华师大版（2024）九年级下册 27.1.1 圆的基本元素 题型专练
【题型1】圆的基本概念辨析
【典例】下列说法正确的是（ ）
A.投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
B.任意画一个三角形，其内角和为，这是随机事件
C.从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大
D.直径是圆中最长的弦
【强化训练1】已知线段，过A，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
【强化训练2】下列说法正确的是（ ）
A.弧是半圆
B.半圆是圆中最长的弧
C.直径是弦
D.弦是直径
【强化训练3】下列表述错误的是（ ）
A.三角形是多边形
B.无理数不能写成（、是整数，）的形式
C.个位数是，十位数是，则这个两位数是
D.顶点在圆心的角叫圆心角
【强化训练4】下列说法正确的是（ ）
A.弧是半圆
B.半圆是圆中最长的弧
C.直径是弦
D.弦是直径
【强化训练5】如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，圆心的坐标为 ．
【强化训练6】以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是 （填序号）．
【强化训练7】关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ．
【题型2】求圆中弦的条数
【典例】如图，图中的弦共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【强化训练1】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【强化训练2】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【强化训练3】如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【强化训练4】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．
【强化训练5】过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径．
【强化训练6】过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径．
【强化训练7】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．
【题型3】求过圆内一点的最长弦
【典例】A、是半径为5 cm的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A.3cm B.6cm C.1.5cm D.3cm
【强化训练2】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（ ）
A.5cm B.3cm C.8cm D.4cm
【强化训练3】已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【强化训练4】若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ．
【强化训练5】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
【强化训练6】已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 cm
【强化训练7】若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ．
【题型4】求一点到圆上距离的最值
【典例】如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于A、两点，若点A、点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A.13 B.14 C.12 D.28
【强化训练1】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A.9 B.10 C.12 D.14
【强化训练2】若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（ ）
A. B. C.或 D.或
【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练4】如图，正方形中，AB=3cm，以为圆心，长为半径画，点在上移动，连结，并将绕点A逆时针旋转至，连结．在点移动的过程中，长度的最小值为 ．
【强化训练5】在平面直角坐标系中，，P是以M为圆心，2为半径的上一动点，，，连结、，则当取得最大值时， ．
【强化训练6】如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为 ．
【强化训练7】如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ．
【题型5】圆的周长和面积问题
【典例】适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A.27倍 B.14倍 C.9倍 D.3倍
【强化训练2】已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为，两个小圆的半径分别为和，则 ．
【强化训练3】如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
【强化训练4】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.华师大版（2024）九年级下册 27.1.1 圆的基本元素 题型专练（参考答案）
【题型1】圆的基本概念辨析
【典例】下列说法正确的是（ ）
A.投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
B.任意画一个三角形，其内角和为，这是随机事件
C.从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大
D.直径是圆中最长的弦
【答案】D
【解析】A．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数不一定是5000次，故本选项错误；
B．任意画一个三角形，其内角和为，这是不可能事件，故本选项错误；
C．从1、2、3、4、5中任取一个数是奇数的可能性比较大，故本选项错误；
D．直径是圆中最长的弦，故本选项正确．
故选：D．
【强化训练1】已知线段，过A，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
【答案】C
【解析】分别以A、B为圆心，以为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，
得以C为圆心，以为半径的圆经过点A和点B，
以D为圆心，以为半径的圆经过点A和点B，
即能画的圆的个数是2个．
故选：C．
【强化训练2】下列说法正确的是（ ）
A.弧是半圆
B.半圆是圆中最长的弧
C.直径是弦
D.弦是直径
【答案】C
【解析】A．半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误；
B．半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误；
C．直径是弦，选项正确；
D．弦不一定是直径，选项错误；
故选C．
【强化训练3】下列表述错误的是（ ）
A.三角形是多边形
B.无理数不能写成（、是整数，）的形式
C.个位数是，十位数是，则这个两位数是
D.顶点在圆心的角叫圆心角
【答案】C
【解析】三角形是多边形，描述正确，不符合题意；
无理数不能写成（、是整数，）的形式，描述正确，不符合题意；
个位数是，十位数是，则这个两位数是，描述错误，符合题意；
顶点在圆心的角叫圆心角，描述正确，不符合题意；
故选C
【强化训练4】下列说法正确的是（ ）
A.弧是半圆
B.半圆是圆中最长的弧
C.直径是弦
D.弦是直径
【答案】C
【解析】A．半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误；
B．半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误；
C．直径是弦，选项正确；
D．弦不一定是直径，选项错误；
故选C．
【强化训练5】如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，圆心的坐标为 ．
【答案】
【解析】∵半径为1的圆，
∴圆周长为：，
∴圆心的坐标为：．
【强化训练6】以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③/③①
【解析】①直径是圆中最长的弦，故正确；
②半圆不是圆中最长的弧，故不正确；
③面积相等的两个圆半径相等，而半径相等的圆是等圆，故正确；
综上分析可知，正确的有①③．
故答案为：①③．
【强化训练7】关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ．
【答案】中心（圆心）
【解析】战国时期的《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；
故答案为：中心（圆心）
【题型2】求圆中弦的条数
【典例】如图，图中的弦共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】B
【解析】图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【强化训练1】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【答案】B
【解析】图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
【强化训练2】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【答案】B
【解析】弦为，共有3条，
故选：B．
【强化训练3】如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】C
【解析】图中有弦共3条，
故选C．
【强化训练4】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．
【答案】7
【解析】根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个．
如图，∵的半径为，
∴直径，
∴弦长的整数值有或或或，共4种可能，
当或或时,各有2条,
当时有1条,
∴这样的弦共有7条．
∴这样的点P共有7个．
故答案为：7．
【强化训练5】过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径．
【答案】无数 一
【解析】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【强化训练6】过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径．
【答案】无数 一
【解析】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【强化训练7】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．
【答案】7
【解析】根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个．
如图，∵的半径为，
∴直径，
∴弦长的整数值有或或或，共4种可能，
当或或时,各有2条,
当时有1条,
∴这样的弦共有7条．
∴这样的点P共有7个．
故答案为：7．
【题型3】求过圆内一点的最长弦
【典例】A、是半径为5 cm的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵圆中最长的弦为直径，
∴．
∴故选D．
【强化训练1】已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A.3cm B.6cm C.1.5cm D.3cm
【答案】B
【解析】圆的直径为圆中最长的弦，
中最长的弦长为．
故选：B．
【强化训练2】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（ ）
A.5cm B.3cm C.8cm D.4cm
【答案】D
【解析】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为cm.
