(共15张PPT)
第七章 相交线与平行线
第5课 平行线(2)
平行线的判定方法1
1． 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那
么这两条直线平行．简单说成： 相等，两直线平行．
几何语言：如图，∵ (已知)，∴l1∥l2(同位角相等，两
直线平行)．
同位角
∠1＝∠2
例1 如图，直线AB，CD被EF所截．若∠1＝70°，∠2＝70°.试说
明：AB∥CD.
解：∵∠1＝70°，∠2＝70°(已知)，
∴∠1＝ (等量代换)．
∴ ( )．
∠2
AB∥CD
同位角相等，两直线平行
2． 如图，直线AB与射线DE相交于点O，∠BOE＝130°，∠D＝
50°，AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD. 理由如下．
∵∠BOE＝130°，∴∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－130°＝50°.
∵∠D＝50°，∴∠AOE＝∠D.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
平行线的判定方法2，3
例2 【探究】利用“同位角相等，两直线平行”得到“内错角相等，两
直线平行”．
如图，由∠2＝∠3，尝试推出：a∥b.
解：∵∠2＝∠3(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
【结论】判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角 ，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线 ．
几何语言：如图，∵ (已知)，
∴a∥b(内错角相等，两直线平行).
相等
平行
∠2＝∠3
3． 【探究】利用“同位角(内错角)相等，两直线平行”得到“同旁内角
互补，两直线平行”．
如图，由∠1＋∠2＝180°，尝试推出：a∥b.
解：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∠1＋∠3＝180°(邻补角的定义)，
∴∠2＝∠3(同角的补角相等)．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
【结论】判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内
角 ，那么这两条直线平行．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
几何语言：如图，
∵ (已知)，
∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
互补
∠1＋∠2＝180°
例3 【人教七下P14练习T1改编】如图，填空：
(1)∵∠B＝∠DCG，∴ ∥ ，依据是
；
(2)∵∠D＝∠DCG，∴ ∥ ，依据是
；
AB
CD
同位角相等，
两直线平行
AD
BC
内错角相等，
两直线平行
(3)∵∠D＋∠DFE＝180°，∴ ∥ ，依据是
．
AD
EF
同旁
内角互补，两直线平行
4． 如图，完成下列推理：
(1)∵∠1＝∠C，∴ ∥ ( )；
(2)∵∠2＝∠BED，∴ ∥ ( )；
ED
AC
同位角相等，两直线平行
AB
FD
内错角相等，两直线平行
(3)∵∠A＋∠ ＝180°，∴AF∥DE(
)．
AED
同旁内角互补，两
直线平行
1． 如图，用直尺和三角尺作直线AB，CD，则直线AB与直线CD
的位置关系为 ，得到这个结论的理由是
．
平行
同位角相等，两直线
平行
2． (2025·宁夏)如图，直线l1，l2被直线l3所截，根据“同位角相
等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是( C )
A． ∠1＝∠2 B． ∠1＝∠3
C． ∠1＝∠4 D． ∠2＝∠3
C
3． 如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安
大街互相平行，他判断的依据是( B )
A． 同位角相等，两直线平行
B． 内错角相等，两直线平行
C． 同旁内角互补，两直线平行
D． 对顶角相等
B
4． 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要
使木条a与b平行，木条b，c不动，木条a旋转的度数至少是( C )
A． 15°
B． 25°
C． 35°
D． 50°
C
5． 如图，已知∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠2，试说明：DE∥BC.
解：∵∠3＋∠4＝180°，∠1＋∠4＝180°，
∴∠1＝∠3.
又∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.
∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)．(共17张PPT)
第七章 相交线与平行线
第4课 平行线(1)
平行线的定义
1． (1)如图，在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关
系： 和 ．
注意：①垂直是相交的一种特殊情况；
②重合的直线只视为一条直线．
(2)平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线a，b叫作平行
线，记作a b．
相交
平行
∥
2． 下列图形中，AB∥CD的是( B )
B
平行线的画法
3． 平行线的画法：一“落”、二“靠”、三“推”、四“画”
例1 如图，在∠AOB内有一点P.
(1)过点P画l1∥OA；
解：(1)如图，直线l1即为所求．
(2)过点P画l2∥OB.
解：(2)如图，直线l2即为所求．
4． 如图，在三角形ABC中，点E为边BC上一点，按下列要求画
图：
(1)过点E画线段EF∥AC交AB于点F；
解：(1)如图，线段EF即为所求．
(2)过点E画线段EG∥AB交AC于点G.
解：(2)如图，线段EG即为所求．
平行线的基本事实和推论
5． (1)基本事实：过直线外一点有且只有 直线与这条直线
平行．
(2)推论(平行的传递性)：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行．
几何语言：因为b∥a，c∥a，所以 ．
一条
b∥c
例2 如图．
(1)经过点C能画出 条直线；
(2)与直线AB平行的直线有 条；
(3)若过点C画直线AB的平行线，则能画出 条，并在图中画出；
无数
无数
1
(4)过点D画直线AB的平行线，它与(3)中所画的直线 ．(填
“平行”或“不平行”)
平行
6． 如图，点E在∠ABF内．
(1)过点E画EG∥AB，交BF于点G，过点E画EH∥BF，交AB于
点H；
解：(1)如图，直线EG，EH即为所求．
(2)若AB∥CD，则EG与CD的位置关系是什么？为什么？
解：(2)EG∥CD.
理由如下：因为AB∥CD，EG∥AB，所以EG∥CD.
