝729，512＜635＜729，
所以8＜ ＜9.
6． 【人教七下P51习题T3变式】比较下列各组数的大小：
(1) 与2；
解：()3＝9，23＝8.
因为9＞8，所以 > ，即 >2.
(2)－ 与－3.4.
解：(－ )3＝－42，－3.43＝－39.304.
因为－42<－39.304，
所以－ <－ ，
即－ <－3.4.
7． 比较 和 的大小．
解：因为 < < ，所以2< <3.
因为 < < ，所以3< <4.
所以 < .
8． 计算：(－ )2＋ - - .
解：原式＝3＋ －(－3)－2
＝3＋ ＋3－2
＝4＋
＝ .
9． 规律探究【人教七下P50探究改编】利用计算器计算下表中各数
的立方根，结果如下：
n … 0.000 216 0.216 216 216 000 …
… 0.06 0.6 6 60 …
(1)从运算结果你能发现什么规律，用文字描述出来．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：
已知 ≈1.333， ≈2.872，求下列各数的立方根：
① ≈ ；
0.287 2
② ≈ ．
解：被开方数的小数点向右或向左移动3k位，它的立方根的小数
点就相应地向右或向左移动k位．(答案不唯一)
13.33
n … 0.000 216 0.216 216 216 000 …
… 0.06 0.6 6 60 …(共15张PPT)
第八章 实数
第4课 立方根(1)
立方根的概念与性质
1． (1)立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3
＝a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根．
(2)立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“ ”表
示，读作“ ”，其中a是 ，3是根指数．
(3)求一个数的立方根的运算，叫作 ．开立方与立方互
为逆运算．
三次根号a
被开方数
开立方
例1 根据立方根的意义填空：
(1)因为23＝8，所以8的立方根是 ，即 ＝ ；
(2)因为( )3＝ ，所以 的立方根是 ，即 ＝ ；
(3)因为( )3＝－0.064，所以－0.064的立方根是 ，即 ＝ ．
2
2
－0.4
－0.4
－0.4
2． 根据立方根的意义填空：
(1)1的立方根是 ；
(2)－0.125的立方根是 ；
(3) 是 的立方根；
(4)－4的立方根是 ；
(5)0的立方根是 ．
1
－0.5
0
平方根与立方根的区别
类别 平方根 立方根
定义 若x2＝a，则x叫作a的平方
根或二次方根 若x3＝a，则x叫作a的立方
根或三次方根
表示方法 ± (a≥0)
性质 正数有两个平方根，一正一
负，且互为相反数；负数没
有平方根 正数有一个立方根，仍
为 ，负数有一个立
方根，仍为
正数
负数
求立方根
例2 求下列各式中x的值：
(1)x3－64＝0； (2)8x3＝125.
(1)解：因为x3－64＝0，所以x3＝64.
所以x＝ .所以x＝4.
(2)解：因为8x3＝125，所以x3＝ .
所以x＝ .所以x＝ .
3． 求下列各式中x的值：
(1)64x3－27＝0； (2)(x＋5)3＝27.
(1)解：因为64x3－27＝0，所以x3＝ .
所以x＝ .所以x＝ .
(2)解：因为(x＋5)3＝27，所以x＋5＝ .
所以x＋5＝3.所以x＝－2.
例3 一个正方体木块的体积为1 000 cm3，现要把它锯成8块同样大
小的正方体小木块，小木块的棱长是多少？
解：由题意，得每个正方体小木块的体积为 1 000÷8＝125(cm3)．
因为53＝125，
所以每个小木块的棱长为5 cm.
4． 【人教七下P51习题T6变式】如图，圆柱形容器的容积为81升，
它的底面直径是高的2倍．(π取3)
(1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？
(2)若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作
这个圆柱形容器需要铁皮 平方分米．(不计损耗)
解：设这个圆柱形容器的高为x分米，则它的底面直径是2x分米．
依题意，得πx2·x＝81.
所以3x3＝81，即x3＝27.
108
解得x＝3.所以2x＝6.
答：这个圆柱形容器的底面直径为6分米．
1．512的立方根是( A )
A． 8 B． －8 C． 4 D． －4
A
2． 下列说法中不正确的是( D )
A． 27的立方根是3
B． －8的立方根是－2
C． 的立方根为2
D． 125的立方根为±5
D
3． 填空：
(1)－1的立方根是 ；
(2)－0.027的立方根是 ；
(3) 的立方根是 ．
－1
－0.3
4． 求下列各式中x的值：
(1)2x3＝－250；
解：因为2x3＝－250，所以x3＝－125.
所以x＝ .所以x＝－5.
(2)(x＋3)3＋27＝0.
解：因为(x＋3)3＋27＝0，
所以(x＋3)3＝－27.
所以x＋3＝ .所以x＋3＝－3.
所以x＝－6.
