冀教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形的性质 题型专练（参考答案）
【题型1】平行四边形的定义及对称性
【典例】如图， ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是（ ）
A.12
B.16
C.24
D.32
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC，BD的交点，
∴四边形ABCD是中心对称图形，OB＝OD，
∴S△CON＝S△AOM，S△ABD＝S△CBD，
∵S△AOD＝S△AOM+S△DOM＝2+4＝6，
∴S△AOB＝S△AOD＝6，
∴S△ABD＝S△AOB+S△AOD＝12，
∴S ABCD＝2S△ABD＝24，
故选：C．
【强化训练1】平行四边形具有的性质是（ ）
A.四边相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.四个角都是直角
【答案】C
【解析】平行四边形的对角线互相平分．
故选：C．
【强化训练2】关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A.平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B.平行四边形的对角相等
C.平行四边形的对角线互相平分
D.平行四边形的对边平行且相等
【答案】A
【解析】A、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，原描述错误，符合题意；
B、平行四边形的对角相等，原描述正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，原描述正确，不符合题意；
D、平行四边形的对边平行且相等，原描述正确，不符合题意；
故选：A．
【强化训练3】如图， ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是（ ）
A.12
B.16
C.24
D.32
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC，BD的交点，
∴四边形ABCD是中心对称图形，OB＝OD，
∴S△CON＝S△AOM，S△ABD＝S△CBD，
∵S△AOD＝S△AOM+S△DOM＝2+4＝6，
∴S△AOB＝S△AOD＝6，
∴S△ABD＝S△AOB+S△AOD＝12，
∴S ABCD＝2S△ABD＝24，
故选：C．
【强化训练4】关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A.平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B.平行四边形的对角相等
C.平行四边形的对角线互相平分
D.平行四边形的对边平行且相等
【答案】A
【解析】A、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，原描述错误，符合题意；
B、平行四边形的对角相等，原描述正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，原描述正确，不符合题意；
D、平行四边形的对边平行且相等，原描述正确，不符合题意；
故选：A．
【题型2】利用平行四边形的对边平行且相等求边长
【典例】如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，BF⊥DC交DC延长线于F，若AB＝3，BC＝4，AE＝2.4，则BF的长为（ ）
A.1.6 B.3.2 C.4.8 D.2.4
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝3，
∵AE⊥BC，BF⊥DC，
∴S ABCD＝BC AE＝DC BF，
∴4×2.4＝3 BF，
解得BF＝3.2，
故选：B．
【强化训练1】如图，在 ABCD中，E是AB边上一点，若DE，CE分别是∠ADC，∠BCD的平分线，若 ABCD的周长为18，则AB的长为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】∵DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD＝BC，CD＝AB，
∴∠CDE＝∠DEA，∠DCE＝∠CEB，
∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠CEB，
∴AD＝AE，BE＝BC，
∴AD+BC＝AE+BE＝AB，
∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+AD+BC＝3AB＝18，
∴AB＝6，
故选：C．
【强化训练2】如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 ．
【答案】．
【解析】如图，延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECH，
在△CDF和△HCE中，
，
∴△CDF≌△HCE（SAS），
∴CF＝HE，
∴AE+CF＝AE+HE，
当A、E、H不共线时，AE+HE＞AH，
当A、E、H共线时，AE+HE＝AH，
∴AE+HE的最小值为AH，
即AE+CF的最小值为AH，
过点A作AG⊥BC于点G，
∴∠AGB＝∠AGH＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAG＝30°，
∴BG＝AB＝2，
∴AG＝＝＝2，
∵CD＝CH＝4，
∴BH＝BC+CH＝9，
∴BH＝BC﹣BG＝7，
∴AH＝＝，
即AE+CF的最小值为，
故答案为：．
【强化训练3】如图，点O为 ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，交DA和BC的延长线于点G，H．若OG＝5，HF＝2，求OF的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OEB＝∠OFD，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OE＝OF．
∵CB∥AD，
∴∠H＝∠G，
在△BOH和△DOG中，
，
∴△BOH≌△DOG（AAS），
∴OH＝OG＝5，
∴OF＝OH﹣HF＝5﹣2＝3，
∴OF的长是3．
【强化训练4】如图，在 ABCD中，分别过点B、D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．连结BF，DE，若AB＝BF＝5，AC＝9，求BE的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠CFC＝90°，
∴△BAE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF；
∵AB＝BF，BE⊥AF，
∴AE＝EF，
∴AE＝EF＝CF，
又∵AE+EF+CF＝AC＝9，
∴AE＝3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
BE＝．
【题型3】利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积
【典例】如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（ ）
A.8 B.6 C.9 D.10
【答案】A
【解析】∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8．
故选：A．
【强化训练1】在 ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，则 ABCD的周长为（ ）
A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵AB＝2cm，BC＝3cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（2+3）＝10（cm）．
故选：A．
【强化训练2】如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则 ABCD的周长为（ ）
A.16 B.14 C.10 D.8
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝3，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝3，