1． 小明列举生活中的几个例子：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边．其中属于平行线的有( D )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
D
2． 如图，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的
位置关系是( A )
A． 平行 B． 垂直
C． 平行或垂直 D． 无法确定
A
3． 如图，已知OM∥a，ON∥a，则点O，M，N三点共线的理
由是 ．
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
4． 下面给出的图形中，分别有直线、射线、线段，能相交的
是 ，一定平行的是 ．(填序号)
①④
⑤
5． 【人教七下P21习题T13改编】观察如图所示的长方体，回答下
列问题：
(1)与线段AB平行的线段是 ．
(2)AB与DH所在直线不相交，它们 (填“是”或“不是”)平
行线．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线．
CD，EF和GH
不是
同一平面
6． 如图，在方格纸中有两条线段AB，BC，利用方格纸完成以下
操作：
(1)过点A画BC的平行线；
解：(1)如图，直线AE即为所求．
(2)过点C画AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D；
解：(2)如图，直线CD即为所求．
(3)用符号表示出图中的平行线．
解：(3)BC∥AE，AB∥CD.(共20张PPT)
第七章 相交线与平行线
第9课 定义、命题、定理
定义与命题的概念
1． (1)定义：对数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的
定义．
(2)命题：可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作
命题．
例1 判断下列语句是定义还是命题，两者都不是的画“×”．
(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴．( 定义 )
(2)两直线平行，同位角相等．( 命题 )
(3)点到直线的距离．( × )
定义
命题
×
2． 下列语句中，不是命题的是( D )
A. 两点之间，线段最短
B. 两个锐角的和是钝角
C. 不是对顶角的角不相等
D. 过直线AB外一点P作直线AB的垂线
D
命题的结构
3． 命题由 和 两部分组成，命题可以写成“如
果……那么……”的形式．
题设
结论
例2 【人教七下P23练习T3节选】指出下列命题的题设和结论：
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC＝90°；
题设： ，
结论： ．
(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3.
题设： ，
结论： ．
AB⊥CD，垂足为O
∠AOC＝90°
∠1＝∠2，∠2＝∠3
∠1＝∠3
4． 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式：
(1)同位角相等，两直线平行；
解：(1)如果同位角相等，那么这两条直线平行．
(2)对顶角相等．
解：(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
命题的真假
5． 被判断为正确(或真)的命题叫作 命题，被判断为错误(或
假)的命题叫作 命题．
注意：判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命
题的题设，但不满足结论即可．
真
假
例3 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一反
例说明．
(1)两个锐角的和是钝角；
解：(1)假命题．反例：40°＋20°＝60°＜90°.
(2)不相等的角不是对顶角；
解：(2)真命题．
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
解：(3)真命题．
6． 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请说明理
由；如果是假命题，举一反例说明．
(1)若|a|＞4，则a＞4；
解：(1)假命题．反例：如|－5|＞4，但－5＜0.
(2)若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，则∠1＝∠3.
解：(2)真命题．理由：同角的余角相等．
定理与证明
7． (1)定理：经过推理证实的 命题叫作定理．
(2)证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理
过程叫作证明．
真
例4 如图，已知直线a∥b，求证：∠1与∠2互补．(将下面的证明过
程填写完整)
证明：∵a∥b( )，
∴∠1＝∠3( )．
∵ (邻补角互补)，
∴∠1＋∠2＝180°( )．
∴∠1与∠2互补( )．
已知
两直线平行，同位角相等
∠3＋∠2＝180°
等量代换
补角的定义
8． 完成下列证明．
如图，DE∥BC，∠DEB＝∠GFC. 求证：BE∥FG.
证明：∵DE∥BC(已知)，
∴∠DEB＝ ( )．
∵∠DEB＝∠GFC(已知)，∴ ＝∠GFC( )．
∴BE∥FG( )．
∠EBC
两直线平行，内错角相等
∠EBC
等量代换
同位角相等，两直线平行
1． 下列语句中，属于定义的是( C )
A． x与y的和等于0吗？
B． 作已知角的平分线
C． 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D． 方程中含有未知数
C
2． 将命题“同角的余角相等”，改写成“如果……那么……”的形
式： ．
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
3． 下列能作为证明依据的是( D )
A． 已知条件 B． 定义和基本事实
C． 定理和推论 D． 以上三项都可以
D
4． (2025·攀枝花)请你取一个a的值，说明命题“|a－1|＝a－1”是
假命题，那么a＝ ．
0(答案不唯一)
5． 完成下列证明．
如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠B，求证：∠C＝∠D.
证明：∵∠A＝∠B，∴AC∥BD( )．
∴∠C＝∠D( )．
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
6． 【人教七下P24练习T2改编】判断下列命题是真命题还是假命
题，如果是假命题，举一反例说明．
(1)如果一个有理数既不是正数，也不是负数，那么它一定是0；
解：(1)真命题．
(2)同旁内角互补．
解：(2)假命题．反例：如图，∠1和∠2是同旁内角且都是锐角，所
以∠1＋∠2＜180°，即∠1和∠2不互补．
7． 推理能力在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②
∠A＝∠C；③∠B＝∠D.
以其中两个论断作为题设，另外一个作为结论，用“如果……那
么……”的形式，写出一个你认为正确的命题，并说明理由．
解：命题：如图，在四边形ABCD中，如果AB∥DC，∠A＝
∠C，那么∠B＝∠D.
理由如下：∵AB∥DC，∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°.
又∠A＝∠C，∴∠B＝∠D. (答案不唯一)(共15张PPT)
第七章 相交线与平行线
第12课 相交线与平行线章末复习
相等
最短
不相交
有且只有
平行
相等
相等
互补
题设
结论
一、选择题
1． 如图，直线a与直线b相交于一点．若∠1＋∠3＝240°，则
∠2的度数为( B )
A． 55° B． 60° C． 62° D． 120°
B
2． 如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为
( A )
A． 35° B． 45° C． 50° D． 55°
A
3． 如图，一块长95 m、宽55 m的长方形土地上修了两条小路，宽
都是5 m，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是( B )
A． 5 225 m2
B． 4 500 m2
C． 4 750 m2
D． 4 950 m2
B
二、填空题
4． 命题“如果直线a∥b，直线c∥b，那么直线a∥c”是 ．(填“真命题”或“假命题”)
5． 如图，将直角三角形ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位
置，连接BE，若CD＝6，AF＝14，则BE的长为 ．
真命题
4
6． 如图，已知∠B＋∠DAB＝180°，AC平分∠DAB，如果
∠C＝50°，那么∠B＝ ．
80°
三、解答题
7． 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用格点和直尺画图：
(1)补全△A′B′C′；
(2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD；
(3)利用格点过点B画AC的垂线BE，垂足为E.
