(共18张PPT)
第十章 二元一次方程组
第3课 消元——解二元一次方程组(2)
用代入消元法解较复杂的二元一次方程组
例 1 解方程组：
解：由①，得y＝ ③.
将③代入②，得2x－3× ＝6.
解得x＝ .
将x＝ 代入③，得y＝ ＝－ .
∴方程组的解是
1． 解方程组：
解：由①，得x＝ y③.
把③代入②，得2× y＋3y＝17.解得y＝3.
把y＝3代入③，得x＝4.
∴这个方程组的解是
用代入消元法解二元一次方程组的实际问题
例 2 【人教七下P94例4改编】快递员把货物送到客户手中称为送
件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送件数和揽件
数．某快递员若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他
平均每天的报酬是240元；若平均每天的送件数和揽件数分别为140件和
25件，则他平均每天的提酬是260元．如果这名快递员每送一件的报酬
都相同，每揽一件的报酬也都相同，他每送一件和平均每揽一件的报酬
各是多少元？
解：设这名快递员每送一件和每揽一件的报酬分别是x元和y元．
由题意，得 解得
答：这名快递员每送一件和每揽一件的报酬分别是1.5元和2元．
2． 为参加学校艺术节闭幕演出，七年级一班欲租用男、女演出服装若干套以供演出时使用，已知4套男生演出服和6套女生演出服租用一天共需租金490元，6套男生演出服和10套女生演出服租用一天共需790元．如果每套男、女生演出服的租用费分别相同，每套男、女生演出服一天的租用费各是多少钱？
解：设每套男生演出服一天的租用费是x元，每套女生演出服一天
的租用费是y元．
由题意，得 解得
答：每套男生演出服一天的租用费是40元，每套女生演出服一天的
租用费是55元．
1． 在方程2x－3y＝6中，用含有x的代数式表示y，得( C )
A． y＝ x－6 B． y＝－ x－6
C． y＝ x－2 D． y＝－ x＋2
C
2． 方程组 的解为 ．
3． 已知a，b互为相反数，并且3a－2b＝5，则a2＋b2＝ ．
2
4． 用代入法解下列方程组：
(1)
解：由①，得y＝2x③.
把③代入②，得3x＋4×2x＝11.解得x＝1.
把x＝1代入③，得y＝2.
∴方程组的解是
(2)
解：由①，得x＝ ③.
把③代入②，得4× ＋3y＝15.
解得y＝5.
把y＝5代入③，得x＝0.
∴方程组的解是
5． 解方程组：
解：整理，得
由②，得y＝ ③.
把③代入①，得4x＋3× ＝27.
解得x＝3.
把x＝3代入③，得y＝5.
∴方程组的解是
6． 已知m，n满足 则点(m，n)在( D )
A． 第一象限 B． 第二象限
C． 第三象限 D． 第四象限
D
7． 情境创设某公司组织员工去某博物馆参观，现有A，B两种客车
可以租用．已知3辆A客车和2辆B客车可以坐260人，2辆A客车和3辆B
客车坐的人数一样多．
(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？
解：(1)设A种客车可坐x人，B种客车可坐y人．
根据题意，得 解得
答：A种客车可坐60人，B种客车可坐40人．
(2)已知该公司共有320名员工，请问如何安排租车方案，可以使得
所有员工恰好坐下？
(2)设租用m辆A种客车，n辆B种客车．
根据题意，得60m＋40n＝320.∴n＝8－ m.
又∵m，n均为非负整数，
∴ 或 或
∴共有3种租车方案．
方案1：只租用8辆B种客车；
方案2：租用2辆A种客车，5辆B种客车；
方案3：租用4辆A种客车，2辆B种客车．(共16张PPT)
第十章 二元一次方程组
第5课 消元——解二元一次方程组(4)
用加减消元法解较复杂的二元一次方程组
例 1 用加减法解方程组：
解：由①×2，得8x－6y＝2③.
②×3，得9x＋6y＝15④.
③＋④，得17x＝17.解得x＝1.
把x＝1代入①，得4－3y＝1.解得y＝1.
∴方程组的解为
1． 用加减法解方程组：
解：①×3，得9x－6y＝27③.
②×2，得4x＋6y＝－14④.
③＋④，得13x＝13.解得x＝1.
将x＝1代入①，得3－2y＝9.解得y＝－3.
∴方程组的解为
例 2 用加减法解方程组：
解：原方程组化简，得
①×3＋②，得11x＝22.解得x＝2.
把x＝2代入①，得6－y＝3.解得y＝3.
∴方程组的解为
2． 用加减法解方程组：
解：原方程组整理，得
④×2－③，得11n＝－22.解得n＝－2.
把n＝－2代入④，得2m－6＝－1.解得m＝ .