∴CD＝DE+CE＝5，
∴AB＝CD＝5，
∴ ABCD的周长为AD+AB+BC+CD＝3+5+3+5＝16．
故选：A．
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为边BC，AD上的点，BM＝3MC，连接BN，MN，DM．
（1）若四边形BNDM为平行四边形，则DN＝ AN．
（2）若S△BMN＝6，则S ABCD＝ ．
【答案】3，16．
【解析】（1）∵四边形ABCD，BNDM为平行四边形，
∴AD＝BC，DN＝BM
∴AN＝MC，
∵BM＝3MC
∴DN＝3AN，
故答案为：3．
（2）如图所示，连接NC，
∵BM＝3MC，S△BMN＝6，
∴
∴S△NBC＝S△MNC+S△BMN＝6+2＝8
∴S ABCD＝2S△NBC＝16，
故答案为：16．
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
即AB∥DF，
∴∠BAE＝∠F，
∵AD＝DF，
∴∠DAE＝∠F，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AD＝5，
∴BC＝5，
∵E为BC的中点，
∴BE＝BC＝×5＝，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴△ABE为等腰三角形，
又∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝，
∴CD＝AB＝，
∴平行四边形ABCD的周长为2AD+2AB＝2×5+2×＝15．
【题型4】利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标
【典例】如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（ ）
A.112° B.118° C.119° D.120°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣56°＝124°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝124°÷2＝62°，
∵AD∥BC，
∴∠EBC+∠BED＝180°，
∴∠BED＝180°﹣∠EBC＝180°﹣62°＝118°，
故选：B．
【强化训练1】如图，在 ABCD中，∠B＝70°，若AB＝AC，则∠ACD的大小为（ ）
A.110° B.80° C.60° D.40°
【答案】D
【解析】∵∠B＝70°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠CAB＝180﹣2×70°＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB＝40°，
故选：D．
【强化训练2】如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（ ）
A.（2，4） B.（2，﹣4） C.（4，2） D.（4，﹣2）
【答案】C
【解析】∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∵A（﹣1，2），点C在x轴上且OC＝5，
∴xB＝﹣1+5＝4，yB＝yA＝2，
∴B（4，2），
故选：C．
【强化训练3】在 ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠ACB＝ 度．
【答案】35．
【解析】四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC，
∵AE平分∠DAB，
∴∠EAB＝∠EAD，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴BA＝BE．
∵AB＝AE，
∴AB＝BE＝AE
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°，
∵∠EAC＝25°，
∴∠ACB＝∠AEB ∠CAE＝60° 25°＝35°．
故答案为：35．
【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，若 ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（2，3），（1，﹣1），（7，﹣1），则点D的坐标是 ．
【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵ ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（2，3），（1，﹣1），（7，﹣1），
∴BC＝6，顶点D的坐标为（8，3）．
故答案为：（8，3）．
【强化训练5】如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于F．若AB＝2BC，使∠B＝80°，求∠F的度数．
【答案】解：∵E是边CD的中点，
∴DE＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴AD＝BC＝FC，
∴BF＝2BC，
∵AB＝2BC，
∴BF＝AB，又∠B＝80°，
∴．
【强化训练6】如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（6，0），（2，4）．
（1）求OC的长；
（2）求点B的坐标．
【答案】解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，
∵OD＝2，CD＝4，
∴；
（2）解：∵点A的坐标是（6，0），
∴OA＝6，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA＝6，OA∥BC，
∴点B的坐标是（8，4）．
【题型5】利用平行四边形的对角相等解决问题
【典例】如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（ ）
A.30° B.40° C.50° D.70°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝40°，
∴∠B＝D＝40°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠BAE+∠BEA＝2∠BAE＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BAE＝70°，
∵DC∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝70°，
故选：D．
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE，
∴BD＝BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH＝∠DEC＝90°，
∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C，
∴∠C＝∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确；
∵∠C+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴BH＝CD＝AB，故③正确，
在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，
∴△BCF与△DCE不全等，故④错误．
故选：B．
【强化训练2】在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝ ．
【答案】50°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【强化训练3】如图， ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且 ABCD的面积为1．求 ABCD各内角的度数．
【答案】解：过点D作DE⊥BA交BA延长线于E，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2×AB DE＝AB DE＝DE，
∴DE＝1，
∴DE＝，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝＝，
∴DE＝AE，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD＝135°，∠ADC＝∠ABC＝45°.