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
解：(2)如图，线段BD即为所求．
解：(3)如图，线段BE即为所求．
8． 如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，
EF∥DC，且∠1＋∠2＝180°.
(1)求证：∠A＝∠BDH；
(1)证明：∵EF∥DC，
∴∠2＋∠FCD＝180°.
∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠FCD.
∴DH∥AC.
∴∠A＝∠BDH.
(2)若CD平分∠ACB，∠AFE＝30°，求∠BHD的度数．
(2)解：∵EF∥DC，∠AFE＝30°，
∴∠ACD＝∠AFE＝30°.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝2×30°＝60°.
由(1)知DH∥AC. ∴∠BHD＝∠ACB＝60°.
9． 【感知探究】(1)如图1，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD
上．求证：∠MEN＝∠BME＋∠DNE.
(1)证明：如答图1，过点E作EF∥AB.
∴∠MEF＝∠BME.
又AB∥CD，∴EF∥CD. ∴∠NEF＝∠DNE.
∴∠MEN＝∠MEF＋∠NEF＝∠BME＋∠DNE．
【类比迁移】(2)如图2，∠MFN，∠BMF，∠DNF的数量关系
为 ．(不需要证明)
(2)提示：如答图2，过点F作FK∥AB.
∴∠BMF＝∠MFK.
∵AB∥CD，∴FK∥CD.
∴∠DNF＝∠KFN.
∴∠MFN＝∠MFK－∠KFN＝∠BMF－∠DNF，即∠BMF＝
∠MFN＋∠DNF.
∠BMF＝∠MFN＋∠DNF
【结论应用】(3)如图3，AB∥DE，∠A＝120°，∠D＝80°，
求∠ACD的度数．
(3)解：如答图3，过点C作CG∥AB.
∴∠GCA＋∠A＝180°.
∴∠GCA＝180°－∠A＝60°.
∵AB∥DE，∴CG∥DE.
∴∠GCD＝∠D＝80°.
∴∠ACD＝∠GCD－∠GCA＝20°.(共19张PPT)
第七章 相交线与平行线
第2课 相交线(2)——垂线与垂线段
垂直的定义及性质
类别 垂直的定义 图例 垂直的性质
垂线 直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°，则这两条直线互相垂直，记作AB⊥CD，垂足为O 两条直线互相垂直，则它们的夹角为90°
类别 垂直的定义 图例 垂直的性质
几何语言 因为∠AOC＝90°，所以AB⊥CD 如图，因为AB⊥CD，所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOD＝∠BOD＝ °
90
例1 如图，已知OA⊥OB.
(1)若∠BOC＝60°，则∠AOC＝ °.
(2)若∠AOC＝150°，则∠BOC＝ °.
150
60
1． 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠AOC＝
35°，则∠COE＝ ，∠EOD＝ ．
55°
125°
垂线的画法及基本事实
2． 垂线的画法：一“落”、二“移”、三“画”
(1)一“落”：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直
线重合；
(2)二“移”：沿直线移动三角尺，使其另一直角边经过所给的点；
(3)三“画”：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直．
3． 按下列要求画图．
(1)如图1，过点P画射线AB的垂线l；
解：(1)如图1，直线l即为所求．
(2)如图2，过点P画线段AB的垂线，垂足为Q.
解：(2)如图2，直线PQ即为所求．
垂线段最短
4． (1)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 ．简单说成：垂线段最短．
(2)直线外一点到这条直线的 的 ，叫作点到直线
的距离．
最短
垂线段
长度
例2 如图，AB⊥BC，垂足为B，BC＝3 cm，AB＝4 cm，AC＝5
cm.
(1)点C到AB的距离是 cm；
(2)点A到BC的距离是 cm；
(3)A，C两点之间的距离是 cm.
3
4
5
5． 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝10 cm，BC＝8
cm，AC＝6 cm，CD＝4.8 cm，则
(1)点A到BC的距离是 cm；
(2)点C到AB的距离是 cm；
(3)点B到AC的距离是 cm.
6
4.8
8
例3 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁边有一超市，现要
建一汽车站，为了使超市距离车站最近．请你在公路上选一点来建汽车
站，并说明理由．
解：如图，过超市向公路画垂线，垂足即为汽车站的位置．
理由：垂线段最短．
6． 如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示河
流与铁路．
(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
解：(1)如图，线段AB即为所求．理由：两点之间，线段最短．
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由．
解：(2)如图，线段BC即为所求．
理由：垂线段最短．
1． 如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝
58°，则∠EOB的大小为( B )
A． 29° B． 32° C． 45° D． 58°
B
2． (2025·陕西)如图，点O在直线AB上，OC⊥OD. 若∠1＝
40°，则∠2的度数为( B )
A． 120° B． 130°
C． 140° D． 150°
B
3． 如图，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13 cm，BD＝5 cm，
AD＝12 cm，CD＝9.6 cm.则
(1)点A到BC的距离是 cm；
(2)点C到AD的距离是 cm；
(3)A，B两点之间的距离是 cm.
12
9.6
13
4． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
5． 推理能力如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOD
的平分线，OF是∠AOD的平分线．
(1)若∠BOD＝60°，求∠EOF的度数；
解：(1)因为∠BOD＝60°，
所以∠AOD＝180°－∠BOD＝120°.
因为OE，OF分别是∠BOD和∠AOD的平分线，
所以∠DOE＝ ∠BOD＝30°，∠DOF＝ ∠AOD＝60°.
所以∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝30°＋60°＝90°.
(2)试说明：无论∠BOD为多少度，均有OE⊥OF.
(2)因为OE，OF分别是∠BOD和∠AOD的平分线，
所以∠DOE＝ ∠BOD，∠DOF＝ ∠AOD.