∴方程组的解为
用加减法解二元一次方程组按以下类型考虑
(1)若有系数相等或互为相反数的未知数，直接相减或相加消元；
(2)若有系数成整数k倍关系的未知数，让系数小的方程“乘k”转化
成类型(1)；
(3)若不是(1)(2)的类型，则每个方程都要变形，使某未知数的系数
变成它们的最小公倍数，转化成类型(1)．
选用适当的方法解二元一次方程组
例 3 尝试用不同的方法解方程组 说说哪个是
最优解法．(至少写出一种代入消元法和一种加减消元法解方程组)
法1：解：由①，得y＝3x－2③.把③代入②，得3x＋2(3x－2)＝5.
解得x＝1.
把x＝1代入③，得y＝1.
∴方程组的解为
法2：解：由②，得3x＝5－2y③.把③代入①，得(5－2y)－y＝2.
解得y＝1.
把y＝1代入③，得3x＝5－2.
解得x＝1.∴方程组的解为
法3：解：②－①，得3y＝3.解得y＝1.
把y＝1代入①，得3x－1＝2.解得x＝1.∴方程组的解为
法4：解：2×①＋②，得9x＝9.解得x＝1.
把x＝1代入①，得3－y＝2.
解得y＝1.∴方程组的解为
综上所述，法3是最优解法．
用加减消元法解二元一次方程组的实际问题
例 4 【人教七下P97例7】我国古代数学著作《九章算术》中记载
了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八
两．问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10
两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少
两？你能解答这个问题吗？
解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两．
根据题意，得 解得
答：每头牛值金 两，每只羊值金 两．
1． 方程组 的最优解法是( C )
A． 由①，得x＝ y－1，再代入②
B． 由②，得y＝2x－1，再代入①
C． 把2x－y看成整体，代入①
D． 由①＋②×4，消去y
C
2． 数学文化《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一
道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不
足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余
4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长
x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ．
3． 用加减法解下列方程组：
(1)
解：①×2＋②×5，得26x＝39.解得x＝ .
把x＝ 代入②，得6＋2y＝5.解得y＝－ .
∴方程组的解为
(2)
解：原方程组化简，得
①－②，得4y＝28.解得y＝7.
把y＝7代入①，得3x－7＝8.解得x＝5.
∴方程组的解为
4． 若满足方程组 的x与y互为相反数，求m
的值．
解：由x，y互为相反数，得y＝－x.
代入方程组，得
①×3－②×2，得0＝－m＋11.解得m＝11.
∴m的值为11.(共17张PPT)
第十章 二元一次方程组
第10课 二元一次方程组章末复习
相等
公共解
代入消元法
加减消元法
一、选择题
1． 下列方程组中，属于二元一次方程组的是( D )
A． B．
C． D．
D
2． 由5x－2y＝4可以得到用x表示y的式子是( A )
A． y＝ x－2 B． x＝ y＋
C． y＝ x－2 D． x＝ y－
A
3． 解方程组 时，下列步骤中不正确的是 ( C )
A． 用代入法消去a，由②，得a＝b＋2
B． 用代入法消去b，由①，得b＝7－2a
C． 用加减法消去a，①－②×2，得2b＝3
D． 用加减法消去b，①＋②，得3a＝9
C
4． 已知方程组 和方程组 有相同的解，
则a，b的值分别为( A )
A． 1，2 B． 4，－6
C． －6，2 D． 14，2
A
5． 若|3x－2y－1|＋ ＝0，则x，y的值分别为( D )
A． 1，4 B． 2，0 C． 0，2 D． 1，1
D
6． 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，
众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一
些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可
住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，
房客y人，则可列方程组为( A )
A． B．
C． D．
A
7． 如果方程组 的解为 ，那么被“★”“■”遮
住的两个数分别是( A )
A． 10，4 B． 4，10
C． 3，10 D． 10，3
A
二、填空题
8． 若 是关于x，y的二元一次方程mx－10＝3y的一个解，则m的值为 ．
9． 已知二元一次方程组 则m＋n的值是 ．
10． 方程3x＋y＝7的正整数解的个数是 ．
－1
2
11． 一个两位数的个位数字与十位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好为数字对调后组成的新的两位数，则这个两位数为 .
12． 对于非零的两个有理数m，n，定义一种新运算，规定m n＝2m＋n.若x (－y)＝2，2y x＝－1，则x＋y的值为 ．
35
三、解答题
13． 解下列方程组：
(1)
解：①＋②×5，得13x＝26.解得x＝2.
把x＝2代入②，得4－y＝3.解得y＝1.
∴方程组的解为
(2)
解：原方程组整理，得
④－③，得2x＝－6.解得x＝－3.
把x＝－3代入③，得－6－3y＝1.
解得y＝－ .
∴方程组的解为
14． 已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足方
程x－2y＋1＝0，求m的值．
解：
①＋②×2，得13x＝13m.解得x＝m.
把x＝m代入①，得m＋2y＝5m.解得y＝2m.
把x＝m，y＝2m代入x－2y＋1＝0，得m－4m＋1＝0.