5． 的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，
求7a＋6b的立方根．
解：因为9<13<16，所以 < < ，即3< <4.所以 的
整数部分a＝3.
因为b是算术平方根等于本身的正整数，
所以b＝1.
所以7a＋6b＝7×3＋6×1＝27.
所以7a＋6b的立方根是 ＝3.
6． 应用意识球形容器又称球罐，壳体是球形，是贮存和运输各种
气体、液体的一种有效、经济的压力容器．现某公司要生产一种容积为
36π升的球形容器存放某种特殊气体，则这种球形的内半径是多少分
米？(提示：球的体积公式是V＝ πR3，其中R是球的半径，1升＝1立
方分米)
解：设这种球形的内半径是R分米．
由题意，得 πR3＝36π.
所以R3＝27.所以R＝3.
答：这种球形的内半径是3分米．(共19张PPT)
第八章 实数
第6课 实数及其简单运算(1)——实数的概念及分类
无理数的相关概念及分类
1． 小数叫作无理数．无理数是不能写成两个整数
之比(分数)的数．
常考的无理数包含以下三类：
无限不循环
①以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.101 001 000 1…；
②含π的数，如π，π－1， ；
③开方开不尽的数，如 ， .
例1 下列各数中是无理数的是( B )
A． － B． C． |－2| D．
B
2． 下列各数：3.141 59，－ ，－π，－ ， ，0.131 131
113…，其中无理数有 个．
2
实数的概念及分类
3． 概念：有理数和无理数统称实数．
例2 把下列各数分别填入相应的集合中：
－3，7， ，0， ，0.717 117 111 7…，－0.86，π.
正有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
7，
－3，7，0
，0.717 117 111 7…，π
4． 下列说法正确的是( D )
A. 正整数和负整数统称整数
B. 正数、0、负数统称有理数
C. 开方开不尽的数和π统称无理数
D. 有理数和无理数统称为实数
D
实数与数轴
5． 数与数轴上的点是一一对应的．
例3 如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：－ ，
π，0，2，－ .
点A对应数 － ，点B对应数 － ，点O对应
数 ，点C对应数 ，点D对应数 ．
实
－
－
0
2
π
6． 把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．
0，3.5，－4， ，－2 .
解：在数轴上表示如图．
所以－4<－2 <0< <3.5.
实数的大小比较
例4 比较大小：
(1) 2； (2)3.14 π；
(3)3 ; (4)－ － .
＞
＜
＞
＜
7． 比较大小：
(1)－ －3； (2)1.41 ；
(3)π ； (4) －2 －3.
＞
＜
＜
＞
1． (日照中考)实数－ ，0， ，1.732中无理数是( C )
A． － B． 0 C． D． 1.732
C
2． (2025·淄博)下列四个实数中，比－2大的无理数是( C )
A． 0 B． －1 C． － D． －
C
3． 下列说法中，不正确的是( A )
A． 和2π都是无理数
B． 和 都是有理数
C． 实数包括有理数和无理数
D． 所有实数都可以用数轴上的点来表示
A
4． 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理
数是( C )
A． － B． － C． D．
C
5． 比较大小：(填“＞”“＜”或“＝”)
(1)3 ； (2) π；
(3)3 ； (4)－ － .
＜
＞
＜
＜
6． (1)已知实数－ ，0.16， ，π， ， ，其中为无理数的
有 ．
(2)写出比 大且比 小的整数： ．
，π，
2和3
7． 如图，已知数轴上的点A，B，C，D分别表示数－2，1，2，
3，则表示数3－ 的点P应落在线段( B )
A． AO上 B． OB上
C． BC上 D． CD上
B
8． 【人教七下P53思考改编】如图，直径为1个单位长度的圆从点A出发，沿数轴滚动(无滑动)一周到达点B，则点B表示的数是 ．
π－1或－π－1(共6张PPT)
第八章 实数
口算求立方根
例 【人教七下P59数学活动2变式】阅读理解下面内容，并解
决问题：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59 319，求出它的立方根，华罗庚脱口而出：39.
你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？请阅读下面的
方法：
(1)由103＝1 000，1003＝1 000 000，你能确定 是几位
数吗？
因为1 000<59 319<1 000 000，所以10< <100.
所以 是两位数．
(2)由59 319的个位上的数是9，你能确定 的个位上的数是
几吗？
因为只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以 的个
位数是9.
(3)如果划去59 319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此
你能确定 的十位上的数是几吗？
因为27<59<64，所以30< <40.所以 的十位数是3.
所以59 319的立方根是39.
已知整数110 592是整数的立方，按照上述方法，求
的值．
解：因为1 000<110 592<1 000 000，
所以10< <100.所以 是两位数．
因为只有个位数是8的立方数的个位数是2，
所以 的个位数是8.
因为64<110<125，即43<110<53，
所以40< <50.
所以 的十位数是4.
所以 的值是48.