【强化训练4】如图1，在 ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE．
（1）若 ABCD中BC边上的高为2，求AB的长．
（2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长．
【答案】解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，
∴AH＝2，
∵平行四边形ABCD中，∠D＝45°，
∴∠B＝∠D＝45°，
∴AB＝AH＝2；
（2）在 ABCD中，∠D＝∠B＝45°，AB＝2，
∴AH＝BH＝2，
∵AE＝4，
∴EH＝＝＝2，
∴BE＝BH﹣EH＝2﹣2；
【题型6】利用平行四边形的对角线互相平分求解
【典例】在平行四边形ABCD中，AB＝5，则对角线AC、BD的长度不可能为（ ）
A.4、6 B.6、8 C.6、12 D.10、10
【答案】A
【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BC＝2BO，
∵OA+OB＞AB＝5，
∴对角线AC、BD的长度不可能为4和6，
故选：A．
【强化训练1】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，P为边AC上的一动点，以PA，PB为边作 APBQ，则线段PQ长的最小值是（ ）
A. B. C. D.3
【答案】D
【解析】∵四边形APBQ是平行四边形，
∴AO＝BO＝AB＝×6＝3，PO＝QO，
当线段PQ长最小，则线段PO长的最小，
过点O作OP⊥AC于P，此时OP最小，
Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴OP＝AO＝，
∴PQ＝2PO＝3，
∴线段PQ长的最小值为3．
故选：D．
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ长度的最小值为 ．
【答案】．
【解析】设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO＝AC＝×2＝1，
∴OP′＝AO＝，
∴PQ的最小值＝2OP′＝，
故答案为：．
【强化训练3】如图 ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3．
（1）求AC的长；
（2）求 ABCD的面积．
【答案】解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠BAO＝90°，
∵AO：BO＝2：3，
∴设AO＝2a，BO＝3a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝4a，
在Rt△BAO中，由勾股定理得：22+（2a）2＝（3a）2，
解得：a＝，
∴AC＝4a＝；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB，
∴ ABCD的面积是AB AC＝2×＝．
【强化训练4】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，EO⊥ACEO⊥AC交BC于点E，连接AE．
（1）若△ABE的周长为12cm，求平行四边形ABCD的周长；
（2）若∠ABC＝72°，AE平分∠BAC，试求∠DAC的度数．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∴C△ABE＝AB+BE+AE＝AB+BC＝12cm
∴C四边形ABCD＝2（AB+BC）＝2×12＝24cm；
（2）∵AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
又∵∠ABC＝72°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝，
又∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ECA＝36°．
【题型7】综合应用平行四边形的性质求解
【典例】在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（ ）
A.50° B.80° C.100° D.130°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝130°．
故选：D．
【强化训练1】如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（ ）
A.50° B.55° C.60° D.65°
【答案】D
【解析】在 ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D＝50°．
∵AB＝CD，BE＝CD，
∴AB＝BE．
∴∠BAE＝∠BEA＝＝65°．
故选：D．
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为 ．
【答案】2．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，CD＝AB＝，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE＝2，
∵CE2+DE2＝22+12＝5，CD2＝（）2＝5，
∴CE2+DE2＝CD2，
∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
故答案为：2．
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AD＝6，∠DBC＝90°，求DO的长．
【答案】4．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∵∠DBC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，
∵AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，
∴OD＝BD＝4．
【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于E．
（1）若∠AEB＝25°，求∠C的度数；
（2）若BC＝7，CD＝5，求DE的长度．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠C＝∠A，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB＝25°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝25°，
∴∠ABE＝∠AEB＝25°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°，
∴∠C＝130°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝5，BC＝7，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7，
由（1）得：∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝7﹣5＝2．
【题型8】综合应用平行四边形的性质证明
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，AG⊥BC于G，CF⊥AB于F，AG、CF交于H，CF、DA的延长线交于E，给出下列结论：①；②∠D＝∠CHG；③CH＝CD；④若点F是AB的中点，则；其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】①∵AG⊥BC，
∴∠AGC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴AG＝CG，
∴AC＝＝＝AG，