解得m＝ .
15． 某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车
可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人．
(1)A，B型车每辆可分别载学生多少人？
解：(1)设A型车每辆可载学生x人，B型车每辆可载学生y人．
由题意，得 解得
答：A型车每辆可载学生30人，B型车每辆可载学生40人．
(2)若租一辆A型车需要1 000元，一辆B型车需要1 200元，现所有车
辆恰好坐满学生，请你写出全部可行的租车方案，并且算出租车费的最
低金额．
(2)设租A型车a辆，B型车b辆．
由题意，得30a＋40b＝350.∴a＝ .
∵a，b为正整数，
∴a，b的可能取值为 或 或
∵租一辆A型车需要1 000元，一辆B型车需要1 200元，
∴当a＝9，b＝2时，租车费＝1 000×9＋1 200×2＝11 400(元)；
当a＝5，b＝5时，租车费＝1 000×5＋1 200×5＝11 000(元)；
当a＝1，b＝8时，租车费＝1 000×1＋1 200×8＝10 600(元)．
∵10 600＜11 000＜11 400，∴共有三种租车方案：
租A型车9辆，B型车2辆；租A型车5辆，B型车5辆；租A型车1辆，
B型车8辆，租车费的最低金额为10 600元．(共13张PPT)
第十章 二元一次方程组
第7课 实际问题与二元一次方程组(2)
几何图形问题
例 1 【人教七下P102探究2】据统计资料，甲、乙两种作物的单位
面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分
为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能
使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4
分析：如图，一种划分方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为
长方形AEFD和长方形EBCF. 此时设AE＝x m，EB＝y m，根据问题
中涉及长度、
产量的相等关系，列得方程组
解这个方程组，得
过长方形土地的长边上离一端 处，作这条边的垂线，把
这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种植 种作物，较小
一块土地种植 种作物．
120 m
甲
乙
1． 如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成1个周长为68的
大长方形．求大长方形ABCD的面积．
解：设小长方形的长为x，宽为y.
依题意，得
解得
∴S长方形ABCD＝2x·(x＋y)
＝2×10×(10＋4)
＝280.
答：大长方形ABCD的面积为280.
行程问题
例 2 一条河流经甲、乙两地，两地相距280千米，一艘船在其
间航行，顺流用14小时，逆流用20小时．求这艘船在静水中的速度
和水速．
解：设这艘船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时．
由题意，得 解得
答：这艘船在静水中的速度为17千米/时，水速为3千米/时．
2． 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航
行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？
解：设总路程为1，轮船在静水中的速度为x，水流速度为y.
根据题意，得 解得
木筏漂流所需时间为1÷ ＝24(时)．
答：一木筏由甲地漂流到乙地需要24小时．
例 3 甲、乙两人相距10千米，两人同时出发，同向而行，甲2.5小
时可以追上乙；相向而行，1小时相遇，求两人的速度．
解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为 y千米/时．
由题意，得 解得
答：甲的速度为7千米/时，乙的速度为3千米/时．
3． 某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度
走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时．原路返回时，
以每小时6千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了3.5
小时．问平路和坡路的路程各多少千米？
解：设平路的路程为x千米，坡路的路程为y千米．
根据题意，得 解得
答：平路的路程为12千米，坡路的路程为3千米．
1． 图1中的小矩形长为x，宽为y，将四个同样的小矩形拼成如图2
的正方形，则可列出关于x，y的方程组为 ．
2． 甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地
反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒
甲第一次追上乙．求甲、乙两人的平均速度．
解：设甲的平均速度为x米/秒，乙的平均速度为y米/秒．
依题意，得 解得
答：甲的平均速度为9米/秒，乙的平均速度为7米/秒．
3． 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可
以完成，需付两组费用共3 520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单
独做12天可以完成，需付费用3 480元.