故选D.
【强化训练3】已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】D
【解析】∵圆的弦长小于等于直径长，
∴，
故选：D．
【强化训练4】若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ．
【答案】
【解析】的半径为3，
的弦的长度的取值范围为：，
故答案为：．
【强化训练5】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
【答案】
【解析】点M，N分别是AB，BC的中点，
，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，
，，
，
，
故答案为：．
【强化训练6】已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 cm
【答案】8
【解析】∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，
∴⊙O的半径为8cm．
【强化训练7】若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ．
【答案】
【解析】的半径为3，
的弦的长度的取值范围为：，
故答案为：．
【题型4】求一点到圆上距离的最值
【典例】如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于A、两点，若点A、点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A.13 B.14 C.12 D.28
【答案】D
【解析】连结，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连结，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故选：D．
【强化训练1】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A.9 B.10 C.12 D.14
【答案】D
【解析】如图，连结，
点A、点B关于原点O对称，
，
为斜边上的中线，
，
点P是上的任意一点，
当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，如图：
的半径为2，圆心M的坐标为，
的最大值,
的最大值为，
故选D．
【强化训练2】若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（ ）
A. B. C.或 D.或
【答案】C
【解析】若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b，
若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为；
当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是；
故选C．
【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，
，
，
，
如图连结交于点，延长交于，此时EP′最大，最小
，
，
，，
的最大值为6，最小值为4，
．
故选：．
【强化训练4】如图，正方形中，AB=3cm，以为圆心，长为半径画，点在上移动，连结，并将绕点A逆时针旋转至，连结．在点移动的过程中，长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，连结，，
∵以为圆心，长为半径画，点在上移动，连结，并将绕点逆时针旋转至，
∴，，，
∴，
∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的运动路线为以为圆心，以为半径的圆，当在对角线上时，最小，
在中，
，
∴，
即长度的最小值为．
故答案为：．
【强化训练5】在平面直角坐标系中，，P是以M为圆心，2为半径的上一动点，，，连结、，则当取得最大值时， ．
【答案】12
【解析】∵点，点，
∴，，
∴．
∵，
∴．
当点P处于直线与圆的交点上时，取最大值，
∴．
根据勾股定理得．
由，
∴．
故答案为：12．
【强化训练6】如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为 ．
【答案】2
【解析】由题意得：点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，
连结BD，交圆弧于点H，如图所示：
∴当点F与点H重合时，点D到点F的距离为最短，
∵四边形ABCD是矩形，，BC=2，
∴，
∴，
∴，即点D到点F的最短距离为2；
故答案为2．
【强化训练7】如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ．
【答案】7
【解析】∵，
∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图：
设半径为，
当，即：，
由勾股定理，得：，
当，即：，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：；
故答案为：7．
【题型5】圆的周长和面积问题
【典例】适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，设同心圆的圆心为，连结，则大圆的半径为，小圆的半径为，
∴设小圆的半径为，大圆的半径，
∵像素，，
∴，
在中，，即，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【强化训练1】如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A.27倍 B.14倍 C.9倍 D.3倍
【答案】B
【解析】由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2，
∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选B．
【强化训练2】已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为，两个小圆的半径分别为和，则 ．
【答案】
【解析】已知两个小圆的半径分别为和，
∴两个小圆的面积之和为：，
∵一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，大圆的半径为，
∴，
∴（负值舍去），
故答案为： ．
【强化训练3】如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
【答案】解 大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
大圆的周长，两个小圆的周长和，
∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，
∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
【强化训练4】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.
【答案】解 设小圆的半径为r，则大圆的半径为，
由图可得，，即，
解得， （舍），，
∴，
∴，
答：围成圆环铁丝的总长度为．