因为∠BOD＋∠AOD＝180°，
所以∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝ (∠BOD＋∠AOD )＝90°，
即OE⊥OF.
所以无论∠BOD为多少度，均有OE⊥OF.(共18张PPT)
第七章 相交线与平行线
第3课 相交线(3)——同位角、内错角、同旁内角
同位角、内错角、同旁内角
图示 三种角 定义 举例 模型
三线八角 同位角 位于直线AB，CD的同一侧，并且都在直线EF的同侧的两个角 ∠1和 ∠3和 “F”型
∠5
∠7
图示 三种角 定义 举例 模型
三线八角 内错角 位于直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧的两个角 ∠4和 ∠5和 “Z”型
同旁内角 位于直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同一旁的两个角 ∠3和 ∠5和 “U”型
∠6
∠3
∠6
∠4
例1 如图，分别在横线上写出∠1和∠2是什么位置关系的角．
同位角
内错角
同旁内角
1． 如图，按角的位置关系填空：
(1)∠1与∠2是 角；
(2)∠2与∠4是 角；
(3)∠3与∠2是 角．
同位
同旁内
内错
例2 【人教七下P7例3】如图，直线DE，BC被直线AB所截．
(1)∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？
解：(1)∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同
位角．
(2)如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
(2)∠1和∠2相等，∠1和∠3互补．理由如下：
因为∠1＝∠4，∠4＝∠2，所以∠1＝∠2.
因为∠1＝∠4，∠4＋∠3＝180°，
所以∠1＋∠3＝∠180°，即∠1和∠3互补．
2． 【人教七下P8练习T1(2)改编】如图，直线a，b被c所截．
(1)∠1和 是同位角；
(2)∠2和 是内错角；
(3)如果∠2＝∠6，那么∠2 ∠4；
(4)如果∠5＝85°，那么∠2的同位角等于 °，∠2的同旁内角
等于 °.
∠3
∠6
＝
95
85
例3 如图，填空：
(1)∠1和∠D是 角，是直线 和直线 被直
线 所截而形成的；
(2)∠2和∠3是 角，是直线 和直线 被直
线 所截而形成的；
同位
BC
AD
DE
内错
AB
CD
AC
(3)∠B和∠BCD是 角，是直线 和直线
被直线 所截而形成的．
同旁内
AB
DE(或
DC或CE)
BC
3． 如图，填空：
(1)∠4的内错角有 ；
(2)∠C的同旁内角有 个，分别是
；
(3)DE，AC被BC截得的同位角是 ；
(4)∠5和∠7是直线 和 被
直线 所截而成的 角．
∠2，∠6
5
∠2，∠3，∠BAC，
∠CDE，∠B
∠5和∠C
AB(或AE或BE)
BC(或CD或BD)
DE
内错
1． 如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是( C )
A． 对顶角
B． 同位角
C． 内错角
D． 同旁内角
C
2． (2025·攀枝花)如图，直线a截直线b，c所得的一对同位角是
( C )
A． ∠2与∠3
B． ∠1与∠4
C． ∠5与∠7
D． ∠1与∠8
C
3． 下列图形中，∠1与∠2是同旁内角的是( A )
A
4． 模型意识用双手表示“三线八角”图形(大拇指代表被截直线，食
指代表截线)．下面三幅图依次表示的是( B )
A． 同位角、同旁内角、内错角
B． 同位角、内错角、同旁内角
C． 同位角、对顶角、同旁内角
D． 同位角、内错角、对顶角
B
5． 跨学科如图，把一根筷子的一端放在水里，另一端露出水面，
会看到筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光
从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
(1)图中与∠1是同旁内角的有哪些角？与∠2是内错角的有哪些角？
解：(1)与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE和∠D；与∠2是内
错角的有∠MOE和∠AOE．
(2)若∠BOF＝65°，∠BOM＝145°，则从水面上看斜插入水中
的筷子，水下部分向上弯折了多少度？请说明理由．
(2)水下部分向上弯折了30°.理由如下：
因为∠BOF＝65°，∠BOF＋∠BOE＝180°，
所以∠BOE＝180°－∠BOF＝180°－65°＝115°.
因为∠BOM＝145°，
所以∠MOE＝∠BOM－∠BOE＝145°－115°＝30°.
所以水下部分向上弯折了30°.
6． 推理能力规律探究：
(1)如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成
了 对同旁内角；
(2)如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为点A，
B，C，图中一共有 对同旁内角；
2
6
(3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角；
24
(4)平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对
同旁内角．
n(n－1)(n－2)(共6张PPT)
第七章 相交线与平行线
利用平移设计图案
例 【人教七下P30探究与发现改编】综合与实践
主题：利用平移，设计非常美丽的图案．
素材：几张正方形白纸．
步骤1：如图1，在用平移作画的活动中，小颖仿照书上的例子设计了
一幅画，她画出很多边长是5 cm的小正方形．
步骤2：小颖画出图1中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移
相应曲线，得到“鸟”的样子．
【计算探究】(1)请你计算一只“鸟”的面积为 cm2；
25
【实践活动】(2)用平移可以设计很多美丽的图案，请利用正方形纸
片设计如图2所示的图案；
解：(2)如答图1，即为所求．
【艺术鉴赏】(3)如图3是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．该图形是将一个菱形(四边相等、对边平行)截去一个边长为原来一半的菱形，再镶嵌、着色而成，求图中∠ABC的度数；
(3)∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD＋∠BAE＋∠DAE＝
360°，∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°.
∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°.
【学科拓展】(4)中国历史上有名的军师诸葛亮，曾率精兵与司马懿
对阵．诸葛亮一挥扇子，军阵瞬时由图4中甲变为乙，其实他只平移了
其中的3颗棋子(3个三角形)，请你指出其中的奥秘．
(4)如答图2，平移3个三角形即可．(答案不唯一)(共14张PPT)
第七章 相交线与平行线
第11课 平移(2)
平移的作图
例1 如图，平移三角形ABC，使得点C平移到点C′，画出平移后的
三角形A′B′C′.