(1)甲、乙两组工作一天商店各应付多少元？
解：(1)设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．
根据题意，得 解得
答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．
(2)已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组
商店所付费用较少？
(2)∵甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，
∴单独请甲组需付300×12＝3 600(元)，单独请乙组需付140×24＝
3 360(元)．
∵3 600>3 360，∴单独请乙组商店所付费用较少．(共13张PPT)
第十章 二元一次方程组
第6课 实际问题与二元一次方程组(1)
1． 列方程组解决实际问题的步骤：(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；
(5)检；(6)答．
______________
______________
和差问题
例1 【人教七下P101探究1】养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天
约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料
940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天
需饲料7～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
分析：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.根据两种
情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组
____
解这个方程组，得
这就是说，每头大牛1天约需饲料 kg，每头小牛1天约需饲
料 kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计 ，对小牛
的食量估计 ．
20
5
正确
不正确
2． 去年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/
吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5 200元．从今年元月起，
收费标准上调为餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若
该企业这两年处理的这两种垃圾数量基本相同，但今年多支付了垃圾处
理费8 800元．求该企业去年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨．
解：设该企业去年处理的餐厨垃圾为x吨，建筑垃圾为y吨．
根据题意，得
解得
答：该企业去年处理的餐厨垃圾为80吨，建筑垃圾为200吨．
倍分问题
例 2 恒安小区与新兴小区新配备户用分类垃圾桶共2 000个，其中恒安小区配备户用分类垃圾桶比新兴小区的3倍多200个．恒安小区与新兴小区各配备了多少个户用分类垃圾桶？
解：设恒安小区配备了x个户用分类垃圾桶，新兴小区配备了y个户用分类垃圾桶．
根据题意，得 解得
答：恒安小区配备了1 550个户用分类垃圾桶，新兴小区配备了450
个户用分类垃圾桶．
3． 某爱心书社给甲、乙两所学校捐赠图书，已知捐给甲校的图书
数量和捐给乙校的图书数量之比为3∶2，且捐给甲校的图书数量比捐给
乙校的2倍少700本．求捐给甲、乙两所学校图书各多少本．
解：设捐给甲校图书x本，捐给乙校图书y本．
由题意，得 解得
答：捐给甲校图书2 100本，捐给乙校图书 1 400 本．
1． 某校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器
人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架
航拍无人机和7个编程机器人共需39 000元.设购买1架航拍无人机需x
元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为 ．
2． 6年前，母亲的年龄是儿子的7.5倍；3年后，母亲的年龄是儿子
的3倍．求母子现在的年龄．设母亲现在x岁，儿子现在y岁，列出的二
元一次方程组是( A )
A
A． B．
C． D．
3． 【人教七下P118复习题T5】1号仓库与2号仓库共存粮450 t，
现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果2号
仓库剩余粮食比1号仓库剩余粮食多30 t．1号仓库与2号仓库原来各
存粮多少吨？
解：设1号仓库原来存粮x t，2号仓库原来存粮y t.
由题意，得
解得
答：1号仓库原来存粮240 t，2号仓库原来存粮210 t．
4． 在课间活动中，小英、小丽和小敏在操场上画出A，B两区
域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分
值不同．当每人各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示，请求出
小敏的四次总分．
解：设A区为x分，B区为y分．
由题意，得 解得
小敏的得分为9＋3×7＝30(分)．
答：小敏的四次总分为30分．
5． 推理能力某大学食堂共有7个大餐厅和3个小餐厅，经过测试，
同时开放3个大餐厅和2个小餐厅，可供3 160名学生就餐；同时开放2个
大餐厅和3个小餐厅，可供2 640名学生就餐．
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅可分别供多少名学生就餐．
解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生
就餐．根据题意，得 解得
答：1个大餐厅可供840名学生就餐，1个小餐厅可供320名学生
就餐．
(2)若10个餐厅同时开放，能否供全校的6 500名学生就餐？并说明
理由．
(2)能供全校的6 500名学生就餐．
理由如下：840×7＋320×3＝6 840(名)．
因为6 840＞6 500，所以若10个餐厅同时开放，能供全校的6 500名
学生就餐．(共18张PPT)
第十章 二元一次方程组
第4课 消元——解二元一次方程组(3)
1． 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相
反数或相等时，把这两个方程的两边分别 或 ，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程的方法叫作加减消元
法，简称加减法．
相加
相减
2． 已知二元一次方程组 方程①和方程②中x的系
数 ，y的系数 ，则②－①，得 ，①
＋②，得 ．
相等
互为相反数
2y＝2
2x＝4
直接加减消元
例 1 解方程组：
【答题模板】解：①＋②，得 ．
解得 ．
把 代入①，得 ．
解得 ．
∴方程组的解是 ．
3x＝9
x＝3
x＝3
6＋y＝4
y＝－2
3． 解方程组：
解：①＋②，得7n＝14.解得n＝2.
把n＝2代入①，得m＝ .
∴方程组的解是
例 2 解方程组：
解：②－①，得4y＝－8.解得y＝－2.
把y＝－2代入①，得x＝－1.
∴方程组的解是
4． 解方程组：
解：①－②，得2x＝2.解得x＝1.
把x＝1代入①，得y＝3.
∴方程组的解是
先变形，再加减消元
例 3 解方程组：
【答题模板】解：①×2，得 ③.
③＋②，得 ．解得 ．
把 代入①，得 ．
解得 ．
∴方程组的解是 ．
4x－2y＝14
7x＝14
x＝2
x＝2
4－y＝7
y＝－3
5． 解方程组：
解：①×2，得6x＋4y＝10③.
②－③，得y＝1.
把y＝1代入①，得3x＋2＝5.解得x＝1.
∴方程组的解是
用加减消元法解简单的二元一次方程组的思想方法
(1)同一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别相加消
元，如例1.
(2)同一未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相减消元，如
例2.
(3)同一未知数的系数成整数k倍时，可以把系数较小(或简单)的方
程各项扩大到原来的k倍，再加减消元，进行计算，如例3.