∴AC＝CG，故①错误；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AB∥CD，
∵AG⊥BC，CF⊥AB，
∴AG⊥AD，CF⊥CD，
∴∠DAH＝∠DCH＝90°，
∴∠D+∠AHC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠CHG+∠AHC＝180°，
∴∠D＝∠CHG，故②正确；
③∵∠B＝∠D，
∴∠CHG＝∠B，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠CGH＝90°，
又∵CG＝AG，
∴△CHG≌△ABG（AAS），
∴CH＝AB，
∴CH＝CD，故③正确；
④如图，连接BH，
∵△CHG≌△ABG，
∴HG＝BG，
∵∠AGB＝90°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴BH＝BG，
∵点F是AB的中点，CF⊥AB，
∴AH＝BH＝BG，
∵BG＝HG＝AG﹣AH，
∴BG＝CG﹣BG，
∴（+1）BG＝CG，
∴BG＝（﹣1）GC，故④正确；
其中正确的结论有3个，
故选：B．
【强化训练1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A.AO＝BO B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAC＝∠ADC D.AC＝BD
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴选项A、C、D不正确，B正确；
故选：B．
【强化训练2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论①∠CAD＝30°；②OE⊥AC；③BD＝AB；④S四边形ABOE＝S△OCD；其中成立的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵BC＝AD＝2AB，
∴EC＝AE＝BE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵EC＝AE，AO＝CO，
∴OE⊥AC，故②正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
设AB＝x，则BC＝2x，在Rt△BAC中，，
∴，
∴在Rt△ABO中，，
∴，∴，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S ABCD＝1：4，
∴，故④正确．
故选：D．
【强化训练3】如图，在 ABCD中，AB＝2BC，∠BCD＝60°，对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线交AB于点E，连接OE．下列结论：
①DB平分∠CDE；
②OE垂直平分BD；
③；
④S△AOB＝2OE OB．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①②．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝60°，
∴AB∥CD，∠DAB＝∠DCB＝60°，∠ADC＝120°，AD＝BC，DO＝BO，
∴∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2AD＝2AE，
∴AD＝AE＝BE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE＝BE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝30°＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故①正确；
∵DE＝BE，DO＝BO，
∴OE垂直平分BD；故②正确；
∵∠ABD＝30°，
∴DB＝AD，
∴DO＝AD，
∴AO＝＝AD＝DE，故③错误；
∵AE＝BE，DO＝BO，
∴AE＝2OE，
∴S△AOB＝OB AD＝OB OE，故④错误，
故答案为：①②．
【强化训练4】如图所示，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．证明：
（1）BE⊥AC；
（2）EG＝EF．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，BD＝2OB＝2OD，
∵BD＝2AD，
∴OB＝BC，
∵E为OB中点，
∴BE⊥AC（三线合一定理）；
（2）∵∠AEB＝90°，
∵G为AB中点，
∴AB＝2EG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵AB＝CD，
∴CD＝2EG，
∵E、F分别是OC、OD中点，
∴CD＝2EF，
∴EG＝EF．
【强化训练5】如图，在 ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE＝BF．
求证：∠DAE＝∠BCF．
【答案】证明：在 ABCD中
∴∠D＝∠B．
AD＝BC．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF．冀教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形的性质 题型专练
【题型1】平行四边形的定义及对称性
【典例】如图， ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是（ ）
A.12
B.16
C.24
D.32
【强化训练1】平行四边形具有的性质是（ ）
A.四边相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.四个角都是直角
【强化训练2】关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A.平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B.平行四边形的对角相等
C.平行四边形的对角线互相平分
D.平行四边形的对边平行且相等
【强化训练3】如图， ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是（ ）
A.12
B.16
C.24
D.32
【强化训练4】关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A.平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B.平行四边形的对角相等
C.平行四边形的对角线互相平分
D.平行四边形的对边平行且相等
【题型2】利用平行四边形的对边平行且相等求边长
【典例】如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，BF⊥DC交DC延长线于F，若AB＝3，BC＝4，AE＝2.4，则BF的长为（ ）
A.1.6 B.3.2 C.4.8 D.2.4
【强化训练1】如图，在 ABCD中，E是AB边上一点，若DE，CE分别是∠ADC，∠BCD的平分线，若 ABCD的周长为18，则AB的长为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【强化训练2】如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 ．
【强化训练3】如图，点O为 ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，交DA和BC的延长线于点G，H．若OG＝5，HF＝2，求OF的长．
【强化训练4】如图，在 ABCD中，分别过点B、D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．连结BF，DE，若AB＝BF＝5，AC＝9，求BE的长．