解：如图，三角形A′B′C′即为所求．
1． 如图，在网格图中，平移三角形ABC，使点A平移到点A1的位
置．画出平移后的三角形A1B1C1.
解：如图，三角形A1B1C1即为所求．
平移作图的步骤：①确定平移的方向和距离；②找到关键点的
对应点；③根据原图形顺次连接各对应点即可得到平移后的图形．
平移的应用
例2 某宾馆重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼
梯宽3 m，其剖面图如图所示，请计算铺此楼梯，需要购买地毯多少平
方米？
解：由平移的性质，得地毯的长为AB＋BC＝1.2＋2.4＝3.6(m)．
∴3.6×3＝10.8(m2)．
答：需要购买地毯10.8 m2.
2． 如图是一个升旗台台阶侧面示意图，如果要在台阶上铺地毯，那
么要买多长的地毯？
解：由平移的性质，得地毯的长度为5＋5＋15＝25(m)．
答：要买25 m长的地毯．
例3 如图，在长为32 m、宽为20 m的长方形土地上，修筑宽为2
m的两条互相垂直的小路，余下的部分作为耕地，求耕地的面积是
多少平方米．
解：运用图形的平移，将横向的小路平移到最下面，将纵向的小路平
移到最右面．
∴耕地的面积是(32－2)×(20－2)＝540(m2)．
答：耕地的面积是540 m2.
3． 如图，在一块长为7 m、宽为4 m的长方形草地上，有一条弯曲的
小路，小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线．求这块草地(阴影部
分)的面积．
解：由题意，得(7－1)×4＝6×4＝24(m2)．
答：这块草地的面积为24 m2.
1． 如图所示，从图形B到图形A的变化过程中，下列描述正确的
是( B )
A． 向上平移2格，向左平移4格
B． 向上平移1格，向左平移4格
C． 向上平移2格，向左平移5格
D． 向上平移1格，向左平移5格
B
2． 如图，在长方形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，则图中五个小
长方形的周长之和为 ．
14
3． 如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑
同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2 m，则绿化的面
积为 m2.
560
4． 分类讨论如图，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线
段AB平移后的线段CD.
解：如图，线段CD有两种情况．
当点A平移到点C时，则点D在点C的下方．
连接AC，过点B作BD∥AC，且使BD＝AC，连接CD，CD即
为所求．
当点B平移到点C时，则点D′在点C的上方．
连接BC，过点A作AD′∥BC，且使AD′＝BC，连接CD′，CD′
即为所求．
5． 应用意识如图，在由小正方形组成的网格图中，有a，b两户家用电路接入电表，a户电路接点与电表接入点之间所用电线长度为5 m，则b户电路接点与电表接入点之间所用电线长度为 m.
5
6． 数学建模【人教七下P30习题T6改编】如图，在一块长10 m、宽
6 m的长方形草地上，有人设计了3条不同的小路，任何地方小路的水平
宽度都是2 m.问在长方形草地上做路后，剩余草地部分的面积哪个大？
剩余草地部分的面积分别为多少？
解：剩余草地部分的面积都为(10－2)×6＝48(m2)．
所以一样大．
答：剩余草地部分的面积一样大，都为48m2.(共11张PPT)
第七章 相交线与平行线
第6课 平行线(3)
平行线的判定方法：
(1)定义法：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；(基本不用此方法进行判定)
(2)平行线的基本事实的推论(平行的传递性)：若b∥a，c∥a，则b∥c；
(3)判定方法1：同位角相等，两直线平行；
(4)判定方法2：内错角相等，两直线平行；
(5)判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
注意：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
平行线的判定＋垂线
例1 如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.
解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°.
∵∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠FCB.
∴BE∥CF.
1． 如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2，试判断
BM与DN是否平行，并说明理由．
解：BM与DN平行．
理由如下．
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABD＝∠CDF＝90°.
∵∠1＝∠2，
∴∠ABD＋∠1＝∠CDF＋∠2，即∠MBD＝∠NDF.
∴BM∥DN.
平行线的判定＋角平分线
例2 如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB
＝40°，∠AED＝80°，试说明DE∥BC.
解：∵CD平分∠ACB，
∠DCB＝40°，
∴∠ECB＝2∠DCB＝2×40°＝80°.
∵∠AED＝80°，∴∠ECB＝∠AED.
∴DE∥BC.
2． 如图，点B在直线DC上，BE平分∠ABD，∠ABC＝50°，
∠C＝65°，试说明BE∥AC.
解：∵∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝180°－∠ABC＝130°.
∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE＝∠ABE＝ ∠ABD＝65°.
∵∠C＝65°，∴∠DBE＝∠C.
∴BE∥AC.
例3 如图，点G在CD上，已知∠BAG＋∠AGD＝180°，AE平分
∠BAG，GF平分∠AGC． 请说明AE∥GF的理由．
解：∵∠BAG＋∠AGD＝180°，∠AGC＋∠AGD＝180°，
∴∠BAG＝∠AGC.
∵AE平分∠BAG，∴∠1＝ ∠BAG.
∵GF平分∠AGC，∴∠2＝ ∠AGC.
∴∠1＝∠2.
∴AE∥GF(内错角相等，两直线平行)．
3． 如图，EF分别与AB，CD相交于点M和点N，MP平分
∠AMF，NQ平分∠END，若∠AME＝∠DNF，试说明MP∥NQ.
解：∵∠AME＝∠DNF，∠AME＋∠AMF＝180°，∠DNF＋∠END＝180°，∴∠AMF＝∠END.
又MP平分∠AMF，NQ平分∠END，
∴∠PMF＝ ∠AMF，∠QNE＝ ∠END.
∴∠PMF＝∠QNE.
∴MP∥NQ(内错角相等，两直线平行)．
1． 如图，a，b是木工师傅用角尺在工件上画出的与工件边缘垂
直的两条垂线．这两条垂线平行的理由是 ．
同位角相等，两直线平行
2． 将一副三角尺拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE
交DE于点F. 求证：CF∥AB.