1． 解方程组 既可用 消去
未知数x，也可用 消去未知数y.
①－②(或②－①)
①＋②
2． 用加减法解下列方程组：
(1)
解：①＋②，得7x＝21.解得x＝3.
把x＝3代入②，得15＋3y＝18.解得y＝1.
∴方程组的解为
(2)
解：①－②，得8y＝－8.解得y＝－1.
将y＝－1代入①，得2x－3＝－3.
解得x＝0.
∴方程组的解为
3． 用加减法解方程组：
解：②×2，得4m＋6n＝10③.
③－①，得11n＝11.解得n＝1.
把n＝1代入②，得2m＋3＝5.解得m＝1.
∴方程组的解为
4． 若 和 是方程mx＋ny＝6的两组解，求3m＋
2n的平方根．
解：将 和 分别代入mx＋ny＝6，得
由①＋②得3m＝12.解得m＝4.
把m＝4代入①，得4＋n＝6.解得n＝2.
∴3m＋2n＝3×4＋2×2＝16.
∵16的平方根为±4，
∴3m＋2n的平方根为±4.
5． 整体思想已知二元一次方程组 则x－y的值
为 ．
1
6． 【拓展题】已知关于x，y的方程组 与
有相同的解，求(a＋b)2 027的值．
解：由题意，得新方程组
解得 把 代入剩下的两个方程，整理，
得
①＋②×5，得18a＝18.解得a＝1.
把a＝1代入②，得2－3b＝8.解得b＝－2.
∴(a＋b)2 027＝[1＋(－2)]2 027＝(－1)2 027＝－1.(共7张PPT)
第十章 二元一次方程组
二元一次方程的“图象”
例 【学习探究】我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下
有无数个解，如果将二元一次方程x－y＝0的每个解对应值中x的值作
为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内
描出各点，以方程x－y＝0的解为坐标的点的全体叫作方程x－y＝0的
图象．
【实践探究】(1)探究二元一次方程x－y＝0的图象．
①在表格中列出二元一次方程x－y＝0的解，则表中a＝ ，b＝ ；
x … －2 －1 a 1 2 …
y … －2 －1 0 b 2 …
0
1
②将表中每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这
个点的纵坐标，得到点的坐标：(－2，－2)，(－1，－1)，
( ， )，( ， )，(2，2)，…，请你在图1所示的平
面直角坐标系中描出以上各点；
③过这些点中的任意两点画直线，请写出你发现的一个结论：
．
0
0
1
1
这些点在同一条直线上
解：(1)②如图1所示.
【拓展探究】(2)探究方程组的解与图象的联系．
①请你在如图2所示的平面直角坐标系中直接画出方程2x＋y＝4和x－y＝－1的图象，通过观察可知这两个方程的图象的交点坐标是 ；
(1，2)
(2)①如图2所示．
②方程2x＋y＝4和x－y＝－1的图象的交点坐标与方程组
的解之间有什么联系？并说明理由．
②方程2x＋y＝4和x－y＝－1
的图象的交点坐标是方程组 的解．
理由：交点坐标中x，y的对应值能使方程组中的两个方程成立．
轮胎换位问题
例 【人教七下P116活动2改编】某前驱式汽车，现有两对全新轮胎，每对轮胎若安装在前轮，则行驶30 000千米后报废；若安装在后轮，则行驶50 000千米后报废．为了延长总使用里程，可以行驶一段路程后交换前、后两对轮胎，则轮胎报废时汽车行驶的里程是 千米．
37 500(共16张PPT)
第十章 二元一次方程组
第8课 实际问题与二元一次方程组(3)
销售问题
例1 某商场用13 000元购进甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的
成本价与销售价如下表所示：
类别 成本价/(元/箱) 销售价/(元/箱)
甲 25 35
乙 35 48
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
解：(1)设购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱．
依题意，得 解得
答：购进甲种矿泉水100箱，乙种矿泉水300箱．
(2)若该商场售完这400箱矿泉水，则可获利多少元？
(2)(35－25)×100＋(48－35)×300＝4 900(元)．
答：该商场售完这400箱矿泉水，可获利4 900元．
1． 【人教七下P105习题T6变式】某制造商制作小摆件、蜡染背
心、民族服饰，其中制作小摆件的数量是民族服饰数量的5倍，制造商
制作每件产品所需时间和所获利润如下表：
产品 民族服饰 小摆件 蜡染背心
时间/h 1 0.2 0.5
利润/元 20 3 10
若制作三种产品共计需要25 h，所获利润为450元，求这三种产品
的总件数．
解：设制作民族服饰数量为x件，蜡染背心数量为 y件，则小摆件
数量为5x件．
由题意，得 解得
∴5x＝50，x＋y＋5x＝70.
