北师大版（2024）八年级下册 1.4 线段的垂直平分线 课时训练（参考答案）
一、选择题
1.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC=22°，∠PCB=33°，则∠PAB的度数为（ ）
A.33° B.35° C.37° D.39°
【答案】B
【解析】∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA=PB=PC，
∴∠PCA=∠PAC=22°，∠PBC=∠PCB=33°，∠PAB=∠PBA，
∵∠PCA+∠PAC+∠PBC+∠PCB+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠PAB=∠PBA=35°．
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC等于（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
【答案】B
【解析】连接AD，如图，利用线段垂直平分线的性质求得AD=BD=10，且由三角形的外角的性质可求得∠ADC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质可求得AC=AD=5(cm)．
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是AB的垂直平分线，∠CAD∶∠DAB=2∶1，则∠B的度数为（ ）
A.20° B.22.5° C.25° D.30°
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，EA=EB，∠AED=∠DEB=90°，
∴Rt△DAE≌Rt△DBE，
∴∠B=∠BAD．
∵∠CAD∶∠DAB=2∶1，
∴4∠B=90°，
∴∠B=22.5°．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
【答案】B
5.如图，在△ABD和△ACD中，AP，AQ分别为BD，CD的垂直平分线，若∠PAQ=30°，AD=2，则△ABC的周长为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】∵AP，AQ分别为BD，CD的垂直平分线，
∴AB=AC=AD=2，
∴∠BAP=∠DAP=∠BAD，∠CAQ=∠DAQ=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=2（∠DAP+∠DAQ）=2∠PAQ=2×30°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∴△ABC的周长为=AB+BC+AC=6．
6.如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：
①BD垂直平分AC；
②AC平分∠BAD；
③AC=BD；
④四边形ABCD是轴对称图形．
其中正确的有（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
【答案】C
【解析】①由作图可知BD垂直平分AC，故①正确；②在△ABC与△ADC中，∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，故②正确；③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故③错误；④很显然，四边形ABCD是轴对称图形，故④正确．
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
【答案】B
【解析】A.根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；
B.因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；
C.根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°，所以Rt△ADE≌Rt△BDE，所以∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据△CAE≌△DAE，得CE=DE．故该选项正确；
D.根据C的证明过程．故该选项正确．
8.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）
A.22cm B.20cm C.18cm D.15cm
【答案】A
【解析】由题意可知，DE是AC的垂直平分线，所以DA=DC，CE=AE=4(cm)，那么AC= CE+AE=8(cm)，所以△ABD的周长是AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=△ABC的周长-AC=30-8=22(cm).
9.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB=PA，又PA=5，∴PB=5．
10.如图，已知a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是( )
A.90° B.95° C.100° D.105°
【答案】C
【解析】∵a∥b，∴∠CBA＝∠1＝40°，
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°－2×40°＝100°.
11.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为 （ ）
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
【答案】D
【解析】连接AD，如图，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAE=120°，
∴∠B=∠C= (180°-120°)=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=2DE=2(cm)．
∵∠BAD=120°-30°=90°，
∴BD=2AD=4(cm)．
12.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N，且M,N分别在PA,PC的垂直平分线上．若∠ABC=80°，则∠APC的度数为（ ）
A.120° B.125° C.130° D.135°
【答案】C
【解析】∵∠ABC=80°，
∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°，
∵M，N分别在PA，PC的垂直平分线上，
∴MA=MP，NC=NP，
∴∠MPA=∠MAP，∠NPC=∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC=（∠BMN+∠BNM）=50°，
∴∠APC=180°-50°=130°．
二、填空题
13.如图，已知AE=BE，DE是AB的垂直平分线，BF=12，CF=3，则AC=_________．
【答案】15
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴AC=AF+CF=BF+CF=12+3=15．
14.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为 cm．
【答案】13
【解析】∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，
∴AD=DC，AC=2AE=6(cm)，
∵△ABC的周长为19cm，∴AB+BC=13(cm)，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm)．
15.如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AC，交AB于E，交AC于点D，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
【答案】50
【解析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，AD=CD，