证明：依题意，得∠3＝45°，∠DCE＝90°.
∵CF平分∠DCE，
∴∠1＝∠2＝ ∠DCE＝45°.
∴∠1＝∠3.∴CF∥AB.
3． 数学模型如图，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，且
∠EBC与∠ECB互余．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
解：AB∥CD.
理由如下．∵∠EBC与∠ECB互余，∴∠EBC＋∠ECB＝90°.
∵BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠BCD＝2∠ECB.
∴∠ABC＋∠BCD＝2∠EBC＋2∠ECB＝2(∠EBC＋∠ECB)＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．(共8张PPT)
第七章 相交线与平行线
你有多少种画平行线的方法
例 【人教七下P32活动1改编】阅读下列材料，完成相应任务．
综合实践课上，老师出示如下问题：一张正方形纸片上有直线AB和
直线外一点P，请同学们按照小组为单位思考过点P作AB的平行线的
方法有哪些．
(1)李明使用直尺和量角器的画法如图1所示，判定AB∥EF的依据的
是 ．
同位角相等，两直线平行
(2)王芳是通过折纸画的，作法如下(如图2)：①确定条件直线AB和点
P；②过点P沿PC折叠纸片，使PC⊥AB于点C；③展平纸片，过点P
沿DE折叠纸片，使DE⊥折痕PC于点P；④将纸片展平，则DE∥AB.
求证：DE∥AB.
(2)证明：∵PC⊥AB，DE⊥PC，∴DE∥AB.
(3)李强同学在王芳同学折纸的基础上，提出了问题：如图3，连接
DF交AB于点H，连接DG，并在DG上找一点M，使得∠MPD＝
∠BHF，试判断线段PM与DF的位置关系，并说明理由．
(3)解：PM∥DF. 理由如下．
由题意，得∠PCA＝90°，DE∥AB.
∴∠GPD＝∠PCA＝90°.
∵∠PCA＋∠FCH＝180°，∠BHF＋∠CFH＋∠FCH＝180°，
∴∠PCA＝∠BHF＋∠CFH.
∵∠MPD＝∠BHF，∴∠GPD－∠MPD＝∠PCA－∠BHF.
∴∠GPM＝∠CFH，即∠GPM＝∠GFD. ∴PM∥DF.
变式 如图，在长方形纸片ABCD中，AB∥CD. 将长方形纸片沿EF
折叠．使AD落在A′D′处，再将纸片沿GH折叠，使得BC落在B′C′，
且B′，E，G，D′在同一直线上．求证：EF∥GH.
证明：∵AB∥CD，∴∠DEF＝∠EFG.
由折叠的性质，得∠DEF＝∠FEG. ∴∠EFG＝∠FEG.
∵∠EGB＋∠EGF＝180°，∠EFG＋∠FEG＋∠EGF＝180°，
∴∠EGB＝∠EFG＋∠FEG. ∴∠EGB＝2∠FEG.
由折叠的性质，得∠EGH＝∠BGH.
∴∠EGB＝2∠EGH.
∴∠EGH＝∠FEG. ∴EF∥GH.(共19张PPT)
第七章 相交线与平行线
第1课 相交线(1)——邻补角与对顶角
邻补角与对顶角的概念及性质
类别 概念 图例 性质 几何语言
邻补角 有一条公共
边，另一边互
为反向延长线
的两个角 邻补角 因为∠1与∠2
是邻补角，所
以
互补
∠1＋∠2
＝180°
类别 概念 图例 性质 几何语言
对顶角 有一个公共顶
点，并且其中
一角的两边分
别是另一角的
两边的反向延
长线 对顶角 因为∠1与∠2
是对顶角，所
以
相等
∠1＝∠2
注意：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角．
例1 【人教七下P3练习T1改编】下列图形中，∠1和∠2不是对顶角的
有( C )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
C
1． 下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是( D )
D
例2 如图，直线a，b相交于点O.
(1)∠1的对顶角是 ，∠1的邻补角是 ；
(2)若∠1＝70°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4
＝ ．
∠3
∠2和∠4
110°
70°
110°
2． 如图，直线AC，BD相交于点O.
(1)∠AOD的对顶角是 ，邻补角是
；
(2)若∠AOB＋∠COD＝100°，则∠AOB＝ °，∠COB
＝ °.
∠BOC
∠AOB和
∠COD
50
130
与对顶角、邻补角有关的计算
例3 如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOC＝70°，OA平分
∠EOC，求∠BOD的度数．
解：因为∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，
所以∠AOC＝ ∠EOC＝ ×70°＝35°.
所以∠BOD＝∠AOC＝35°.
3． 如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，
∠AOC＝30°，求∠BOE的度数．
解：因为∠AOC＝30°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝150°.
因为OE是∠AOD的平分线，
所以∠DOE＝ ∠AOD＝75°.
因为∠DOB＝∠AOC＝30°，
所以∠BOE＝∠DOB＋∠DOE＝105°.
例4 如图，直线a，b相交于点O，∠2＝2∠1，求∠3的度数．
解：设∠1＝x，则∠2＝2x.
因为∠1＋∠2＝180°，所以x＋2x＝180°.解得x＝60°.
所以∠1＝60°.
所以∠3＝∠1＝60°.
4． 如图，直线AB，CD相交于点O，∠1∶∠2＝2∶3，求∠2和∠3
的度数．
解：设∠1＝2x，∠2＝3x.
因为∠1＋∠2＝180°，所以2x＋3x＝180°.
解得x＝36°.
所以∠3＝∠1＝2×36°＝72°，
∠2＝3×36°＝108°.
1． (2025·广州)如图，直线AB，CD相交于点O. 若∠1＝36°，则
∠2的度数为 °.
144
2． 如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这
个扇形零件所对应的度数，那么这个破损扇形零件所对应的∠AOB的
度数是 ，它的原理是 ．
30°
对顶角相等
3． 如图，直线AB，CD相交于点O. 若∠1＝40°，∠2＝120°，
则∠COM的度数为( B )
A． 70°
B． 80°
C． 90°
D． 100°
B
4． 已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝ °.