答：这三种产品的总件数为70件．
例2 某服装店用2 600元购进了A，B两种服装，按标价出售后可获
得利润1 600元，这两种服装的进价、标价如下表：
种类 A种服装 B种服装
进价/(元/件) 60 100
标价/(元/件) 100 160
(1)该服装店购进了A，B两种服装各多少件？
解：(1)设该服装店购进了A种服装x件，B种服装y件．
依题意，得
解得
答：该服装店购进了A种服装10件，B种服装20件．
(2)若A，B两种服装分别按标价的七折、八折出售，则这批服装全
部售完后，该服装店比按标价出售少收入多少元？
(2)100×10＋160×20－(100×0.7×10＋160×0.8×20)＝940(元)．
答：该服装店比按标价出售少收入940元．
种类 A种服装 B种服装
进价/(元/件) 60 100
标价/(元/件) 100 160
2． 某学校计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价
如下：帽子单价为50元，手套单价为22元，并且学校用于购进帽子和手
套的总金额相等．(一顶帽子为一件，一副手套为一件)．购买时从商场
得知，帽子100件起售，超过100件的部分每件打八折，不超过100件的
部分不予以优惠；手套50件起售，超过50件的部分，每件优惠2元，不
超过50件的部分不予以优惠，学校此次需购买帽子超过100件，购买手
套也超过50件，且购买帽子和手套共375件，求该学校需准备多少资金
用来购买手套和帽子．
解：设学校购买了m顶帽子，n副手套．
由题意，得
解得 ∴100×50＋80%×50(110－100)＋50×22＋(22－2)(265－50)＝10 800(元)．
答：该校需准备10 800元资金用来购买手套和帽子．
数字问题
例 3 两个两位数的和为68，在较大的两位数的右边接着写较小的
两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，
也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2 178，求这两
个两位数．设较大的两位数为x，较小的两位数为y.根据题意可列方程
组为 ．
3． 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来的两位数．设原两位数个位上的数字为x，十位上的数字为y.根据题意可列方程组为 ．
1． 某公司销售甲、乙两种球鞋，去年共卖出12 200双，今年甲种
球鞋卖出的数量比去年增加6%，乙种球鞋卖出的数量比去年减少5%，
两种球鞋的总销量增加了50双．去年甲、乙两种球鞋各卖出多少双？若
设去年甲种球鞋卖了x双，乙种球鞋卖了y双，则根据题意可列方程组
为 ．
2． 甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数
是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四
位数小1 188，则甲数为 ，乙数为 ．
24
12
3． 蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40 kg，
到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价/(元/kg) 2.4 2
零售价/(元/kg) 3.6 2.8
他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元钱？
解：设黄瓜批发了x kg，茄子批发了y kg.
依题意，得 解得
∴(3.6－2.4)x＋(2.8－2)y＝(3.6－2.4)×25＋(2.8－2)×15＝42.
答：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚42元钱．
4． 【人教七下P105习题T7】七年级书法兴趣小组准备到文具店购
买A，B两种型号的毛笔，文具店的销售方式是：
(1)一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支
时，超过部分每支的价格比零售价低0.4元．
(2)一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支
时，超过部分每支的价格比零售价低0.6元．
这个小组共有20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元；若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元．这家文具店A，B型毛笔的零售价分别是多少？
解：设这家文具店A型毛笔的零售价为x元，B型毛笔的零售价为y元．
根据题意，得
解得
答：这家文具店A型毛笔的零售价为5元，B型毛笔的零售价为6元．(共20张PPT)
第十章 二元一次方程组
第1课 二元一次方程组的概念
二元一次方程(组)的概念
判断下列方程是否为一元一次方程．
①3x－1＝0；②2－3m＝0；③3x＋2y＝22；④－n－2m＝0；
⑤y＝2；⑥ x＝0；⑦ x＝3y；⑧－ ＋y＝2＋3y.是一元一次方程的
有 ；不是一元一次方程的有 ．(填序号)
观察以上不是一元一次方程的方程有什么共同特点？
答： ．
①②⑤⑥
③④⑦⑧
有两个未知数，且是未知数次数都为1的整式
(1)方程中含有 个未知数，且含有未知数的式子都
是 ，含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫作二
元一次方程．
(2)方程组中含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，含有未知数的项的次数都是 ，一共有 个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．
两
整式
1
两
整式
1
两
例 1 下列各方程中，是二元一次方程的是( B )
A． 8x2＋1＝y B． y＝8x＋1
C． y＝ D． xy＝1
B
1． 下列方程组中，是二元一次方程组的是( A )
A． B．
C． D．
A
二元一次方程(组)的解
2． (1)一般地，使二元一次方程两边的值 的两个未知数的
值，叫作二元一次方程的解；