∴∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=80°，
∴∠BCE=80°﹣30°=50°．
16.如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，AB的垂直平分线交AC于D，BC=5cm，那么△BCD的周长是 ．
【答案】13cm
【解析】∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∵AC=8cm，
∴AD+DC=DB+DC=8cm，∵BC=5cm，
∴△BCD的周长是5+8=13（cm）．
17.∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是 度．
【答案】115
【解析】∵AD垂直且平分BC于点，∴EB=EC，BD=CD，∠BDE=∠CDE=90°，
∴Rt△BDE≌Rt△CDE，∴∠DBE=∠DCE，
又∵∠ABC=50°，BE为∠ABC的平分线，
∴∠C=∠EBC=×50°=25°，
∴∠AEC=∠C+∠EDC=90°+25°=115°．
三、解答题
18.如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD=2∠DAB，求∠B的度数．
【答案】解 ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠CAD=2∠DAB，且∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
∴4∠B=90°，∴∠B=22.5°．
19.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD=2∠DAB，求∠B的度数．
【答案】解 ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴EB=EA，∠BED=∠AED=90°，
∴Rt△BDE≌Rt△ADE，
∴∠B=∠BAD，
∵∠CAD=2∠DAB，
且∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
∴4∠B=90°，
∴∠B=22.5°．
20.如图所示，在四边形ABDC中，AD同时平分∠BAC和∠BDC．问：B，C两点是否关于直线AD对称 请证明．
【答案】解 B，C两点关于直线AD对称．
证明：∵AD平分∠BAC和∠BDC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC．
∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD．
∴AB=AC，BD=CD．
∴AD 是BC的垂直平分线．
∴B，C两点关于直线AD对称．
21.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
【答案】证明 ∵∠AOB=∠COD，OA=OC，∠A=∠C，
∴△AOB≌△COD，
∴OB=OD，又BE=DE，
∴OE垂直平分BD.
22.如图，在△ABC中，D点是AB的中点，OD⊥AB于D，点O在AC的垂直平分线上.
（1）求证：△BOC是等腰三角形；
（2）若∠BAC=80°，求∠BCO的度数．
【答案】（1）证明 ∵D点是AB的中点，OD⊥AB，
∴OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∵O点在AC的垂直平分线上，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰三角形．
（2）解 ∵OA=OB，OA=OC，
∴∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，
∴∠ABO+∠ACO=∠BAO+∠CAO=∠BAC=80°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-80°-80°=20°，
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠BCO=10°．北师大版（2024）八年级下册 1.4 线段的垂直平分线 课时训练
一、选择题
1.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC=22°，∠PCB=33°，则∠PAB的度数为（ ）
A.33° B.35° C.37° D.39°
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC等于（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是AB的垂直平分线，∠CAD∶∠DAB=2∶1，则∠B的度数为（ ）
A.20° B.22.5° C.25° D.30°
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
5.如图，在△ABD和△ACD中，AP，AQ分别为BD，CD的垂直平分线，若∠PAQ=30°，AD=2，则△ABC的周长为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
6.如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：
①BD垂直平分AC；
②AC平分∠BAD；
③AC=BD；
④四边形ABCD是轴对称图形．
其中正确的有（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
8.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）
A.22cm B.20cm C.18cm D.15cm
9.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
10.如图，已知a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是( )
A.90° B.95° C.100° D.105°
11.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为 （ ）
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
12.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N，且M,N分别在PA,PC的垂直平分线上．若∠ABC=80°，则∠APC的度数为（ ）
A.120° B.125° C.130° D.135°
二、填空题
13.如图，已知AE=BE，DE是AB的垂直平分线，BF=12，CF=3，则AC=_________．
14.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为 cm．
15.如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AC，交AB于E，交AC于点D，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
16.如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，AB的垂直平分线交AC于D，BC=5cm，那么△BCD的周长是 ．
17.∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是 度．
三、解答题
18.如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD=2∠DAB，求∠B的度数．
19.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD=2∠DAB，求∠B的度数．
20.如图所示，在四边形ABDC中，AD同时平分∠BAC和∠BDC．问：B，C两点是否关于直线AD对称 请证明．
21.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
22.如图，在△ABC中，D点是AB的中点，OD⊥AB于D，点O在AC的垂直平分线上.
（1）求证：△BOC是等腰三角形；
（2）若∠BAC=80°，求∠BCO的度数．