35
5． 如图，直线a与b相交，则下列说法正确的是( D )
A． ∠1与∠3是邻补角
B． ∠3与∠4是对顶角
C． ∠1＝∠2
D． ∠2＝∠4
D
6． 方程思想如图，直线AB，CD，EF相交于点O，已知∠AOE
＝30°，∠BOC比∠AOC的2倍多30°.
(1)∠BOD的对顶角是 ，邻补角是
；
∠AOC
∠BOC和
∠AOD
(2)求∠DOF的度数．
解：设∠AOC＝x°，
则∠BOC＝(2x＋30)°.
因为∠AOC＋∠BOC＝180°，
所以x＋2x＋30＝180.解得x＝50.
所以∠AOC＝50°.
所以∠COE＝∠AOC－∠AOE＝50°－30°＝20°．
所以∠DOF＝∠COE＝20°.
7． 分类讨论两条直线相交所形成的四个角中，有两个角分别是
(2x－10)°和(110－x)°，则x＝ ．
40或80(共18张PPT)
第七章 相交线与平行线
第8课 平行线(5)
图例 平行线的判定与性质 文字语言 几何语言
判定：同位角 ，两直线平行 如图，∵ ，∴a∥b
性质：两直线平行，同位角 如图，∵a∥b，
∴
相等
∠1＝∠2
相等
∠1＝∠2
图例 平行线的判定与性质 文字语言 几何语言
判定：内错角 ，两直线平行 如图，∵ ，∴a∥b
性质：两直线平行，内错角 如图，∵a∥b，
∴
相等
∠1＝∠2
相等
∠1＝∠2
图例 平行线的判定与性质 文字语言 几何语言
判定：同旁内角 ，两直线平行 如图，∵ ，∴a∥b
性质：两直线平行，同旁
内角 如图，∵ ，
∴
互补
∠1＋∠2＝180°
互补
a∥b
∠1＋∠2＝180°
先性质再判定
例1 【人教七下P17例3】如图，已知直线a∥b，∠1＝∠3，那么直
线c与d平行吗？为什么？
解：直线c与d平行．理由如下．
∵a∥b，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
又∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.
∴c∥d(同位角相等，两直线平行)．
1． 如图，AD∥EF，∠1＝∠2.试说明DG∥AC.
解：∵AD∥EF，∴∠1＝∠DAC.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DAC.
∴DG∥AC.
先判定再性质
例2 【人教七下P18例4变式】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝55°，求
∠4的度数．
解：∵∠1＝∠2，∴l1∥l2.
∴∠3＝∠4.
∵∠3＝55°，∴∠4＝55°.
2． 如图，∠ADE＝60°，∠B＝60°，∠DEC＝140°，求∠C的
度数．
解：∵∠ADE＝60°，∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠B. ∴DE∥BC.
∴∠DEC＋∠C＝180°.
∵∠DEC＝140°，
∴∠C＝180°－∠DEC＝40°.
1． 如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝
50°，则∠D＝( D )
A． 20° B． 30° C． 40° D． 50°
D
2． 如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝
75°，则∠4的度数为( B )
A． 75° B． 105°
C． 115° D． 130°
B
3． 如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝70°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3＝ ．
55°
4． 如图，下列结论不正确的是( B )
A． 若∠2＝∠C，则AE∥CD
B． 若AD∥BC，则∠1＝∠B
C． 若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180°
D． 若∠1＝∠2，则AD∥BC
B
5． 如图，在三角形ABC中，点D是AC上一点，过点D作
DE∥BC交AB于点E，点F是BC上一点，连接DF. 若∠1＝∠AED.
(1)试说明DF∥AB；
解：(1)∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B.
又∠1＝∠AED，
∴∠B＝∠1.∴DF∥AB.
(2)若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠ADE的度数．
(2)∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠1＝50°.
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE＝2∠EDF＝100°.
∴∠ADE＝180°－∠CDE＝80°.
6． 如图，∠B＝∠C，∠A＝∠D. 下列结论：①AB∥CD；②AE∥DF；③AE⊥BC；④∠AMC＝∠BND. 其中正确的结论是( A )
A． ①②④
B． ②③④
C． ③④
D． ①②③④
A
7． 如图，已知AB∥CD，∠1＋∠2＝180°.
(1)请你判断AD与CE的位置关系，并说明理由；
解：(1)AD∥CE.
理由如下．
∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC.
∵∠1＋∠2＝180°，∴∠ADC＋∠2＝180°.
∴AD∥CE.
(2)若CE⊥AE于点E，∠2＝150°，试求∠FAB的度数．
(2)∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°.
由(1)知AD∥CE. ∴∠DAF＝∠AEC＝90°.
∵∠1＋∠2＝180°，∠2＝150°，∴∠1＝30°.
∴∠FAB＝∠DAF－∠1＝90°－30°＝60°.
8． 数学建模(2025·凉山州)如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，
∠ACE＝100°，则∠CED＝( B )
A． 30°
B． 40°
C． 60°
D． 80°
B(共20张PPT)
第七章 相交线与平行线
第10课 平移(1)
平移的概念
观察右面的图案，发现它们都是由若干个相同的图形组合而
成，其共同特点为：把其中某个图形作为“基本图形”，把这个“基本图
形”按某一 移动一定的 ，会得到一个完全相同的新图
形．
方向
距离
一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距
离，这样的图形运动叫作平移．
(1)平移的要素：平移的方向和平移的距离．
(2)图形平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可以沿平面内任何
方向平移．
例1 下列现象中，是平移的是( D )
A. 翻开书中的每一页纸张
B. 飞碟的快速转动
C. 将一张纸沿它的中线折叠
D. 电梯的上下移动
D
1． 下列现象中，不属于平移的是( B )
A. 汽车在平直的公路上直线走
B. 足球在操场上沿直线滚动
C. 气球沿直线上升
D. 雨滴沿直线从高空落下
B
例2 下列哪个图形可以由如图所示的图形平移得到( C )
C
2． 下列图形中，不能由基本图形通过平移得到的是( B )
B
平移的性质
3． 把一个图形平移，得到的新图形具有下列特点：
(1)新图形与原图形的形状和大小完全相同．
(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，
这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线
上)且相等．
例3 如图，平移三角形ABC得到三角形DEF，其中点A的对应点是
点D，则下列结论中不成立的是( D )
A. AD∥BE
B. AD＝BE
C. ∠ABC＝∠DEF
D. AD∥EF
D
4． 如图，平移三角形ABC可得三角形DEF.