(2)一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫作二元
一次方程组的解．
注意：一般地，一个二元一次方程有 个解；二元一次方程
组的解是唯一的，但也有方程组有无数个解(未知数的对应系数成比例
时)．
相等
公共解
无数
例 2 (1)填表，使上下每组x，y的值都是方程3x＋y＝5的解．
x －2 0
y －1 －2.5 －3
2
2.5
11
5
0
(2)二元一次方程组 的解为( C )
A． B．
C． D．
C
3． (1) 是下面哪个二元一次方程的解( B )
A． y＝x－2 B． y＝－x＋6
C． x＋y＝5 D． 2x－y＝10
(2)写出二元一次方程2x＋y＝5的所有正整数解： ．
B
4． 已知 是方程组 的解，则a＋b
＝ ．
0
列二元一次方程(组)
例 3 王老师在文具店买了x支钢笔，y本笔记本共消费了76
元．已知钢笔每支7元，笔记本每本4元．
(1)列出关于x，y的二元一次方程： ；
(2)若x＝4，则y＝ ；
(3)若王老师买了5本笔记本，则买了 支钢笔．
7x＋4y＝76
12
8
5． 【人教七下P90习题T4改编】我国古代数学著作《孙子算经》中
有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四
足．问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则可以列出关于x，y
的二元一次方程组为 ．
1． 下列方程(组)：①x＋2＝0；②3x－2y＝1；③xy＋1＝0；④
2x－ ＝1；⑤ ⑥ 其中是一元一次方程的
是 ，是二元一次方程的是 ，是二元一次方程组的
是 ．(填序号)
①
②
⑤
2． 二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中，不是该
方程的解的是( B )
A． B．
C． D．
B
3． 已知 是二元一次方程x＋2y＝5
的三个解， 是二元一次方程2x－y＝0的
三个解，则二元一次方程组 的解是 ．
4． 若x3m-2－2yn-1＝5是二元一次方程，则m＋n＝ ．
3
5． 数学文化我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题：
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几
何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七
钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x，物价为y钱，下列
方程组正确的是( A )
A． B．
C． D．
A
6． 关于x，y的方程组 的解是 则
的平方根是( C )
A． －3 B． ±3 C． ± D．
C
7． 整体思想已知 是方程ax＋by＝3的一个解，则代数式
2a＋4b－5的值为 ．
1
8． 【拓展题】为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1 200
元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球
120元/个，则购买方案共有( C )
A． 6种 B． 7种 C． 4种 D． 5种
C(共21张PPT)
第十章 二元一次方程组
第2课 消元——解二元一次方程组(1)
用一个未知数表示另一个未知数
例 1 已知x＋y＝1.
(1)用含y的代数式表示x，则x＝ ；
(2)用含x的代数式表示y，则y＝ ．
1－y
1－x
1． 已知2x－y＋4＝0.
(1)用含y的代数式表示x，则x＝ ；
(2)用含x的代数式表示y，则y＝ ．
2x＋4
代入消元法
2． 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数
的式子表示出来，再代入另一个方程，实现 ，进而求得这个二
元一次方程组的解的方法叫作代入消元法，简称代入法．
消元
例 2 解方程组：
【答题模板】解：
由①，得 ③.
把③代入②，得 ．
x＝y＋5
2(y＋5)＋5y＝－4
解这个方程，得 ．
把 代入③，得 ．
所以这个方程组的解是 ．
y＝－2
y＝－2
x＝3
3． 解方程组：
解：
由②，得y＝7－4x③.
把③代入①，得3x－2(7－4x)＝8.
解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝－1.
∴方程组的解是
例 3 解方程组：
解：
由②，得y＝5x－6③.
把③代入①，得3x＋2(5x－6)＝14.
解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝4.
∴方程组的解是
4． 解方程组：
解：
由①，得y＝2x－5③.
把③代入②，得3x＋4(2x－5)＝2.
解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝－1.
∴方程组的解是
用代入消元法解二元一次方程组的解题思想及一般步骤
(1)思想：二元→ 一元；(2)步骤：①变形；②代入；③求解；
④回代；⑤写出解．
1． 已知2x－y＝1，用含x的代数式表示y正确的是( D )
A． y＝2x＋1 B． x＝
C． y＝1－2x D． y＝2x－1
D
2． 对于二元一次方程组 将①代入②，消去y，得
( D )
A． x＋3x－6＝7 B． x－3x－6＝7
C． x＋3x＋6＝7 D． x－3x＋6＝7
D
3． 二元一次方程组 的解是 ．
4． 用代入法解下列二元一次方程组：
(1)
解：把①代入②，得3x＋2x－4＝1.
解得x＝1.
把x＝1代入①，得y＝－2.
∴方程组的解是
(2)
解：由②，得m＝－2－n③.
把③代入①，得2(－2－n)－3n＝21.
解得n＝－5.
把n＝－5代入③，得m＝3.
∴方程组的解是
5． (1)完成框图中解方程组的过程：
① ，② ，
③ ，④ ；
4－2x
4－2x
3
－2
(2)上面框图所示的解方程组的方法名称是 ．
代入消元法
6． 若关于x，y的方程组 的解是 试求
a，b的值．
解：把方程组的解 代入方程组，得
由②，得b＝1＋2a③.