【题型3】利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积
【典例】如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（ ）
A.8 B.6 C.9 D.10
【强化训练1】在 ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，则 ABCD的周长为（ ）
A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm
【强化训练2】如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则 ABCD的周长为（ ）
A.16 B.14 C.10 D.8
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为边BC，AD上的点，BM＝3MC，连接BN，MN，DM．
（1）若四边形BNDM为平行四边形，则DN＝ AN．
（2）若S△BMN＝6，则S ABCD＝ ．
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长．
【题型4】利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标
【典例】如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（ ）
A.112° B.118° C.119° D.120°
【强化训练1】如图，在 ABCD中，∠B＝70°，若AB＝AC，则∠ACD的大小为（ ）
A.110° B.80° C.60° D.40°
【强化训练2】如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（ ）
A.（2，4） B.（2，﹣4） C.（4，2） D.（4，﹣2）
【强化训练3】在 ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠ACB＝ 度．
【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，若 ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（2，3），（1，﹣1），（7，﹣1），则点D的坐标是 ．
【强化训练5】如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于F．若AB＝2BC，使∠B＝80°，求∠F的度数．
【强化训练6】如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（6，0），（2，4）．
（1）求OC的长；
（2）求点B的坐标．
【题型5】利用平行四边形的对角相等解决问题
【典例】如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（ ）
A.30° B.40° C.50° D.70°
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【强化训练2】在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝ ．
【强化训练3】如图， ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且 ABCD的面积为1．求 ABCD各内角的度数．
【强化训练4】如图1，在 ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE．
（1）若 ABCD中BC边上的高为2，求AB的长．
（2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长．
【题型6】利用平行四边形的对角线互相平分求解
【典例】在平行四边形ABCD中，AB＝5，则对角线AC、BD的长度不可能为（ ）
A.4、6 B.6、8 C.6、12 D.10、10
【强化训练1】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，P为边AC上的一动点，以PA，PB为边作 APBQ，则线段PQ长的最小值是（ ）
A. B. C. D.3
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ长度的最小值为 ．
【强化训练3】如图 ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3．
（1）求AC的长；
（2）求 ABCD的面积．
【强化训练4】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，EO⊥AC交BC于点E，连接AE．
（1）若△ABE的周长为12cm，求平行四边形ABCD的周长；
（2）若∠ABC＝72°，AE平分∠BAC，试求∠DAC的度数．
【题型7】综合应用平行四边形的性质求解
【典例】在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（ ）
A.50° B.80° C.100° D.130°
【强化训练1】如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（ ）
A.50° B.55° C.60° D.65°
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为 ．
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AD＝6，∠DBC＝90°，求DO的长．
【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于E．
（1）若∠AEB＝25°，求∠C的度数；
（2）若BC＝7，CD＝5，求DE的长度．
【题型8】综合应用平行四边形的性质证明
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，AG⊥BC于G，CF⊥AB于F，AG、CF交于H，CF、DA的延长线交于E，给出下列结论：①；②∠D＝∠CHG；③CH＝CD；④若点F是AB的中点，则；其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【强化训练1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A.AO＝BO B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAC＝∠ADC D.AC＝BD
【强化训练2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论①∠CAD＝30°；②OE⊥AC；③BD＝AB；④S四边形ABOE＝S△OCD；其中成立的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练3】如图，在 ABCD中，AB＝2BC，∠BCD＝60°，对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线交AB于点E，连接OE．下列结论：
①DB平分∠CDE；
②OE垂直平分BD；
③；
④S△AOB＝2OE OB．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【强化训练4】如图所示，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．证明：
（1）BE⊥AC；
（2）EG＝EF．
【强化训练5】如图，在 ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE＝BF．
求证：∠DAE＝∠BCF．