(1)若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EDF＝ °，∠F
＝ °，∠DOB＝ °；
(2)若AD＝3，BD＝1，则DE＝ ．
50
60
60
4
1． 以下现象：①水管里水的流动；②滑雪运动员在笔直的雪道上滑行；③旋转的彩票大转盘；④传送带上的货物．其中是平移的是( D )
A． ①② B． ①③
C． ②③ D． ②④
D
2． 下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得
到另一个，这组图形是( D )
D
3． 在图形平移中，下列说法错误的是( C )
A． 图形上任意点移动的方向相同
B． 图形上任意点移动的距离相等
C． 图形上任意两点的连线的长度相同
D． 图形平移前后形状和大小不发生改变
C
4． 如图，将线段AB沿箭头方向平移2 cm得到线段CD，若AB＝3
cm，则四边形ABDC的周长为( B )
A． 8 cm B． 10 cm
C． 12 cm D． 20 cm
B
5． 如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点P平移的距
离PP′为( D )
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
D
6． 如图，将三角形ABC沿直线AB向右平移后到达三角形BDE的
位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠E的度数为( A )
A． 30°
B． 45°
C． 50°
D． 100°
A
7． (2025·凉山州)如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单
位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为 ．
24
8． 如图，将长为5 cm、宽为3 cm的长方形ABCD先向右平移2
cm，再向下平移1 cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积
为 cm2.
6
9． 几何直观如图，将三角形ABC沿射线AB的方向平移2 cm到三角形DEF的位置．
(1)写出图中与AD相等的线段及其长度；写出图中所有平行的直线．
解：(1)AD＝CF＝BE＝2 cm.AE∥CF，AC∥DF，BC∥EF.
(2)若∠ABC＝65°，求∠EFC的度数．
解：(2)∵AE∥CF，∠ABC＝65°，∴∠BCF＝∠ABC＝65°.
∵BC∥EF，∴∠BCF＋∠EFC＝180°.
∴∠EFC＝180°－65°＝115°.(共17张PPT)
第七章 相交线与平行线
第7课 平行线(4)
平行线的性质1
1． 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言：如图，∵a∥b(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角
相等)．
例1 如图，已知直线EF与AB，CD都相交，且AB∥CD，试说明
∠1＝∠2.
解：∵EF与AB相交(已知)，
∴∠1＝∠3( )．
∵AB∥CD(已知)，
∴∠3＝ (两直线平行， 相等)．
∴∠1＝ (等量代换)．
对顶角相等
∠2
同位角
∠2
2． 如图，直线DE∥BF，直角三角形ABC的顶点B在BF上．若
∠CBF＝20°，求∠ADE的度数．
解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝70°.
∵DE∥BF，∴∠ADE＝∠ABF＝70°(两直线平行，同位角相等)．
平行线的性质2
例2 【探究】利用“两直线平行，同位角相等”得到“两直线平行，内
错角相等”．
如图，由a∥b，尝试推出：∠2＝∠3.
解：∵a∥b，∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠2＝∠3.
【结论】性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角 ．
简单说成：两直线平行，内错角相等．
几何语言：如图，
∵a∥b(已知)，
∴ (两直线平行，内错角相等)．
相等
∠2＝∠3
3． 【探究】利用“两直线平行，同位角(内错角)相等”得到“两直线平
行，同旁内角互补”．
如图，由a∥b，尝试推出：∠1＋∠2＝180°.
解：∵a∥b，
∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＋∠3＝180°，
∴∠1＋∠2＝180°.
【结论】性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 ．
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
几何语言：如图，
∵a∥b(已知)，
∴ (两直线平行，同旁内角互补)．
互补
∠1＋∠2＝180°
例3 如图，∠B＝30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，求∠ACD
的度数．
解：∵AB∥CD，∠B＝30°，
∴∠BCD＝∠B＝30°.
∵CB平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠BCD＝60°.
4． 如图，AC∥BD，AE平分∠BAC，交BD于点E. 若∠1＝
64°，求∠2的度数．
解：∵∠1＝64°，
∴∠BAC＝∠3＋∠4＝180°－64°＝116°.
∵AE平分∠BAC，∴∠3＝∠4＝58°.
∵AC∥BD，∴∠2＋∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠2＝180°－58°＝122°.
1． 如图，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC＝120°，则∠BCD的
度数是( C )
A． 120° B． 30°
C． 60° D． 150°
C
2． (广州中考)如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1
＝71°，则∠2的度数为 ．
109°
3． 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线
上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为( B )
A． 10° B． 15° C． 30° D． 45°
B
4． (2025·深圳)如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经
平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，
则入射角∠AON的度数为( B )
A． 22° B． 32° C． 35° D． 122°
B
5． 跨学科光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从
水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光
线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3＋
∠4＝( C )
A． 165° B． 155°
C． 105° D． 90°
C
6． 如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，且
DE∥BC，点F在线段CD上，且EF∥AB.
(1)求证：∠DEF＝∠B；
(1)证明：∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠ADE.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.
∴∠DEF＝∠B.
(2)若DE平分∠ADC，∠EFC＝60°，求∠B的度数．
(2)解：∵EF∥AB，∠EFC＝60°，
∴∠ADC＝∠EFC＝60°.
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝ ∠ADC＝30°.
又DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝30°.