把③代入①，得3a－2(1＋2a)＝5.
解得a＝－7.
把a＝－7代入③，得b＝－13.
∴a的值为－7，b的值为－13.
7． 新定义定义新运算：x*y＝ax＋by＋xy，其中a，b是常
数．已知2*1＝9，－3*3＝3，求3*2的值．
解：根据题意，得
整理，得
由①，得b＝7－2a③.
③代入②，得－a＋7－2a＝4.
解这个方程，得a＝1.
把a＝1代入③，得b＝5.
∴这个方程组的解是
∴3*2＝3a＋2b＋6＝3×1＋2×5＋6＝19.(共6张PPT)
第十章 二元一次方程组
古代数学中的方程问题
例 我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中，介绍了用算
筹表示一次方程组的方法．
如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系
数与相应的常数项，该算筹图用我们现在所熟悉的方程组可以表示为
(1)类似地，图2中的算筹图，用方程组可以表示
为 ；
(2)(1)中所列方程组的解为 ．
变式1 古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十
三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共
有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？(一个耠子有一条腿，一个耧
有两条腿)设耠子有x个，耧有y个，则下列方程组正确的是( A )
A． B．
C． D．
A
变式2 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲的钱数为x，则下列说法错误的是( A )
A
A． 可列方程(50－x)＋ x＝50
B． 设乙的钱数为y，则可列方程组
C．乙的钱数为25
D． 甲、乙钱数的和为62.5
变式3 《算法统宗》是一本应用数学书，其中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗的大致意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，醨酒3瓶，可以醉倒1位客人，现在有33位客人醉倒了，他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒、醨酒各多少瓶？请列方程组解决该问题．
解：设饮下醇酒x瓶，醨酒y瓶．
根据题意，得 解得
答：饮下醇酒10瓶，醨酒9瓶．(共15张PPT)
第十章 二元一次方程组
第9课 三元一次方程组的解法
三元一次方程组的概念
1． 含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，含
有未知数的项的次数都是 ，一共有三个方程，像这样的方程组叫
作三元一次方程组．
三
整式
1
例 1 下列方程组中，不是三元一次方程组的是( D )
A． B．
C. D．
D
2． 下列是三元一次方程组的是( D )
A． B．
C. D．
D
三元一次方程组的解法
3． 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行
，把“三元”化为“ ”，使解三元一次方程组转化为解二元
一次方程组，进而再转化为解 方程．
消元
二元
一元一次
例 2 解方程组：
解：②＋③，得2x＋y＝8④.
①＋④，得3x＝9.解得x＝3.
把x＝3代入①，得3－y＝1.解得y＝2.
把x＝3，y＝2代入②，得3＋6＋z＝10.
解得z＝1.
∴方程组的解为
4． 解方程组：
解：②＋③，得3x＋y＝－1④.
①－④，得y＝2.
把y＝2代入①，得3x＋4＝1.解得x＝－1.
把x＝－1，y＝2代入②，得－2－2＋2z＝－4.解得z＝0.
∴方程组的解为
三元一次方程组的应用
例 3 已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝5；当x＝－2时，
y＝9；当x＝5时，y＝23.求a，b，c的值．
解：根据题意，得方程组
②－①，得3a－b＝4④.
③－①，得24a＋6b＝18⑤.
⑤＋6×④，得42a＝42.解得a＝1.
把a＝1代入④，得3－b＝4.解得b＝－1.
把a＝1，b＝－1代入①，得1＋1＋c＝5.
解得c＝3.∴方程组的解为
∴a的值为1，b的值为－1，c的值为3.
例 4 一个三位数，十位数字是个位数字的 ，百位数字与十位数
字之和比个位数字大1，将百位与个位数字对调后得到的新三位数比原
三位数大495.求原三位数．
解：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为x，y，z.
由题意，得
解得 ∴3×100＋6×10＋8＝368.
答：原三位数是368.
1． 解方程组：
解：③－①，化简，得y＋z＝28④.
②＋④，得2y＝30.解得y＝15.
将y＝15代入①，得x－30＝－9.解得x＝21.
将y＝15代入②，得15－z＝2.解得z＝13.
∴方程组的解是
2． 有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需15
元；如果购买甲1件、乙2件、丙3件共需25元，那么购买甲、乙、丙各1
件共需 元．
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3． 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，
y＝－2；当x＝－ 与x＝ 时，y的值相等．求a，b，c的值．
解：根据题意，得
化简，得
①－②，得2b＝2.解得b＝1.
把b＝1代入③，得a－1＝0.解得a＝1.
把a＝1，b＝1代入①，得1＋1＋c＝0.
解得c＝－2.∴方程组的解为
∴a的值为1，b的值为1，c的值为－2.
4． 整体思想已知方程组 的解满足x＋y＝8，
则m的值为 ．
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